Спорт  ->  Автоспорт  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Простые числа

«Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».

Например:

1) 111∙91=10101;

2) 126∙81=10206;

3) 285∙73=20805;

Это числа «раздвигаемые» при умножении, т. е. при умножении одного числа на другое получается число с теми же значащими цифрами и в том же порядке, как у первого множителя, только эти цифры как бы раздвигаются и между ними появляются нули.

4) Число 1974 можно представить в виде: а) шести троек: 1974=33!∙3+3-3!3;

1974=(333-3)∙3!-3!; б) семи пятёрок: 1974=5∙(55∙5+5!)-5:5; в) шести шестёрок: 1974=6∙(√66-6)+6!-6; г) одиннадцати двоек: 1974=2222-222-22-2-2; д) одиннадцати семёрок: 1974=777+777+7∙7∙7+77;

5) Существуют магические квадраты:

5 22 18

28 15 2

12 8 25

Как бы вы не считали: по вертикали, по горизонтали, по диагонали сумма чисел будет одинаковая. В данном случае 45.

6) Создан новый вид магического квадрата на английском языке:

five(4) twenty-two(9) Eighteen(8)

twenty-eight(11) Fifteen(7) Two(3)

twelve(6) Eight(5) twenty-five(10)

Буквенные обозначения означают числа из первого квадрата, а числа в скобках обозначают количество букв в числительном.

Примеров удивительного совершенства и согласия между числами можно приводить ещё и ещё, но я остановлюсь на натуральных числах, которые не являются произведением двух натуральных чисел, больших единицы.

Что же мы знаем и чего не знаем о простых числах?

Пифагор (VI в. до н. э. ) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. В школе Пифагора процветала числовая мистика, пифагорейцы обожествляли число, создали культ числа. Они говорили: «Все в природе измеряется, все подчиняется числу, в числе — сущность всех вещей; познать мир, его строение, его закономерность — это значит познать управляющие им числа. Можно видеть природу и властную силу числа во всех человеческих занятиях, во всех искусствах, ремеслах и музыке. Не материя, а число — начало и основа вещей».

По мнению Пифагора, даже такие понятия, как «дружба», «справедливость», «честность» и другие человеческие качества, можно описать теми или иными числовыми соотношениями. По мнению пифагорейцев, одни числа несут добро, радость и благоденствие, а другие — зло, горе и упадок. По их мнению, главная задача математики заключается в том, чтобы найти «божественный смысл» каждого числа. По Пифагору, даже душа каждого человека связана с вполне определенным числом. Душа эта бессмертна и переселяется только от одного человека к другому. По преданию, Пифагор рассказал, что он хорошо помнил, в ком жила его собственная душа в последние 107 лет.

Пифагорейцы считали первое четное число — 2 и первое нечетное число — 3 мужскими и женскими началами в природе, а за символ брака принимали сумму этих чисел — 5.

От Пифагора и его последователей пошли всякие суеверия, связанные с различными числами. Эти суеверия были восприняты арабами и затем распространились по всему миру.

Религии всех мастей с великой радостью подхватили мистическую «науку» Пифагора о числе. До сих пор церковники всячески поощряют числовую мистику. Например, Библия учит, что число 666 является «числом зверя», так как под этим числом скрывается освободившийся из заточения дракон. По мнению церковников, число 12 приносит счастье, а число 13 — «чертова дюжина» — несчастье.

Ясно, что числовые суеверия не имеют под собой никаких разумных оснований. Они противоречат самому дулу науки и здравому смыслу.

Мы не можем согласиться с утверждением Пифагора. и его последователей, что число является основой всех вещей, однако несомненно то, что числа играют большую роль в жизни человека и общества, они помогают человеку подчинить себе силы природы.

Для того чтобы сделать свои мистические выводы, пифагорейцы тщательно научали свойства чисел, и здесь они зачастую добивались интереснейших результатов. Все числа разбивались ими на классы: четные, нечетные; четно-нечетные, нечетно-нечетные, простые и составные, совершенные, дружественные, треугольные, квадратные, пятиугольные и т, д.

«Треугольными числами» ими названы числа вида

•1, • •. • • •

Термин «квадратные числа» идет от построений пифагорейцев

•1, : : 4,

При помощи чисел пифагорейцы исследовали свойства тех или иных фигур. Им были известны некоторые свойства правильных многоугольников. Они показали, как заполнить плоскость системами правильных треугольников, квадратов ила правильных шестиугольников, а пространство — системой кубов (Эти темы я буду изучать в старших классах).

