Свойства четырехугольника

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые свойства были известны пифагорейцам.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках в 17в. Все теоремы о параллелограммах основывается непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Термин «квадрат» происходит от латинского «сделать четырехугольным» , перевод с греческого «тетрагонон» - четыреугольник.

«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» ( по гречески «трапедзион» означает столик, обеденный стол. Сравните трапеза, трапезная).

В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1в. ). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник ( не параллелограмм); лишь в 18в, это слово приобретает современный смысл.

Сравнение учебников по теме «Четырехугольник»

Темы: Учебник Погорелова Учебник Атанасяна

Определение четырехугольника + -

Элементы четырехугольника + -

Сумма углов четырехугольника - +

Периметр четырехугольника + -

Определение параллелограмма + +

Свойства параллелограмма - +

Определение прямоугольника + +

Свойства прямоугольника + +

Определение ромба + +

Свойства ромба + +

Определение квадрата + +

Свойства квадрата + +

Определение трапеции + +

Средняя линия трапеции + -

Виды трапеции - +

Темы даны хаотично, некоторые темы раскрыты в обоих учебниках по-разному.

Параллелограмм

Учебник Погорелова Учебник Атанасяна

Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у которого Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на противолежащие стороны попарно параллельны.

параллельных прямых.

Свойства 1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой 1. В параллелограмме противолежащие стороны равны и пересечения делятся пополам. противоположные углы равны.

2. У параллелограмма противолежащие стороны равны, 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся противолежащие углы равны. пополам

Признаки Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник то этот четырехугольник – параллелограмм.

- параллелограмм 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник –

параллелограмм.

Прямоугольник

Учебник Погорелова Учебник Атанасяна

Определение Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые углы прямые

Свойства Диагонали прямоугольника равны Диагонали прямоугольника равны

Признаки Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник

Учебник Погорелова Учебник Атанасяна

Определение Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны равны.

Свойства Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов пополам.

Квадрат

Учебник Погорелова Учебник Атанасяна

Определение Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны равны

Свойства 1. У квадрата все углы прямые. 1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны. 2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой

3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом пересечения делятся пополам и деля углы квадрата пополам и являются биссектрисами его углов.

Трапеция

Учебник Погорелова Учебник Атанасяна

Определение Трапецией называется четырехугольник, у которого Трапецией называется четырехугольник, у которого две только две противолежащие стороны параллельны. стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Виды Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется 1. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые равнобокой. стороны равны.

2. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Классификация свойств по видам

Парал- Прямоуголь-ник Ромб Квадрат Трапеция лелограмм

2. У параллелограм-ма 2. У прямоугольника все углы 2. У ромба противолежа-щие углы 2. У квадрата противолежа-щие противолежа-щие углы равны прямые равны все углы прямые

3. У параллелограм- ма диагонали3. У прямоугольника диагонали 3. У ромба диагонали 3. У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересекаются и точкой пересекаются и точкой пересекаются и точкой пересечения делятся пополам пересечения делятся пополам пересечения делятся пополам пересечения делятся пополам

4. У прямоугольника диагонали 4. У ромба диагонали 4. У квадрата диагонали равны равны пересекаются под прямым углом

5. У ромба диагонали являются биссектрисами его углов

Свойства четырехугольников, отсутствующие в учебниках.

1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равен сумме квадратов сторон.

2. У равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны.

3. В окружность можно вписать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.

4. В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равны.

5. Около трапеции можно описать окружность, если трапеция равнобедренная.

Формулы четырехугольников.

Четырехугольник Площадь Периметр Диагональ Углы

Квадрат S = а² Р =4а d= а√ 2 α = β = γ = δ = 90°

Прямоугольник S = ав Р =2(а+в) d= √ а²+ в² α = β = γ = δ = 90°

Параллелограмм S = аһ Р =2(а+в) α + γ = β + δ

S = ав ѕinφ α + β = γ + δ = 180°

S =½ d1 d1 ѕinφ d1² + d1²= 2(а² + в²)

Ромб S = аһ Р =4а d1² + d1²= 4а² α + γ = β + δ

S =½ d1² d² α + β = γ + δ = 180°

S = а² ѕinφ

Трапеция S =½ (а + в)һ Р=а+в+с+д α + β = γ + δ = 180°

Классификация задач по видам

Виды четырехугольников Сколько задач в учебнике Погорелова Сколько задач в учебнике Атанасяна

Параллелограмм 19 13

Прямоугольник 6 4

Ромб 5 5

Квадрат 6 3

Трапеция 12 6

Отсюда видно, что задач в учебнике Погорелова больше, чем в учебнике Атанасяна.

Изучив и исследовав тему «Четырехугольник» в двух учебниках и в разных литературах мы пришли к следующему:

• В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции;

• Темы в двух учебниках даны хаотично, некоторые темы раскрыты по-разному;

• Сравнив определения, свойства, признаки узнали, что почти все определения, свойства, признаки одинаковые, но есть разницы;

• Сравнив задачи в двух учебниках вывели, что задач в учебнике Погорелова больше чем у Атанасяна;

• Составив классификацию свойств по видам, мы узнали, что пять свойств у ромба, по четыре свойства у прямоугольника и квадрата, три свойства у параллелограмма и одно свойство у трапеции;

• Нашла дополнительно 5 свойств четырехугольников,формулы S, Р, d и углов;

• Прямоугольник, ромб, квадрат являются частным видом параллелограмма, поэтому все они берут свойства параллелограмма;

Отсюда видно, что учебник Погорелова А. В. – учебник по которому мы учимся, лучше чем учебник Атанасяна.