Правильные многогранники в науке и повседневной жизни

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с только помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах – двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны, как принято в математике) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников, то есть при первом рассмотрении кажется, что можно создать правильный многогранник, сторонами которого может быть любой правильный многоугольник. Однако это не так. Уже в «Началах Евклида» было строго доказано, что число правильных многогранников весьма ограничено и что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны. Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел . Первое из них – это тетраэдр . Его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Слово «тетраэдр» происходит от греческого «tetra» - четыре и «edra» - основание. Он является треугольной пирамидой. Следующее тело – это гексаэдр, называемый также кубом . Гексаэдр имеет шесть граней, представляющие собой квадраты. Гранями октаэдра являются правильные треугольники и их число в октаэдре равно восьми. Следующим по количеству граней является додекаэдр . Его гранями являются пентагоны и их число в додекаэдре равно двенадцать. Замыкает пятерку Платоновых тел икосаэдр. Его гранями являются правильные треугольники и их число равно двадцати.

В моей работе рассмотрены основные определения и свойства выпуклых многогранников. Доказано существование лишь пяти правильных многогранников. Подробно рассмотрены соотношения для наиболее часто встречающейся в задачах по стереометрии правильной n-угольной пирамиды и правильного тетраэдра. В работе приведен большой объем аналитического и иллюстративного материала, который может быть использован при изучении некоторых разделов стереометрии.

Исследования Платона

Платон создал очень интересную теорию. Он предположил, что атомы четырех «основных элементов» (земля, вода, воздух и огонь), из которых строится все сущее, имеют форму правильных многогранников: тетраэдр – огонь, гексаэдр (куб) – земля, октаэдр – воздух, икосаэдр – вода. Пятый многогранник - додекаэдр – символизировал «Великий Разум» или «Гармонию Вселенной». Частицы трех стихий, которые легко превращаются друг в друг, а именно огонь, воздух и вода, оказались составленными из одинаковых фигур – правильных треугольников. А земля, существенно отличающаяся от них, состоит из частиц другого вида – кубов, а точнее квадратов. Платон очень наглядно объяснил все превращения с помощью треугольников. В мятущемся хаосе две частицы воздуха встречаются с частицой огня, то есть два октаэдра встречаются с тетраэдром. У двух октаэдров в сумме шестнадцать граней-треугольников, у тетраэдра – четыре. Всего вместе двадцать. Из двадцати легко составляется один икосаэдр, а это частица воды.

Космология Платона стала основой так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины, которая с тех пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Правильные многогранники

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Правильным многогранникам посвящена последняя, 13 книга знаменитых «Начал» Евклида.

Повторим, что выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

. Наиболее простым таким правильным многогранником' является треугольная пирамида, грани которой правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея все четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает «четырехгранник».

. Иногда тетраэдром называют также произвольную пирамиду. Поэтому в случае, когда речь идет о правильном многограннике будем говорить - правильный тетраэдр.

. Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходятся четыре грани, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников, называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходятся пять правильных треугольников, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников, называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

. Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то кроме куба других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты, не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, он называется додекаэдром.

Поскольку в вершинах выпуклого Многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то других правильных многогранников не существует, и, таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т. к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

А теперь давайте рассмотрим насколько свойств, лемм и теорем, связанных с этими фигурами.

Рассмотрим многогранный угол с вершиной S, у которого равны все плоские и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A1, A2, , An так, что SA1 = SA2 = = SAn. Тогда точки A1, A2, , An лежат в одной плоскости и являются вершинами правильного n-угольника.

Доказательство.