Кроме Архимеда и Пифагора, большой вклад в науку о числе внесли Зенок (ок. 450 г. до н. э. }, Евклид, Эратосфен (III век до н. э. ), Евдокс и Диофант (III— IV вв. н. э. ) и многие другие древнегреческие ученые.

Некоторым людям кажется, что натуральный ряд чисел скучен и однообразен и что о нем уже всё известно, все сказано. Эти люди глубоко ошибаются. Уже в Древней Греции математики заметили многие интереснейшие свойства чисел этого ряда. Иногда эти свойства присущи отдельным числам, но чаще всего целым группам чисел. Одни из этих свойств просто любопытны, другие — имеют научное значение. Так, интересным свойством обладают ' числа 135 и 144: 135 = (1 + 3 + 5) • 1•3 •5; 144 = (1 + 4 + 4) • 1 •4 • 4, т. е. эти числа равны произведению своих цифр на сумму этих цифр. А разве не удивительны свойства «обыкновенного» числа 371

37 •З = 111, 37 • 6 = 222, 37 • 9 =333, 37 •12 = 444, 37 • 15 = 555, 37 •18 = 666,

37 •21 = 777, 37 •24 = 888, 37 • 27 = 999.

Или 37 • (3 + 7) = 33 + 73, (32 + 72) - 3 • 7 =37.

Этот пример в Древней Греции заведомо не был известен, так как подобные числовые свойства основаны на нашей десятиричной системе, грекам не знакомой. Таково же еще одно интереснейшее свойство числа 37. Возьмем любое трехзначное число, кратное 37. Пусть это будет 185 и сделаем в нем круговую перестановку его цифр (последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядок «остальных цифр), т. с. получим 518, сделаем еще круговую перестановку — получим 851. Оба получившиеся при этом числа тоже делятся на 37. Вот вам и диковинка!

Может быть, это единственное «интересное» число? Нет, ничуть не бывало. Интереснейшим свойством обладает число 41. Если в любом пятизначном числе, кратном 41 , провести всевозможные круговые перестановки цифр, то все получившиеся таким образом числа будут также кратны 41. На самом деле, возьмём наугад пятизначное число, кратное 41, например, 24026 = 586 • 41. Сделаем в нём всевозможные круговые перестановки и получим следующие числа 62402, 26240, 02624, 40262, которые тоже кратны 41 (для интереса проверьте!).

Пифагорейцы число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33550336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое — 8128 — стало известно в I в. н. э. пятое — 33 550336 — было найдено в xv в. к 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел, но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Обратим внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, и других — меньше, но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа, возникает вопрос: Существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э. ) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.

Итак, количество простых чисел бесконечно. Самое маленькое простое число 2. Которое чётно и оно единственно. Все простые числа могут оканчиваться на 1; 3; 7; 9.

Для отыскания простых чисел древнегреческий математик Эратосфен придумал такой способ:

Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д. ). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д. ). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа:

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето, поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.

Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Таким образом, для нахождения нескольких первых последовательных простых чисел мы можем использовать решето Эратосфена. Но всё это очень долго, и поэтому учёные задумались: а нельзя ли составить формулу для нахождения простых чисел?

Но сначала древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э. ) доказал, что между натуральным числом n и n! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. Теория чисел зародилась в Древней Греции в VI веке до нашей эры.

В середине ХIХ в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т. е. 2n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n! заменил числом 2n.

Далее задумались над изобретением формулы для нахождения первых последовательных простых чисел:

1) Формула французского математика Пьера Ферма (1601-1665): Р= 22 +1; позволяет получить простые числа при n=0; 1; 2; 3; 4;

С помощью этой формулы найдём числа: 3; 5; 17; 257; 65537;

Но при n=5, получается составное число. Это обнаружил Эйлер (1707-1665), математик, механик и физик. При n=5 получилось число 4294967297. Эйлер перебрал все возможные делители этого числа, отвергая их один за другим. Он считал. А считать, как Эйлер, никто не мог.

Здесь не было ему равных! И вдруг, словно молния пронзила его мозг: 641 является делителем этого числа. Оказалось, это не первые последовательные, но 5 простых чисел.

