Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника
Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника. Сюда следует отнести : свойство биссектрисы , выражающиеся равенством b/c=x/y. И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу la=2√bc(p-a)/b+c.
C x y B
Все это так. Биссектриса – один из главных отрезков в геометрии треугольника.
1. Теоретическая часть.
Я хотела бы рассказать о менее популярном, но чрезвычайно важном, необходимом свойстве биссектрисы. О том , что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведенной из вершины того же угла. Иными словами , la (биссектриса угла А) является биссектрисой угла ОАН1 .
B L 1H1C
После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе» ) постараемся аргументированно показать, насколько оно полезно при решении.
Лемма о «дважды биссектрисе».
Биссектриса la треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН 1, где О- центр окружности, описанной около треугольника АВС, АН1- его высота .
Доказательство. Угол АОС является центральным, АОС = 2 В. Тогда 3= 180⁰-2 В / 2= 90⁰- В. Но и ВАН1= 90⁰- В (из треугольника ВАН1 ). Поскольку биссектриса la делит угол ВАС пополам,то, отняв от равных углов САL1 и BAL1 равные части , мы вновь получим равные углы. Поэтому 1= 2.
Лемма доказана.
2. Практическая часть.
2. 1. Решение задач.
Задача 1. Известно,что в остроугольном треугольнике АВС биссектриса АL1 перпендикулярна отрезку ОН, где О- центр окружности , описанной около треугольника АВС, а Н- точка пересечения его высот. Найдите угол А.
Решение. По лемме о «дважды биссектрисе» 1= 2 . Из условия следует,что AN ОН, т. е. в треугольнике АОН биссектриса АN является также высотой. Значит, АН=AO=Rокр. Известно,что АН=2R*lcos A. Поскольку треугольник АВС-остроугольный, то cos A=1/2 и А= 60⁰.
С L1 H1 В
Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС ( А=90⁰) известны АН1=h и биссектриса AL1=l. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение. Проведем медиану АМ1=m. Поскольку гипотенуза ВС является диаметром описанной окружности ,то точка М1 совпадает с центром окружности , описанной около треугольника АВС Пусть
1= 2=α, тогда М1АН1=2α. Из треугольника AH1L1 cos α=h/l,а из треугольника АН1M1 cos 2α h/m. Следовательно, h/m=cos2α=2cos²α-1=2h²/l²-1=2h²-l²/l², откуда m=hl²/2h²-l². Наконец,SABC=1/2BC*AH1, где BC=2m. SABC=mh=h²l²/2h²-l².
C M L1 H1 B
- la la
O m l h
Комментарии