СМИ  ->  Новости  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Что такое лента Мебиуса

Лента Мебиуса (другое название — лист Мебиуса) — топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мебиуса была обнаружена немецким математиком Августом Фердинандом Мебиусом в 1858 г. До него считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны. Мебиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону. Рассказывают, что в этом Мебиусу помогла служанка, неправильно сшившая однажды концы ленты. Интересно, что Лента Мебиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мебиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом. Ее иногда называют прародителем символа бесконечности , т. к. находясь на поверхности ленты Мебиуса, можно было бы идти по ней вечно. Но это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.

Модель ленты Мебиуса легко сделать. Необходимо совместить два конца полоски так, чтобы направления красных стрелок совпали:

Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:

где и. Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости xy; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр движется вдоль ленты, а параметр - от одной границы к другой.

Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат [0,1] x [0,1], верх которого соединен с низом в соотношении (x,0) ~ (1-x,1) , где 0 ≤ x ≤ 1.

Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами. Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мебиуса получится одна длинная двусторонняя лента с двумя полными оборотами, которую называют «афганская лента».

Если теперь эту ленту разрезать посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.

Если разрезать ленту Мебиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мебиуса, другая — «афганская лента».

В общем случае, если лента с четным количеством полуоборотов m, то получается поверхность с двумя краями, имеющая две стороны. При разрезании этого кольца по линии, проходящей посредине между двумя краями, оно распадается на два кольца; каждое из них закручено на m полуоборотов, и они сцеплены друг с другом m/2 раз. Если же m нечетно, то получается поверхность с одной стороной и одним краем (при m=1 - лента Мебиуса). Разрезав ее по средней линии, мы получим только одно кольцо, но закрученное на 2m + 2 полуоборотов, причем в случае, когда m больше единицы, это кольцо оказывается еще и заузленным.

Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мебиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые. Лист Мебиуса поэтому хирален.

Ознакомимся с некоторыми понятиями, которые мы использовали, давая определение ленты Мебиуса.

Тополо́гия — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов. Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик неотличимы.

Евклидово пространство — в изначальном смысле, пространство свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

Хиральность (киральность) — отсутствие симметрии относительно правой и левой стороны. В геометрии фигуру называют хиральной (или говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами.

Топологические свойства ленты Мебиуса

Рассмотрим топологические свойства ленты Мебиуса, в которую превращается простая полоска бумаги, перекрученная всего лишь раз и склеенная в кольцо.

Односторонность – свойство, характерное только для ленты Мебиуса. Если окрашивать ленту в один цвет (начиная с любого места) и двигаться по ее поверхности в одном направлении не пересекая границ, то, по завершении работы, лента будет полностью окрашена.

Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На ленте Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придется пересекать край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам понадобиться только один разрез. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат – односвязен, кольцо – двусвязно, а всяческие диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Лента Мебиуса двусвязна, так как если разрезать ее вдоль, она превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лента становится односвязной. Три оборота – связность снова равна двум. Таким образом, количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты. Связность принято оценивать числом Бетти.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мебиуса. Возьмём на ленте Мебиуса точку, проведем к ней нормаль (перпендикуляр), а вокруг нормали начертим небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по ленте Мебиуса. Когда точка обойдёт всю ленту и вернётся в исходное положение, направление нормали изменится на обратное, а направление окружности — на противоположное. Таким образом, полный обход вокруг ленты изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность ленты Мебиуса неориентируема.

«Хроматический номер» – максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, еще никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырех. Это и значит хроматический номер этих поверхностей – четыре. Хроматический номер ленты Мебиуса равен шести.

Условия, необходимые для изготовления ленты Мебиуса

Какой формы бумажную полоску следует взять, чтобы склеить ленту Мебиуса? Ожидаемый ответ: полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мебиуса можно склеить не только из квадрата, но и из прямоугольника любых размеров. Причем склеиваемые стороны могут быть во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых. Сделать это можно следующим образом . Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мебиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мебиуса, оказался смятым.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мебиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя.

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги изгибая, но не сминая его, математики называют развёртывающимися. Рассмотрим некоторые свойства развёртывающихся поверхностей.

1. Через каждую точку A развёртывающейся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в A. Иначе говоря, в каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть, к отрезкам, не содержащимся в больших отрезках с этим свойством).

2. Если через точку A, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём A не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий A, является плоским. В таком случае точку A мы будем называть плоской.

3. Если точка A, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, a, то окрестность точки A устроена так. Через точку A проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, скажем, b . Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно близко от точки A, имеются неплоские точки. Точку A в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

Лист бумаги, свёрнутый в трубочку или в конус, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У трубочки образующие составляют семейство параллельных отрезков, у конуса – семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и плоские точки развертывающейся поверхности (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие синие линии – образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причём у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек .

