Удивительный мир натуральных чисел

В книге Н. А. Куна «Легенды и мифы Древней Греции» мы нашли миф о Прометее, из которой узнали, что жизнь первых людей была темна и тяжела. Титан Прометей пожалел «несчастных смертных людей» и из горна своего друга Гефеста (бога огня, бога - кузнеца, с которым никто не мог сравниться в искусстве ковать) похитил огонь для них, он научил людей искусствам, дал им знания, научил их счёту, чтению и письму. Он познакомил их с металлами, научил, как в недрах земли добывать их и обрабатывать. Прометей впряг коня в колесницу и сделал его послушным человеку. Мудрый титан построил первый корабль, оснастил его и распустил на нём льняной парус, чтобы быстро нёс человека корабль по безбрежному морю. Раньше люди не знали лекарств, не умели лечить болезни, беззащитны были против них люди, но Прометей открыл им силу лекарств, чтобы смирили они болезни. Он научил их всему тому, что облегчает горести жизни и делает её счастливее и радостнее. Разгневался за это на него всемогущий бог Зевс и приковал Прометея к скалам. Каждое утро прилетал к титану громадный орёл, садился на грудь и клевал его печень, которая вновь вырастала за ночь, чтобы днём дать пищу орлу». Красив подвиг Прометея, но это всего лишь миф, сказка.

Ученые считают, что сначала названия получили только числа 1 и 2. По радио и телевидению часто приходится слышать: «. исполняет солист Большого театра». Слово «солист» означает «певец, музыкант или танцор, который выступает один». А происходит оно от латинского слова «солюс» - один. От этого же латинского слова происходит и «солидарность», то есть единство. Да и русское слово «солнце» похоже на слово «солист». Разгадка очень проста: когда римляне (в древности они говорили по-латыни) придумывали имя числу 1, они исходили из того, что солнце на небе всегда одно. Число один считается символом славы и могущества. Название для числа 2 во многих языках связано с предметами, встречающимися попарно, - крыльями, ушами и т. д. Но бывало, что числам 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями «я» и «ты», а были языки, где «один» звучало так же, как «мужчина», а «два» - как «женщина». Как утверждали древние, число 2 – символ любви и постоянства, но находится в поисках гармонии и равновесия. Всё, что шло после двух, называлось, «много». За числом 2 для наших далёких предков начиналась неизвестность.

( Позднее вместо слова «много» стали применять числительное которое мы называем «три», и у древних греков оно считалось счастливым. То, что число три пришло на смену слову «много», понятно из выражений, например, мать, рассердившись на непослушного сына, говорит ему: «Что я, три раза должна повторять одно и то же!», русская пословица говорит: «Обещанного три года ждут». Числом 3 обозначали весь окружающий человека мир (его делили на земное, подземное и небесное царства), время (прошлое, настоящее, будущее), семью – основу жизни (мать, отец, ребёнок), поэтому число 3 стало у многих народов священным. Это видно из сказок, где число 3 играет особую роль. В них участвуют три брата, три сестры, три девушки:

«У старинушки три сына:

Старший умный был детина,

Средний был и так и сяк,

Младший вовсе был дурак».

(П. П. Ершов. «Конек-Горбунок»)

« Три девицы под окном

Пряли поздно вечерком».

( А. С. Пушкин. « Сказка о царе Салтане». )

Во многих сказках герой сражается с треглавым змеем, в других сказках проходит три царства – медное, серебряное и золотое.

( С числом 4 наши предки связывали четыре стороны света – восток, юг, запад и север, четыре главных ветра, 4 времени года, 4 главные стихии: Огонь, Земля, Вода, Воздух. Символом этого числа был квадрат. Число 4 обозначало устойчивость и прочность.

Число 4 встречается в сказках куда реже. Но о том, что и оно когда-то играло особую роль, видно из русской грамматики. Вслушайтесь, как мы говорим: «одна лошадь», «две лошади», «три лошади», «четыре лошади». Казалось бы, все хорошо: после единственного числа идет множественное. Но, начиная с пяти, мы говорим: «пять лошадей», «шесть лошадей», и будь их хоть миллион, а все равно – «лошадей». Значит, когда-то за числом 4 в русском языке начиналось необозримая область «много».

( Название числа 5 скорее всего связано с русским словом пядь.

