Увеличение объема выпуклых многогранников

Изучение геометрии делится на два раздела: планиметрию и стереометрию. Окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. Это слово происходит от греческих слов «стерео» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять.

Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Глобус, мяч принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Куб, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, тетраэдр можно отнести к понятию многогранники. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Многогранник называется невыпуклым, если плоскость грани разрезает этот многогранник и его части расположены по разные стороны от этой плоскости.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Тетраэдром называется треугольная пирамида, т. е. в основании пирамиды лежит треугольник. Отрезки, соединяющие вершину тетраэдра с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины тетраэдра на плоскость основания.

Все четыре грани тетраэдра – равносторонние треугольники, шесть ребер и четыре вершины. Сумма плоских углов в каждом из четырех трёхгранных углов равна 180°, все ребра равны.

Прямоугольным параллелепипедом называют многогранник, составленный из шести прямоугольников. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют упаковки для соков, коробки, комнаты и многие другие предметы.

Каждое пространственное тело имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. При выбранной единице измерения объем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и его частей укладываются в этом теле. Так объем пирамиды выражается формулой , где S основ – площадь основания, h – высота пирамиды.

Картонные берега фирмы Tetra Pak

Помните, как выглядел пакет молока в советское время? Удивительно, что вся страна покупала эти пакеты почти каждый день на протяжении более 20 лет, но мало кто сейчас помнит точно, что на них было нарисовано. Но все конечно помнят, что пакет молока был в виде тетраэдра (правильной треугольной пирамиды). Изобрела пакеты в виде тетраэдра фирма Tetra Pak в 40-х годах XX века, откуда и берет свое название. В те годы эта фирма сделала два важных нововведения. Во-первых,  жидкие продукты начали наливать в картон. Во-вторых, изготовление тетраэдрических пакетов было настолько простым, что его можно было поместить прямо на молокозаводах.

Упаковку молока производят в цистерны, фляги, из которых его реализуют. Фасуют молоко в бутылки емкостью 0,25; 0,5 и 1 л, в бумажные пакеты из жироводонепроницаемого картона с полимерными покрытиями, в пакеты из полиэтиленовой пленки, наполненной титаном. Бумажные пакеты могут быть разной формы: тетра-пак (треугольная пирамида), пуре-пак (высокий столбик с квадратным основанием), тетра-брик (в форме кирпича).

Производство молока и соков переживает сегодня в России настоящий бум. Темпы роста производства в этом секторе промышленности даже больше, чем во всей пищевой отрасли, где они составляют около 5 % в год. В этой связи стоит отметить, что большая доля произведенного объема этих продуктов упаковывается в картонную тару. По данным Tetra Pak, на этот вид тары в России приходится 85 % розлива соков. Среди фасованных молочных продуктов асептическая упаковка занимает относительно небольшую долю — около 12 %. Если учесть, что в России только половина молока продается упакованным, то у производителей асептической упаковки есть хорошие перспективы. Пока же такую упаковку для молока на российские предприятия поставляет только Tetra Pak. Реальность такова, что самой удобной упаковкой, как для производителей, так и потребителей молока и сока является именно картонный пакет. Он дает возможность существенно снизить расходы на транспортировку по сравнению со стеклом Правда, цена картонной упаковки выше, чем стеклянной бутылки — единица асептической картонной упаковки обходится в 0,15–0,17 долл. США; евробутылка стоит от 0,05 долл. США за штуку. Но в данном случае более высокая цена с лихвой оправдывается удобствами доставки и размещения сока и молока в «картонке» на полках супермаркета, высокими печатными свойствами картонной поверхности.

Tetra Pak создала множество упаковок, но именно упаковка для жидких продуктов стала ее фирменным «коньком». Для защиты бумажной поверхности специалисты Tetra Pak перепробовали множество пластиков, пока не добрались до полиэтилена, который до этого использовался исключительно в оборонной промышленности. Кроме того, важнейшим новшеством стало применение технологии ультрапастеризации (UHT): продукт, упакованный таким образом, остается свежим несколько месяцев и не нуждается в хранении в холодильнике. Асептический вариант упаковки для молока в форме тетраэдра появился в 1961 г. Все это позволило Tetra Pak совершить революцию в сфере упаковки для продуктов питания и занять первое место на рынке. Поэтому, именно упаковку для соков и молока можно с уверенностью назвать «зеркалом российского капитализма» .

Именно с 1950-х годов, с развитием супермаркетов, началось триумфальное шествие фирменных «тетраэдров» и «кирпичей» Tetra Pak по миру. Сейчас Tetra Pak, мировой лидер в области переработки, упаковки и доставки жидких пищевых продуктов, является крупнейшей промышленной группой концерна Tetra Laval (Швеция). Концерн был образован в результате слияния в 1991 г. компаний Tetra Pak и Аlfa Laval (мирового лидера в области технологии переработки молочных продуктов). Сегодня это транснациональная компания, предлагающая на рынке всеобъемлющие решения по поставке и проектированию систем переработки, упаковки и доставки жидких продуктов питания.

