Изучение сечений в стереометрии с помощью компьютера

Задачи на построение - это древнейшие геометрические (даже математические) задачи. Сегодня этот тип задач выглядит несколько архаично, надуманно, поскольку многие методы, используемые при решении геометрических задач на построение, носят характер своеобразных геометрических изысков, обслуживающих лишь эту категорию задач, а сами правила построения ограничены массой всевозможных условностей. В школьном курсе стереометрии основными задачами на построение являются задачи на построение сечений пространственных фигур, а для этого необходимо научиться изображать эти фигуры.

Существуют различные методы изображения пространственных фигур на плоскости, но практика показывает, что целесообразным является метод параллельного проецирования. Этот метод осуществляется проектированием всех параллельных прямых. Проекционное изображение фигуры в таком случае можно получить не непосредственным проецированием этой фигуры, а выполняя построения в строгом соответствии с законами параллельного проектирования.

Эти законы сводятся к сохранению на проекционном чертеже таких свойств фигуры:

1. свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью;

2. свойство фигуры иметь пересечение;

3. деление отрезка в данном отношении;

4. свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными;

5. свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;

6. отношение длин параллельных отрезков;

7. отношение площадей двух фигур.

В зависимости от цели используются изображения следующих трех видов: иллюстративные, полные, метрически определенные. Но всем этим изображениям предъявляются такие требования: a) изображение должно быть верным, то есть оно должно представлять собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции; b) изображение должно быть по возможности наглядным, то есть должно вызывать верные пространственные представления об изображаемой фигуре; c) изображение должно быть легко выполнимым, то есть правила построения должны быть максимально простыми; d) изображение должно быть удобоизмеримым, то есть по изображению можно, и притом не сложно, восстановить оригинал метрически точно.

Только после того, можно строить их сечения.

Рассмотрим несколько методов построения сечения.

1. Метод следов. В общем случае считают, что секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждую прямую, на которой лежат ребра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскость этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое-либо ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой.

2. Когда след секущей оказывается за пределами чертежа, то более эффективным является метод вспомогательных сечений.

3. Суть комбинированного метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в сочетании с методом следов, или методом вспомогательных сечений, или с обоими этими методами.

При изучении задач по геометрии меня заинтересовало исследование построений различных сечений в стереометрии.

Как плоскость, пересекая геометрическое тело, образует область общих точек? Какой вид может принимать это множество общих точек?

Увлекаясь компьютером, я решила связать геометрию с применением компьютерных технологий для построения изображений геометрических фигур и построения сечений этих фигур.

Цели моей работы: исследовать построение сечений в стереометрии и применить компьютер для изображения сечений.

При решении стереометрических задач требования к качеству чертежа, его наглядности значительно возрастает. Мы не научимся решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, если не освоим принципы и технику построения пространственного чертежа.

В построение пространственного чертежа входит:

- выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - вверх и вниз, вправо и влево),

- выбор ракурса и проекции,

- умение минимизировать количество изображенных линий,

- умение строить сечения и проекции на плоскость,

- умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решениям задач,

- умение перевести условия задачи на графический язык.

Пространственные тела можно разделить на две группы: удобные для пространственного изображения и неудобные.

К первой группе относятся следующие многогранники:

- параллелепипед (прежде всего прямоугольный)

- треугольная призма,

- треугольная пирамида (тетраэдр)

- четырехугольная пирамида.

Ко второй группе: все остальные - неудобные.

Конечно, такое разделение носит условный характер. И одной из целей данной исследовательской работы является построение сечения в «неудобных» для изображения пространственных тел. В частности, цилиндр и конус достаточно хорошо и наглядно «смотрятся» на проекционном чертеже. Тем не менее, практика показывает, что в большинстве задач, в условиях которых не фигурируют «удобные» многогранники, можно или вычленить в рассматриваемое теле один из вышеперечисленных «удобных» многогранников, или каким-то способом «привязать» заданную конфигурацию к одной из них.

Следует упомянуть также о возможности в некоторых случаях вообще не строить пространственное изображение, а обойтись одним или несколькими плоскими чертежами, представляющими собой какие-либо сечения или проекции заданного тела, заданной конфигурации.

