Основные признаки делимости

Основатель метода, позволяющего получить признак делимости на любое число, Блез Паскаль (1623-1662), родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623 года. Он был французским религиозным мыслителем, математиком и физиком, одним из величайших умов 17 столетия.

Признак Паскаля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число.

Пусть есть натуральное число , записываемое в десятичной системе исчисления как , где — единицы, — десятки и т.  д.

Пусть — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

— остаток от деления на

— остаток от деления на

— остаток от деления на

— остаток от деления на.

Формально:

Так как остатков конечное число (а именно ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через шагов) и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности. Для единообразия можно принять, что.

Тогда имеет тот же остаток от деления, на , что и число

Основные частные случаи выведения признаков делимости для разных чисел:

Признак делимости на 2

Здесь. Так как , то. Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра чётна.

Признаки делимости на 3 и 9

Здесь или. Так как (остаток от деления 10 как на 3, так и на 9 равен 1), то все. Значит, остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления его суммы цифр на 3 (соответственно, 9), или иначе: число делится на 3 (или 9), если его сумма цифр делится на 3 (или 9).

Признак делимости на 4

Здесь. Находим последовательность остатков:. Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5

Здесь. Так как , то. Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 7

Здесь. Находим остатки.

6. , цикл замкнулся.

Следовательно, для любого числа его остаток от деления на 7 равен

Пример:

Рассмотрим число 48916. По доказанному выше,

, а значит, 48916 делится на 7.

Признак делимости на 11

Здесь. Так как , то все , а. Отсюда можно получить простой признак делимости на 11: остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления его суммы цифр, где каждая нечётная (начиная с единиц) цифра взята со знаком «—», на 11. Проще говоря: если разбить все цифры числа на 2 группы — через одну цифру (в одну группу попадут все цифры с нечётными позициями, в другую — с чётными), сложить все цифры в каждой группе и вычесть две полученные суммы друг из друга, то остаток от деления на 11 результата будет такой же, что и у первоначального числа.

2. Признаки делимости

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. Правило, основанное на действиях с цифрами из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

2. 1. Основные признаки делимости.

В математике существует пять основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 5, 9 и на 10.

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если число оканчивается чётной цифрой или нулём.

Например: Число 248 будет делиться на 2, так как в конце этого числа стоит чётная цифра 8.

Число не разделится на 2, если число оканчивается на нечётную цифру.

Например: Число 235 не разделится на 2, так как на конце этого числа стоит нечётная цифра.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Например: Число 342 (3 + 4 + 2 = 9) будет делиться на 3, так как сумма его цифр равна 9, а число 9 делится на 3.

Число не делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3.

Например: Число 526 (5 + 2 + 6 = 13) не разделится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 13, а 13 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Например: Число 675 будет делиться на 5, так как на конце этого числа стоит цифра 5.

Число не делится на 5, если на конце не стоит ни 0, ни 5.

Например: Число 456 не разделится на 5, так как на конце этого числа не стоит ни 5, ни 0.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Например: Число 963 (9 + 6 + 3 = 18) будет делиться на 9, так как сумма цифр этого числа равна 18, а число 18 делится на 9.

Число не разделится на 9, если сумма цифр числа не делится на 9.

Например: Число 735 (7 + 3 + 5 = 15) не разделится на 9, так как сумма цифр этого числа равна 15, а число 15 не делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10, если последняя цифра числа нуль.

Например: Число 840 будет делиться па 10, так как это число оканчивается на нуль.

Число не делится на 10, если последняя цифра числа не является нулём.

Например: Число 123 не делится на 10, так как это число не оканчивается на нуль.

Эти признаки делимости проходят по школьной программе. В следующей главе я рассмотрю дополнительные признаки делимости.

2. 2. Дополнительные признаки делимости

В своей работе я поставила себе задачу ознакомиться с дополнительными признаками делимости. Здесь я перечислю те признаки делимости, которые я узнала дополнительно.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две последние цифры числа нули или образуют число, которое делится на 4.

Например: Число 328 будет делиться 4, так как две последние цифры этого числа образуют число 28, которое разделится на 4.

Число не разделится на 4, если две последние цифры этого числа не образуют число, которое делится на 4 или на конце его не стоит два нуля.

