Свойства односторонней поверхности

В каком мире мы живем? Сколько в нем измерений? Конечен ли он? Имеет ли границы? Что есть пространство? А что поверхность? Форма, геометрические свойства играют в нашем мире удивительную роль. Куда ни посмотри, кругом - геометрия. Поэтому важно знать об окружающем мире как можно больше. В своей работе я хочу рассмотреть превращения двусторонней поверхности в одностороннюю. А поможет мне в этом знаменитая лента (или лист) Мебиуса, которая является самым доступным примером односторонней поверхности.

Лист Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 г. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них на 180. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые. Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т. к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разделить ленту пополам, разрезая её посередине по линии, параллельной краю, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами (не лента Мёбиуса). Если теперь эту ленту разрезать посередине, то получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (не лента Мёбиуса). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

2. 2. Геометрические объекты родственные ленте Мебиуса.

Близким <<странным>> геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. Второй способ получения бутылки Клейна: возьмите трубу, вытяните у нее один край и просуньте этот тонкий конец в специально сделанную для него дырку в толстом конце. Теперь склейте концы. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Другое похожее множество - вещественная проективная плоскость. Если проколоть отверстие в вещественной проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы ее граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют <<пересеченная крышка>>.

2. 3. Изобретения, научные предположения и произведения искусств, основанные на свойствах ленты Мебиуса.

Чудесные свойства ленты породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных).

В литературе описано множество технических изобретений, в основе которых лежат свойства ленты Мебиуса. Из них я выбрала наиболее характерные.

1. Полоса ленточного конвейера, выпоенная в виде ленты Мебиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. На этом же свойстве ленты основаны изобретения ленточного циферблата со шкалой, удлиненной вдвое; фильтровальной ленты, бесконечной шлифовальной ленты, работающей обеими своими сторонами.

2. Г. Буйный и В. Изотов - сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии использовали ленту в своем устройстве для магнитной дефектоскопии. (В системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мебиуса (чтобы удвоить время записи)).

3. Электрический преобразователь постоянных сигналов в переменные пульсирующие.

4. В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу <<с двух сторон>>.

5. В 1971 году П. Н. Чесноков из Уральского политехнического института имени С. М. Кирова изобрел фильтр непрерывного действия для жидкости, отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мебиуса листа.

6. В 1972 году И. В. Киселев изобрел бесконечный шлифовальный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесенным на нее абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повернутой ветвью. Отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повернута на одну грань.

7. Институт электродинамики Академии наук Украинской ССР представил изобретение своих сотрудников Ю. И. Драбовича и И. А. Криштафовича. Оно сформулировано так: <<Магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечника путем создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мебиуса

8. И. Е. Бурлак изобрел в 1979 году игрушечную электрифицированную железную дорогу, которая содержала полотно железной дороги, модели локомотива и вагонов с поворотными осями колес. С целью повышения занимательности, полотно железной дороги представляет собой ленту Мебиуса, рельсы выполнены из ферромагнитного материала, а модели локомотива и вагонов снабжены магнитными башмаками, закрепленными на поворотных осях колес.

9. В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало два <<практически геометрических>> изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистке - он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, работая при этом обеими своими сторонами.

10. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации <<Сандиа>> в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивность.

Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур, для графического искусства, для создания фантастических рассказов. В одном из них, описывался случай в Нью-йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Маурицо Эсхер был одним из художников, кто особенно любил лист Мебиуса и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна замкнута в ту же самую ленту: согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Оппоненты этой теории утверждают, что для подобного искривления Вселенной не хватит массы, но, во-первых, распределение плотности вещества еще до конца не изучено, во-вторых, не учитывается наличие так называемой "скрытой массы", кроме того, нейтрино обладают положительной массой покоя, а не нейтральны.

Глава 3. Свойства ленты. Исследование поведения математических объектов на ленте Мебиуса.

3. 1. Свойства ленты Мебиуса.

Наиболее распространенными являются три основных свойства:

1. Односторонность, позволяющая попасть извне ленты вовнутрь, не переходя через край, а двигаясь только вдоль него.

2. Способность ленты привести движущийся по ней объект к исходной точке лишь через два полных круга.

3. Способность ленты разворачивать движущийся по ней объект на 180 градусов.

Кроме перечисленных свойств есть ещё менее применяемые. Это:

4. Непрерывность.

5. Связность, равная 2.

6. Неориентированность.

7. Хроматический номер, равный 6.

Под непрерывностью понимается способность объекта двигаться по поверхности не останавливаясь, и не делая при этом повороты.

Связность - это число сквозных, от края до края, разрезов, которые выдерживает фигура, не распадаясь на куски. Связность принято оценивать числом Бетти (названным так в честь итальянского математика и физика). У листа Мебиуса число Бетти равно 2. Примеры: У листа бумаги число Бетти равно 1, у кольца - число Бетти равно 2.

Хроматический номер - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Лист бумаги, даже склеенный в кольцо имеет хроматический номер равный четырем, хроматический номер бублика - 7, а лист Мебиуса - 6.

3. 2. Исследование поведения математических объектов на ленте Мебиуса.

d Все сказанное выше доказывает, что открытия, изобретения, основанные на свойствах листа Мебиуса, далеко не исчерпали себя, и я решила провести несколько экспериментов, связанных с поведением математических объектов на листе Мебиуса.