Вернемся к вопросу о необходимых условиях для изготовления ленты Мебиуса. Для этого рассмотрим задачу: «Найти наименьшее значение длины бумажной полоски (λ) из которой можно склеить ленту Мебиуса, если считать её ширину равной 1 (предполагается, что края полоски склеиваются встык)». Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно. Докажем, что λ удовлетворяет неравенству

Теорема 1

Наименьшее значение длины бумажной полоски, из которой можно склеить ленту Мебиуса, если считать её ширину равной 1, больше или равно π/2.

Доказательство.

Пусть Лента Мебиуса сделана из бумажной полоски длины ℓ. Намотаем на неё длинную бумажную ленту. Эта лента составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает формы нашей ленты Мебиуса. Отметим на ней прямолинейные образующие и плоские точки

Через каждые 2ℓ – картина повторяется. Через каждые ℓ – картина переворачивается (т. е. зеркально отражается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырёхугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками противоположных краёв ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты (следует из свойств развёртывающихся поверхностей). Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующих .

Образующие в одинаковых четырёхугольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохранится.

Рассмотрим любую образующую АВ Если симметрично отразить её в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на ℓ, то получится отрезок CD, который тоже является образующей из нашего семейства.

АС+ВD= 2ℓ.

При наматывании полоски на ленту Мебиуса образующие АВ и CD займут одинаковое положение, причём точка A совместится с D, а точка B совместится с C; другими словами, отрезки AB и CD составят в пространстве угол в 180°. Между AB и CD располагается непрерывное семейство образующих. При движении от AB к CD величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с AB, непрерывно изменяется от 0° до 180°.

Возьмём любое n и найдём между AB и CD такие образующие A1B1,. , An–1Bn–1, что величина угла между AB и AkBk равна k·180°/n . Длина каждой из образующих больше или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше 180°/n.

Покажем, что каждая из сумм AA1 + BB1, A1A2 + B1B2,. , An–1C + Bn–1D не меньше длины a2n стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1 .

Построим отрезок AkE так, что отрезки AkE и Ak+1Bk+1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону.

Отметим Н и F: AkF = AkH = 1 и проведем FG EBk.

Мы видим, что AkAk+1 + BkBk+1 = EBk+1 + BkBk+1

Рассмотрим треугольник Вk+1ВkЕ. По свойству сторон треугольника

EBk+1 + BkBk+1 > EBk.

Рассмотрим треугольник АКВКЕ. Угол FHG>90° => EBk > FG > FH.

Рассмотрим треугольник АКHF.

FH<АКH+АКF => FH<2 => FH≥a2n, т. к. угол HАКF≥180º/n (по теореме о стороне правильного многоугольника, вписанного в окружность).

Таким образом,AkAk+1 + BkBk+1≥a2n.

Итак, 2ℓ = AC + BD = (AA1 + BB1) + (A1A2 + B1B2) +. + (An–1C + Bn–1D) ≥ na2n, т. е. 2ℓ при любом n не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, 2ℓ не меньше половины длины самой этой окружности, то есть π, и ℓ≥ π/2.

Теорема 2

Наименьшее значение длины бумажной полоски, из которой можно склеить ленту Мебиуса, если считать её ширину равной 1, меньше или равно.

Доказательство.

Для доказательства теоремы достаточно объяснить, как склеить ленту Мебиуса из полоски, длина которой больше. Предположим сначала, что её длина в точности равна. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника.

Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба .

Края AB и CD полоски совместятся, причём точка A совместится с точкой D, а точка B – с точкой C. Получится лента Мебиуса.

При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше , то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке .

Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т. е. когда лист складывается наподобие носового платка).

Её устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, A'B'C', A"B"C" лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны AB и A'B', B'C' и B"C", C"A" и CA соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Итак, мы доказали, что наименьшее значение длины бумажной полоски (λ), из которой можно склеить ленту Мебиуса, если считать её ширину равной 1, есть одна из точек отрезка. Более точно найти значение λ пока не удается, но предполагают, что λ=.

Доказательство теорем оставляет неиспользованным одно важное свойство нашей ленты Мебиуса – отсутствие у неё самопересечений. Самопересекающуюся ленту нельзя сделать из бумаги, но представить себе её можно: подобно самопересекающейся линии на плоскости она «проходит сквозь себя», причём можно разделить её на части, каждая из которых самопересечений не имеет. Маловероятно, чтобы условие отсутствия самопересечений не воздействовало на λ; однако учесть это воздействие не удаётся, поскольку математика не обладает достаточными техническими средствами для изучения самопересечений в трёхмерном пространстве.