Докажем, что любые идущие подряд точки лежат в одной плоскости. Рассмотрим четыре подряд идущие точки A1, A2, A3 и A4. Пирамиды SA1 A2 A3 и SA2 A3 A4 равны, поскольку их можно совместить, совместив ребра SA2 и SA3 (берутся, разумеется, ребра разных пирамид) и двугранные углы при этих ребрах. Аналогично можно показать, что равны пирамиды SA1 A3A4 и SA1 A2 A4, поскольку все их ребра равны. Отсюда следует равенство

Из последнего равенства следует, что объем пирамиды A1A2A3A4 равен нулю, то есть указанные четыре точки лежат в одной плоскости. Значит, все n точек лежат в одной плоскости, и в n-угольнике A1 A2 An равны все стороны и углы. Значит, он правильный, и лемма доказана.

Теорема

Докажем, что существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

Доказательство.

Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A1, и плоские углы при этих вершинах.

Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.

Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 2. 1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.

Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно пять, предъявив все пять видов многогранников.

Правильная n-угольная пирамида

Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. Этот многогранник часто встречается в стереометрических задачах и поэтому более подробное и тщательное изучение его свойств представляет большой интерес. Тем более, что один из наших правильных многогранников – тетраэдр - является ею.

Пусть SA1A2 An – правильная n-угольная пирамида. Введем следующие обозначения:

α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

β – двугранный угол при основании;

γ – плоский угол при вершине;

δ – двугранный угол при боковом ребре.

Пусть О – центр основания пирамиды, В – середина ребра А1А2, D – точка пересечения отрезков А1А3 и ОА2, С – точка на боковом ребре SA2 такая, что A1CSA2, Е – точка пересечения отрезков SB и А1С, К – точка пересечения отрезков А1А3 и ОВ. Пусть А1ОА2=. Несложно показать,

. Обозначим также через Н высоту пирамиды, апофему – через m, боковое ребро – через l, сторону основания – через a, а через r и R – радиусы окружностей, вписанной в основание и описанной около него.

Ниже приведены соотношения между углами α, β, γ, δ правильной n-угольной пирамиды, сформулированные в виде теорем.

Правильный тетраэдр

Его свойства

Применение соотношений полученных в предыдущем разделе к правильному тетраэдру позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом разделе мы приведем полученные формулы для данного конкретного случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик правильного тетраэдра, таких как, например, объем, площадь полной поверхности и тому подобное.

Следуя обозначениям предыдущего раздела, рассмотрим правильный тетраэдр SA1A2A3 с длиной ребра а. Обозначения для его углов оставим теми же и вычислим их.

В правильном треугольнике длина высоты равна. Так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Несложно найти и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка O – центр правильного треугольника А1А2А3. Основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки S, также проектируется в точку O. Значит,. В правильном треугольнике SA1A2 длина апофемы тетраэдра равна. Применим теорему Пифагора для Δ SBO:. Отсюда.

Таким образом, высота правильного тетраэдра равна.

Площадь основания тетраэдра − правильного треугольника:

Значит, объем правильного тетраэдра равен:

Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его основания:.

Двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

Плоский угол при вершине правильного тетраэдра равен.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти из :

Радиус вписанной сферы для правильного тетраэдра можно найти по известной формуле , связывающей его с объемом и площадью полной поверхности тетраэдра (отметим, что последняя формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу). В нашем случае имеем.

Найдем радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на его высоте, так как именно прямая SO перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр, а на этой прямой должна лежать точка, равноудаленная от всех вершин основания тетраэдра. Пусть это точка О1, тогда О1S=O1A2=R. Имеем. Применим теорему Пифагора к треугольникам BA2O1 и BO1O:

Отметим, что R = 3r, r + R = H.

Интересно вычислить то есть тот угол, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. Найдем его:

Значит,.

