СМИ  ->  Новости  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Задача о брахистохроне

Если начальная и конечная точки движения одинаковы, то поскольку прямая есть кратчайшее расстояние между ними, то можно было бы думать, что движение, совершающееся по ней, требует наименьшего времени. На самом деле это не так.

Г. Галилей.

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принимать наилучшее возможное оптимальное решение. В экономике, технике, в спорте возникает огромное число вопросов, которое можно решать только с помощью математики. Один из таких вопросов возник, когда, наблюдая за спортсменами, стартующими на разной высоте с ледяной горы, мы замечаем, что они прибывают к её подножью в одно время. Какова должна быть форма горы, чтобы, скатываясь по ней, можно было совершить путь от вершины к подножью горы в кратчайшее время? Ведь кратчайшим путём служит прямая линия. По ней и нужно двигаться! Но это далеко не так. Так как я занимаюсь спортом, то вопрос оказался для меня интересным, и я решил заняться теоретическими исследованиями и рассмотреть одну из самых любопытных задач в истории математики: задачу о брахистохроне (кривой скорейшего спуска). Задача о брахистохроне, которую поставил и решил И. Бернулли, оказалась очень интересной для рассмотрения и исследования, так как этой задачей занимались в XVII веке пятеро замечательных учёных: И. Бернулли, Лейбниц, Я. Бернулли, Лопиталь, Ньютон. Каждый из них показал интересное и содержательное решение, но наибольшую популярность получило решение самого автора: И. Бернулли. Метод И. Бернулли даёт возможность решать многие задачи из оптики, механики и геометрии, например, нахождение минимальной поверхности вращения.

Удивительная ледяная гора.

Рассмотрим треугольник ABC. Гипотенуза его АВ ─ ледяная гора, длина которой 20 м. , высота ВС=12 м. Вычислим время, в течении которого сани скатятся с вершины В горы к её подножью А. При этом трение не будем учитывать.

В результате тщательных наблюдений Галилей установил следующий закон: время движения тела по наклонной плоскости под действием одной тяжести так относится к длине пути, как время падения с той же высоты. Эту формулировку можно заменить такой, вполне ей равносильной: время в течение, которого тело скатывается под действием силы тяжести по наклонной плоскости, равно времени свободного падении с той же высоты, деленному на синус угла между наклонной плоскостью и горизонтом.

Галилей установил этот закон опытным путем. Но его легко вывести из закона свободного падения, применяя правило разложения силы.

Вычислим время свободного падения тела из точки В в точку С. Мы знаем, что пройденный при свободном падении путь ВС выражается через ускорение силы тяжести (g=9,81 м/с) и время t так:

Отсюда получаем потому что

Найдем время Т, в течение которого сани скатятся по наклонной плоскости:

Итак, сани скатятся с горы за 2,61 сек. Предположим, что сани из точки В в точку А катятся не по горе ВА, а более сложным путем. Сначала они катятся по боле крутой горе ВЕ, а затем отрезок пути ЕА ─ продолжают катиться по инерции со скоростью, приобретенной за время спуска. Путь из В и Е займет время, равное времени падения с высоты 12 м. , делённому на синус угла β: К этому времени нужно добавить время движения по инерции (на отрезке ЕА=7 м. ). Скорость, приобретённая санями, когда они достигли точки Е, вычисляется путем сравнения потерянной потенциальной энергии (mgh) и приобретенной ( ):

Откуда.

Чтобы найти время движения саней по инерции от Е до А, нужно путь (7м) разделить на скорость ( );ведь движение по инерции ─ равномерное:

Складывая время «скатывания» по горе ВЕ и время движения по инерции, получим общее время движения по ломанной ВЕА. Оно оказывается равным 1,96+0,46=2,42 c. , т. е. оказывается меньше, чем время спуска по наклонной ВА. Хотя прямая АВ и является кратчайшим расстоянием между В и А, но не является линией «наименьшего времени»: с этой точки зрения ломанная ВЕА является как бы «более короткой»: вознаграждается выигрышем в скорости, полученным за счёт большей крутизны спуска.