Например: Число 567 не разделится на 4, так как две последние цифры этого числа – 67, они образуют число, которое не разделится на 4.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится и на 2 и на 3.

Например: Число 642 (6 + 4 + 2 = 12) будет делиться на 6, так как сумма цифр этого числа делится на 3, и оно оканчивается на чётную цифру.

Число не делится на 6, если оно не делится ни на 2, ни на 3(только на 2, только на 3).

Например: Число 749 (7 + 4 + 9 = 20) не разделится на 6, так как сумма цифр этого числа равна 20, а 20 не делится на 3, и так как это число оканчивается на нечётную цифру (следовательно, не делится на 2).

Признак делимости на 7

Число делится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

Например: Число 707 будет делиться на 7, так как число десятков этого числа равно 70, а удвоенное число единиц 14. В разности этих чисел (70 – 14 = 56) получается число, которое делится на 7.

Число не разделится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц не будет делиться на 7.

Например: Число 892 не разделится на 7, так как число десятков этого числа 89, а удвоенное число единиц равно 4. В разности этих чисел (89 – 4 = 85) получается число, которое не разделится на 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8.

Например: Число 1848 будет делиться на 8, так как три последние цифры данного числа образуют число – 848, которое разделятся на 8.

Число не разделится на 8, если три последние цифры этого числа не образуют число, которое делится на 8 или на конце его не стоит три нуля.

Например: Число 2679 не разделится на 4, так как три последние цифры этого числа - 679, а 679 не делится на 8.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр стоящих на чётных местах, делится на 11.

Например: Число 1925 будет делиться на 11, так как разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр стоящих на чётных местах (9 + 5) – (1 + 2) = =11), 11 делится на 11.

Число не разделится 11, если разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр числа стоящих на чётных местах, не разделится на 11.

Например: Число 6817 не разделится на 11, так как разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр стоящих на чётных местах (8 + 7) – (6+1) = 8, 8 не разделится на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12, если число делится и на 4 и на 3.

Например: Число 2028 (2 + 0 + 2 + 8) делится на 12, так как сумма цифр этого числа делится на 3, и две последние цифры этого числа - 28, 28 делится на 4.

Число не разделится на 12, если число не делится ни на 4, ни на 3 (только на 3, только на 4).

Например: Число 5897 (5 + 8 + 9 + 7 = 29) не разделится на 12, так как сумма цифр этого числа не делится на 3, а две последние цифры этого числа - 97, 97 не делится на 4.

Признак делимости на 13

Число делится на 13, если число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, делится на 13.

Например: Число 845 (84 + (4 × 5) = 104) будет делиться на 13, так как число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, делится на 13.

Число не разделится на 13, если число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, не делится на 13.

Например: Число 678 (67 + (8 × 4) = 99)не разделится на 13, так как число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, не делится на 13.

Признак делимости на 14

Число делится на 14, если число делится и на 2 и на 7.

Например: Число 784 будет делиться на 14, так как разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц (78 – (4×2) = 70) делится на 7, и на конце этого числа стоит чётная цифра.

Число не разделится на 14, если число не делится ни на 2, ни на 7 (только на 2, только на 7).

Например: Число 563 не разделится на 14, так как разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц (56 – (3×2) = 50)не делится на 7, и на конце этого числа стоит нечётная цифра.

Признак делимости на 15

Число делится на 15, если число делится и на 3 и на 5.

Например: Число 315 (3 + 1 + 5 = 9) будет делиться на 15, так как сумма цифр этого числа делится на 3, и оно оканчивается цифрой 5.

Число не разделится на 15, если число не делится ни на 3, ни на 5 (только на 3, только на 5).

Например: Число 677 (6 + 7 + 7 = 20) не разделится на 15, так как сумма цифр этого числа не делится на 3, и это число не оканчивается ни цифрой 5, ни цифрой 0.

Признак делимости на 19

Число делится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например: Число 646 (64 + (6×2) = 76) будет делиться на 19, так как число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Число не разделится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, не делится на 19.

Например: Число 789 (78 + (9×2) = 96) не разделится на 19, так как число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, не делится на 19.

Признак делимости на 23

Число делится на 23, если число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, делится на 23. Например: Число 28842 будет делиться на 23, так как число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков (288 + (3×42) = 414 продолжаем 4 + (3×14) = 46) делится на 23.