Это знакомая нам величина из курса химии: это угол между связями С–Н в молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН4, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Правильный гексаэдр (Куб)

Вид грани Квадрат

Кол-во граней 6

Кол-во ребер 12

Кол-во вершин 8

Плоский угол 90 о

Кол-во плоских углов при вершине 3

Сумма плоских углов 270 о

Есть ли центр симметрии Да (точка пересечения диагоналей)

Кол-во осей симметрии 9

Кол-во плоскостей симметрии 9

Формулы

Рисунок

Правильный октаэдр

Вид грани Правильный треугольник

Кол-во граней 8

Кол-во ребер 12

Кол-во вершин 6

Плоский угол 60о

Кол-во плоских углов при вершине 4

Сумма плоских углов 240о

Есть ли ось симметрии Да

Кол-во осей симметрии Несколько

Кол-во плоскостей симметрии Несколько

Формулы

Рисунок

Существование правильного октаэдра

Рассмотрим квадрат ABCD и построим на нем, как на основании, по обе стороны от его плоскости четырехугольные пирамиды, боковые ребра которых равны сторонам квадрата. Полученный многогранник и будет октаэдром.

Чтобы это доказать, нам остается проверить, что у него равны все двугранные углы. Действительно, пусть O – центр квадрата ABCD. Соединив точку O со всеми вершинами нашего многогранника, мы получим восемь треугольных пирамид с общей вершиной O. Рассмотрим одну из них, например ABEO. AO = BO = EO и, кроме того, эти ребра попарно перпендикулярны. Пирамида ABEO правильная, так как ее основание – правильный треугольник ABE. Значит, все двугранные углы при основании равны. Аналогично, все восемь пирамид с вершиной в точке O и основаниями – гранями восьмигранника ABCDEG – являются правильными и более того, равны между собой. Значит, все двугранные углы этого восьмигранника равны, так как каждый из них в два раза больше двугранного угла при основании каждой из пирамид.

*Отметим интересный факт, связанный с гексаэдром (кубом) и октаэдром. Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр – 8 граней, 12 ребер и 6 вершин. То есть число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот. Как говорят, куб и гексаэдр являются двойственными друг к другу. Это также проявляется в том, что если взять куб и построить многогранник с вершинами в центрах его граней, то, как несложно убедиться, получится октаэдр. Верно и обратное – центры граней октаэдра служат вершинами куба. В этом-то и состоит двойственность октаэдра и куба.

Несложно сообразить, что если взять центры граней правильного тетраэдра, то мы вновь получим правильный тетраэдр. Таким образом, тетраэдр двойственен самому себе. *

Правильный икосаэдр

Вид грани Правильный треугольник

Кол-во граней 20

Кол-во ребер 30

Кол-во вершин 12

Плоский угол 60 о

Кол-во плоских углов при вершине 5

Сумма плоских углов 300 о

Есть ли центр симметрии Да

Кол-во осей симметрии Несколько

Кол-во плоскостей симметрии Несколько

Формулы

Рисунок

Существование правильного икосаэдра

Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром (icosi – двадцать).

Доказательство

Рассмотрим октаэдр ABCDEG с ребром 1. Выберем точки M, K, N, Q, L и P на его ребрах AE, BE, CE, DE, AB и BC соответственно так, чтобы AM = EK = CN = EQ = BL = BP = x. Выберем x таким, чтобы все отрезки, соединяющие эти точки, были равны между собой.

Очевидно, что для этого достаточно выполнения равенства KM = KQ. Однако, поскольку KEQ – равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами KE и EQ, то. Запишем теорему косинусов для треугольника MEK, в котором :

Отсюда. Второй корень, который больше 1, не подходит. Выбрав x таким образом, построим искомый многогранник. Выберем еще шесть точек, симметричных точкам K, L, P, N, Q и M относительно центра тетраэдра, и обозначим их K1, L1, P1, N1, Q1 и M1 соответственно. Полученный многогранник с вершинами K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 и M1 и есть искомый. У него все грани – правильные треугольники, из каждой вершины выходит пять ребер. Докажем теперь, что все его двугранные углы равны между собой.

Для этого заметим, что все вершины построенного двадцатигранника равноудалены от точки O – центра октаэдра, то есть, расположены на поверхности сферы с центром O. Далее поступим так же, как и при доказательстве существования правильного октаэдра. Соединим все вершины двадцатигранника с точкой O. Совершенно аналогично докажем равенство треугольных пирамид, основания которых – грани построенного многогранника, и убедимся, что все двугранные углы двадцатигранника вдвое больше углов при основании этих равных треугольных пирамид. Следовательно, все двугранные углы равны, а значит, полученный многогранник – правильный. Он и называется икосаэдром.