( Древние охотники, а потом и древние земледельцы и скотоводы наблюдали за небом. Их внимание издавна привлекало созвездие Большой Медведицы, состоящее из семи звезд.

Существовала еще более глубокая связь между небом и ’’семеркой’’. Следя за изменениями формы лунного диска, люди заметили , что через семь дней после новолуния на небе видна половинка этого диска. А еще через семь дней вся Луна сияет на полуночном небе. Проходит еще семь дней - и опять остается половинка диска, а еще через семь дней на ночном небе сияют только звезды, а Луны совсем не видно. Так пришли они к понятию о лунном месяце, состоявшем из четырех семерок дней, в последствии получившим название «неделя». Но с небом были связаны не только лунные недели. Много тысячелетий тому назад люди заметили, что звезды не меняют своего положения относительно других звезд. И только пять светил: Венера, торопящийся Меркурий, красный Марс, величественный Юпитер и медленный Сатурн перемещаются относительно других звезд. Эти светила получили имя ’’планеты’’ (блуждающие) и стали считаться богами. И конечно, богами были Солнце и Луна. Особенно чтили число семь на Древнем Востоке. Несколько тысячелетий назад между реками Тигром и Евфратом жил народ шумеры. Они обозначали число семь тем же знаком, что и всю вселенную. Некоторые ученые думают, что они выражали этим числом шесть главных направлений (вверх, вниз, вперед, назад, влево, и вправо) да еще то место, от которого идет этот отсчет.

С числом 9 люди связывали рождение человека через 9 месяцев. Оно является символом материального успеха.

Числа 6, 8 – творение ума человеческого.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа, становилась им нужны. Нужны уже были названия, позволявшие называть не единицы, а десятки и сотни. Старые методы счёта вытеснил новый – счёт по пальцам (впрочем, мы уже знаем, что считавшие по пальцам племена встречались ещё очень давно). Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. А в странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Тогда этого практически хватало для большинства потребностей людей.

Пальцы оказались настолько тесно связанными со счётом, что на древнегреческом языке понятия «считать» выражалось словом «пятерить». Да и в русском языке слово «пять» напоминает «пясть» - часть кисти руки. А научившись считать по пальцам до десяти, люди сделали следующий шаг впереди и стали считать десятками.

Во многих языках слово «два» и «десять» созвучны. Может быть, это объясняется тем, что кода-то слово «десять» означало» две руки». И сейчас есть пленена, которые говорят «две руки» вместо «десять» и «руки и ноги» вместо «двадцать». А в Англии первые десять чисел называют общим именем – «пальцы». Значит, и англичане когда-то считали по пальцам.

Вскоре люди стали обозначать числа различными знаками. Любопытны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки.

Примерно две тысячи лет тому назад вавилонянами был придуман нуль. ( Ведь жизнь у каждого из нас начинается с нуля). Нуль был присоединен к девяти цифрам, и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы велико оно ни было.

И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой.

Из того, что мы узнали, можно сделать вывод, что действительно природа помогла людям научиться считать и эти числа по праву называются натуральными

( природными).

Казалось бы на этом можно было поставить точку. Но из истории математики мы узнали:

Первое: люди считали число 7 особенным ( магическим, священным).

Мы решили найти этому подтверждение.

Второе: с помощью нуля люди научились записывать большие числа.

Мы решили узнать: названия каким большим числам придуманы, можно ли назвать самое большое натуральное число, как легче управлять числами.

Проведя небольшое исследование (обратились к знакомым, родственникам, учителям с вопросами; искали ответы в книгах) мы обнаружили следующее:

Великолепная семёрка

( 20 фактов, подтверждающих, почтительное отношение к числу 7: Семи чудесах света (Египетские пирамиды в Гизе, висячие сады Семирамиды в Вавилоне, храм Артемиды в Эфесе, гигантская статуя Зевса в Олимпии, Галикарнасский Мавзолей в Малой Азии, Колосс Родосский: бронзовая фигура Солнца Гелиоса высотой 37 м, Фаросский маяк в Александрийском порту, 143 м. ), о семи цветах радуги – красном, оранжевом, желтом, зеленом, голубом, синем и фиолетовом. Чтобы запомнить порядок этих цветов, школьники заучивают предложения: ’’Как однажды Жак-звонарь головой сломал фонарь’’ или « Каждый охотник желает знать, где сидит фазан», в которых первые буквы слов те, же что и в названиях цветов; Рим и Киев были основаны на семи холмах; согласно индийским преданиям, Будда сидел под фиговым деревом с семью плодами; у вавилонян подземное царство окружено семью стенами; у мусульман небесный свод состоит из семи небес, и все угодные богу попадают на седьмое небо блаженства; у индусов есть обычай дарить на счастье семь слоников; в христианстве говорится о семи смертных грехах и существует семь таинств, Великий пост у христиан длится семь недель, в Библии рассказывается о 7 светильниках, 7 ангелах, 7 годах изобилия и 7 годах голода; отмечено, что существует семь основных этапов в жизни человека; с семи лет наши бабушки и дедушки начинали обучение в школе; нередко, приписывая числу 7 таинственную силу, знахари вручали больному семь разных лекарств, настоянных на семи травах, и советовали пить их семь дней, число 7 широко использовалось в сказках и мифах древнего мира. У Атланта, подпирающего плечами небесный свод, было 7 дочерей плеяд, которых Зевс превратил потом в созвездие, Одиссей 7 лет был в плену у нимфы Калипсо, Белоснежка жила у 7 гномов за 7 горами.

15 крылатых выражении: « Быть на седьмом небе», обозначающее высшую степень блаженства, « За семью морями» - значит далеко, « Семи пядей во лбу» - очень умный, мудрый выдающийся, талантливый человек, « Седьмая вода на киселе» или

« Седьмой квас на гуще», - очень далёкий родственник, « Без году неделя» - недавно,

« Семь вёрст до небес» - очень много наобещать наговорить, «За семь вёрст киселя хлебать» - далеко и попусту идти, ехать, тащиться, « До седьмого колена» - до самых отдалённых поколений, « Семь пятниц на неделе» или «Семь воскресеньев на неделе» - образное обозначение человеческого непостоянства, «Семимильными ( гигантскими) шагами» - очень быстро, « До седьмого пота» – работать, трудиться, до крайнего утомления, полного изнеможения, « За семью печатями» - секретно, « Семь смертных грехов» - плохие, непростительные поступки.

5 понятий : « семерик» - какой – либо счёт, вес или мера в 7 единиц, например, 7 мер хлеба; семья, по рекрутскому уставу в 7 работников; лапти семерики – особого плетения, в семь строк; «семисотная (вёрста)» – старинная мера длины в 700 саженей;

«семик» - это Троицин и Духов день, Пятидесятница, 7 от Пасхи воскресеньев ( в этот день рядят берёзу, водят хороводы.

26 русских пословиц и поговорок ( просмотрев всего две книги): ’’ Семеро одного не ждут’’, Семь раз отмерь - один раз отрежь’’, Один с сошкой – семеро с ложкой’’, Семь бед – один ответ’’, « У семи нянек дитя без глазу», « В осеннее ненастье семь погод на дворе: сеет, веет, крутит, мутит, рвёт, сверху льёт и снизу метёт», «От семи собак на распутье отгрызётся», « Семь раз проверь, а один раз поверь», « Семь лет не виделись, а сошлись – и говорить нечего», « Семь яств, а всё грибы», « Семь дел в одни руки не берут», « За семь вёрст комара искали, а комар на носу», « Из семи печей хлеба едал», «Один день – семь перемен», « Плохо тому, у кого семь пятниц на неделе», « Один рубит, семеро в кулаки трубят», « На пьяницу в семь сох не напашешься», « Всемером пойдём – далеко уйдём», « Рубить семерым, а топор один», « Семерым просторно, а двоим тесно», « А ты, седьмой, у ворот постой», « Один раз прицелься – семь врагов убей», « Семеро одну соломинку подымают», «Лук от семи недуг», «Сам не дерусь, семерых боюсь», « В гору – то семеро тащат, а с горы и один столкнёт».

( 9 сказок, в названиях которых встречается число 7: « Сказка о мёртвой царевне и семи богатырях» А. С. Пушкина, «Волк и семеро козлят», «Семеро храбрецов» братьев Гримм,

« Цветик – семицветик» В. Катаева, « Семь Сименонов», « Семь братьев» в обработке М. Афанасьева, « Семь подземных королей» А. Волкова, «Семилетний стрелок из лука» саамская сказка, по мотивам сказок братьев Гримм создан фильм « Белоснежка и семь гномов».

Вывод: Числу семь действительно придают особое значение.