Эти соображения наводят на мысль, что самым выгодным в смысле экономии времени будет путь по ломанной ВСА. Сначала сани падают вдоль отвесной горы ВС; далее небольшое закругление (оно показано на рисунке пунктиром) меняет по возможности плавно их направление, а потом они катятся по инерции вдоль прямой СА, сохранив большую скорость.

Не будем гадать, лучше займемся вычислением! Время свободного падения саней вдоль катета ВС мы уже вычислили: t =1,57с. Скорость в точке С вычисляется из сравнения потерянной потенциальной и приобретенной кинетической энергии: она равна. Поделив путь на скорость, получим время tCA:

Прибавив к этому время падения (1,57 c. ), получим полное время движения по ломанной ВСА:

Оказывается, что этот путь невыгоден: он такой же продолжительный, как путь по прямой ВА, и, значит, заметно больше пути по ломанной ВЕА. Из трех разобранных нами путей самым кратковременным ( хотя и не самым коротким) оказался путь по ломанной ВЕА.

Задача о брахистохроне.

Возникает задача: через точки В и А, лежащие на различной высоте над уровнем земли, провести кривую линию, при движении по которой под действием силы тяжести тело пройдет из В в А в кратчайшее время. Искомую кривую назвали «брахистохроной»(по-гречески ─наибыстрейший), т. е. «кривой кратчайшего времени». Если точки В и А на одной вертикали, то брахистохроной является, очевидно, прямолинейный отрезок. А если точки А и В не лежат на одной вертикали, если они расположены как в разобранной нами только что задаче о треугольнике?

В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне. Он же опубликовал её без решения, приглашая лучших математиков заняться ею. Четверо ученых решили эту задачу: Лейбниц, Ньютон, де-Лопиталь и Якоб Бернулли. Решение Якоба Бернулли было наиболее интересным и сыграло выдающуюся роль в истории математики.

Мы знаем, что имелось пять решений задачи: И. Бернулли, Лейбница, Я. Бернулли, Лопиталя и Ньютона. Все они были очень содержательны. Лейбниц применил приём, который далее развил Эйлер. Ныне метод Лейбница-Эйлера является одним из основных методов решения задач на максимум и минимум ─ это так называемый прямой метод в вариационном исчислении. Я. Бернулли основывал своё решение на принципе Гюйгенса и сделал, таким образом, еще один шаг к созданию теории Гамильтона-Якоби. Но наибольшую популярность получило решение самого И. Бернулли.

Открытие брахистохроны Иоганном Бернулли.

Одной из первых задач вариационного исчисления была знаменитая задача о брахистохроне. Определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдет из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у(х), доставляющий минимум функционалу: Т(у) =.

Задача о её нахождении, поставленная Галилеем заключается в следующем: среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащие в одной вертикальной плоскости ( В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести материальная точка достигает В за кратчайшее время. Брахистохрона является циклоидой с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А.

Введем в плоскость систему координат (x,y) так, чтобы ось x была горизонтальна, а ось y─направлена вниз. При этом поместим точку А в начало координат. Пусть уравнение кривой (желоба) , соединяющей точку А с точкой В, координаты которой равны (a,b) будет задано функцией y=f(x). Сначала нам надлежит вычислить время, за которое тело М массы m (без трения) спуститься из точки А в точку В по желобу f(x). Из механики известен закон Галилея, согласно которому скорость тела в точке с координатами (x, f(x)) (при движении под действием силы тяжести) не зависит от формы кривой f между точками А и (x, f(x)), а зависит лишь от ординаты f(x). «Скорости падающих весомых тел находятся между собою в отношении корней квадратных из пройденных высот»,─ пишет И. Бернулли.