2) Затем математики нашли другие формулы для нахождения простых чисел: a) P=n2+n+17, с помощью которой найдено 16 последовательных простых чисел начиная с 17, при n=0; 1; 2; 3; 4 b) P=n2+n+41, с помощью которой найдено 40 последовательных простых чисел начиная с 41, при n=0; 1; 2; 3; 4

3) Молодые люди, рабочие в свободное время попробовали свои силы в изобретении формулы простого числа.

а) Польский юноша из Варшавы Андрей Маковский предложил такую формулу: с помощью которой можно найти всего 7 простых чисел, но чисел довольно любопытных: 31; 331; 3331; 33331; 333331; 3333331; 33333331, при n=2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.

б) Рабочий составил формулу простого числа.

С помощью этой формулы можно найти 3 последовательных простых числа.

2!+1∙2-1=3;

2!+1∙2+1=5;

2!+2∙2+1=7;

С помощью этой формулы можно найти 4 последовательных простых числа.

4!+1∙4+1=29;

4!+2∙4-1=31;

4!+3∙4+1=37;

4!+4∙4+1=41;

Карл Гаусс (1777-1855) является победителем простых чисел (X Є N, X ≠ 1, 22281-1). В настоящее время существует таблица простых чисел (до 997), (форзац учебника М -6).

Знание простых чисел помогает найти НОД и НОК, а также хорошие помощники при устном счёте.

Например:

1) Как быстро умножить двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, на 11?

23∙11=???;

Решение.

Цифры первого множителя 23 «раздвигаются», а между ними «встаёт» сумма цифр первого множителя;

23∙11=2(2+3)3=2(5)3=253;

2) Как умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10?

94∙11=???;

Решение.

Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

94∙11=9(9+4)4=9(13)4=(9+1)34=1034;

3) Как быстро узнать, делится ли число без остатка на 11? а) 9876543210:11=???;

Решение.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных местах и на чётных местах делится на 11.

9876543210:11=(9+7+5+3+1)-(8+6+4+2+0)=25-20=5; 5 не делится без остатка на 11, значит, число 9876543210 не делится без остатка на 11.

б) Признак делимости на 11 довольно прост и практичен: «испытуемое» число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой, и складывают грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то рассматриваемое число кратно 11, в противном случае - нет. Пусть, например, требуется испытать число 517. Разбиваем на грани (517) и складываем обе грани: 5 + 17 = 22. Так как 22 делится без остатка на 11, то и число 517 кратно 11.

4) Проверим, будет ли число 47045881 кратно 19:

Так как полученное число делится на 19, то и начальное число делится на 19.

Изобретённая формула Пьера Ферма о нахождении последовательных простых чисел сыграла исключительную роль в математике. Она привела к замечательному открытию в геометрии.

Многие фигуры в природе и технике имеют форму правильных прямоугольников (9 класс). Как же их построить с помощью циркуля и линейки? Евклид и Пифагор уже умели строить такие правильные треугольники, 3; 6; 12; 24; 48,, 2n∙3- многоугольники, где n=0; 1; 2; 3;

Также они умели строить правильные 4; 8; 16; 32,. , 2n угольники, где n=2; 3; 4,, правильные

5; 10; 20; 40,, 2n∙5 угольники, где n=0; 1; 2; 3;4,

А как быть с построением правильных 7; 11; 13; 17; 19; 23 и т. д. угольников, т. е. с простым числом сторон. Как строить их с помощью циркуля и линейки? Но математика учит задавать правильно вопросы. Прежде чем думать «как построить?», надо знать, «можно ли построить?». Если будет доказано, что «можно», тогда думаем «как?». На протяжении более 2000 лет, крупнейшие математики мира не могли на это ответить. И только в 1796 году ответ дал 19-летний студент Геттингентского университета, сын водопроводчика, Карл Гаусс. Это была его первая гениальная работа, на втором курсе университета он доказал теорему: «При помощи циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с простым числом сторон в том и только в том случае, если это число получается при помощи формулы Ферма, т. е. при помощи формулы

Р= 22 +1;. Весь мир был удивлён и поражён. Значит, при помощи циркуля и линейки можно построить правильные 3; 5; 17; 257; 65537. и др. многоугольники.

Карл Гаусс построил правильный 17 угольник. Он так был рад своему открытию, что просил на его могильной плите выгравировать правильный 17 угольник.

Оказались не правы люди, утверждавшие, что теория чисел - это не нужная наука, наука оторванная от практики и незаслуживающая внимания.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)