2. Построение сечения многогранников

Суть задач на построение сечения заключается в построении пересечения плоскости с гранями многогранника - следов секущей плоскости на гранях многогранника.

След плоскости на грани многогранника может быть пустым множеством точкой или отрезком, концы которого лежат на ребрах, принадлежат этой грани.

Таким образом, пересечение многогранника с плоскостью может быть пустым множеством, точкой (вершина многогранника), отрезком (ребро многогранника) или многоугольником (вершины которого лежат на ребрах многогранника).

Построение следов плоскости на гранях можно вести по одному из следующих приемов: а) строить следы прямых , лежащих в плоскости сечения, и по ним находить следы самой плоскости; б) строить третий след трехгранного угла по двум найденным следам на плоскости сечения; в) применить внутреннее проектирование.

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

2. 1. Задача на построение сечения 1

Задача: Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD, так что бы плоскость сечения была перпендикулярна основанию и делила пополам стороны основания треугольной пирамиды.

Построение:

Решение:

1. Проведем среднюю линию MN основания ABC (соединим середины двух сторон основания).

2. Проведем в основании ABC медиану AE, она пройдет через середину отрезка MN, которую обозначим F.

3. Из вершины D построим высоту DO к медиане AE.

4. Из F проведем линию параллельно высоте OD до пересечения с ребром AD, обозначим точку К.

4. Соединим точки N, М и К.

Искомое сечение NMK.

2. 2. Задача на построение сечения 2

Задача: Построить сечение четырехугольной пирамиды QWBCE плоскостью, проходящей через сторону основания CB и точку А на одном из ее боковых ребер QW.

Построение:

Решение:

1. Продолжим сторону CB – это будет g - след секущей плоскости.

2. Продолжим сторону основания EW до пересечения с g. Точка пересечения О принадлежит секущей плоскости и плоскости проходящей через боковую грань пирамиды, где лежит ребро QW.

3. Проведем вспомогательную прямую через точку А и точку пересечения О. Эта прямая пересечет ребро EQ в точке D.

4. Соединим точки A, B, C и D.

Искомое сечение ABCD.

2. 3. Задача на построение сечения 3

Задача: Построить сечение призмы QWERUYTI, так что бы плоскость сечения проходила через прямую a в плоскости нижнего основания призмы и точку A на одном из боковых ребер WT.

Построение:

Решение:

Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение.

1. Продолжим стороны основания призмы до пересечения с прямой а, они все лежат в одной плоскости (плоскость основания призмы). Точки пересечения продолжения сторон основания с прямой а принадлежат и прямой а и плоскостям, проходящим через боковые грани призмы.

2. Проведем прямые через точку А и точки пресечения продолжения сторон основания с прямой а, эти прямые пересекут боковые грани в точках В и С.

3. Через точки В и С проведем прямые, которые пройдут через точки пересечения продолжения соответствующих сторон основания и прямой а, пересечение этих прямых должно лежать на ребре RU, получим точку D.

Искомое сечение АBDC.

2. 4. Задача на построение сечения 4

Задача: Изобразите сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, К, Р на его ребрах.

Построение:

Решение:

1. Для построения данного сечения соединим имеющиеся точки прямыми МР и РК.

2. Продолжим ребро FS до пересечения с прямой PK, получим точку W.

3. Так же построим точку Q пересечением прямой PM и продолжением ребра FH.

4. Через точки W и Q проведем прямую, которая пересечет ребра HG и GS в точках X и Z.

Получившаяся фигура MPKZX и есть искомое сечение.

2. 5. Задача на построение сечения 5

Задача: Изобразите сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, К, Р на его ребрах.

Построение:

Решение:

1. Сначала соединим точки М и Р.

2. Построим прямую, которой принадлежит точка К и которая проходит параллельно прямой МР, где Х - точка пересечения данной прямой с ребром АВ.

3. Продолжим AD до пересечения с XK, получим вспомогательную точку Y. Продолжим DC до пересечения с XK в точке W.

