Теория чисел

Теория чисел - это раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории – натуральные числа. Главное свойство, которое рассматривает теория чисел это делимость.

Вопрос делимости чисел интересовал математиков давно.

Так, например об этом говорится в «Началах» Евклида. Книги VII- IX посвящены арифметики, т. е. теории целых и рациональных чисел (она была известна пифагорейцам не позднее v века до нашей эры). Помимо теорем относящихся к сложению и умножению целых чисел и их отношений, в них рассматриваются и вопросы теории чисел: вводится алгоритм Евклида, излагаются основы теории делимости целых чисел, доказывается знаменитая теорема о том, что простых чисел бесконечное множество.

В своём исследовании я коснусь только вопроса делимости натуральных чисел. Рассмотрю различные признаки делимости и предложу подборку задач для решения, которых применяются признаки делимости.

Хочу обратить ваше внимание на различия в терминах делимость и деление. Делимость - это деление без остатка.

Часто утверждение о делимости числа a на число b выражают другими равнозначными словами: a кратно b, b – делитель a или же b делит a.

В нашей жизни очень часто возникает ситуация когда надо быстро определить делится одно число на другое или нет. Предположим, вы купили в магазине 3 ластика, 6 простых карандашей и 9 одинаковых тетрадей, а продавец вам говорит: «С вас за покупку 10 рублей».

Даже не зная точной цены покупки, можно сразу понять, что продавец ошибся. Вовсе не потому, что в наше время товар столько не может стоить, а потому, что итоговая стоимость покупки обязательно должна быть кратна 3, но 10 рублей (1000 копеек) на 3 не делиться.

Сегодня я хочу поговорить о способах, которые помогут быстро ответить на вопрос, делится или не делится. В школе мы изучали некоторые признаки делимости. Предлагаю их вспомнить.

Из предложенных чисел: 27 458, 231 560, 567235, 111 333 999, 1548 выберите число, делящееся на 2, на 5, на 3, на 9, и на 10.

Признак делимости на 2. Число n делится на 2 в том и только том случае, если его последняя цифра делится на 2, т. е. последняя цифра числа четная.

Признак делимости на 5. Число n делится на 5 в том и только в том случае, если его последняя цифра 0 или 5.

Примеры чисел делящихся на 5

Признак делимости на 10. Слайд 10 Число n делится на 10 в том и только том случае, если оно оканчивается на цифру 0. Чтобы число n делилось на одну из разрядных единиц (10,100, 1000, и т. д. ) необходимо, чтобы в числе n последние цифры были нули. В том количестве, сколько нулей содержится в записи разрядной единицы.

Признаки делимости на 2, 5, 10, 100 и т. д. можно назвать визуальными, потому что сразу видно делиться или не делиться. Следующие признаки требуют не сложных вычислений.

Признак делимости на 9. Число n делится на 9 в том и только том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Предлагаю рассмотреть доказательство этого утверждения.

Вспомним, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких круглых чисел – десятков, сотен и т. д. и возможно какого-то количества единиц.

Например, 522= 5*100+ 2*10+2 , т. е. 5-сотен, 2-десятка и 2 единицы.

Составляющие этого числа можно сгруппировать и по-другому. Выделим в отдельную группу сумму всех цифр числа 522 (5 + 2 + 2 = 9). Тогда среди оставшихся слагаемых окажутся круглые числа с вычетом «дани» (500 – 5 = 495, 20 – 2 = 18), уплата которых делает их кратными 9. т. е. 522= 9+495+18. как видим, все слагаемые кратны 9.

Формальное доказательство:

Число n=10knk+10k-1nk-1++10n1+n0, где n0, n1, n2, , nk цифры в десятичном представлении числа n запишем в виде суммы n= (nk+nk-1+ +n1+n0) + (10k-1)nk +(10k-1-1)nk-1+ +(10-1)n1).

Первая скобка представляет собой сумму цифр числа, а вторая скобка – всё, что остаётся после вычета суммы цифр; это число заведомо делится на 9.

