Деформации твёрдого тела

Физика (в переводе с греческого «фюзис» - природа) - это наука о свойствах и строении материи, о формах её движения, об общих закономерностях явлений природы. Она изучает разнообразные явления природы, со многими из которых мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это, например, электричество, звук, свет. Трудно даже представить, какой была бы наша жизнь, если бы не существовало физики.

Физика очень тесно связана с другой наукой - математикой. Благодаря математике можно рассчитать физические явления. Но это не всегда удаётся сделать точно, так как существуют границы применения физических законов. Примером этому является деформаций упругих тел. Это и есть предмет моего исследования.

Деформации

Деформация - это изменение взаимного расположения и взаимодействия множества частиц материи, которое приводит к изменению формы, размеров тела или его частей. Деформации бывают двух видов: упругие и неупругие. Упругие деформации - это те деформации, когда после снятия нагрузки (то есть после прекращения действия внешних сил) форма тела восстанавливается и деформация исчезает. Неупругие или пластичные деформации - это те деформации, когда после снятия нагрузки, форма тела не восстановилась, то есть тело приобрело остаточную деформацию. Упругая деформация у всех тел с течением времени переходит в пластичную деформацию.

При изменении условий (температуры, нагрузки) упругое тело может перейти в состояние пластичное и наоборот. Например, упругая стальная пружина при высоких температурах становится пластичным телом, а резина при сверхнизких температурах приобретает свойства упругого тела.

Упругие деформации, возникающие в телах, могут быть весьма разнообразны. Тело может растягиваться, сжиматься, изгибаться, перекашиваться, скручиваться. В большинстве случаев наблюдаемая деформация представляет собой несколько деформаций одновременно. В конечном счете, любую деформацию можно свести к двум наиболее простым: растяжению и сжатию.

Растяжение и сжатие

Стальная струна на балалайке, проволока, поддерживающая груз, резиновая нить в рогатке служат примерами тел, подвергнутых одностороннему растяжению. При таком растяжении тела удлиняются и одновременно несколько уменьшаются в поперечных размерах. Вследствие растяжения тела находятся в напряжённом состоянии.

Брёвна, распирающие грунт в глубоких узких канавах или рудниках, колоны, на которых покоится часть здания, ножки стола, поддерживающие столешницу, являются примерами тел, подвергнутых одностороннему сжатию. При одностороннем сжатии тело увеличивается в поперечных направлениях. Причём в месте давления тело деформируется больше, чем по краям. Измеряя растяжение проволок или сжатие стержней из различных материалов под действием данной нагрузки, обнаружим, что деформация тем больше, чем длиннее образец и чем меньше его поперечное сечение.

При рассмотренных односторонних деформациях тела находятся под действием двух равных по модулю, противоположных по направлению сил. Нередко встречаются всесторонние деформации сжатия и растяжения. Они наблюдаются в том случае, если деформированное тело подвергается давлению со всех сторон или растяжению во все стороны. Например, в состоянии всестороннего сжатия находятся тела, помещённые в жидкость. В состоянии всестороннего растяжения находится внутренняя сторона холодного железного шара, опущенного в горячую воду.

Сдвиг - деформация, вызванная моментами двух сил, равными по модулю противоположно направленными. Сдвиг - очень распространенный вид деформации. Он имеет место во всех трущихся твёрдых телах, как при трении покоя, так и при трении скольжения. Представим себе брус, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда и лежащий на горизонтальном полу.

Действующая на брус сила тяжести Р, которая приложена в центре тяжести С, уравновешивается силой реакции со стороны пола N. Так как брус неподвижен, то сила реакции должна быть приложена в точке А бруса, находящейся на одной вертикали с С. Пусть теперь к верхней грани бруса приложена горизонтальная сила F такая, что брус перекашивается, но не скользит по полу. Раз брус покоится, значит, на него действует ещё одна сила, равная по модулю силе F и направленная в противоположную сторону. Эта сила - сила трения f. Силы F и f образуют пару сил, которая должна бы вызвать вращение бруса вокруг своей оси, перпендикулярной к плоскости чертежа. Однако брус покоится, следовательно, существует пара сил, уравновешивающая первую. Нетрудно найти вторую пару сил. Если при отсутствии силы F сила N была приложена в точке А, то при наличии силы F реакция пола на брус несколько измениться и сила реакции N будет приложена в точке В, лежащей на рисунке правее точки А. В результате получается пара сил Р и N, которая стремиться вращать брус в направлении, противоположном тому, в котором вращался бы брус под действием пары сил F и f. Действие этих пар сил вызывает перекашивание бруса, и его сечение вместо прямоугольной формы приобретает форму параллелограмма.