«Такое почтение числу 7 возможно объясняется тем, что человек воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус) через семь «отверстий» в голове ( два глаза, два уха, две ноздри, рот). Но это лишь предположения. »

Числа - великаны.

Уже у индийцев были названия для очень больших чисел. Миллион они называли «коти», сто миллионов — «врнда», а в легендах о Будде рассказывалось, как он давал имена еще большим числам — вплоть до числа, записываемого единицей с пятьюдесятью нулями.

В XIV веке новой эры венецианский купец Марко Поло совершил неслыханное до той поры путешествие. Пройдя северным побережьем Черного моря, он пересек Волгу, бескрайние азиатские степи и Великим шелковым путем добрался до Китая. Здесь он прожил много лет, наблюдая вещи, о которых тогдашние европейцы и понятия не имели: полеты пороховых ракет, книгопечатание, изготовление фарфора.

Когда он снова оказался в Венеции, рассказам не было конца. И чаще всего в рассказах Марко Поло повторялось слово «миллионе» — большая тысяча. Так он назвал тысячу тысяч. Недоверчивые венецианцы прозвали путешественника Марко Миллионе. Они думали, что он их обманывает: никто из европейских купцов не обладал тогда миллионным состоянием. Им для счета хватало тысяч. Французский математик Шюке по созвучию с миллионом обозначил миллион миллионов словом «биллион». Чтобы записать биллион, надо после единицы поставить 12 нулей. Приставка «би» на латинском языке означает «дважды». Естественно, поэтому, что миллион биллионов назвали «триллион», а миллион триллионов — «квадриллион» (от латинского слова «кватор» — четвертый).

Иная система названий была принята в Англии и Германии. Там тысячу миллионов назвали миллиардом или биллионом, тысячу биллионов — триллионом, а тысячу триллионов — квадриллионом.

Эту систему названий применяют сейчас и в нашей стране. Вот названия некоторых громадных чисел с указанием числа нулей после единицы:

В некоторых странах принят другой порядок названий чисел – гигантов, которые часто совпадают с принятыми у нас, но имеют другие значения.

Названия чисел, превосходящих додециллион, не придуманы. Да и нужны ли они?

В жизни мы эти числа почти не встречаем. А про триллионы или квадриллионы даже в газетах не пишут. Только в науке оказываются нужны такие большие числа.

В 16 г. воздуха содержится примерно септиллион мельчайших частичек вещества, которые ученые называют молекулами.

Могут ли быть ещё большие числа? Каким бы большим ни было число, если к нему прибавить единицу, то получится ещё большее число, а если и к нему прибавить единицу, получим ещё большее – и так без конца. В науке арифметике говорят так:

« Если буквой а обозначить какое – нибудь натуральное число, то а + 1 есть следующее за ним натуральное число». Этим сказано многое: « Нет наибольшего натурального числа: натуральных чисел бесконечно много».

После открытия нуля, древними учёными были найдены способы управляться с натуральными числами. Теперь все они подчинялись арифметическим действиям - сложению, вычитанию (их называют действиями I ступени ), умножению, делению ( их называют действиями IIступени) и порядку выполнения действий, который по версии Писаревой Саши, ученицы 5 класса Б, был однажды нарушен.

« Давным-давно жили четыре брата. Двух старших звали деление и умножение, а двух младших – сложение и вычитание. Жили они дружно и никогда не ссорились. Младшие братья всегда уступали дорогу старшим. Но однажды в их дружных отношениях появилась трещина. Им на пути встретилась скобка. И начался у них беспорядок: младшие рвались вперёд, а старшие не хотели уступать им дорогу. Рассудило их правило порядка выполнения действий. Оно всё расставило на свои места, объявив, что:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нём нет скобок, то сначала выполняются действия второй ступени, потом – действия первой ступени.

3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках

( учитывая при этом правила 1 и 2).

С тех пор в мире натуральных чисел царит порядок».

Они живут по своим законам, которые мы называем свойствами:

- переместительное свойство сложения и умножения,

- сочетательное свойство сложения и умножения,

- свойство вычитания суммы из числа,

- свойство вычитания числа из суммы,

- распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.

и помогают нам при счёте.

Устный счёт – гимнастика ума.

Чтобы легче управлять числами, необходимо уметь производить подсчёты в уме.

Поэтому мы поставили перед собой следующую задачу: « Узнать, какие существуют упрощённые приёмы устного счёта при работе с натуральными числами».