Признак делимости на 3.

Число n делится на 3 в том и только том случае, если сумма цифр его числа делится на 3.

У признаков делимости на 3 и на 9 есть примечательные особенности. Они могут применяться многократно: сначала к самому числу, потом к сумме его цифр, затем к сумме цифр полученного числа и т. д. , пока начальное, сколь бы ни было огромное, число постепенно не «свернётся» в одну-единственную цифру.

Например

74 653 182

7+4+6+5+3+1+8+2= воспользуемся сочетательным законом сложения (7+2)+(4+5)+(6+3)+(1+8)=9+9+9+9= 9*4=36

3+6=9 , 9 делится на 3, следовательно, число 74 653 182 кратно 3 и 9.

Признак делимости на 4. Число n делится на 4 в том и только в том случае, если на 4 делится число, образованное из двух последних цифр числа n.

Например:

На 4 делится число 56739824 т. к. последние две цифры 2 и 4 образуют число 24 кратное 4.

Подумайте, какими цифрами должно заканчиваться число 913537652 **, чтобы оно делилось на 4? Ответ: 04, 16, 32 и т. д.

Замечание: Слайд 19 Целое число, делясь на два взаимно простых числа, делится и на их произведение. Напомним, что взаимно простыми называют числа, не имеющие отличных от единицы общих делителей. На этом факте основаны следующие признаки делимости:

Признаки делимость на 6, 12, 15, 18 и многие другие.

6 = 2*3, на 18 = 2*9, на 12 = 3*4, на 15 = 3*5 , на 36=4*9

Итак, перечислим делители числа, 1548 которые можно установить по признакам делимости: 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36

Задача 1

Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на каком месте надо дописать, чтобы полученное число делилось на 36?

Решение:

Искомое число должно делиться на 4 и 9 (4*9=36 т. к. 4 и 9 взаимно простые числа). Дописав к данному числу цифру 5, получим число, кратное 9. Чтобы полученное число делилось на 4, цифру 5 допишем в разделе десятков.

Искомое число – 257652

Задача 2

Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

Решение:

24=4*3*2 (взаимно простые множители)

Данное число не делится на 4, поскольку число, составленное из двух его последних цифр — 34 — не делится на 4. А, значит, указанное в условии число не делится и на 24.

Замечание. Делимостью на 3 воспользоваться не удастся, т. к. данное число делится на 3.

Старинна притча.

Давным-давно жил- был старик, который, умирая, оставил, своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему - четвёртую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в целых верблюдах решения не имеет), братья решили обратиться к мудрецу.

- О! мудрец! – сказал старший. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему - четверть, младшему пятую часть. Но 19 не делиться ни на 2, ни на 4 , ни на 5. Можешь ли ты нам помочь, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец, - возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья вернулись домой, и легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4, и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда, при этом один верблюд остался. (10+ 5+4=19), Раздосадованные братья пришли к мудрецу опять.

- О! мудрец, опять мы не можем выполнить волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Существуют и другие менее известные признаки делимости.

Признак делимости на 8 Число n делится на 8 в том и только в том случае, если на 8 делится трёхзначное число, образованное из трёх последних цифр числа n.

1032 делится на 8

543 217 888 делится на 8,

9 576 331 320 делится на 8 и т. д.

Задача 3: Что это за число? Если к нему прибавить 7, то оно разделится на 8. Если к нему прибавить 8, то оно разделиться на 9. Число это двухзначное.

Решение: Пусть ** искомое число.

1. Если ** разделить на 8, то остаток составит 1т. к. после прибавления числа 7 искомое число кратно 8.

2. Если ** разделить на 9, то остаток опять составит 1 т. к. после прибавления 8 искомое число кратно 9. Двухзначное число кратное 9 и кратное 8 с остатком 1 это 73.

Задача 4: Число 132 знаменательно тем, что оно кратно каждой входящей в него цифре: и 1, и 3, и 2. В этом легко убедится по соответствующим признакам.