Кручение.

Кручение - особый случай сдвига. Кручение - деформация, имеющая место в стержне, если он находится под действием двух противоположно направленных моментов, приложенных к его концам.

Кручение - широко распространенный вид деформации. В закрученном состоянии находятся все тела, передающие вращающий момент от двигателя к машине: карданный вал автомобиля, вал, вращающий винт парохода.

Чтобы получить наглядное представление о кручении возьмёмся двумя руками за концы резинового стержня, вдоль образующей, которого проведена линия, и будем концы стержня вращать в противоположных направлениях.

Стержень подвергнется кручению, и линия вдоль образующей примет форму винтовой линии. Если один из концов стержня держать неподвижно, а другой конец вращать, то угол поворота сечения будет тем больше, чем дальше от неподвижного конца находится это сечение.

Угол, на который повернётся самое крайнее сечение, называют углом кручения. Угол кручения пропорционален длине стержня и обратно пропорционален четвёртой степени диаметра. Это значит, что небольшое изменение диаметра резко меняет угол кручения, если вращающий момент остался прежним.

Изгиб - одна из наиболее часто встречающихся деформаций. Деформацию изгиба испытывают рельсы железнодорожного пути, балки потолочных перекрытий в зданиях, всевозможные рычаги. Бывают два случая изгиба: когда один конец балки закреплён и когда балка находится на двух опорах. Изгиб - деформация, сводящаяся к растяжениям и сжатиям, различных в разных частях тела. В этом можно убедиться. Воткнём в резиновую полоску ряд параллельных спиц.

Изгибая полоску, мы увидим, что один её слой ММ подвергнут растяжению, а другой NN - сжатию. Некоторый средний слой не изменил своей длины (нейтральный слой).

За меру деформации в случае изгиба принимают смещение конца балки или середины ее. Это смещение называют стрелой прогиба.

В строительстве используют балки с двумя видами сечения: тавровые и двутавровые.

Двутавровая балка - широкая балка прямоугольного сечения с удаленной частью среднего слоя, который меньше растягивается и сжимается и поэтому в меньшей степени противодействует изгибу. Она позволяет сэкономить материал и облегчить балку почти без ухудшения её качеств.

Закон Гука.

Закон Гука выражается так: при упругой деформации растяжения (или сжатия) удлинение тела прямо пропорционально приложенной силе. F = kx, где F- приложенная сила, х - удлинение тела, к - коэффициент пропорциональности, называемый жёсткостью.

Закон был открыт английским физиком Робертом Гуком в 1676 году. Это был простой закон, точно выполнявшийся в широком диапазоне; ему была предназначена важная роль в физике и технике. Гук был в восторге от своего открытия, но своим коллегам он не доверял и поэтому был озабочен, как бы кто не приписал это открытие себе. В те времена публикация открытий в периодических научных журналах ещё только приходила на смену монографиям и частным письмам, поэтому всё ещё было опасно с кем - нибудь поделиться своим открытием. Сразу же кто - то мог сказать: « О, мы открыли это давным-давно!» Гук придал своему закону о растяжении пружин вид анаграммы: celllnosssttuv

Это было своеобразное патентование открытия. Он выждал два года, чтобы конкуренты могли сделать заявки о своих открытиях, связанных с пружинами, а затем дал расшифровку своей головоломки: «tensio, sic vis», или «каково удлинение, такова и сила». Гук открыл, что при растяжении пружины возрастающей силы удлинение изменяется прямо пропорционально этой силе.

С поведением материалов по закону Гука мы встречаемся во многих случаях растяжения, сжатия, скручивания, изгиба, упругой деформации любых видов. Вот несколько примеров: а) растягивание проволоки: удлинение ~ растягивающая сила; б) растяжение или сжатие стержня: 4 длины ~ сила; в) кручение стержня: угол кручения ~ закручивающая сила; г) изгиб балки: прогиб балки ~ нагрузка.

Вообще: деформация ~ деформирующая сила.