Мы обратились к учителям нашей начальной и старшей школы, с просьбой рассказать нам, каким приёмам устного счёта при работе с натуральными числами они обучают на уроках математики своих учеников, а также к книгам. Вот что мы узнали.

Сложение и вычитание натуральных чисел.

1. При выполнении устных вычислений двузначные числа следует представлять в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое – число десятков, второе число единиц.

Чтобы считать было легче можно прибавлять до круглого числа, отнимать до круглого числа, вычитать по частям, прибавлять по частям, применять переместительное и сочетательное свойства сложения.

Примеры и решения.

18 = 10 + 8; 24 = 20 + 4; 38 = 30 + 8.

2. Чтобы быстро найти сумму двух однозначных чисел до 10 и более, надо выполнить в уме несколько операций. Например: 8 + 5 = 13.

- Найти число, которое нужно прибавить к 8, чтобы получить 10 ( это 2 );

- Вычесть это число из 5;

- остаток ( 3 единицы ) прибавить к 10.

12 + 4 = (10 + 2) + 4 = 10 + (2 + 4) = 10 + 6 = 16

8 + 5 = 8 + ( 2 + 3) = (8 + 2 ) + 3 = 10 + 3 = 13

56 – 10 = (50 + 6) – 10 = (50 – 10) + 6 = 46

25 – 9 = 25 – (5 + 4) = (25 – 5) – 4 = 20 – 4 = 16

3 + 16 = 16 + 3 = (10 + 6) + 3 = 10 + ( 6 + 3) = 10 + 9 = 19

15 + 12 + 5 = 15 + 5 + 12 = 20 + 12 = 32

Умножение натуральных чисел.

Легко умножать нам помогают следующие свойства: умножение числа на ноль, на 1, на 10, 100,1000 , переместительное, сочетательное, распределительное свойства умножения.

1. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

72 ( 11 = 7 ( 7 + 2 ) 2 = 792

35 ( 11 = 3 ( 3 + 5 ) 5 = 385

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю ( третью) оставить без изменения.

94 ( 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034

73 ( 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803

2. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, , 99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа ( от 2 до 9) на 11, т. е. 44 = 4 ( 11.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 ( 22 = 48 ( 2 ( 11 = 96 ( 11 = 9 ( 9 + 6 ) 6 = 9 ( 15) 6 = ( 9 + 1) 56 = 1056

23 ( 33 = 23 ( 3 ( 11 = 69 ( 11 = 6 ( 6 + 9 ) 9 = 6 ( 15 ) 9 = ( 6 + 1) 59 =759

16 ( 55 = 16 ( 5 ( 11 = 80 ( 11 = 8 ( 8 + 0 ) 0 = 880

3. Чтобы чётное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другое – уменьшить во столько же раз , произведение не изменится.

44 ( 5 = ( 44 : 2) ( 5 ( 2 = 22 ( 10 = 220

28 ( 15 = ( 28 : 2) ( 15 ( 2 = 14 ( 30 = 420

26 ( 35 = (26 : 2) ( 35 ( 2 = 13 ( 70 = 910

14 ( 85 = (14 : 2) ( 85 ( 2 = 7 ( 170 = 1190

4. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

( На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4).

124 ( 25 = 124 : 4 ( 100 = 3100

1716 ( 25 = 1716 : 4 ( 100 = 42900

5. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

12100 : 25 = 12100 : 100 ( 4 = 484

3100 : 25 = 3100 : 100 ( 4 = 124

6. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.

( На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).

32 ( 125 = 32 : 8 ( 1000 = 4000

3168 ( 125 = 3168 : 8 ( 1000 = 396 000

7. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.

4000 : 125 = 4000 : 1000 ( 8 = 32

9000 : 125 = 9000 : 1000 ( 8 = 72

8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

15 ( 15 = ( 1 ( 2) 25 = 225

25 ( 25 = ( 2 ( 3) 25 = 625

35 ( 35 = ( 3 ( 4) 25 = 1225

9. Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

81 ( 31 = ? 81 ( 31 = 2511

8 ( 3 = 24

8 + 3 = 11

1 ( 1 = 1

21 ( 31 = ? 21 ( 31 = 651

2 ( 3 = 6

2 + 3 = 5

1 ( 1 = 1

91. ( 71 = ? 91 ( 71 = 6461

9 ( 7 = 63

9 + 7 = 16

1 ( 1 = 1

Удивительные равенства и любопытные свойства натуральных чисел.