2. 3 Увеличение объема выпуклого многогранника

Николай Долбилин — ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН, профессор мехмата МГУ, сформулировал гипотезу, на первый взгляд противоречащую здравому смыслу: из развертки любого многогранника, в том числе даже выпуклого, можно склеить другую невыпуклую фигуру большего объема. В 1994-95 годах он работал над популярной статьей о многогранниках и их развертках и одновременно проводил с ними эксперименты. Именно тогда он заметил, что тетраэдрический пакет — в таких пирамидках продавали молоко — можно смять так, что получится невыпуклая емкость заметно (на 38%) большего объема. Николай Долбилин тогда это не опубликовал, а вскоре американец Дэвид Бликер доказал этот факт для выпуклых многогранников с треугольными гранями.

Тетраэдрический пакет можно смять так, что получится невыпуклая емкость большего объема. Данную конструкцию в 1996 году предложил Дэвид Бликер.

На каждой грани добавим дополнительные вершины и ребра. Возьмем центральный правильный треугольник,  определенный соотношением, что его сторона в два раза больше расстояния от его вершины до стороны грани. Проведем дополнительные ребра. Изогнем каждую грань следующим образом — углы и середины сторон в сторону центра, а центральный треугольничек — от центра. Все грани изогнуты одинаково, и их можно склеить в многогранник. Некоторые новые грани лежат в одной плоскости и ребра между ними исчезают.

Д. Бликер подсчитал объем получившегося многогранника. Для этого он разбил его на части. Полученный многогранник состоит из 4 одинаковых шестиугольных пирамидок и фигуры, которая является усеченным тетраэдром. Оказывается, что объем полученного таким способом многогранника больше чем на 37,7% превосходит объем изначального тетраэдра, имеющего ту же развертку! Т. е. из куска картона, из которого делались тетраэдрические пакеты, можно делать пакеты которые вместительнее более чем на треть!

Подобные возможности уже давно используют в упаковках: например, горячие пирожки в «Макдоналдсе» продают в коробочках с характерными вогнутыми торцами. А если сложить их по-другому, они превращаются в плоский двухслойный кусок картона — вырожденный многогранник безо всякого объема. Значит, когда коробка опять распрямится, ее объем вырастет! Причем этот объем всегда можно увеличить, добавляя новые и новые сгибы. Примером увеличения объема многогранника с неизменной площадью развертки служат и красочные упаковки для новогодних подарков.

2. 4 Исследовательская работа

1. Расчет длины ребра правильного тетраэдра емкостью 1л и 0,5л

Дано: АВСD – тетраэдр с ребром а,

V = 1л = 1000см 3; V = 0,5л = 500см 3

Найти: длину ребра а

Решение:

2) Т. к. все грани тетраэдра - равносторонние треугольники, то СМ является медианой, высотой, значит ∆СМВ прямоугольный.

3) Из ∆СМВ теореме Пифагора

4) Точка О – центр треугольника, является точкой пересечения медиан и

СО : ОМ = 2 : 1, значит

5) Из прямоугольного ∆DOC по теореме Пифагора найдем высоту h

6) Находим объем

7) По условию объем пакета равен 1 л = 1000дм 3, найдем длину ребра а

8) При объеме 500 см 3

Ответ: 20,4 см, 16,19 см

2. Конструирование разверток и моделирование многогранников

Конструирование разверток невыпуклых многогранников объемом 1,38л и 0,69 л мы выполнили в программе «Живая геометрия», где компьютерная программа выполнила все необходимые вычисления.

«Живая геометрия» не выполняет шаблонное построение правильных многоугольников, поэтому мы разработали свою технологию построения правильных треугольников со сторонами 20,4 см и 16,19 см:

❖ Провели прямую АВ и отметили точки А и В так, что АВ = 20,4 см;

❖ Отметили точку С в произвольном месте и с помощью программы измерили расстояния АС и СВ. Далее стали двигать точку С так, чтобы расстояния АС = СВ = АВ = 20,4 см. Получился равносторонний ∆ АВС;

❖ Для каждого угла выполнили построение биссектрис и биссектрис половинок углов;

❖ Соединили точки пересечения биссектрис углов в 30 градусов, получили ∆ EFH;

❖ Соединили отрезками середины сторон ∆АВС с точками E, F, H и вершины ∆АВС с этими же точками.

❖ С помощью компьютера проверили правильность своего построения.

Распечатали 4 развертки , выполнили сгибания по технологии Д. Бликера, склеили модель невыпуклого многогранника. Аналогично построили развертку для стороны 16, 19 см.

Удивительно, но тетраэдр не является исключением. Оказывается, что из развертки любого выпуклого многогранника с треугольными гранями можно сделать невыпуклый многогранник с большим объемом. В своей статье, кроме многогранников с треугольными гранями, Д. Бликер рассмотрел два правильных многогранника, не попадающие в этот класс — куб и додекаэдр. Из их разверток также можно сложить невыпуклые многогранники с большим объемом, чем у изначальных выпуклых.