Использование ленты Мебиуса

Благодаря ленте Мебиуса в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит односторонняя поверхность. В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу с двух сторон. Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива, что значительно увеличило срок ее службы. В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало два «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистке — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью. Изготовить его можно следующим образом: к резиновой ленте с двух сторон приклеивают две тонкие алюминиевые полоски, а к ним припаивают выводы, через которые можно подать электрический ток. Затем всю конструкцию перекручивают на один оборот и соединяют в лист Мебиуса, который, естественно, будет трехслойным. Ток, проходя по полоскам, встретит на своем пути лишь так называемое «активное» сопротивление, то есть сопротивление самого материала — алюминия. «Реактивность» проводника с током, имеющего форму листа Мебиуса, равна нулю.

Ученые Института Биоразработок Государственного Университета Аризоны (США), возглавляемые профессором Хао Ян и профессором Ян Лью, присоединяя сегменты ДНК, создали на микроскопическом уровне биологическую структуру в виде ленты Мебиуса. Полученная структура имеет размер всего 50 нанометров в поперечнике (размер среднестатистического вируса). Данное наноархитектурное решение видится перспективным при разработке биохимических сенсоров, новых механизмов доставки лекарственных препаратов на молекулярном уровне, а также в нанолитографии и наноэлектронике.

В шведском городе Лунде планируется построить циклический ускоритель частиц под названием Max IV. По сути это будет еще один Большой адронный коллайдер. По форме здание Max IV напоминает ленту Мебиуса. Кроме научной необходимости такое решение основывается и на том, что эта форма поможет на 30% снизить солнечную нагрузку на здание.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мебиус», построенный по принципу ленты Мебиуса. Дом возведен в 1992-1998 гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.

Достаточно большое число деятелей искусства использовали ленту Мебиуса в своем творчестве. Макс Билль - швейцарский архитектор, скульптор, дизайнер и художник создал целую серию скульптур, основанных на ленте Мебиуса, многие из которых выставлены в общественных местах. Его скульптура “Непрерывность” находится в национальном музее современного искусства в Париже.

Довольно много разнообразных рисунков создал нидерландский художник-график Мауриц Корнелис Эшер. Мы можем увидеть ленту Мебиуса в работах «Всадники» (1946 г. ), «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)» (1963 г. ) и «Узлы» (1965 г. ).

«Всадники»

«Узлы» «Лента Мебиуса II(Красные муравьи)»

В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар», созданную Александром Эткало.

А сколько написано книг и фантастических произведений! Лист Мебиуса был эмблемой серии научно-популярных книг Библиотечка Квант. Он также достаточно часто встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Писатели – фантасты предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мебиуса. Также лист Мебиуса упоминается в произведениях русского писателя Владислава Крапивина, например, в цикле фантастических повестей «В глубине Великого Кристалла». В рассказе «Лист Мебиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мебиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа режиссёром Густаво Москера был снят фантастический фильм «Мебиус». Идею ленты Мебиуса использует в своей повести «На ленте Мебиуса» и американский писатель – фантаст Марк Ирвин Клифтон.

Лента Мебиуса вдохновляла создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мебиуса.

Кольцо «Лента Мебиуса»

Кулон «Ключ осознания»

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мебиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мебиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мебиуса.

А теперь перенесемся в мир предположений. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ленту Мебиуса. Теория относительности Эйнштейна и его предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, подтверждают неограниченность и конечность Вселенной, изогнутой в пространстве большого числа измерений. Из этого же, в свою очередь, можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мебиуса, возвращаются в исходную точку, превращаясь в своих зеркальных двойников – сердце смещается вправо, правши превращаются в левшей, спираль ДНК меняет направление закрученности. Не существует никаких данных, позволяющих утверждать, что наше пространство перекручено, как лист Мебиуса. Тем не менее, ученые, занимающиеся космологией, охотно рассматривают различные модели пространства, в том числе и модели с кручением. Существует гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение, или аннигиляция, как утверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального двойника.

Заключение

Ленте Мебиуса досталась удивительная судьба. Ее поклонников можно найти практически во всех сферах деятельности человека. Ученые и писатели, архитекторы и ювелиры, дизайнеры и скульпторы в своих работах неоднократно обращались к удивительной форме ленты Мебиуса. У входа в Национальный Музей Американской Истории в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мебиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мебиусу и ленте, носящей его имя. Далеко не каждому открытию ставятся памятники, а лента Мебиуса неоднократно удостаивалась этой чести. Почему? Возможно, что кто-то, ознакомившись с этой работой, откроет тайну ее магической привлекательности, а если и нет, то станет еще одним из ее преданных почитателей.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)