Для этого введу условные обозначения. Пусть d - длина одной продольной стороны ленты до склеивания, т. е. длина стороны двусторонней поверхности, а r- ширина ленты; А, В - обозначение сторон двусторонней поверхности.

Исследование 1.

Проведу эксперимент над поведением функции y=sinx на листе Мебиуса. Выбор данной функции основан на том, что функция y=sinx периодическая с периодом Т=2PIn. На ленте Мебиуса зафиксирую систему координат, причем длину d возьму кратную 2PI, ось ОУ лежит на стороне А. Строю график функции у=sinx в выбранной системе координат, график преодолев расстояние 2d по оси ОХ, замыкается в точке (0;0). Превращаю одностороннюю поверхность в двустороннюю (т. е. разрезаю ленту по ширине r) и рассматриваю график на обеих сторонах двусторонней поверхности (А и В).

Сторона А: Относительно введенной системе ОХУ координат построен график функции y=sinx.

Сторона В: Отобразим ось Оٰ Хٰ Уٰ зеркально оси ОУ. Относительно системы ОХУ построен график функции y=-sinx (что хорошо видно напросвет).

Рассмотрим произвольную точку М(х;у) принадлежащую графику y=sinx на стороне А. На стороне В расстояние │ х │ обращается в хٰ=(-х), тогда sin(-x)=-sinx, т. е. у=-sinx или sinх=-y.

Очевидно, что график y=sinx превращается в график у=-sinx в силу третьего свойства ленты Мебиуса: способность ленты разворачивать движущийся по ней предмет на 180°.

Вывод: График периодической функции y=f(x) на ленте Мебиуса, где d кратно периоду функции, превращается в график противоположной функции, т. е. в функцию y=-f(x).

Исследование 2.

Второй эксперимент заключается в наблюдении за поведением отношения чисел на ленте Мебиуса. Пусть отрезок АВ=r и АВ перпендикулярен краю ленты. Рассмотрю отношение АК∕АВ=k∕r, например, АК∕АВ=1∕4. Проведу по ленте Мебиуса линию условно параллельную краю ленты, отступая от него в отношении 1∕4. Через расстояние d пересекаю отрезок АВ в некоторой точке К'. Оказалось, что расстояние АК'=3∕4. Т. е. отношение 1∕4 превращается в отношение 3∕4 на ленте Мебиуса! Или k∕r -> (r-k)∕r. Продолжаю двигаться далее по ленте Мебиуса и через расстояние d вновь попадаю в точку К.

Вывод. На ленте Мебиуса отношение k∕r обращается в (r-k)∕r через расстояние d и еще через d- вновь возвращается в отношение k∕r.

Исследование 3.

Третье исследование я посвятила составлению задач на разрезание бумаги, используя пятое свойство ленты Мебиуса - связность. Вот что у меня получилось.

Задача 1. Разделите полоску бумаги двумя сквозными разрезами на 2 части. Предварительно (до разрезания) разрешается производить над бумагой любые действия. Одним из возможных решений задачи является такой: нужно предварительно склеить полоску в кольцо или в ленту Мебиуса, затем рассечь двумя поперечными разрезами.

Усложним задачу.

Задача 2. Разрежьте полоску бумаги двумя сквозными разрезами, но получить надо всего лишь одну цельную часть бумаги.

Для решения этой задачи нужно склеить полоску бумаги в виде ленты Мебиуса, затем разрезать ее вдоль края в отношении (1/2), а второй разрез сделать поперек. В результате получится один целый лист бумаги.

Кроме задач на разрезание (а таких можно составить еще много) можно составлять задачи, используя хроматический номер ленты Мебиуса. Первая из них напрашивается сама собой.

Задача 3. Имеется шесть разноцветных мелков и полоска бумаги. Раскрасьте бумагу так, чтобы каждый из шести цветов имел общую границу с каждым из оставшихся пяти.

Решить такую задачу на обычном листе бумаги не удастся. А если бумаге придать форму ленты Мебиуса задача становиться разрешимой.

Исследование (предположение) 4.

Есть предположение физиков о том что: <<. все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой. правильно, зеркального своего двойника>>.

Мое предположение заключается в следующем. Если телу, находящемуся на прозрачной ленте Мебиуса, придать скорость, большую скорости света, то тело, двигаясь по ленте, будет видеть своего зеркального двойника. Верность моего предположения я доказать пока не могу, думаю что это дело недалекого будущего.

Глава 4. Заключение.

Односторонняя поверхность, представленная лентой Мебиуса, таит в себе множество неразгаданных тайн.

Обладатель большого числа патентов, руководитель учебной базы центра изобретателей Азербайджанского общественного института изобретательного творчества Т. Имамалиев пишет: <<Кропотливый просмотр патентной литературы по ведущим странам за последние 10-15 лет позволил мне собрать досье на ленту Мебиуса - более двух десятков изобретений. И что же? Оказалось, что в изобретениях были использованы всего лишь три лежащих на поверхности и широко известных свойства ленты>> (первые три выше упомянутые свойства).

Только три свойства, а, сколько способов их реализации! Но лента имеет более трех свойств, и, помимо указанных, есть еще неориентированность, связность, непрерывность, отличный от других хроматический номер, что дает каждому интересующемуся огромное поле для исследований.