Действительно, кинетическая энергия тела в точке (x, f(x)) равна mv2/2 и эта энергия равна разности потенциальных энергий, т. е. mgf(x). В итоге, скорость в точке (x, f(x)) оказывается равной (где g─ ускорение силы тяжести). Рассмотрим теперь участок пути между точками (x, f(x)) и (x+dx, f(x+dx)), где dx─ малое приращение абсциссы. Длина ds этого участка пути примерно равна. Используя, приближенное равенство f(x+dx)─ f(x) ≈ f/(x)dx, получим, что. Скорость движения на малом участке можно считать постоянной и равной. В итоге время dt, требующееся для прохождения нашего малого участка, окажется примерно равным

, а все время Т от А до В вычисляется по формуле

Таким образом, получается следующая аналитическая формула для задачи о брахистохроне. Требуется найти минимум интеграла по всем функциям f(х), для которых f(0)=0, f(a)=b.

Мы записали нашу задачу на языке интегрального исчисления.

Тяжелая материальная точка начинает двигаться из положения покоя в точке А и скользит без трения по наклонной плоскости до более низкой точки В. Эта материальная точка, начинающая двигаться из положения покоя, может также спускаться от А до В по дуге окружности, как груз маятника. Какое движение занимает меньше времени: движение по прямой или по дуге окружности? Галилей думал, что более быстрым является спуск по дуге окружности. Иоганн Бернулли вообразил в вертикальной плоскости, проходящей через А и В, произвольную кривую, соединяющую эти две точки. Существует бесконечно таких кривых, и он стал разыскивать такую кривую, которая делает время спуска минимальным; эта кривая называется «кривой наиболее быстрого спуска», или «брахистохроной». Мы хотим понять замечательное по богатству фантазии решение этой задачи, принадлежащее И. Бернулли.

Поместим произвольную кривую, спускающуюся от А к В, в систему координат (x,y). Выберем точку А в качестве начала координат; ось x направим горизонтально, а ось y вертикально вниз. Рассмотрим момент, когда материальная точка, скользящая по кривой, проходит некоторую точку (x,y) с некоторой скоростью υ. Имеем соотношение которое было хорошо знакомо Бернулли; мы выводим его сегодня из закона сохранения энергии. Иными словами, каким бы ни был путь спуска, достигнутая скорость υ зависит только от y, глубины спуска:.

Решение Иоганна Бернулли задачи о брахистохроне, которое мы здесь разобрали, имеет своеобразную прелесть. Мы можем наглядно видеть ключевую идею решения. Если мы можем видеть эту идею ясно, без усилий, сознавая, что она за собой влечет, то мы можем заметить, что перед нами настоящее произведение искусства.

Решение задачи о брахистохроне доставило её автору необыкновенную радость первооткрывательства. Вот как он говорил об этом: « Я не могу воздержаться от того, чтобы ещё не выразить своего изумления по поводу отмеченного неожиданного тождества между гюйгенсовской таутохроной и нашей брахистохроной Природа всегда действует простейшим образом, ─ так и в данном случае она с помощью одной и той же линии оказывает две различные услуги».

Открытие брахистохроны Якобом Бернулли.

Решение Якоба Бернулли, наиболее совершенное из всех, всё же не было вполне строгим. Попытки улучшить его решение и сделать его применимым к другим задачам привели в восемнадцатом веке к созданию совершенно новой ветви математики ─ вариационного исчисления. Именно поэтому задача о брахистохроне сыграла выдающуюся роль в истории науки.

Переходим к решению этой задачи, данному Якобом Бернулли. Он начал с того, что заменил трудную задачу большим количеством простых ─ элементарных ─ задач. Разность высот точек А и В он разделил на очень большое количество равных частей и через точки деления мысленно провел ряд параллельных плоскостей. Все пространство оказалось «расслоенным» на пласты. Если толщину каждого слоя обозначим через c, число слоев ─ через n, то произведение cn будет равно величине h ─ разности высот точек А и В.

Допустим теперь, что скорость частицы меняется не непрерывно, а скачками ─ при переходе от слоя к слою. При этом в первом (сверху) слое она равна, т. е. скорости, под действием силы тяжести частица приобрела бы в конце пути через первый слой. Во втором слое она равна В четвертом слое она будет равна и т. д. Частица будет двигаться под действием тяжести по ломаной линии, причем если n велико ( а толщина слоя, следовательно, мала ), ─движение будет очень близко к естественному движению по многоугольному желобу.