4. Затем проведем прямую, проходящую через точку Р и W, которая пересечет ребро SС в точке Z, и прямую через точки M и Y, которая пересечет ребро HA в точке F.

5. Соединим точки X и F, а также точки Z и K.

Данная фигура MPZKXF и является искомым сечением.

2. 6 Задача на построение сечения 6

В этом разделе представлены наиболее сложные задачи на сечения.

Задача: Построить сечение призмы ABCDFEGHKL плоскостью, проходящей через три произвольные точки X, Y и Z на поверхности (не на ребрах) призмы.

Построение:

Решение:

1. Проведем прямые ZY и ZX, которые лежат в плоскости сечения.

2. На плоскости нижнего основания построим проекции прямых ZY и ZX, пересечение прямых со своими проекциями обозначим М и N.

3. Проведем прямую MN, являющуюся пересечением плоскости нижнего основания и секущей плоскости.

4. Построим продолжение ребра LK до пересечения с прямой MN, из точки пересечения проведем прямую через точку Z, которая пересечет ребра призмы в точках 1 и 2. Получим сторону сечения 12.

5. Также найдем стороны сечения 23 и 34.

6. Для построения стороны 45, продолжим ребро EG до пересечения с MN, из точки пересечения проведем прямую через точку 4, которя пересечет ребро EF в точке 5. Соединим точки 5 и 1.

Получили искомое сечение 12345 с точками X,Y, Z, принадлежащими поверхности призмы.

2. 7. Задача на построение сечения 7

Задача: Сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку M ребра AS параллельно грани SCD.

Построение:

Решение: При построении сечения, параллельного заданным прямым или плоскостям, целесообразно выделить некоторую плоскость, содержащую точку М секущей плоскости и заданную прямую, либо прямую, ей параллельную. Затем через точку М в выделенной плоскости необходимо провести вспомогательную прямую заданного направления; эта прямая будет лежать в секущей плоскости.

1. Соединим вершины А и С. Плоскость ASC проходит через точку М и ребро SC. В этой плоскости через точку М проведем прямую МР, параллельно ребру SC. Эта прямая лежит в секущей плоскости.

2. След секущей плоскости на плоскости основания проходит через точку Р параллельно CD. Обозначим К пересечение следа секущей плоскости с продолжением ребра АЕ.

3. Проведем прямую через точки М и К, которая пересечет ребро SЕ в точке 1.

4. Обозначим 2 пересечение прямой РК и ребра ED. Соединим 1 и 2. Обозначим 3 пересечение РК и ребра AB. Соединим 3 и точку М.

Искомое сечение М123.

8. Задача на построения сечение 8

Задача: Изобразите сечение четырехугольной призмы ABCDWERT плоскостью, проходящей через точки Х, У, Z, лежащие на трех боковых гранях.

Построение:

Решение: Воспользуемся приемам параллельного переноса.

1. Построим проекции точек X, Y, Z на нижнее основание - X', Y', Z'.

2. Пересечение X'Z' и WR – точка О'.

3. Параллельным переносом построим точку О на отрезке XZ (OO´ ║ DT).

4. Соединим точку Y и точку О, продолжим YO до пересечения с ребром DT, получим точку Q.

5. Соединим точку Q и точку Х, продолжим QX до пересечения с ребром AW, получим точку P.

6. Также построим точки S и V. Искомое сечение PSVQ.

3. Нахождение площади сечения

3. 1 Задача на нахождение площади сечения 1

Задача: Вычислить площадь сечения правильной пятиугольной пирамиды SABCDE плоскостью, которая проходит через вершины основания А и С и середины боковых ребер SE и SD.

Построение:

Дано: Правильная пятиугольная пирамида - SABCDE , сечение- AMNC, q - длина стороны основания пирамиды, b – длина бокового ребра.

Найти: Sсеч - площадь сечения

Решение: Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью, проходит через вершины А и С основания и середины ребер DS и ES.

