Hi-Tech  ->  Компьютеры  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Системы счисления с древних времён до наших дней

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и не удивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения впервые задавшегося вопросом «сколько?», тем более невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Моравии на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по 3 или по 5. Это были древнейшие системы записи чисел – системы счисления.

Системы счисления с древнейших времён до наших дней.

Древнейшая система записи чисел называется единичной, т. к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев не забыта и в наши дни. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте сколько полосок нашито на рукаве его мундира. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета.

Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы.

Позже появилось много различных числовых систем, вот наиболее известные из них.

Около 3-2,5 тысяч лет до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. – изображались специальными значками-иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Ее цифры знакомы всем, хотя им уже около 2,5 тысячелетий. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг. Ну конечно же, речь идет о римской системе счисления.

Как читать римские цифры? Одно из правил записи римских чисел гласит: «если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей».

В наши дни любую из римских цифр запрещается записывать в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражение VIIII, XXXX и т. п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали, и число 1995 скорее всего записали бы так: MDCCCCLXXXXV.

Кроме египетской и римской к иероглифическим системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во 2-3 веках, западноевропейские историки впервые узнали о ее существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. В них, как в египетской и римской системах вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно с некоторыми повторениями.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Именно такой была греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Она сменила аттическую систему в 3 веке до н. э. вместе с христианством и письменностью эта нумерация пришла к славянам – сначала к южным, потом и к восточным.

Похожие системы счисления, в которых буквы алфавиты по совместительству «подрабатывали» цифрами, использовались в старину у арабов, евреев, грузин, армян.

Записи чисел в алфавитной нумерации получаются более короткими, чем в иероглифической. Но и у той и у другой системы представления чисел есть один весьма существенный недостаток: арифметические действия над такими числами – занятие весьма трудоемкое. Этого неудобства нет у позионных систем. Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в 3 тысячелетии до н. эй. в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеры. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Шестидесятеричная система широко применялась в астрономических расчетах вплоть до эпохи Возрождения.

Индейский народ майя, обитавший на территории Центральной Америки, в начале новой эры представлял числа примерно так, как и древние шумеры. Майя изобрели похожую числовую систему, но с другими основаниями – пятеричную-двадцатиричную.

Древнейшая известная запись в позиционной десятичной системе обнаружена в Индии и датируется 595 годом. Появление хорошо знакомого нам нуля было подготовлено системами счисления, издавна применявшимися не только в Индии, но и в Древнем Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч использовались одни и те же символы, но дополнительно помечалось, в каком разряде они стоят. Постепенно заметили, что даже если не указывать имена разрядов, то число все ровно можно прочитать, т. к. у каждого разряда есть свое «посадочное место» – позиция. А если позиция пустая, то ее нужно пометить специальным значком – нулем. В поздних вавилонских текстах стал появляться такой знак, однако в конце числа его никогда не ставили. Лишь в Индии в 9 веке нуль окончательно занял свое место в нумерации, которая распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке- арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название – «арабская».

В десятичной системе всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность» и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления.

Позиционная система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной позиционной системой счисления. Чтобы различить числа, записанные в разных системах счисления, их заключают в скобки, а внизу справа указывают основание системы счисления. Например, запись (1100)2 означает то же самое число, что и запись (12)10. Поскольку все мы пользуемся десятичной системой счисления, то десятичное основание обычно не указывается: (1100)2=12.

Двоичная система счисления стала одним из истоков произошедшей в 20 веке грандиозной компьютерной революции. Технически две цифры воспроизвести просто: один – проходит ток в полупроводниковом элементе, ноль – ток не проходит. Состояния элемента «проходит ток» и «не проходит ток» могут сменять друг друга за очень короткие промежутки времени – миллионные доли секунды. Это позволяет производить арифметические действия над двоичными цифрами с неимоверной скоростью.

По сравнению с громоздкими таблицами умножения и сложения в десятичной системе, таблицы умножения и сложения двоичных чисел миниатюрны.

Операции простейшие, и компьютер выполняет их безупречно. Но иногда в машине происходит какой-нибудь сбой или программа-задание компьютеру на выполнение расчетов - содержит ошибку. Тогда программистам приходится перепроверять себя и компьютер, поэтому без знания всей компьютерной кухни, «стряпающей» двоичные числа, хорошему специалисту никак не обойтись.

К недостаткам двоичной системы можно отнести только «длинную» запись чисел (чем меньше в системе цифр, тем длинее будет запись числа). Перевод в двоичную систему вряд ли удастся выполнить в уме, поэтому стали использовать системы, родственные двоичной системе счисления, в которых запись числа на бумаге короче, чем в двоичной, а алгоритмы перевода не требуют сложных вычислений.

В восьмеричной системе 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записанная в младшем разряде означает – как и в десятичном числе просто единицу, а в следующем разряде она означает 8, в следующем – 64 и т. д.

Запись числа в восьмеричной системе достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. Для первых десяти цифр используются привычные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных шести цифр – первые буквы латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Как и в восьмеричной системе, цифра 1, записанная в младшем разряде, означает единицу. В следующем разряде та же цифра 1 означает 16, в следующем – 256 и т. д. цифра F, записанная в младшем разряде, означает 15, в следующем разряде – 15∙16 и т. д.

Таким образом, в современных информационных технологиях при создании программного обеспечения в основном используется двоичная система счисления, так как компьютеру легче оперировать большим числом простых элементов, чем небольшим числом сложных.

Заключение

В современной действительности люди используют многие системы счисления. Иногда мы даже сами не замечаем, что, например, мы пользуемся шестидесятеричной системой в часах, двенадцатеричной в календаре и т. д. Мы не замечаем их вокруг себя, но ведь без них мы уже не мыслим жизни. История отсортировала эти системы, и некоторые из них бесследно исчезли, но зато сейчас разные системы там, где их использовать удобнее. Например, человеку легче воспринимать короткие десятичные числа, а компьютеру удобнее работать с большим количеством простых сигналов в двоичных числах. За долгое время раскрылись преимущества и недостатки разных систем счисления, и сейчас они используются как раз там, где нужно.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)