Какая геометрическая поверхность является односторонней

В современной науке существует много интересных вопросов. Один из них – лента Мёбиуса и её свойства. Читая дополнительную литературу, мы познакомились с работой «Об объеме многогранников» автором которой был Август Фердинанд Мёбиус. Мы нашли большой материал об этом профессоре. Чем же он так знаменит? В своей работе он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством – она имеет только одну сторону! Самое же удивительное то, что эту «ленту» часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

А также у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на пол ветка.

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательств были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

Август Фердинанд Мёбиус (17. 11. 1790-26. 9. 1868), немецкий геометр и астроном, профессор Лейципгского университета. Родился в Шульп-форте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1816 г. начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейпцигского университета. Известны труды по проективной геометрии. В частности, впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон ребер» и которые не имеют объема. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса).

Представление о ленте Мёбиуса.

Лента Мёбиуса - бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели, потому как поверхность ленты Мёбиуса – односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты. Если разрезать ее вдоль, точно посередине — получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца — но! — одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма «затейливое» переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?. Попробуйте сами!

Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А, разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить?

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4. Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: «Просто, как все гениальное». Видимо, верно и обратное утверждение: «Гениально, как все простое».

И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

Как сделать лист Мёбиуса?

1. Отрежь длинную полоску от листа цветной бумаги. Одна сторона полоски бумаги синего цвета, - вторая красная.

2. Кладём полоску на стол. Возьмём карандаш. Прижимая грифелем карандаша бумагу к столу - протянем полоску за один из концов, оставляя на полоске след грифеля карандаша.

Можно просто прочертить вдоль полоски линию карандашом.

Понятие движение - это относительное понятие. Безразлично – движется ли бумага относительно карандаша - или наоборот, карандаш вдоль бумаги.

3. Смотрим, что получилось. После того как мы протянули полоску под карандашом, на ней прочертилась прямая линия. Эта линия конечна, имеет определенную длину, она имеет начало и конец - она дискретна.

4. Перекручиваю один конец полоски бумаги на 180 градусов. Совмещаю с другим концом и склеиваю, так чтобы бумага не имела резких изгибов.

Получилась лента Мёбиуса.

5. Снова начнем протягивать бумажную ленту под грифелем карандаша - заниматься этим можно бесконечно долго. Грифель оставляет след и на красных участках ленты и на синих. Полоска бумаги, преобразованная в ленту, имеет одну поверхность.

Топологические свойства.

Свойства геометрических объектов, которые не меняются при таких преобразованиях, изучает математическая наука — топология.

Односторонность – самое удивительное свойство данной поверхности. Чтобы убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. «Если кто-нибудь вздумает раскрасить «только одну» сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской» - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге "Что такое математика".

Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой и при этом разрывов нет. Поэтому, муравью, ползающему по листу Мёбиуса, не придется переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону. Это можно увидеть на известной гравюре Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II».

Связность – лист Мёбиуса двусвязен, будучи разрезанным вдоль, он превращается не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Чтобы можно было демонстрировать это свойство многократно, удобно соорудить лист Мёбиуса из застежки «молния».

Ориентированность – вообразите, что в листе Мёбиуса заключен целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, как и сам лист, никакой толщины. Если эти создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в исходную точку, то с изумление можно обнаружить, что они превратились в свое собственное зеркальное отражение.

«Хроматический номер» – он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести. На ленте, склеенной как положено, размещается всего четыре цвета, а стоит соединить её концы шиворот-навыворот – как находится место еще для двух цветов.

Свойства и теоремы

Формы бумажной полоски.

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров - склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мёбиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ, ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ - нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ. Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно. Здесь мы докажем для λ неравенства

(при этом наличием склеиваемых участков полоски мы пренебрегаем: предполагается, что края полоски склеиваются встык) и постараемся объяснить, почему не удаётся вычислить λ точнее.

Развёртывающаяся поверхность.

Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл.

Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам, но нельзя сложить вчетверо . Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или даже её кусочек : прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развёртывающимися Конечно, в математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в математическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развертывающихся поверхностей, среди достижений которой - удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонарду Эйлеру). Мы не собираемся излагать общую теорию развертывающихся поверхностей: всякая общая теория скучновата; приведем только некоторые свойства развертывающихся поверхностей, нужные для дальнейшего исследования. Наше наглядное определение не позволяет их доказать, так что придётся рассматривать эти свойства как экспериментальные факты (возьмите лист бумаги и убедитесь в их справедливости).

1. Через каждую точку А развёртывающейся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в А. Иначе говоря, в каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть к отрезкам, не содержащимся в больших отрезках с этим свойством).

Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.

