Спорт  ->  Автоспорт  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника. Сюда следует отнести : свойство биссектрисы , выражающиеся равенством b/c=x/y. И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу la=2√bc(p-a)/b+c.

C x y B

Все это так. Биссектриса – один из главных отрезков в геометрии треугольника.

1. Теоретическая часть.

Я хотела бы рассказать о менее популярном, но чрезвычайно важном, необходимом свойстве биссектрисы. О том , что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведенной из вершины того же угла. Иными словами , la (биссектриса угла А) является биссектрисой угла ОАН1 .

B L 1H1C

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе» ) постараемся аргументированно показать, насколько оно полезно при решении.

Лемма о «дважды биссектрисе».

Биссектриса la треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН 1, где О- центр окружности, описанной около треугольника АВС, АН1- его высота .

Доказательство. Угол АОС является центральным, АОС = 2 В. Тогда 3= 180⁰-2 В / 2= 90⁰- В. Но и ВАН1= 90⁰- В (из треугольника ВАН1 ). Поскольку биссектриса la делит угол ВАС пополам,то, отняв от равных углов САL1 и BAL1 равные части , мы вновь получим равные углы. Поэтому 1= 2.

Лемма доказана.

2. Практическая часть.

2. 1. Решение задач.

Задача 1. Известно,что в остроугольном треугольнике АВС биссектриса АL1 перпендикулярна отрезку ОН, где О- центр окружности , описанной около треугольника АВС, а Н- точка пересечения его высот. Найдите угол А.

Решение. По лемме о «дважды биссектрисе» 1= 2 . Из условия следует,что AN ОН, т. е. в треугольнике АОН биссектриса АN является также высотой. Значит, АН=AO=Rокр. Известно,что АН=2R*lcos A. Поскольку треугольник АВС-остроугольный, то cos A=1/2 и А= 60⁰.

С L1 H1 В

Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС ( А=90⁰) известны АН1=h и биссектриса AL1=l. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение. Проведем медиану АМ1=m. Поскольку гипотенуза ВС является диаметром описанной окружности ,то точка М1 совпадает с центром окружности , описанной около треугольника АВС Пусть

1= 2=α, тогда М1АН1=2α. Из треугольника AH1L1 cos α=h/l,а из треугольника АН1M1 cos 2α h/m. Следовательно, h/m=cos2α=2cos²α-1=2h²/l²-1=2h²-l²/l², откуда m=hl²/2h²-l². Наконец,SABC=1/2BC*AH1, где BC=2m. SABC=mh=h²l²/2h²-l².

C M L1 H1 B

- la la

O m l h

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)