Рассмотрим поведение частицы на границе каких-нибудь двух слоев, например, пятого и шестого. Чтобы время следования по пятому и шестому слоям было наименьшим, необходимо, чтобы синусы надлежащих углов относились как скорости в пятом и шестом слое. Итак, должно осуществляться равенство: sinα5 : sinα6 = υ5 : υ6 но , ,а поэтому или.

Повторив подобное рассуждение для всех пар смежных слоев, мы получим серию равенств:

и т. д.

Иными словами, отношение синуса угла между любым звеном ломанной и вертикалью к соответствующему расстоянию слоя от верхней плоскости есть величина постоянная. Искомая «ломанная кратчайшего времени» теперь полностью определена. Её можно построить звено за звеном, начиная с первого.

Следуя Якобу Бернулли, мы допустим, что толщина c слоев неограниченно уменьшается, а число слоев неограниченно растет. Тогда ломаный путь в пределе перейдет в искомую кривую ─ в брахистохрону, ─ и задача решена.

Таким образом, в любой точке брахистохроны отношение синуса угла между касательной и вертикалью к корню квадратному из «высоты» будет постоянным.

Единственной кривой, у которой направление касательной в любой точке и расстояние от этой точки до данной прямой связаны таким отношением, является циклоида.

Циклоида.

Мы задались вопросом, что же такое циклоида? Для того чтобы это выяснить проведем опыт. Вырежем из толстого картона круг, у самого его края проколем шилом дырку и вставим в нее кусочек карандашного графита. Положив линейку на лист бумаги, будем катить вдоль неё наш кружок, плотно прижимая его к бумаге. Кусочек графита и начертит циклоиду. Мы заметили, что подобно прямой линии, мы представляем себе циклоиду бесконечной кривой. Мы предполагаем, что круг катится по прямой неограниченно долго. При этом получится кривая, состоящая из бесконечного ряда арок. Отдельные арки соединяются в точках (остриях), в которых имеют общую касательную. Эти точки называются точками возврата циклоиды. Они соответствуют самым низким положениям той точки на катящейся окружности, за которой мы следим и, которая описывает циклоиду. Самые высокие положения находятся посредине между точками возврата; эти «наивысшие» точки называются вершинами циклоиды. Отрезок прямой линии между двумя соседними точками возврата называются основанием циклоиды.

Первым, кто стал изучать циклоиду, был знаменитый Галилео Галилей (1564-1642) ─ знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же придумал название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея : Вивиани , Торричелли и другие. Торричелли ─ известный физик, изобретатель барометра ─ уделял немало времени и математике. В эпоху Возрождения не было узких ученых ─ специалистов. Талантливый человек занимался и философией, и математикой и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия. Немного позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие ее «рулеткой» или «трохоидой». В1634 году Роберваль – изобретатель известной системы весов – вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием.

Решение Якоба Бернулли, разумеется, несовершенно, но оказать ему в исключительной изобретательности и остроумии нельзя. А развитие основной идеи этого решения и привело в XVIII веке к созданию вариационного исчисления.

Заключение

Задаче о брахистохроне суждено было сыграть выдающуюся роль в математическом анализе: она оказалась первой в ряду задач, из которых сформировалось вариационное исчисление, необходимое физикам и математикам сегодняшнего дня. Метод Иоганна Бернулли дал возможность решать несколько замечательных задач из оптики, механики и геометрии. Например, найти минимальную поверхность вращения: рассмотрим функцию y = f(x), неотрицательную и соединяющую две точки плоскости (х0, у0) и (х1, у1). Совершим её вращение вокруг оси Ох. Получим поверхность вращения, её площадь задаётся формулой

В задаче требуется найти формулу кривой у = f(x), при которой эта площадь минимальна.

Задача о брахистохроне помогла мне повысить уровень математического мышления, а также способствовала привитию первоначальных навыков исследовательской деятельности.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)