Если точка А, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, а, то окрестность точки А устроена так: через точку А проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, допустим, b. Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая а, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно близко от точки А, имеются не плоские точки. Точку А в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

Примеры. Лист бумаги, свёрнутый в цилиндр или в конус, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У цилиндра образующие составляют семейство параллельных отрезков, у конуса - семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и плоские точки развертывающейся поверхности: тонкие линии - образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причём у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек.

Упражнение 1. Развёртывающаяся поверхность сделана из а) квадратного листа со стороной 1; б) круга диаметра 1. Докажите, что хотя бы одна из её образующих имеет длину не меньше а) 1; б)

Вернёмся к нашему основному сюжету: вычислению λ - нижней грани длин бумажных полосок ширины 1, из которых можно склеить несмятую ленту Мёбиуса.

Теорема 1.

Доказательство.

Пусть лента Мёбиуса сделана из бумажной полоски длины. Намотаем на неё длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мёбиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки.

Картина периодична: всё повторяется с периодом, равным 2. Можно сказать больше: при сдвиге влево или вправо на картинка меняется, но строго определённым образом, а именно: она переворачивается (т. е. зеркально отражается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырёхугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками противоположных краёв ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. (Всё это следует из свойств 1-3 развёртывающихся поверхностей, приведённых в п. 2. ) Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующих . Образующие в одинаковых четырёх угольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохранится.

Возьмём любую образующую из нашего семейства, скажем, [АВ]. Если симметрично отразить её в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на , то получится отрезок CD, который тоже является образующей из нашего семейства . Заметим (это важно), что АС + BD = 2. При наматывании нашей длинной ленты на ленту Мёбиуса образующие [АВ] и [CD] займут одинаковое положение, причём точка А совместится с D, а точка В - с С; другими словами, отрезки АВ и CD составят в пространстве угол в 180°. Между [АВ] и [CD] располагается непрерывное семейство образующих. При движении от [АВ] к [CD] величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с [АВ], непрерывно изменяется от 0° до 180°.

Возьмём любое п и найдём между [АВ] и [CD] такие образующие [A1B1],. , [An-1Bn-1], что величина угла между [АВ] и [AkBk] равна (точки А1,. , An-1 в этом порядке лежат между А и С, а точки B1,. , B n-1 в этом порядке лежат между В и D (рис. 8).

Длина каждой из образующих больше или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше. Покажем, что каждая из сумм AA1 + BB1, A1A2 + B1B2,. , An-1C + Bn-1D не меньше длины а2n стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 11. Это видно из рисунка 1. На этом рисунке отрезки АkЕ и Аk-1 Вk-1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, AkF = АkН = 1 и [FG] [ЕВk] (рис. 9) сделан в предположении, что Ak+1Bk+1 < AkBk; изменения, необходимые в случаях Ak+1Bk+1 = АkВk и Ak+1Bk+1 > АkВk, очевидны). Мы видим, что АkАk+1 + BkBk+1 = ЕВk+1 + ВkВk+1 ЕВk FG FH а2n (здесь АkАk+1, BkBk+1, EBk+1 - длины изображенных на рисунке 11 криволинейных отрезков; эти длины совпадают с длинами отрезков [AkAk+1], [BkBk+1] рисунка 10; предпоследнее неравенство следует из того, что FHG > 90°, а последнее - из того, что FAkH 180°/n).

Итак, 2 = АС + BD = (АА1 + ВВ1) + (А1А2 + В1В2) +. + (An-1C +

+Bn-1D) na2n, т. е. 2 при любом и не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, 2 не меньше половины длины самой этой окружности, то есть , и Теорема доказана.

Теорема 2.

Эта теорема проще предыдущей: для её доказательства достаточно объяснить, как склеить ленту Мёбиуса из полоски, длина которой больше. Предположим сначала, что её длина в точности равна. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника. Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба. Края АВ и CD полоски совместятся, причём точка А совместится с точкой D, а точка В - с точкой С. Получится лента Мёбиуса.

При этом построении было нарушено главное правило - не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше , то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке. Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т. е. когда лист складывается наподобие носового платка - всё это известно нам из повседневного опыта. )

Как выглядит получившаяся лента Мёбиуса, показано на рисунке 10. Её устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, А'В'С, А"В"С" лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны АВ и А'В', В'С и В"С", С"А" и СА соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Упражнение 2. Нарисуйте для ленты Мёбиуса, построенной в доказательстве теоремы 2, схему прямолинейных образующих и плоских точек .

Проблемы.

Почему не удаётся найти λ точнее?

Пока задача не решена, трудно сказать, почему она не решена. Всё же иногда в разных нерешённых задачах удаётся проследить общие трудности, отметить, так сказать, на математической карте труднопроходимые места, что позволяет подчас предсказать успех или неудачу при решении той или иной задачи.

В предыдущем параграфе мы доказали, что λ есть одна из точек отрезка. Какая же? Может быть, на этот счёт можно вы сказать хотя бы правдоподобную гипотезу? Мы думаем, что λ = , и нас не удивляет, что доказать этого не удаётся.

