Спорт  ->  Автоспорт  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Загадки «пифагорова соотношения»

На сторонах прямоугольного треугольника построили квадраты Сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе

На сторонах прямоугольного треугольника построили половины квадратов Сумма площадей фигур, построенных на катетах равна площади фигуры, построенной на гипотенузе

На сторонах прямоугольного треугольника построили произвольные Сумма площадей фигур, построенных на катетах не равна площади фигуры, прямоугольники построенной на гипотенузе

На сторонах прямоугольного треугольника построили полукруги Сумма площадей полукругов, построенных на катетах равна площади полукруга, построенного на гипотенузе

На сторонах прямоугольного треугольника построили прямоугольники, Сумма площадей прямоугольников, построенных на катетах равна площади уменьшая одну из сторон квадрата в одинаковое число раз прямоугольника, построенного на гипотенузе

На сторонах прямоугольного треугольника построили круговые секторы Сумма площадей секторов, построенных на катетах, равна площади сектора, построенного на гипотенузе

На сторонах прямоугольного треугольника построили равносторонние Сумма площадей треугольников, построенных на катетах не равна площади треугольники треугольника, построенного на гипотенузе

Актуальность темы.

На уроке математики мы чаще всего решаем задачи, применяя готовые формулы и правила. Ученику не всегда это бывает интересно. Хочется решать задачи, в которых нужно не только рассуждать, но и исследовать, делать выводы.

Постановка и формулировка проблемы

В учебнике математики 5-го класса есть задача: "Существуют такие тройки чисел а,b и c, что а2 + b2 = с2. Например, 62+82=102. Обладают ли таким свойством тройки чисел: 7,24,25?"

Но а2 можно рассматривать и как площадь квадрата. Если формула верна для чисел, то будет ли она верна, если взять площади квадратов?

Гипотеза

Будет ли формула а2 + b2 = с2 правильной для некоторых геометрических фигур?

Разработанность проблемы.

В литературе мы встретили утверждение, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Мы решили его проверить, если на сторонах прямоугольного треугольника построить различные геометрические фигуры.

Цель. Проверить выполнимость формулы а2 + b2 = с2 при построении на сторонах прямоугольного треугольника различных фигур

Основные задачи:

1. Найти информацию о прямоугольном треугольнике, пифагоровых тройках, «пифогоровом соотношении» и выбрать необходимую.

2. Найти формулу площади треугольника и круга и научиться ими пользоваться

3. Сравнить суммы площадей различных фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника

Этапы работы над проектом

Постановка проблемы В учебнике математики 5-го класса есть задача: "Существуют такие тройки чисел а,b и c, что а2 + b2 = с2. Например, 62+82=102. Обладают ли таким свойством тройки чисел: 7,24,25?"

Но а2 можно рассматривать и как площадь квадрата. Если формула верна для чисел, то будет ли она верна, если взять площади квадратов?

Целеполагание Проверить выполнимость формулы а2 + b2 = с2 при построении на сторонах прямоугольного треугольника различных фигур

Планирование Выбрать тему для исследования

Выбрать объект для исследования и найти информацию о нем.

Найти информацию о прямоугольном треугольнике, пифагоровых тройках и формулы площади треугольника и круга.

Отобрать нужную информацию.

Исследовать объект с помощью практических построений, измерений и вычислений

Оформить результат исследования объекта.

Изготовить продукт в виде презентации

Описание проделанной работы

Тема нашего проекта "Загадки «пифагорова соотношения» а2 + b2 = с2 "

Мы выбрали эту тему, потому что она показалась нам интересной. Из нее можно узнать много нового. Строя, измеряя, вычисляя и сравнивая площади фигур, можно подтверждать или отрицать свои предположения.

Проектным продуктом будет:

Ход работы:

На уроке математики мы решали задачу: "Существуют такие тройки чисел а,b и c, что а2 + b2 = с2. Например, 62+82=102. Обладают ли таким свойством тройки чисел: 7,24,25?".

Эта формула верна для чисел, которые учитель назвал пифагоровыми тройками. Но а2 можно рассматривать и как площадь квадрата. Мы решили поверить, будет ли она верна, если взять площади квадратов? площади других фигур?

Нам стало интересно, и мы решили узнать об этом больше.