Просматривая книги в поисках нужной информации, мы находили удивительные равенства и любопытные свойства натуральных чисел, которые обнаруживаются при выполнении над ними арифметических действий. Приводим примеры некоторых из них.

1. Ещё в древности было замечено, что некоторые числа равны сумме своих делителей, кроме самого себя.

6 = 1 + 2 + 3, а ещё 6 = 1 ( 2 ( 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

2. Среди натуральных чисел обнаружено несколько пар таких, что сумма и произведение чисел каждой пары отличаются только расположением цифр. Например,

9 + 9 =18 9 ( 9 = 81; 263 + 2 = 265 263 ( 2 = 526; 24 + 3 = 27 24 ( 3 = 72;

497 + 2 = 499 497 ( 2 = 994; 47 + 2 = 49 47 ( 2 = 94.

3. Для нескольких пар чисел замечено свойство: произведение чисел не изменится, если в каждом сомножителе переставить цифры.

Например, 13 ( 93 = 31 ( 39; 14 ( 82 = 41 ( 28; 23 ( 64 = 32 ( 46; 12 ( 42 = 21 ( 24;

12 ( 63 = 21 ( 36; 12 ( 84 = 21 ( 48; 13 ( 62 = 31 ( 26; 23 ( 96 = 32 ( 69;

24 ( 63 = 42 ( 36; 24 ( 84 = 42 ( 48; 26 ( 93 = 62 ( 39; 34 ( 86 = 43 ( 68;

36 ( 84 = 63 ( 48; 46 ( 96 = 64 ( 69; 682 ( 143 = 341 ( 286;

462 ( 132 = 231 ( 264; 20 646 ( 35 211 = 11 253 ( 64 602.

4. Проверьте следующие равенства. Они все верны.

а) 23 + 32 = 14 + 41; 28 + 82 = 19 + 91; 43 + 34 = 16 + 61;

522 + 225 = 324 + 423; 287 + 782 = 485 + 584; 334 + 433 = 136 + 631; б) 999 ( 77 = 777 ( 99

5. Если вычислить значение данных выражений. Можно заметить удивительное свойство а) 1 ( 9 + 2 = 11; 12 ( 9 + 3 = 111; 123 ( 9 + 4 = 1 111; 1234 ( 9 + 5 = 11 111;

12345 ( 9 + 6 = 111 111; 123456 ( 9 + 7 = 1 111 111; 12344567 ( 9 + 8 = 11 111 111;

12345678 ( 9 + 9 = 12345679 (9 =0 111 111 111 б) 142857 ( 7 = 999 999 12345679 ( 81 = 9 999 999 999 98765432 ( 9 = 8 888 888 888

6. Возьмём любое четырёхзначное число, например, 2519 и расставим его цифры вначале в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: 9 5 2 1 и 1 2 5 9. Из большего числа вычтем меньшее: 9521 – 1259 = 8262. С полученным числом проделаем то же самое:

8622 – 2268 = 6354. И ещё один такой же шаг: 6543 – 3456 = 3087. Далее,

8730 – 0378 = 8352, 8532 – 2358 = 6174. Сделаем ещё один шаг: 7641 – 1467 = 6174. Снова получилось 6174. Мы «зациклились». От числа этот процесс не зависит.

Какое бы четырёхзначное число мы ни взяли, после не более чем семи ( снова семи!) шагов обязательно получится это же число 6174.

Интересные свойства имеют квадраты и кубы чисел.

7. 12 = 1, 22 = 1 + 3 32 = 1 + 3 + 5

42 = 1 + 3 + 5 + 7 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

8. 13 + 23 = (1 + 2)2

13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2

13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2

На досуге.

Ещё большее удивление у нас вызвало то, что с помощью натуральных чисел можно нескучно проводить досуг со своими друзьями. Приводим примеры некоторых математических развлечений.

Как я узнаю?

Номер дома, где вы живете умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25, прибавьте к полученному произведению свой возраст ( целое число ваших лет) и число 125. Скажите мне какое у вас получилось число и я назову вам номер дома, в котором вы живете и сколько вам лет.

Ответ: Пусть а – порядковый номер дома, в – ваш возраст, тогда ( 4а + 7) 25 + в + 125 =

= 100 а + 175 + в + 125 = 100 а + в + 300 ( Из названного ответа отнимаем 300, две последние цифры означают возраст, следующие - номер дома)

Сколько братьев и сколько сестер?