Вместо знака * подберите такие цифры, чтобы образовавшиеся трёхзначные числа были бы кратны входящим в их запись цифрам. 3*5, *16, 3*4

Ответ: 315; 216; 324.

Задача 5. Пятизначное число 34A4B кратно 3 и 5 , но не кратно 9.

Найдите A и B.

Ответ: 34545 или 34845

Признак делимости на 7. Число n делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число p=n0+3n1+2n2-(n3+3n4+2n5)+

(здесь, как и ранее, n0, n1, n2,- цифры единиц, десятков, сотенчисла n).

Например:

378* 7 = 2646, p= 6 + 3*4 + 2*6 – 2 = 28, 28 делится на 7.

1531*7= 10717, p = 7+ 3*1+2*7 – (0+3*1)=21, 21 делится на 7.

Возьмём произвольное число, например 1999. И проверим его на кратность 7.

P= 9+3*9+ 2*9 – 1 = 53, 53 не делится на 7, следовательно на 7 не делится и число 1999.

Задача 6: Произведение четырёх последовательных чисел равно 1680. Найдите эти числа.

Решение: Воспользуемся признаками делимости и разложим данное число на простые множители. 1680=2*2*2*2*3*5*7=5*6*7*8.

Искомые числа 5;6;7;8.

Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2, 4, 8 то можно найти признак делимости на степень числа 2 Слайд 35 (т. е. 2m , где m = 1, 2, 3, 4).

Число n делится на 2m в том и только в том случае, если на 2m делится m- значное число, которое образуют m последних цифр числа.

Например:

Делимость на 2 определяется по последней цифре. Делимость на 4 =22 по 2 последним, делимость на 8=23 по 3 последним, а делимость на 16=24 будет определяться по последним 4 цифрам числа.

Докажем этот факт:

Действительно, исходное число N можно представить в виде суммы двух слагаемых: одного, оканчивающего m нулями, т. е. 10m, и другого, образованного из m последних цифр числа N. N= 10m + M, где M число записанное m последними цифрами числа N. Первое слагаемое делится на 10m, а значит, на 2m ,поскольку 10m=5m*2m. Таким образом, вопрос о делимости на 2m исходного числа всецело зависит от делимости на 2m второго слагаемого.

Признак делимости числа n на степень пятёрки 5m(m=1, 2, 3)

Этот признак схож с признаком делимости числа n на степень двойки 2m. Это вполне естественно ведь делители 2 и 5 играют совершенно одинаковую роль в образовании основания десятичной системы счисления- числа 10=2*5.

Так, например можно рассмотреть признак делимости на 25.

Натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делятся на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 двухзначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. (625 делится на 25, 1350 делится на 25 , 64 863 575 делится на 25).

Знаете ли вы?

Число на гробнице. В египетской пирамиде на гробнице начертано число 2520. Почему именно этому числу выпала « такая честь»? Одна из версий: данное число делится на все без исключения натуральные числа от 1 до 10.

Решение: Разложим на простые множители. 2520=2*2*2*3*3*5*7. Получаем, что данное число действительно делится на 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10.

Задача 5: Сколькими нулями оканчивается произведение 1*2*3**2004?

Решение: 1. Сколько множителей делится на 625? 625, 1250, 1875 – 3 числа;

2. Сколько - на 125? 125, 250, 750, 4*125= 500 и т. д. всего 16 чисел.

3. Сколько - на 25? 25,2*25, 3* 25 и т. д. всего 80 чисел.

4. На 5 делятся 400 чисел.

Значит всего 400+ 80+ 16+ 3 =499.

Итак, данное произведение делится на 5499. Среди множителей данного выражения чётных - 1002 числа.

Исходное произведение будет оканчиваться 499 нулями.

Задача 6: Произведение четырёх последовательных чисел равно 1680. Найдите эти числа.

Решение: Воспользуемся признаками делимости и разложим данное число на простые множители. 1680=2*2*2*2*3*5*7=5*6*7*8.