Число не разделится на 23, если число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, не делится на 23.

Например: Число 34567 не разделится на 23, так как число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков (345 + (3×67) = 546 продолжаем 5 + (3×46) = 143) не делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 25.

Например: Число 675 будет делиться на 25, так как две последние цифры этого числа - 75, 75 делится на 25.

Число не разделится на 25, если две последние цифры образуют число, которое не делится на 25.

Например: Число 987 не разделится на 25, так как две последние цифры этого числа – 87, 87 не делится на 25.

Признак делимости на 99

Разобьём число на группы по две цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99, если само число делится на 99.

Например: Число 80909037 будет делиться на 99, так как 80 + 90 + 90 + 37 = 297 разделится на 99.

Признак делимости на101

Разобьём число на группы по две цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101, если само число делится на 101.

Например: Число 590547 будет делиться на 101, так как 59 – 05 + 47 = 101 делится на 101.

Также существуют признаки делимости на 2 n, на 5 n, на 10 n , 10 n - 1, 10 n + 1.

3. ПРИМЕНЕНИЕ

3. 1. Разложение на простые множители.

Разложение на простые множители - одна из операций, где используются признаки делимости. Если мы знаем признаки делимости на такие числа как: на 2, на 3, на 7, на 11, на 13 и т. д. , то раскладывать числа на простые множители значительно легче.

Например: Разложение на простые множители числа 600: 600/2. Здесь я использую признаки делимости на 2, на 3 и на 5. 300/2

3. 2. Нахождение НОК и НОД

Признаки делимости также помогают в нахождение Наименьшего Общего Кратного (НОК) и Наибольшего Общего Делителя (НОД).

Я знаю, что один из способов нахождения НОК (также как и НОД) – это разложение чисел на простые множители (об этом в предыдущем пункте), поэтому на НОК я подробно останавливаться не буду.

НОД также можно быстро найти с помощью признаков делимости.

Например: НОД(36;12) = 12. Применяются признаки делимости: на 2, на 3, на 4, на 6, на 9, на 12.

3. 3. Сокращение дробей

Сокращение дробей связано с нахождением НОД (об этом в предыдущем пункте) Следовательно, это понятие также связано с признаками делимости.

Например: Сокращаем дробь 28/35, НОД(28,35) = 7, получается такая запись: 28/35= 4/5.

3. 4. Сравнение дробей

Сравнение дробей также связано с признаками делимости. В сравнении дробей мне помогает НОК.

Например: сравниваем дроби 4/36 и 3/24. Находим НОК знаменателей: НОК(36;24)= 23 ×32 = 72. Получается запись: 8/72 < 9/72.

36/2 36 = 2 2 × 32 24 = 2 3 × 3

3. 5. Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей связано с признаками делимости по тому же принципу, что и сравнение дробей. Поэтому подробно эти операции я рассматривать не буду. (Сейчас я приведу только пример)

Например: складываем дроби 4/36 и 3/24. Для этого необходимо найти НОК знаменателей (НОК(36;24) = 72 (см. «Сравнение дробей»)) Получается запись: 8/72 + 9/72 = 17/72.

3. 6. Решение задач

С помощью признаков делимости можно решать различные математические задачи.

В работе я решила рассмотреть задачи на нахождение НОК и НОД. (см. «Нахождение НОК и НОД).

На нахождение НОД:

Условие: Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок.

Вопрос: В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки, так чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок?

Ответ: 46 подарков, т. к. НОД (184;138) = 46.

На нахождение НОК:

Условие: Мальчик хочет купить несколько пачек мороженого по 8 руб. , но у него только 5-рублёвые монетки, а у продавца нет сдачи.

Вопрос: Какое наименьшее число пачек мороженого он может купить?

Ответ: 5 пачек, т. к. НОК (8;5) = 40.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Признаки делимости - это важное и существенное правило в математике, значительно облегчающее процесс математической оценки и расчетов.

Данная работа помогает понять, как грамотно использовать признаки делимости в математике, как основные, так и дополнительные, при разложении на простые множители, нахождении НОК и НОД, сокращении дробей, сравнении дробей, сложении и вычитании дробей, решении задач.