Вы можете узнать, сколько братьев и сколько у вашего товарища. Пусть он прибавит к числу братьев 3, полученное число умножит на 5, к полученному произведению прибавит 20, сумму умножит на 2, прибавит число сестер и еще 5. По названному результату этих вычислений вы можете легко установить, сколько братьев и сестер у вашего товарища. Как вам это сделать?

Ответ: Пусть а – число братьев, в – число сестёр, тогда ((а + 3) 5 + 20)2+ в + 5 =

(5а + 15 + 20) 2 + в + 5 = 10 а + 70 + в + 5 = 10 а + в + 75

Угадайте возраст и дату рождения.

Пообещайте своим товарищам угадать возраст и дату рождения каждого из них. Для этого необходимо каждому из них проделать следующие вычисления. Порядковый номер месяца рождения умножить на 100 и к получившемуся числу прибавить число месяца на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму умножить на 2 и к тому, что получилось прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и сумму умножить на 10. К тому что получиться, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, напишет свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Это так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа на лево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая число и третья порядковый номер месяца рождения.

Ответ: Пусть а – порядковый номер месяца рождения, в – число этого месяца и с – число лет. Тогда, ((( 100 а + в) 2 + 8) 5 + 4)10 + с + 4 = 10000а + 100в + с + 444

Мгновенное суммирование.

Пусть кто-нибудь из ваших товарищей молча запишет на доске разность двух чисел. Вычислять разность не нужно. Тот кто записал первую разность или другой должен будет далее написать новую разность так, чтобы вычитаемым во второй разности было уменьшаемое первой разности. Производить вычисления также не нужно. Затем записывается третья разность так, чтобы вычитаемое было равно уменьшаемому второй разности. Продолжая, можно записать на доске любое число таких разностей. Пока это делается, вам на доску смотреть не следует. Как только все разности будут записаны, повернитесь к ней лицом, посмотрите на записи и вы сможете сказать, чему будет равна сумма всех записанных, но не вычисленных разностей. Для этого вам нужно будет из уменьшаемого последней разности вычесть вычитаемое первой разности. Пусть, например, на доске будут записаны такие разности : 340 – 80 ; 450 – 340 ; 620 – 450 ; 680 – 620 ; 700 – 680 ; 825 – 700 ; 900 – 825. Сумма всех этих разностей будет равна 900 – 80 , т. е. 820.

Ответ: Пусть а – в – первая разность. Тогда вторая будет с – а, третья d – с, четвёртая е – d и так далее. Сумма их будет равна а – в + с – а + d – с + е – d = е - в

Угадайте задуманный час.

Воспользуйтесь картонной моделью циферблата часов. Пусть ваш товарищ задумает, который час (1, 2, 3,. 12). Объясните, что вы указкой будете показывать числа на циферблате. Каждый раз ваш товарищ должен прибавлять сначала к задуманному им часу единицу, затем к получившейся сумме единицу и так далее. Когда у него получится 20 , он должен сказать « стоп ». В этот момент ваша указка должна показать задуманный товарищем час. Чтобы это случилось, поступайте так. Первые 7 раз показывайте какие угодно числа на циферблате часов. В восьмой раз покажите 12 , а дальше показывайте по порядку 11, 10, 9 и так далее.

Любимая цифра.

Спросите у ваших товарищей любимую цифру. Пусть один назовет вам 4. Предложите 4 умножить на 9, а затем на получившееся произведение умножить число 12 345 679. В результате у него получиться число 444 444 444, т. е. число, записанное с помощью только любимой им цифры. Если кто-нибудь любит 8, то предложите ему 8 умножить на 9, а затем умножить число 12 345 679 на получившееся произведение 72. У него получиться число, записанное с помощью лишь любимой им цифры 8. Если кто-нибудь назовет вам 0, то скажите что 0, конечно очень важная цифра, но лично вы её не любите и попросите назвать другую цифру.

Ответ: Здесь используется удивительное равенство 12345679 ( 9 = 111 111 111

Защита проекта: выступление участников проекта на научно – практической конференции школьников.

Анализ работы: В ходе работы мы расширили знания по теме « Натуральные числа», научились собирать информацию, анализировать, делать выводы.

Но нам трудно ещё выделять главное и не всегда получается слаженно работать в группе.