Искомые числа 5;6;7;8.

Признак делимости на 11. Число n делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на чётных местах, на величину, кратную 11.

Например:

Число 1331 делится на 11 т. к. сумма чисел стоящих на чётных местах равна 4, а сумма числе стоящих на нечётных местах – 4.

Разность равна 0. 0 кратен 11.

Аналогично проверяя, убеждаемся, что 89485 кратно 11 , 9603 делится на 11.

8+4+5=17 на нечётных местах и 9+8= 17 на чётных для числа 89 485.

9+0=9 на нечётных местах и 6+3=9 на чётных для числа 9 603.

Проверим на кратность 11 числа 173 589 624.

На нечетных местах: 1+3+8+6+4=22

На чётных местах: 7+5+9+2 =23

Разность 23 - 22=1 не кратна 11. Следовательно, исходное число не кратно 11.

Задача 7: Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычёркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.

Решение: Пусть искомое число an an-1a2a1.

1. Может ли оно содержать цифру 0? Разумеется, нет, т. к. вычеркиванием всех остальных цифр получим число 0, которое делится на 11.

2. Могут ли в нём содержаться две одинаковые цифры? Рассуждая аналогично , заметим, что тоже нет. Действительно, вычёркнув остальные цифры, мы получим двухзначное число, состоящее из двух одинаковых цифр. Оно, разумеется, делится на 11.

Вывод: искомое число не более чем девятизначное – состоит из различных цифр и не содержит нуля. Наибольшее среди таких чисел 987 654 321.

Признаки делимости на 13. Число n делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число n, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения этой цифры.

Например:

13*4= 52 Зачёркиваем последнюю цифру и получаем n =5 + 4*2=13, 13 делится на 13. 13* 23 = 299, n= 29 + 4* 9 = 65. Повторим процедуру: n= 6+ 4*5= 26, 26 делится на 13. 15* 34=510 не кратно 13, n= 51 + 4*0 = 51, 51 не делится на 13.

Число Шахразады 1001. Слайд 42

1001=7*11*13 – равно произведению трёх последовательных простых чисел. Числа вида abcabc= abc * 1001 делится на 11, на 13, на 1001.

1001=7*11*13= 7*143=13*77=11*91.

Различные задачи на делимость:

Задача 1. Для новогодних подарков приготовлены орехи. Их можно разложить поровну в 15 кульков, а можно – и в 20. Сколько было орехов?

Решение:

Количество орехов должно быть кратно 15 и 20.

15=5*3 и 20=4*5, Искомое число должно делиться на 5, на 3, на 4=2*2 т. е. должно быть четным, оканчиваться 0 и сумма цифр должна быть кратной 3.

Из ряда чисел 10. 20. 30. 40. 50. 60. подходит число 60 под все перечисленные условия.

Задача 2. Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами делится на 3, 7, 13, и 37

Доказательство:

Шестизначное число, записанное 6 одинаковыми цифрами можно представить в виде суммы: a* 10 6+ a* 10 5+ a* 104+ a* 10 3+ a* 10 2+ a* 10 1+ a* 10 0= а (10 6+ 10 5+ 104+ 10 3+ 10 2+ 10 1+ 10 0) = 111 111*а,

Число 111 111 делится на 3, т. к. сумма цифр этого числа равна 6.

Проверим делимость на 7, используя соответствующий признак делимости:

P= 1+3*1+2*1-(1 +3*1+2*1) =0, 0 делится на 7, Следовательно и 111 111 делится на 7.

Проверим делимость на 13, P= 11 111 + 4*1=11 115,

P =1111+4*5=1131?

P = 113+4*1=117

P = 11 + 4*7= 39, 39 делится на 13.

Значит, 111 111 делится на 13.

Осталось доказать делимость на 37. Можно «простым» деление в столбик. 111 111: 13 = 3003.

В результате получили: число, записанное шестью одинаковыми цифрами, действительно делится, на 3, 7, 13. и37.

