Понятие симметрии. Виды симметрии

Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Ответом на данные вопросы является то, что красота и гармония тесно связаны с симметрией. Даже в «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».

С симметрией мы встречаемся повсюду. Она пронизывает буквально все вокруг, захватывая совершенно неожиданные области и объекты нашей жизни.

На протяжении тысячелетий человечество накопило многочисленные данные о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны строгая упорядоченность, гармония, с другой – их нарушение. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизвели эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии. Сказанное позволяет сделать вывод об актуальности данного явления.

Истоки понятия симметрии уходят к древним. Наиболее важным открытием было осознание сходства и различия правого и левого. Природными образцами для них служило собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб. Также примером проявления симметрии могут служить великолепные памятники архитектуры глубокой древности (храмы Древнего Вавилона, пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре), где пространственные закономерности проявляются особенно ярко.

Таким образом, названным условиям отвечает проблема симметрии в окружающем мире, что обусловило выбор темы исследования: «Этот удивительный симметричный мир». Целью данной работы является рассмотрение вопроса симметрии в различных областях нашей жизни.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Раскрыть понятие симметрии и рассмотреть ее виды;

2. Рассмотреть явление симметрии в живой и неживой природе.

3. Раскрыть сущность золотого сечения и рассмотреть его связь с симметрией.

Глава 1. Понятие симметрии. Виды симметрии.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытается постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль.

Слово симметрия происходит от греческого symmetria, которое означает «соразмерность». Греческий скульптор Поликлет, очевидно, был первым, кто использовал термин симметрия еще в V в. до н. э. Во времена Пифагора (V в. до н. э. ) и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. В то же время они могли подвергнуть его серьезному анализу и получить результаты универсального назначения. Можно выделить важный момент в их учении. Диалектичность и современность: «мир – множество, и состоит из противоположностей», «то, что приводит противоположности к единству, и создает все в космосе», есть симметрия; симметрия и заключается в числовых отношениях (математических).

Но математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX в. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Г. Вейля (1855 – 1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как – то изменять, получая в результате то же, с чего начали .

Современное представление симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким – то преобразованиям, выполняемым над ними. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360°: 5), займет свое первоначальное положение.

Раскрыв понятие симметрии, необходимо рассмотреть ее виды. Выделяют несколько классификаций, но рассмотрим следующие:

➢ В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О — середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф .

➢ В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360°/n. Например, куб имеет прямую AB осью симметрии третьего порядка, а прямую CD — осью симметрии четвёртого порядка ; вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую симметрию. Прямая AB, называется зеркально-поворотной осью симметрии порядка 2k, является осью симметрии порядка k . Зеркально-осевая симметрии порядка 2 равносильна центральной симметрии.

➢ В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей симметрии (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток.

➢ Симметрия подобия представляет собой своеобразные аналог предыдущих симметрий с той лишь разницей, что связана с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки .

➢ Винтовая (спиральная) симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота, т. е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта .

➢ Поворотная симметрия, которая проявляется в простейшей форме в том случае, когда поверхностью полной цилиндрической симметрии является плоскость, перпендикулярная оси. Прекрасные примеры такой поворотной плоской симметрии дают окна готических соборов в форме роз с красочными витражами .

Существует много других видов симметрий, имеющих абстрактный характер. Например,

➢ Перестановочная симметрия, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит.

➢ Калибровочные симметрии связаны с изменением масштаба.

Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии.

Например, поворотной и зеркальной симметрией обладают некоторые буквы: Ж, Н, Ф, О, Х.

Глава 2. Симметрия в окружающем мире.

2. 1. Симметрия в мире живых организмов.

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863 – 1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений».

Симметрия у живых организмов (поворотная симметрия) служит не только для красоты; она, прежде всего, связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью. Одним из наиболее ярких примеров данного явления может служить морская звезда с поворотной симметрией пятого порядка . Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе.

Симметрию пятого порядка называют симметрией жизни, так как это механизм против окаменения и сохранения живой индивидуальности.