Пусть M и N – середина ребер ES и DS; легко видеть, что AMNC – трапеция, MN параллельно ED, а ED параллельно AC. Очевидно также, что MN=1/2q, где q – длина стороны основания пирамиды. Используя формулу для квадрата медианы треугольника (на основании теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма), получаем:

CN= (2)

KC= =q sin (3) т. к. ABK=

Если КL –отрезок соединяющий середину основания трапеции ACNM, то

KL= CN­ (KC ­ )² = - q² ( - ) =

= (4) известно, что sin =

Таким образом, искомая площадь:

Sсеч = (MN +AC)KL=(2+ 5) 4b²+3q² (5)

3. 2. Задача на нахождение площади сечения 2

Задача: Найти площадь сечения куба, проходящую через смежные стороны основания.

Построение:

Дано: Куб - ABCD A1B1C1D1

Плоскость сечения проходящая через смежные стороны основания MNA1C1

Ребро куба – а

Найти: Sсеч - площадь сечения

Решение: Плоскость сечения пересекает грань A1B1C1D1 по прямой А1С1, которая параллельна NM и проходит через точку О. Трапеция А1С1NM – равнобедренная, стороны которой А1С1=а 2 ,

NM= 0. 5а 2 , А1M = С1N = 0. 5а 5. Зная стороны трапеции, найдем ее площадь. Площадь трапеции равна половине суммы основания умноженной на высоту. Высота находится по т. Пифагора в прямоугольном треугольнике МКА1:

КА1=(А1С1- NM)/2= = = а 2 (6)

МК = А1M 2 - КА12 = 1. 25а – 2а = 0. 5 3а (7)

Sтрап = *МК= * =

4. Исследовательская задача построения сечения в многограннике

Рассматривая тему сечения в стереометрии, я выяснила, какие бывают задачи на построение и вычисления площади сечения в многоугольниках. Проводя исследовательскую работу, я заинтересовалась, как будет выглядеть сечение в более сложной фигуре, например, в додекаэдре, и решила построить данное сечения сама.

Задача: Построить сечение в додекаэдре.

Построение:

Решение:

1. Построим додекаэдр. На его гранях отметим три точки 1,2,3.

2. Через точки 1,2, которые находятся на ребрах одной грани, проведем прямую а и продолжим ребро той же грани до пересечения с прямой а. Точку пересечения обозначим Х.

3. Через точки 2,3 проведем прямую b так, чтобы она пересекла продолжение другого ребра той же грани, где находятся ребра с точками 2 и 3. Получим точку Z.

4. Построив прямую, проходящую через точки Z и X, получим точки пересечения с ребрами додекаэдра 4,5.

5. Соединим точки 4 и 3, 5 и 1.

Получили искомое сечение 12345.

Заключение

Задачи по геометрии и особенно по стереометрии часто трудны для понимания школьников по причине сложности изображения пространственных фигур на плоском чертеже. Не всегда школьникам хватает воображения и пространственного видения геометрических тел для правильного построения заданных фигур. А чертить на бумаге приходится с помощью только линейки и карандаша. Не получился чертеж, выбран неудачный ракурс, не вышли параллельные линии, и начинай всё сначала!

И здесь на помощь приходят современные компьютерные технологии. Трудоемкий и важный для правильного решения задачи процесс переноса объемной фигуры на плоскость превращается с помощью компьютера в творческую увлекательную деятельность. На экране монитора можно многократно строить изображения любых геометрических тел, используя стандартные автофигуры или рисуя самостоятельно. Меняя цвет или вид линий можно добиваться наглядности изображений. Выделенные цветом отдельные элементы чертежа помогают увидеть суть задачи, правильнее понять условия задачи. Не менее важно и то, что при помощи компьютера учебная деятельность становится творческой, интересной.

Настоящая работа выполнена с помощью компьютерной программы Pover Point Windows XP. В ней рассмотрена область геометрии – стереометрия. Стереометрия развивает логику, пространственное воображение. Я убедилась, что с помощью компьютера можно наглядней изучить эту науку, лучше научилась рассуждать и понимать условия задач, анализировать и творчески подходить к решению поставленных задач.

Данную исследовательскую работу может использовать учитель математики, информатики, как наглядное пособие для учеников на уроках, а так же на внеклассных, дополнительных занятиях по этим предметам. Работу можно продолжить.