Задача 3. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, на 3 – остаток 2, на 4 – 3, на 5- 4, на 6 – 5, на 7 – 6, на 8 – 7, на 9 – 8, на 10 – 9.

Решение: Если прибавить к искомому числу 1, то полученное число будет делиться на 2;3;4;5;6;7;8;9:10. Это - 2520 ,знаменитое число с египетской гробницы. Значит искомое число 2519.

Задача 4

Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

Решение:

24=4*3*2 (взаимно простые множители)

Данное число не делится на 4, поскольку число, составленное из двух его последних цифр — 34 — не делится на 4. А, значит, указанное в условии число не делится и на 24.

Замечание. Делимостью на 3 воспользоваться не удастся, т. к. данное число делится на 3.

Задача 5

Известно, что 35! =10333147966386144929*66651337523200000000 (через n! обозначается произведение натуральных чисел от 1 до n) Найдите цифру, замененную звездочкой.

Подсказка Число 35! делится на 9.

Решение:

Воспользуемся признаком делимости на 9. Поскольку число 35! делится на 9, сумма цифр этого числа также должна делиться на 9. Нетрудно посчитать, что сумма цифр (за исключением звездочки) написанного числа дает остаток 3 при делении на 9. Отсюда следует, что единственная возможность, при которой сумма цифр данного числа делится на 9 - когда цифра, замененная звездочкой, равна 6.

Задача 6.

Какое количество ладей нужно поставить на шахматную доску 8*8, чтобы все белые клетки были под боем этих ладей?

(Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья) Нужно 4 ладьи. Всего на поле белых клеток 32. По четыре в восьми рядах: 8х4=32. Ладья может бить 8 клеток сразу (4 по вертикали и 4 по горизонтали). Отсюда 32 : 8 = 4 ладьи. Осталось их расставить так, чтоб они не дублировали клетки друг друга, Иначе условие, что ладья должна бить 8 уникальных клеток - не выполняется. Расставили их так (А1 - справа внизу - белая): B7, D5, F3, G1"

Решение:

Ответ 7 ладей, пусть у нас левый нижний угол будет черным, тогда поставив на него ладью, бьем все белые клетки первого ряда первого столбца. Теперь получаем доску 7х7. Проведя точно такие же рассуждения для нее, получим доску 6х6. И т. д. пока не получим остаток доски размером 1х1, очевидно он будет черным - мы то начинали ставить на черные клетки и шли дальше по черной диагонали, а раз он черный, то ладья для него не нужна. Следовательно, всего нужно будет 8-1=7 ладей. В общем случае для доски размером N * N потребуется ладей N-1.

Задача 7. Кроссворд

По горизонтали:

А) 452: 2

В) 585: 5

Б) 10100: 10

Г) 2036: 2

Д) 100050: 10

Е) 134: 2

По вертикали:

Б) 5555: 5

К) 83590: 10

И) 84021432: 2

Ж) 1050: 5

З) 1208: 2

Задача 8.

В десятизначном числе все цифры встречаются по разу. Может ли оно делиться на 11?

Задача 9

Шесть игральных кубиков нанизали на спицу (протыкая спицей, центры противоположных граней кубиков) так, что каждый может вращаться независимо от остальных. На гранях каждого кубика написаны все цифры от 1 до 6, причём сумма цифр на противоположных гранях равна 7. Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях кубиков. Докажите, что можно так повернуть кубики, чтобы это число делилось на 7.

Задача 10

В ряд стоят 100 фишек. Разрешается поменять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли переставить все фишки в обратном порядке?

Задача 11

Шестиклассник Петя перемножил все числа от 1 до 2000. У полученного числа он подсчитал сумму цифр, затем подсчитал сумму цифр результата, и так далее, пока не получил число, состоящее из одной цифры. Какое число получил Петя?

Задача 12

Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на каком месте надо дописать, чтобы полученное число делилось на 36?