Правильный додекаэдр

Вид грани Пентагон (правильный пятиугольник)

Кол-во граней 12

Кол-во ребер 30

Кол-во вершин 20

Плоский угол 108 о

Кол-во плоских углов при вершине 3

Сумма плоских углов 324 о

Есть ли центр симметрии да

Кол-во осей симметрии Несколько

Кол-во плоскостей симметрии Несколько

Формулы

Рисунок

Существование правильного додекаэдра

Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром (dodeka – двенадцать).

Доказательство.

Как видно, количество граней и вершин многогранника, существование которого мы сейчас стараемся доказать, равно числу вершин и граней икосаэдра. Таким образом, если мы докажем существование многогранника, о котором идет речь в этой теореме, то он непременно окажется двойственным к икосаэдру. На примере куба и октаэдра мы видели, что двойственные фигуры обладают тем свойством, что вершины одной из них лежат в центрах граней другой. Это наводит на идею доказательства данной теоремы.

Возьмем икосаэдр и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Очевидно, что центры пяти граней икосаэдра, имеющих общую вершину, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного пятиугольника (в этом можно убедиться способом, аналогичным тому, что мы применяли при доказательстве леммы). Итак, каждой вершине икосаэдра соответствует грань нового многогранника, грани которого – правильные пятиугольники, а все двугранные углы равны. Это следует из того, что любые три ребра, выходящие из одной вершины нового многогранника, можно рассматривать, как боковые ребра правильной треугольной пирамиды, и все получающиеся при этом пирамиды равны (у них равны боковые ребра и плоские углы между ними, которые суть углы правильного пятиугольника). Из всего вышесказанного следует, что полученный многогранник является правильным и имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин. Такой многогранник и называется додекаэдром.

Итак, в трехмерном пространстве существует только пять видов правильных многогранников. Мы определили их вид и установили, что все многогранники имеют двойственные к ним. Куб двойственен к октаэдру и наоборот. Икосаэдр – к додекаэдру и наоборот. Тетраэдр двойственен сам себе.

Формула Эйлера для правильных  многогранников

Итак, было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. А как определить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие сведения для икосаэдра? Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу В+Г-Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы определить число ребер, вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число к=2у - ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней, сходящихся в одной вершине. Для нахождения количества граней, вершин и ребер правильного многогранника используем формулы. После этого нетрудно заполнить таблицу, в которой приведены сведения об элементах правильных многогранников:

Название Вершины (В) Ребра (Р) Грани (Г) Формула

Тетраэдр 4 6 4 4-6+4=2

Гексаэдр (Куб) 8 12 6 8-12+6=2

Октаэдр 6 12 8 6-12+8=2

Икосаэдр 12 30 20 12-30+20=2

Додекаэдр 20 30 12 20-30+12=2

Глава II: Правильные многогранники в жизни

Космос и Земля

Существует множество гипотез и теорий, связанных с многогранниками, о строении Вселенной, в том числе и нашей планеты. Ниже приведены некоторые из них.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой.

Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Проиллюстрируем эту мысль следующей задачей.

Задача. Модель молекулы метана CH4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре - атом углерода. Определить угол связи между двумя СН связями.

Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра. Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Искомый угол j между двумя СН связями равен углу АОС. Треугольник АОС - равнобедренный. Отсюда , где а - сторона куба, d- длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, , откуда =54,73561О и j= 109,47О

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Платон писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи». Эта гипотеза Платона нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Есть другая гипотеза. Ее смысл в том, что Земля имеет форму икосаэдра. На земном шаре взяты две параллели – 30о северной и южной широты. Расстояние от каждой из них до полюса своего полушария – 60о, между ними тоже 60о. На северной из этих параллелей отмечены точки через 1/5 полного круга, или 72о : на пересечении с меридианами 32о, 104о и 176о в. д. и 40о и 112о з. д. На южной параллели точки отмечены не пересечениях с меридианами, проходящими точно посредине между назваными: 68о и 140о в. д. и 4о, 76о и 148о з. д. Пять точек на параллели 30о с. ш. , пять – на параллели 30о ю. ш. и два полюса Земли и составят 12 вершин многогранника.