Дело вот в чем. Доказательство теоремы 1 оставляет неиспользованным одно важное свойство нашей ленты Мёбиуса - отсутствие у неё самопересечений. Самопересекающуюся ленту нельзя сделать из бумаги, но представить себе ее можно: подобно самопересекающейся линии на плоскости она «проходит сквозь себя», причём можно разделить ее на части, каждая из которых самопересечений не имеет.

Допустим, что, говоря о бумажных лентах Мёбиуса, мы с самого начала разрешили им иметь самопересечения. Тогда λ приобретает новый смысл - новое значение λ будет меньше прежнего или равно ему. При этом теорема 1 останется верной, и в её доказательстве не придётся менять ни одного слова: отсутствие самопересечений в этом доказательстве нигде не используется. Что же касается теоремы 2, то, если разрешены самопересечения, её можно значительно улучшить.

Теорема 3. Ленту Мёбиуса с самопересечениями молено склеить из полоски любой длины, большей.

Делается это так. Возьмём достаточно большое нечётное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Рассмотрим далее гс, содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника (здесь п = 7). Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места - по нескольку раз. Приложим теперь эти п треугольников друг к другу так, как показано на рисунке 12, после чего отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим её к самому правому треугольнику. Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, большим и стремящимся к при (ширина полоски стремится к 1, а длина - к ). Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведённым на ней линиям, чередуя направления сгиба , то треугольники расположатся, как на рисунке 11 (возьмите ещё раз ножницы и бумагу и проделайте это). Отрезки АВ и CD при этом почти совместятся -между ними окажется только несколько слоев сложенной бумаги. При этом «почти совмещении» точка А совместится с D, а точка В - с С, так что если бы мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склеить АВ с CD, то получилась бы лента Мёбиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали в доказательстве теоремы 2.

Упражнение 3. Нарисуйте для ленты Мёбиуса, диаграмму плоских точек и прямолинейных образующих.

Таким образом, если бы мы захотели (для лент без самопересечений) доказать, что , где , нам пришлось бы в доказательстве обязательно учитывать отсутствие самопересечений. Наличие или отсутствие самопересечений у той или иной фигуры в трёхмерном пространстве - это задача «трёхмерной геометрии расположения». Весь опыт математики показывает, что задачи о расположении в трёхмерном пространстве очень трудны. Ведь эта геометрия включает в себя, скажем, теорию узлов и зацеплений, известную своей неприступностью ( в ней возможны такие феномены, как «рогатая сфера Александера» (простейшие её вопросы, например, можно ли через маленькую дырку вывернуть наизнанку тор, - ставят в тупик нашу интуицию. И вот что удивительно. Казалось бы, в пространствах размерности больше трёх проблемы расположения должны стоять ещё более остро. Но нет: с ростом размерности эти трудности сглаживаются. Впрочем, «сглаживание» начинается с размерности 5; четырёхмерное пространство в известном смысле не проще трёхмерного. К сожалению, здесь мы не можем аргументировать только что сказанное, так что прошу поверить мне на слово.

Но вернёмся к ленте Мёбиуса. Теорема 1, как мы видели, в действительности относится к самопересекающимся лентам. Маловероятно, чтобы условие отсутствия самопересечений не воздействовало на λ; однако учесть это воздействие не удаётся, поскольку математика не обладает достаточными техническими средствами для изучения самопересечений в трёхмерном пространстве. Напротив, вполне вероятно, что теорема 2 неулучшаема. Ведь улучшить её - значит придумать новую конструкцию ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции бывают простыми и гармоничными, каковой и является конструкция из доказательства теоремы 2. Естественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена - за столько лет!

Вот почему можно ожидать, что λ=.

«Вселенная» листа Мёбиуса.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности — чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров - ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мебиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мебиуса».

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Применение.

Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т. д.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычной ременной передачи. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты «с двух сторон», не меняя их местами.

Мёбиус повлиял ещё и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих

Работы ранее упомянутого художника Эшера, Мауриц Корнелис вовлекают зрителя в противопоставление иллюзии и реальности.

1. Лента Мёбиуса I (1961 г. ), древесная гравюра и лубок

2. Лента Мёбиуса II – (1963 г. ), лубок – одна из известных работ – муравьи, ползающие по поверхности ленты Мёбиуса

3. Наездник (1946 г. ), лубок

4. Другая интересная литография называется «Картинная галерея», в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город.

Творчество Эшера раньше других оценили представители естественных наук, математики и психологи.

Экспериментируя с листом Мёбиуса, появились картины, скульптуры, марки, наколки и прочие произведения искусства с его изображением.

Заключение.

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательств были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

В результате нашей работы мы доказали некоторые свойства ленты Мёбиуса более коротким и рациональным путём, чем это было сделано ранее. Они могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.