Ответ: Искомое число должно делиться на 4 и 9 (4*9=36 т. к. 4 и 9 взаимно простые числа). Дописав к данному числу цифру 5, получим число, кратное 9. Чтобы полученное число делилось на 4, цифру 5 допишем в разделе десятков.

Искомое число – 257652

Задача 13

Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного.

Чему равны делители и частные?

Ответ: Искомое частное равно 6; оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

Делитель в 6 раз больше частного и равен 36.

Делимое в 6 раз больше делителя и равно 216.

Задача 14

Найти истинные высказывания и из букв, соответствующих этим высказываниям составить название страны:  Ответ: МАЛИ

Задача 15.

Женщина несла на базар корзину яиц.

Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала и яйца разбились.

Виновник несчастья, желая возместить потерю, поинтересовался, сколько яиц было в корзине.

- Точно не помню, ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по семь штук, то в корзине ничего не оставалось.

Сколько яиц было в корзине?

Ответ: Если бы из корзины вынули одно яйцо, оставшееся количество яиц делилось бы нацело на 2, 3, 4, 5, и 6. Числа, для которых это выполняется, - это 60 и числа, кратные 60-ти.

Задача сводится к нахождению числа, кратного 60-ти, которое делилось бы на 7 после добавления 1 (или, иными словами, при делении на 7 давало бы остаток 6).

Число 60 при делении на 7 дает остаток 4. Следовательно, нужно найти число, кратное 4-ем, которое было бы на 6 больше числа, кратного 7-ми. Это число - остаток от деления общего числа яиц на 7, оно равно 7· 2 +6 = 20. **

В этом числе остаток 4 содержится пятикратно, значит, первоначально в корзине было 60 · 5 + 1 = 301 яйцо.

Замечание. Следующее, большее число, обладающее указанным свойством, равно 7 · 6 + 6 = 48. Такой остаток может быть получен при 12-кратном повторении порции 60 яиц(48: 4 = 12). В этом случае, число яиц в корзине составило бы 60 · 12 + 1 = 721 яйцо - вариант, в рассматриваемой ситуации нереальный. Такую корзину женщине не поднять.

Задача 16.

Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 3,45 гривны, коробку творога, стоимостью 3,6 гривны, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассирша выбила чек на 29,6 гривны, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счет неверен?

Ответ: Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов кратна 3-м цена, для остальных - количество купленных товаров). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 29,6 на 3 не делится; следовательно, расчет неверен.

Задача 17.

Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.

Ответ: В обоих случаях - как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9. Наименьшее такое число - 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.

Задача 18.

Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?

Ответ: Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти. Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также четная величина. Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти.

(2a меньше или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х). Итак, a = 1, искомое число - 1971.

Задача 19.

Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже, в квартире 83, а Вася - на 3-ем этаже в квартире 169. Сколько этажей в доме?

Ответ: Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то Коля живет на 21- м этаже 83 : 4 = 20 (3).

В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Колиному, 16 этажей.

16 делится лишь на числа, кратные 2-м, поэтому в доме может быть либо 16 этажей, либо 8 этажей (вариант четырехэтажного дома исключаем, поскольку Коля живет на 5 этаже).

Вася живет на 43 этаже, считая от первого этажа первого подъезда 169: 4 = 42 (1).

Значит в подъездах, предшествующих Васиному 40 этажей. 40 делится на 8, но не делится на 16, следовательно, в доме 8 этажей.

Замечание.

В процессе решения задачи мы определили числа этажей (16 и 40) в двух разных группах подъездов. Число этажей в каждой группе подъездов кратно числу этажей в доме, оно равно произведению числа этажей в доме на число подъездов в группе. Задача сводится к нахождению общего делителя чисел 16 и 40 (с условием, что делитель этот не меньше 5-ти).

Задача 20.

Любитель арифметики перемножил первые 2002 «простых» числа.

Сколькими нулями заканчивается произведение?