Еще один тип симметрии, который встречается в животном мире – винтовая (спиральная) симметрия. Встречаются левые и правые винты. Примерами природных винтов являются: бивень нарвала (небольшого китообразного, обитающего в северных морях) – левый винт ; раковина улитки – правый винт ; рога памирского барана – энантиоморфы, т. е. когда один рог закручен по левой, а другой по правой спирали .

Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко, зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты – ДНК . Подлинным царством природных винтов является мир «живых молекул» - молекул, играющих принципиально важную роль в жизненных процессах. К таким молекулам относятся, прежде всего, молекулы белков. Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты – ДНК, являющейся носителем наследственной информации в живом организме. Молекула ДНК имеет структуру двойной правой спирали, открытой американскими учёными Уотсоном и Криком. Двойная спираль молекулы ДНК есть главный природный винт.

В мире живых организмов можно наблюдать достаточно большое количество различных видов симметрии. Например, у кольчатых червей наблюдается ещё и метамерия – одна из форм поступательной симметрии, когда части тела располагаются последовательно друг за другом вдоль главной оси тела .

Кольчатые черви обязаны своим названием тому, что их тело состоит из ряда колец или сегментов. Сегментированы как внутренние органы, так и стенки тела. Так что животное состоит примерно из сотни более или менее сходных единиц – метамеров, каждая из которых содержит по одному или по паре органов каждой системы. Сегменты отделены друг от друга поперечными перегородками. У дождевого червя почти все они сходны между собой.

Для животных, способных передвигаться в воде, воздухе или по воде, кроме направления силы тяжести, важным оказывается и направление движения животного. Такие животные могут обладать только плоскостью симметрии, которая определяется векторами силы тяжести и направления движения. Биологи эту плоскость симметрии называют билатеральной, а тип симметрии – зеркальным.

Зеркальная симметрия хорошо видна у бабочки - симметрия левого и правого проявляется здесь с почти математической строгостью .

2. 2. Симметрия в мире растений.

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, но и позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии.

Для листьев характерна зеркальная симметрия

Если прочертить вертикальную прямую вдоль центральной прожилки листа и поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит ее до целой (такой же, как исходная фигура).

Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией.

Этот цветок совместится сам с собой только при повороте на 360°. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка. Цветки ириса обладают поворотной симметрией третьего порядка

Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины) .

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии.

У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72°. Листья на стебле располагаются по спирали так, не мешая друг другу воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага.

Для каждого, кто смотрит на изображение шляпки подсолнечника, отдельные семена располагаются по логарифмическим спиралям, образующим два семейства спиралей с противоположным направлением закручивания.

Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия пятого порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы.

Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось пятого порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.

Примером этому могут служить соты – настоящий конструкторский шедевр. Они состоят из ряда шестигранных ячеек .

2. 3. Симметрия в неживой природе.

Явление симметрии присуще не только живой природе.

Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов

Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способности атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово атом значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твердыми, как ядра. Как ни примитивен такой взгляд с нашей нынешней точки зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки, такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.

В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811—1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц — атомов и молекул.

Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой.

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к Другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а только 60 или 120°.

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с одинаковыми или разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два варианта: равный 90° и не равный 90°. Только один угол во всей его системе в порядке исключения имеет 120°. В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90°, ни в 120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся .

Чисто умозрительное учение о строении кристаллов принесло большую пользу потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов. Симметрия кристаллов - свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает также и симметрию физических свойств кристалла. В наиболее общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях, описывающих их переменных. Кристаллы – объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов - теория симметричных преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того, и что внутренняя атомная структура кристаллов дискретная, трехмерно периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое. Такие преобразования называются ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находившимися в другом месте. Примером этому могут служить преобразования с кристаллом кварца

Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные). Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла, при анализе процессов дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства. Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии.

Глава 3. Симметрия и золотое сечение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам.

Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А. С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Одним из них как раз и является феномен золотого сечения, который известен человечеству очень давно.

Его тайну пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса.