Построение развертки модели многогранника, получающегося из куба, мы также выполнила в «Живой геометрии» со всеми необходимыми вычислениями по следующей технологии:

❖ На прямой построили отрезок АВ = 10 см;

❖ Отметили произвольную точку С, измерили ВС, а затем стали двигать ее так, чтобы ВС = 10 см. Аналогично подобрала точку D, чтобы AD = 10 cм. Проверили расстояние CD, СD = 10 cм;

❖ Для каждого угла построили биссектрисы и биссектрисы для углов в 45 градусов. Точки пересечения последних биссектрис соединили отрезками, получился квадрат EHIL;

❖ Соединили отрезками середины сторон квадрата и его вершины с точками E, H, I, L.

❖ Правильность построения выполнили компьютерные расчеты.

Для выполнения данной модели необходимо 6 конструкторов.

3. Расчет экономии при изготовлении упаковок нового вида

Упаковки на основе картона используются главным образом для молока, молокопродуктов, соков и нектаров, сокосодержащих напитков, минеральной негазированной воды, томатной продукции, растительного масла, супов, соусов, десертов. Стоимость упаковки варьируется в каждом конкретном случае и в среднем составляет 10—12 % стоимости продукта.

Мы рассчитала экономию на изготовление новой упаковки из развертки тетраэдра путем сгибов.

Если предположить, что стоимость 1 л молока составляет 30 рублей, то стоимость упаковки будет составлять 3 – 3,6 рублей. Цена литрового пакета молока будет варьироваться в диапазоне 33 – 33,6 рублей, тогда при увеличении объема картонной упаковки на 38%, цена 1,38 л молока будет составлять 41,4 рубля при той же стоимости упаковки 3 – 3,6 рубля. Новая цена увеличенного пакета будет 44,4 – 45 рублей, а затраты на производство увеличатся всего на 34 – 34,5%. Таким образом экономия составит 3,5 – 4%.

2. 5 Упаковка и наше здоровье, упаковка и окружающая среда

Особый интерес вызывает технология пластмасс, и все большее количество видов упаковки изготовляется именно из этих разнообразных материалов. Пластиковые упаковки для продуктов вызывают гормональные нарушения. Исследование, проведенное американскими учеными, доказало: пластик, который попадает в наш организм вместе с пищей, может привести к нарушениям обмена веществ. Бисфенол А содержится в пластиковых упаковках для продуктов и в бутылках для детей. Ученые взяли в центрах по контролю за заболеваниями образцы мочи 2,5 тысяч случайно выбранных людей, и концентрация бисфенола в их организме оказалась выше допустимой. Тем не менее несмотря на всю привлекательность пластиков, не следует забывать и о других, более традиционных материалах. Так, по- прежнему одним из наиболее экономичных и экологических материалов является бумага и картон.

Накопление и удаление твердых отходов было непростой проблемой уже с момента возникновения городов, но никогда она не была столь сложной, как в современном городе, поселке. Упаковка – это наиболее заметный вид отходов, требующий постоянных затрат и уборки вдоль тротуаров и дорог, где неаккуратные граждане ее выбрасывают.

Исследования в США и в Европе показали, что в качестве долговременной цели повторное использование упаковки предпочтительнее, чем ее сжигание или закапывание, поскольку позволяет сохранять ресурсы, некоторые из которых явно не бесконечны. Бумажная промышленность модифицировала установки для возможной переработки различных видов и сортов макулатуры и картона, было расширено применение макулатурных бумаги и картона.

В 1989 году канадский Совет по окружающей среде поставил цель снизить к 2005 году отходы упаковки на 50%, также учредил Национальную специальную комиссию по упаковке, которая постановила, что:

❖ Любая упаковка должна оказывать минимальное воздействие на окружающую среду;

❖ Разработка упаковки должна соответствовать требованиям уменьшения объема, повторного использования и переработки;

❖ Необходимо проводить специальную образовательную программу ознакомления всех граждан с функциями и влиянием упаковки на окружающую среду;

❖ Экологические нормативы должны применяться ко всей упаковке, включая импортную.

Земля – наше жизненное пространство. Другого нет и никогда не будет. Глобальный «экологический след» наглядно демонстрирует, что недальновидное человечество просто растоптало свою планету. Мы эксплуатируем ее гораздо интенсивнее, чем она способна восстановиться.

3. Заключение, выводы

1. Из разверток правильного тетраэдра и куба можно сделать невыпуклые многогранники с большим объемом.

2. Продолжить изучение интересных фактов и математических задач, изложенных в материалах «Математические этюды», размещенных на Интернет-сайте www. etudes. ru.

3. Преобладание на рынке соков и молока, упакованных в картонную тару, в ближайшем будущем, несомненно, сохранится, но это не будет препятствием для появления новых видов упаковки, а тем более для экспериментов в области дизайна, что позволит развивать наш творческий потенциал в области компьютерного моделирования.

4. Предложить разработку новой упаковки для молока ОАО «Молоко».

5. Бережно относиться к окружающей среде, природе и своему здоровью.

6. В своих семьях, рекомендовать друзьям и окружающим приобретать молочные продукты и соки только в безопасной упаковке.