Знание силы, возникающей при деформации, даёт неполную картину механического состояния твёрдых тел. Часто при решении задач о взаимодействии тел нужно детальное знание внутреннего состояния тел. В этих случаях закон Гука формулируется по-другому: при малых деформациях механическое напряжение прямо пропорционально относительному удлинению. Такую зависимость Роберт Гук определил в 1680 году для простейшего случая сжатия или растяжения стержня. Он записывается так:

σ = Е IεI, где σ - механическое напряжение, Е – модуль Юнга, IεI – относительное удлинение образца.

Относительное удлинение ε = ∆ℓ / ℓ в формуле взято по модулю, так как закон Гука справедлив как для деформации растяжения, так и для деформации сжатия, когда ε< 0. Коэффициент пропорциональности Е называется модулем упругости или модулем Юнга.

Для большинства широко распространённых материалов модуль Юнга определён экспериментально: σ - напряжение - величина численно равная отношению усилия к площади поперечного сечения: σ = F ⁄ S

При сдвиге закон Гука записывается так: t=G/g, где t - касательное напряжение, g - сдвиг, G - модуль сдвига.

Обобщённый закон Гука для тела произвольной формы утверждает, что шесть величин, определяющих напряжённое состояние в точке, выражаются линейно через шесть величин, определяющих деформацию в окрестности, рассматриваемой точки. Коэффициент пропорциональности в этих соотношениях называются модулями упругости. В анизотропных телах (тех, в которых свойства неодинаковы в различных направлениях), например в кристаллах, модули упругости различны в разных направлениях, поэтому в общем случае упругие свойства твёрдого тела характеризуются с помощью 21 модуля упругости. Для изотропных тел (тех, в которых свойства одинаковы в различных направлениях) число независимых упругих постоянных сводится к двум.

Закон Гука не имеет места, когда некоторые напряжения (или деформации) достигают предельных значений, характерных для каждого материала, и тело переходит в упруго-пластичное состояние. Закон Гука является главным при расчёте на прочность и деформацию конструкций и сооружений.

Закон Гука связывает понятия прочности и жёсткости. Прочность - способность предмета противостоять разрушению. Тело может деформироваться, но не беспредельно. В конце концов, оно разрушается. Для каждого материала можно указать максимальную нагрузку, которую он может выдержать. Чем больше разрушительная нагрузка, тем прочнее материал. Она зависит от качеств материала, формы изделия и вида воздействия, от способа обработки материала (термического или механического), а у сложных веществ также от их состава (сталь, стекло).

Жёсткость - способность тела или конструкции сопротивляться образованию деформации; физико-геометрическая характеристика поперечного сечения элемента конструкции. В случаях простых деформаций в пределах закона Гука жёсткость определяется численно как произведение модуля упругости Е (при растяжении, сжатии и изгибе) или G (при сдвиге и кручении) на ту или иную геометрическую характеристику поперечного сечения элемента. Понятие жёсткость широко используется при решении задач сопротивления материалов.

Диаграмма растяжения.

Диаграмма растяжения - это зависимость относительного удлинения от механического напряжения при деформации кристаллических твердых тел.

На участке ОА мы наблюдаем упругие деформации. Здесь выполняется закон Гука, то есть после снятия нагрузки первоначальные размеры тела полностью восстанавливаются. 6 - предел пропорциональности, при котором выполняется закон Гука.

На участке АВ, при увеличении нагрузки наблюдается остаточная деформация, составляющая 0, 1% от начальной длины. На нём упругие свойства тела сохраняются, а предел пропорциональности нарушен, поэтому закон Гука не выполняется. 6 - предел упругости.

На участке ВС остаточная деформация составляет больше 0,1%. На нём упругие свойства не сохраняются, и тело приобретает пластичные свойства. Выше него находится область пластичных деформаций.

На участке CD наблюдается текучесть материала. При этом сила остаётся постоянной, площадь поперечного сечения материала уменьшится, а напряжение увеличится. 6 - предел прочности - это отношение растягивающей силы к наименьшей площади сечения материала.

В точке Е деформация максимальна. На участке EF происходит разрушение материала.

Практическая часть

Изучая закон Гука для упругих деформаций, встретились с коэффициентом жесткости, который зависит от материала и геометрических размеров образца. Но какая существует зависимость? В какой степени эти факторы влияют на деформацию, в частности на деформацию изгиба? Что значит, закон выполняется в «пределах упругих деформаций»? Каков этот предел? Одинаков ли он для всех материалов? Что служит критерием предела?

Ответы на эти вопросы я и хотел найти, изучив теорию и выполнив эксперимент. Заодно и выяснить, насколько хорошо согласуются теория и практика.