Золотое сечение (золотая пропорция) - это закон пропорциональной связи целого и составляющих его частей.

Классический пример золотого сечения – задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, когда целое так относится к большей своей части, как большая часть к меньшей:

Пропорция примет вид. (Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).

Решение данной пропорции сводится к решению квадратного уравнения

Расматриваем положительный корень x2.

Находим значение :

Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62. Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой φ. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н. э. , который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.

Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского , которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос . Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах .

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно φ. Отношения целого ряда частей Парфенона дают число φ. Говорят « у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции ».

Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Монах Лука Пачоли написал целую книгу «Божественная пропорция». Леонардо да Винчи, знающий о воздействии золотой пропорции на человека, выполнил к этой книге иллюстрации.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях, так как пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии и красоты.

Человек – венец творения природы Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела.

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, это точка В, делит высоту головы вместе с шеей, т. е. отрезок АС, в золотом отношении.

Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС, т. е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т. е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC.

Пропорции человеческого тела в золотом отношении можно проследить на знаменитой скульптуре Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Размеры отдельных частей тела (за единицу измерения выбрана голова) находятся в отношении 1 : 2 : 3 : 5 : 8 и составляют ряд Фибоначчи.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги.

Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий (leuta - пять, gramma - черта, линия). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах.

Одной из самых известных среди них была школа Пифагора (580-500 гг. до н. э. ), а отличительным знаком ее членов была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и оставшись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви: 5 = 2 + 3; 2 – первое женское число,

3 – первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций!

Из подобия треугольников ACD и ABE можно вывести известную пропорцию

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и золотые отношения будут сохраняться .

Рисунок Леонардо да Винчи из анатомических рукописей , связавший совершенные геометрические фигуры с пропорциями человека, стал своеобразным символом синтеза математики и искусства.

С законом золотого сечения сталкиваемся повсюду. Но более удивительным оказывается его действие в поэзии и музыке. Благодаря действия золотого сечения произведения Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена и других известных авторов стали популярными во всем мире. Помимо установления факта наличия золотого сечения в музыке и его огромного эстетического значения математический анализ музыки позволяет охарактеризовать особенности творчества самих композиторов.

Так, например, закон золотого деления у Баха проявляется с поразительной точностью в соотношении крупных и мелких частей как в строгих, так и в свободных формах, что соответствует характеру гениального мастера.

У Бетховена проявление золотого сечения глубоко логично по отношению к размерам частей формы, но главным образом указывает на силу темперамента этого автора по точности совпадения всех моментов высшего напряжения чувств и разрешения подготовительного ожидания с момента золотых сечений.

По силе темперамента Шопен сходен с Бетховеном, но проявление это более внешне и касается чаще изящной наглядности изложения мысли.

У Моцарта закон золотого сечения направлен к подчеркиванию драматических элементов.

В поэзии в соответствии с золотым сечением произведения делятся на части, прослеживается определенная рифма, идет построение системы знаков препинания, темпа, эмоциональной окраски произведения и различные проявления симметрии.

Заключение.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходима нашему зрительному восприятию, чтобы мы могли считать этот объект красивым.

Баланс и пропорция частей относительно целого обязательны для симметрии. Смотреть на симметричное изображение приятнее, нежели на асимметричное.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, порядка, царящего в природе. Восприятие же закономерного всегда доставляет нам удовольствие, сообщает некоторую уверенность и даже бодрость.

В ходе данной работы, убедились, что большинство объектов природы, как живой, так и неживой, симметричны. Таким образом, мы встречаемся с симметрией везде: в природе, технике, науке и искусстве.

Симметрия в нашей жизни играет огромную роль. Как стало известно, симметрию пятого порядка называют симметрией жизни, так как это механизм против окаменения и сохранения живой индивидуальности.

В работе было раскрыто понятие симметрии, золотого сечения. Рассмотрено их проявление в природе, науке и искусстве.

Таким образом, была достигнута поставленная цель - рассмотрение вопроса симметрии в различных областях нашей жизни.