Российский геолог С. Кислицин также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. В последние годы гипотеза о икосаэдро-додекаэдрической форме Земли была подвергнута проверке. Для этого ученые совместили ось додекаэдра с осью глобуса и, вращая вокруг нее этот многогранник, обратили внимание на то, что его ребра совпадают с гигантскими нарушениями земной коры (например, с Срединно-Атлантическим подводным хребтом). Взяв затем икосаэдр в качестве многогранника, они установили, что его ребра совпадают с более мелкими членениями земной коры (хребты, разломы и т. д. ). Эти наблюдения подтверждают гипотезу о близости тектонического строения земной коры с формами додекаэдра и икосаэдра.

Узлы гипотетического гео-кристалла являются как бы центрами определенных аномалий на планете: в них расположены все мировые центры экстремального атмосферного давления, районы зарождения ураганов; в одном из узлов икосаэдра (в Габоне) обнаружен «природный атомный реактор», еще работавший 1,7 млрд. лет назад. Ко многим узлам многогранников приурочены гигантские месторождения полезных ископаемых (например, Тюменское месторождение нефти), аномалии животного мира (оз. Байкал), центры развития культур человечества (Древний Египет, протоиндийская цивилизация Мохенджо-Даро, Северная Монгольская и т. п. ).

Существует еще одно предположение. Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

И еще один вопрос возникает в связи с правильными многогранниками: можно ли ими заполнить пространство так, чтобы между ними не было просветов? Он возникает по аналогии с правильными многоугольниками, некоторыми из которых можно заполнить плоскость. Оказывается, заполнить пространство можно только с помощью одного правильного многогранника-куба. Пространство можно заполнить и ромбическими додекаэдрами. Чтобы это понять, надо решить задачу.

Задача. С помощью семи кубов, образующих пространственный "крест", постройте ромбододекаэдр и покажите, что ими можно заполнить пространство.

Решение. Кубами можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки. Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы разобьются на шесть равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр. Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра.

Решая эту задачу, мы пришли к ромбическим додекаэдрам. Интересно, что пчелиные ячейки, которые также заполняют пространство без просветов, также являются в идеале геометрическими фигурами. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.

В 1525 году Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Правильные многогранники и золотая пропорция

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи, например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445 - 1514) «О божественной пропорции».

В 1509 году в Венеции Лука Пачоли издал книгу « О божественной пропорции». Пачоли нашел в пяти Платоновых телах - правильных многоугольниках (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) тринадцать проявлений «божественной пропорции». В главе «О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» он рассматривает правильный икосаэдр. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, образуя правильный пятиугольник. Если соединить между собой любые два противоположных ребра икосаэдр, получится прямоугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большей.

Таким образом, золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые по представлениям ученых древности, лежат в основе мирозданья.

Геометрия тел Платона в картинах великих художников

Знаменитый художник эпохи Возрождения, также увлекавшиеся геометрией, был А. Дюрер. В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане был изображен додекаэдр.

Рассмотрим изображение картины художника Сальвадора Дали «Тайная Вечерия». На переднем плане картины изображен Христос со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Кристаллы - природные многогранники

Многие формы многогранников придумал не сам человек, а их создала природа в виде кристаллов.

Часто люди, рассматривая чудесные, переливающиеся многогранники кристаллов, не могут поверить, что их создала природа, а не человек. Именно поэтому родилось так много удивительных народных сказаний о кристаллах.

Сохранились интересные письменные материалы, например, так называемый «папирус Эберса», который содержит описание методов лечения камнями с особыми ритуалами и заклинаниями, где драгоценным камням приписываются таинственные силы.