Для работы подготовил оборудование:

1) несколько разных по размеру брусков из древесины (сосна);

2) несколько разных линеек из стали;

3) железные полоски разной длины и сечения;

4) измерительные инструменты.

Проведение опытов:

1) закреплял брусок в штативе;

2) подвешивал грузики разной массы; измерял деформацию;

3) проводил опыт с бруском другого размера;

4) аналогичные опыты провел со стальными линейками и железными полосками.

Результаты, полученные из опытов, заносил в таблицы и строил графики зависимостей деформаций:

1) от деформирующей силы;

2) от длины образца;

3) от толщины образца;

4)от ширины образца.

Обработка результатов: по графикам определял зависимость деформаций от различных факторов.

Для проведения опытов мне понадобились: два штатива, в один из которых я закреплял образцы, а в другом закреплял линейку для измерений. Первая серия опытов с деревянными брусками разных размеров. Вторая серия опытов с железными полосками. Третья серия опытов со стальными линейками.

Деревянные бруски

Зависимость прогиба балки от силы, действующей на неё.

Таблица 1.

Сила, F,Н 0,5 1 1. 5 2 2,5 3 3,5

У, см 0,2 0,5 1,2 1 2 2,5 3

Зависимость прогиба железной полоски от толщины.

Таблица 6. Размеры полосок 70х4х0,2см и 70х4х0,4см

Сила,Н 5 9 12

70 см 0,6 1,9 2,3

51 см 0,5 0,9 1,4

35 см 0,1 0,6 0,9

Стальные линейки

Зависимость деформации от толщины.

Таблица 8.

Сила,Н 1 2 3 4 5 6

0,8мм 10 16 20 25 30 32

1,6мм 5 9 12 18 20 22

2,4мм 3 10 11 13 16 21

3,2мм 1 5 6 8 10 11

Зависимость деформации от ширины образца

Таблица 9.

Сила, Н 1 2 3 4 5 6

18мм 10 16 20 25 30 32

36мм 2 7 10 14 19 20

Размеры 20х1,8х0,08см и 20х3,6х0,08см

Зависимость прогиба линейки от длины

Таблица 10.

Сила, Н 1 2 3 4 5 6

500мм 15 22 27 34 44 54

300мм 2 7 10 14 17 19

150мм 1 1,6 2 2,5 3 3,3

По каждой серии опытов построили графики зависимости прогиба образца от геометрических размеров и деформирующей силы.

Выводы:

1) существует зависимость деформаций от геометрических размеров, но длина и толщина образца влияют в большей степени при изгибе, чем ширина;

2) деформации зависят от материала образцов;

3) существует предел упругих деформаций;

4) наблюдается остаточная деформация у всех образцов, но в разной степени;

5) практические результаты качественно согласуются с теорией деформации изгиба: y ~ Fℓ ³ ⁄ ab³Е, где y - прогиб образца,

F – деформирующая сила,

ℓ - длина образца, a – ширина, b – толщина,

Е – модуль Юнга.

Проверили правильность зависимости по размерности:

[y]=Hм³ /м м³Па=Нм³ м² /м м³Н = м

При измерениях у меня получилась погрешность из-за того, что я не учитывал: вес самих образцов;

2) маленькую остаточную деформацию при проведении повторных опытов; самую большую погрешность дало измерение ширины линейки и измерение силы

ε = 3Δℓ ⁄ ℓ + ΔF ⁄ F + Δа / а + 3Δв / в

ε = 3/500+0,2/6+1/18+0,03/0,8 = 0,006+0,033+0,055+0,004 = 0,098

ε = 9,8% - это минимальная погрешность при опытах с линейкой

ε = 31% - это максимальная погрешность.

Заключение.

Проведённая работа мне очень понравилась, потому что во время неё я узнал много нового. Тема деформации рассматривается на уроках физики в седьмых и десятых классах. Во время исследования я смог изучить эту тему более широко. Интересен был процесс исследования и достаточно труден процесс измерения: например, надо было подумать, как установить лучше прибор, и как сделать так, чтобы измерения были точнее. Результаты получились неожиданными; измерения получились верные, но не очень точные, хотя они сопоставимы с теоретическими данными.

Я думаю, что такие исследовательские работы нужны в процессе изучения любого предмета, так как во время их проведения уменьшается разрыв между предметом и учеником. Это помогает лучше понять предмет и подавляет страх перед ним.