(А)0(В) 1(С)10(D)20(Е)100

Решение: Среди простых чисел до 2002 есть числа 5 и 2. 5*2=10. Значит, один ноль в искомом произведении уже есть. Других простых чисел оканчивающихся на 2 или 5 нет. Следовательно, всего нулей один. Ответ В.

Задача 21.

У двухзначного числа n цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число n обязательно

(А) чётное (В) нечётное (С) меньше 20(D)делится на 3(Е) делится на 6

Решение: Если цифра единиц равна a ,то цифра десятков равна 2а. Тогда сумма цифр числа равна 3а, значит, число делится на 3. Ответ D

Задача 22

Сколькими способами можно записать число 2003 в виде суммы a+b, где a и b простые числа и а меньше b?

А). 0(В) 1(С)2(D)3(Е) более 3

Решение: Заметим, что сумма двух чисел нечетна в том случаи, когда одно из слагаемых чётное, а другое нечётное. Среди простых чисел только одно чётное число это 2. Значит, запись 2003= 2+2001 может быть только такой. Число 2001 кратно 3. Ответ А.

Задача 23

Наибольший делитель числа 32004+ 6, отличный от этого числа, равен

А). 32003+3(В) 32003(С)32003+2(D)3(Е) 32004

Решение: Достаточно заметить, что число равно произведению своего наименьшего делителя (отличного от 1) на наибольший делитель. Проще искать наименьший делитель. Теперь заметим, что число 32004+ 6 нечётно и делится на 3, следовательно, 3 наименьший делитель, а 32004+ 6 = 3*(32003+2). Поэтому верный ответ: С

ЛАБИРИНТ! ДЕЛИМОСТЬ НА 7

Пройдите по лабиринту, обводя кружками числа, которые делятся на 7. Ячейки должны иметь общую сторону или касаться вершинами.

235 7 235

Делимость Число N делится на 2 в том и только том случае, если его последняя цифра делится на 2 367 498

на 2 2, т. е. последняя цифра числа четная.

Делимость Число N делится на 3 в том и только том случае, если сумма его цифр делится на 3. 1 236 981

Делимость Число N делится на 4 в том и только в том случае, если на 4 делится число, 5 648 932

на 4 образованное из двух последних цифр числа N

Делимость Число N делится на 5 в том и только в том случае, если его последняя цифра 0 или 5. 12 325

Делимость Число должно делиться и на 2, и на 3 т. е. 2 539 782

на 6 число N должно быть чётным и сумма его цифр делится на 3

Делимость Число N делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число 1001

на 7 p=n0+3n1+2n2-(n3+3n4+2n5)+(здесь, как и ранее, n0, n1, n2,-цифры единиц, десятков, сотенчисла N).

Делимость Число N делится на 8 в том и только в том случае, если на 8 делится трёхзначное 47 913 032

на 8 число, образованное из трёх последних цифр числа n.

Делимость Число N делится на 9 в том и только том случае, если сумма его цифр делится на 9. 111 111 111

Делимость Чтобы число N делилось на одну из разрядных единиц (10,100, 1000, и т. д. ). 123 000 делится на 103

на 10n Необходимо, чтобы в числе N последние цифры были нули. В том количестве, сколько 257 000 000 – на106

нулей содержится в записи в разрядной единицы

Делимость на 11 Число N делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на 1001

нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на чётных местах, на величину, кратную 11.

Делимость Число N делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число N, 1001

на 13 полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу Число Шахразады –

учетверённого значения этой цифры. Например, число 52 делится на 13, так как число 1001=7*11*13

N=5+4*2=13 делится на 13.

Делимость Число N делится на 2m в том и только том случае, если на 2m делится m- значное 14324 делится на 22

на 2n число, которое образуют m последних цифр числа. 465732 делится на 23

Делимость на как Схож с признаком делимости числа n на степень двойки 2m. Это вполне естественно ведь 13475 делится на 52

степень числа 5. делители 2 и 5 играют совершенно одинаковую роль в образовании основания десятичной 2471250 делится на 53

системы счисления- числа 10=2*5.