Считалось, что кристалл граната приносит счастье. Он имеет форму ромбододекаэдра (иногда его называют ромбоидальный или ромбический додекаэдр) -двенадцатигранника, гранями -которого являются двенадцать равных ромбов.

Для граната настолько типичны двенадцатигранные кристаллы, что формы такого многогранника получила даже название гранатоэдра.

Гранат - один из основных породообразующих минералов. Встречаются огромные скалы, которые сложены гранатовыми породами, называемыми скарнами. Однако драгоценные, красивоокрашенные и прозрачные камни встречаются далеко не часто. Несмотря на это, как раз именно гранат - кроваво-красный пироп - археологи считают самым древним украшением, так как он был обнаружен в Европе в древнем неолите на территории современных Чехии и Словакии, где он и в настоящее время пользуется особой популярностью.

О том, что гранат, т. е. многогранник-ромбододекаэдр, был известен с глубокой древности, можно судить по истории происхождения его названия, которое в переводе с древнегреческого языка означало «красная краска». При этом название связывалось с красным цветом - наиболее часто встречающейся окраской гранатов.

Гранат высоко ценится знатоками драгоценных камней. Он применяется для изготовления первоклассных ювелирных изделий, гранат имеет свойство сообщать дар предвидения носящим его женщинам и отгоняет от них тяжелые мысли, мужчин же охраняет от насильственной смерти.

Гранаты подчеркивают необычность ситуации, неординарность поступков людей, подчеркивают чистоту и возвышенность их чувств.

Это камень-талисман для людей, родившихся в ЯНВАРЕ.

Рассмотрим камни, форма которых хорошо изучена и представляет собой правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Пирит получил свое название от греческого слова «пирос» -огонь. Удар по нему рождает искру, в древности кусочки пирита служили кресалом. Зеркальный блеск на гранях отличает пирит от других сульфидов. Еще ярче блестит полированный пирит. Зеркала из полированного пирита археологи находили в могилах инков. Поэтому у пирита есть и такое редкое имя - камень инков. Во времена эпидемий золотой лихорадки пиритовые блесточки в кварцевой жиле, в мокром песке на промывальном лотке вскружили не одну горячую голову. Еще и теперь начинающие камнелюбы принимают пирит за золото.

Но давайте вглядимся в него, прислушаемся к пословице: «Не все то золото, что блестит!» цвет пирита латунно-желтый. Грани кристаллов пирита отливают сильным металлическим блеском,. ? вот в изломе блеск более тусклый.

Твердость у пирита 6-6,5, он легко царапает стекло. Это самый твердый минерал в классе сульфидов.

И все же самое характерное в облике пирита - форма кристаллов. Чаще всего это куб. От самых маленьких" кубиков, гнездящихся по трещинам, до кубов с высотой ребра 5 см, 15 см и даже 30 см! но не только кубами бывают огранены кристаллы пирита, в арсенале этого минерала имеются уже известные нам по магнетиту октаэдры. Для пирита они довольно редки. Но зато пирит позволяет воочию полюбоваться формой с таким названием - пентагондодекаэдр. «Пента» - это пять, все грани у такой формы пятисторонние, а «додека» - дюжина - всего их двенадцать. Эта форма для пирита столь типична, что в старину даже получила название «пиритоэдр». Могут возникнуть и экземпляры, сочетающие грани разных форм: куба и пентагондодекаэдра.

КАССЕТИРИТ

Касситерит - это блестящий хрупкий коричневый минерал, является основной рудой олова. Форма очень запоминающая — четырехгранные высокие, острые пирамидки сверху и снизу, а в середине - короткий столбик, тоже граненный. Совсем другие по облику кристаллы касситерита вырастают в кварцевых жилах. На Чукотском полуострове есть месторождение Иультин, где издавна славятся жилы с отличными кристаллами касситерита.