Стали искать информацию в интернете, энциклопедии про пифагоровы тройки. Учитель предложил еще посмотреть в учебнике по геометрии за 7-9 класс. Когда мы начали читать про пифагоровы тройки, увидели, что этих чисел много и все их можно подставлять в формулу а2 + b2 = с2 и она будет верной. Оказалось, что эта формула еще называется теоремой Пифагора и связывает площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Мы решили это проверить.

S1=b·b S2=a·а S= c·c a=6, b=8, c=10

S1=64, S2=36, S=100

S=S1+S2

100=64+36, 100=100

Формула оказалась верна.

Нам стало интересно, что будет, если вместо квадратов построить другие фигуры?

1. На сторонах прямоугольного треугольника построили половины квадратов.

Измерили стороны и посчитали площади по формуле.

a=8, a1=4, b=6, b1=3, c=10, c1=5

S1=b·b1=18, S2= a·a1=32, S=c·c1=50

Сравнили сумму площадей прямоугольников, построенных на катетах с площадью прямоугольника, построенного на гипотенузе.

S=S1+S2

50=18+32, 50=50

Формула получилась верной.

2. На сторонах прямоугольного треугольника построили произвольные прямоугольники.

Измерили стороны и посчитали площади по формуле.

S1=a·a1, S2=b·b1, S=cc1

S1=4·2=8 S2=3·1,5=4,5 S=5·5=25

S=S1+S2

Сравнили сумму площадей прямоугольников, построенных на катетах с площадью прямоугольника, построенного на гипотенузе.

8+4,5=12,5

25≠12,5

S≠S1+S2

Формула оказалась неверной.

3. На сторонах прямоугольного треугольника построили полукруги.

Измерили радиусы и посчитали площади полукругов по формуле.

r1=a:2, r2=b:2 r=c:2 a=6, r1=3, b=8, r2=4, c=10, r=5

S1=(π·32):2=4,5π

S2=(π·42):2=8π

S=(π·52):2=12,5π

Сравнили сумму площадей полукругов, построенных на катетах с площадью полукруга, построенного на гипотенузе.

S1+S2=12,5π

12,5π=12,5π

S=S1+S2

Формула оказалась верной.

4. На сторонах прямоугольного треугольника построили равносторонние треугольники.

Измерили стороны, высоты и посчитали площади по формуле.

h1=7, h2=10, h=13 a=9, b=12, c=15

S1= (a·h1):2=9·7:2=31,5

S2= (b·h2):2=12·10:2=60

S= (c·h):2=15·13:2=97,5

Сравнили сумму площадей треугольников, построенных на катетах с площадью треугольника, построенного на гипотенузе.

S1+S2=91,5

97,5≠91,5

S≠S1+S2

Формула оказалась неверной.

5. На сторонах прямоугольного треугольника построили круговые секторы.

Измерили радиусы и посчитали площади секторов по формуле S=(π·R2):4 r1=a=3, r2=b=4, r=c=5

S1=(π·32):4=2,25

S2=(π·42):4=4

S=(π·52):4=6,25

Сравнили сумму площадей секторов, построенных на катетах с площадью сектора, построенного на гипотенузе.

S1+S2=2,25+4=6,25

6,25=6,25

S=S1+S2

Формула верна.

6. На сторонах прямоугольного треугольника построили прямоугольники, уменьшая одну из сторон квадрата в одинаковое число раз. Например, в 3 раза.

a=9, a1=3, b=12, b1=4, c=15, c1=5

S1=a·a1=9·3=27

S2=b·b1=12·4=48

S=c·c1=15·5=75

Сравнили сумму площадей прямоугольников, построенных на катетах с площадью прямоугольника, построенного на гипотенузе.

S1+S2=27+48=75

S=S1+S2

По окончанию работы, мы пришли к выводу:

Формула верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, полукруги, секторы.

Формула верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построены полуквадраты и прямоугольники, в которых одну из сторон квадрата уменьшили в одинаковое число раз.

Формула не верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построены произвольные прямоугольники и равносторонние треугольники.

Мы думаем, что мы решили проблему своего проекта. А так же мы научились искать и отбирать информацию, выдвигать предположения и проверять их.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)