ГАЛЕНИТ

Галенит выглядит как металл и не заметить его в руде просто не возможно. Его сразу же выдают сильный металлический блеск и тяжесть. Галенит - это почти всегда серебристые кубики (или параллелепипеды). И это все не обязательно целые кристаллы. У галенита спайность совершенная по кубу. Это значит, что разбивается он не на бесформенные осколки, а на аккуратные серебристые блестящие кубики. Его природные кристаллы имеют форму октаэдра или кубооктаэдра. Отличает галенит и такое свойство: этот минерал мягкий и химически не очень стойкий.

ЦИРКОНИЙ

«Циркон» - от персидских слов «цар» и «гун» - золотой цвет.

Открыт цирконий в 1789/0ду в драгоценном цейлонском цирконе. Первооткрыватель этого элемента - М. Клапорт. Великолепные прозрачные и ярко сверкающие цирконы славились еще в древности. Весьма ценился этот камень в Азии.

Немало пришлось потрудиться химикам и металлургам, прежде чем в атомных реакторах появились циркониевые оболочки стержней и другие конструкционные детали.

Итак, циркон - эффективный драгоценный камень -оранжевый, соломенно-желтый, изголуба-синий, зеленый - блестит и играет как алмаз.

Цирконы часто представлены небольшими правильными кристаллами характерной изящной формы. Мотив их кристаллической решетки, а соответственно и форма кристаллов подчинены четвертой оси симметрии. Кристаллики циркона относятся к тетрагональной сингонии. В сечении у них - квадрат. А сам кристалл состоит из тетрагональной призмы (иногда по ребрам она притуплена второй такой же призмой) и тетрагональной же бипирамиды, завершающей призму с обоих концов.

Еще более эффектны кристаллы с двумя дипирамидами по концам: одна на вершинках, а другая только притупляет грани между призмой и верхней пирамидкой.

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, т. е. имеют форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды.

Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра.

Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепипеда.

Интересно

. Из куба путем преобразований могут быть получены все остальные правильные многогранники.

В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы.

И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

Считалось, что правильные многогранники приносят удачу. Поэтому существовали кости не только в форме куба, но всех остальных форм. Например, кость в форме додекаэдра называлась d12.

Немецкий математик Август Фердинанд Мебиус в своей работе «Об объеме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Если склеить концы полоски бумаги, предварительно повернув один из них на 180 градусов, то получим лист или лента Мебиуса. Попробуйте покрасить перекрученную ленту в 2 цвета – одним с внешней стороны, другим – с внутренней. У вас ничего не получится! Но зато муравью, ползающему по листу Мебиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону.

«Правильных выпуклых многогранников вызывающе мало, - заметил однажды Льюис Кэрролл, - Но и этот весьма скромный по численности отряд, великолепная пятерка, сумел глубоко пробиться в самые глубины наук. »

Все эти примеры подтверждают удивительную прозорливость интуиции Платона.

Заключение

В представленной работе рассмотрены:

- определение выпуклых многогранников;

- основные свойства выпуклых многогранников, в том числе и теорема Эйлера, связывающая число вершин, ребер и граней данного многогранника;

- определение правильного многогранника, доказано существование только пяти правильных многогранников;

- подробно рассмотрены соотношения между характерными углами правильной n-угольной пирамиды, являющейся составной частью правильного многогранника;

- подробно рассмотрены некоторые характеристики правильного тетраэдра, такие как объем, площадь поверхности и тому подобное.

Приложения содержат доказательства основных свойств выпуклых многогранников и других теорем, содержащихся в данной работе. Приведенные теоремы и соотношения могут быть полезны при решении многих задач по стереометрии. Работа может быть использована при изучении отдельных тем стереометрии в качестве справочного и иллюстративного материала.

Многогранники окружают нас повсюду: детские кубики, мебель, архитектурные сооружения и т. п. В повседневной жизни мы почти перестала их замечать, а ведь это очень интересно, знать историю привычных для всех предметов, тем более, если она так увлекательна.