Связь барицентрических координат c площадями

Родоначальником метода, о котором пойдет речь в докладе, был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в 3 веке до нашей эры он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс (барицентра). В частности, этим способом была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др. ).

Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой и т. д.

. В прошлом столетии замечательный немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), известный своими работами, подметил, что барицентрические решения геометрических задач приводят к введению очень интересной системы координат, не похожей ни на декартову, ни на полярную систему. Свои идеи он описал в книге «Der barycentrische Calcul» („Барицентрическое исчисление“), опубликованной в 1827 году. Тогда барицентрические координаты были введены исходя из соображений, связанных с центрами масс. Однако имеется и другой, чисто геометрический подход к барицентрическим координатам, позволяющий выразить эти координаты через площади некоторых треугольников. Это, во-первых, дает интересную геометрическую интерпретацию самого понятия центра масс (для случая трех материальных точек на плоскости) и, во-вторых, открывает новые возможности применения барицентрических координат к решению геометрических задач.

К сожалению, данный метод очень редко используется. Он не упоминается в школьной программе, хотя мог бы существенно упростить решение некоторых задач по геометрии и химии.

Материальная точка.

Из курса физики известно, что материальной точкой можно назвать тело, размерами которого можно пренебречь, то есть, фактически, материальная точка – точка, снабженная массой. Математика дает следующее определение материальной точке:

Материальная точка – это геометрическая точка, которой сопоставлено некоторое действительное число.

Если точке А сопоставлено число m, то образующаяся материальная точка обозначается так: (A, m). Геометрическую точку А называют «носителем», а число m - «нагрузкой» точки А или массой.

Множество материальных точек – система материальных точек (СМТ).

Понятие центра тяжести

Для начала рассмотрим центр масс для СМТ, состоящей из двух материальных точек.

Центром тяжести двух материальных точек (А,а) и (B,b) называется такая третья точка С, которая лежит на отрезке АB и удовлетворяет «правилу рычага»: произведение расстояния СА на массу а равно произведению расстояния СB на массу b. То есть сумма моментов будет равна нулю. (Данное определение верно при условии, что в обе точки помещены массы одного знака).

M1 = │M2│ agL1 = │bgL2│ aL1 = │bL2│

Механический смысл центра тяжести: представим себе жёсткий “невесомый” стержень АВ, в концах которого помещены массы а и b. “Невесомость” стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек (A, a) и (B, b) — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии.

Введем понятие «объединения» или «равнодействующей» двух материальных точек. Под этим понимают материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек.

Пример. Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB, длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед. , в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек (A, 6) и (B, 2) будет точка C, лежащая на стержне AB и определяемая условием: 6CA=2CB, или CB=3CA. Поэтому АВ=CB+CA=4AC. Отсюда следует, что объединением материальных точек (A, 6) и (B,2) будет материальная точка (С, 8).

На основании рассмотренного примера можно сформулировать определение объединения:

Объединение двух материальных точек – это такая новая материальная точка, носителем которой является центр тяжести данных материальных точек и масса которых равна сумме масс этих материальных точек.

(С, с) = (А, а) + (В,b) а также некоторые свойства центра масс материальных точек:

✓ Расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещённым в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой.

✓ Если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.

✓ Центр тяжести является объединением.

В данной работе нас будет интересовать СМТ, состоящая из трех материальных точек. Рассмотрим нахождение центра масс для трех таких точек.

Центр тяжести трёх материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшегося объединения и третей из данных материальных точек.

(Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой. )

Теорема 1 (о единственности центра тяжести для системы из n материальных точек): Центр тяжести n материальных точек единственный и его положение не зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки.

Свойство 1: Всякая система, состоящая из конечного числа м. т. , имеет однозначно определенный центр масс.

Свойство 2: Пусть в системе м. т. несколько точек отмечены, и пусть С – центр масс отмеченных м. т. Если всю массу отмеченных м. т. сосредоточить в С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

Теорема 2 (о возможности группировки материальных точек): Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением.

И, наконец, введем общее определение центра масс n материальных точек:

Центром тяжести СМТ, состоящей из n материальных точек называется такая точка Z, для которой имеет место равенство: m1+m2+mn=.

Барицентрические координаты

Идея барицентрических координат:

Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС, который в дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником. Пусть (Р, р) произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А, В, С такие массы а, b, с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Таким образом, каждую материальную точку (Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с.

Эти три числа называют барицентрическими координатами: а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья.

Барицентрические координаты («барицентр» означает « центр тяжести») – это система координат, «привязанная» к данному треугольнику. Для каждого базисного треугольника будет своя система координат.

Барицентрические координаты (m1, m2, m3), для которых выполняется условие m1 + m2 + m3 = 1, будем называть абсолютными барицентрическими координатами; они определены уже не с точностью до пропорциональности, а однозначно.

Сформулируем некоторые свойства барицентрических координат треугольника:

✓ Если массы трех материальных точек треугольника увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится.

✓ Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья имеет противоположный знак.

Барицентрические координаты как площади.

Связь барицентрических координат с площадями отражается одной единственной теоремой.

Теорема 1: Пусть точка Р лежит внутри базисного треугольника А1А2А3 и пусть S, S1, S2, S3 – площади треугольников А1А2А3, РА2А3, А1РА3, А1А2Р. Тогда б - координаты точки Р равны f =; g =; h =.

Иными словами, если поместить в вершинах А1А2А3 базисного треугольника массы, численно равные (или пропорциональные) площадям S1, S2, S3 , то их центром масс окажется точка Р.

Практическая часть

Решение задачи

Найдем барицентрические координаты треугольника. б-координаты центра О окружности, вписанной в базисный треугольник АВС со сторонами a, b, c.

Решение:

Обозначим через r радиус вписанной окружности. Тогда

S1= , S2 = , S3 = , S =.

Поэтому центр О имеет Б – координаты:

Ответ: , ,

Доказательство теоремы

∆А1А2А3 – произвольный

S∆А1А2А3 = S

S∆РА2А3 = S1

S∆А1РА3 = S2

S∆А1А2Р = S3

Р – центр масс базисного ∆А1А2А3 f, g, h - барицентрические координаты Р

Доказать f =; g =; h =.

Доказательство:

Способ №1

• Поместим в вершины треугольника А1, А2, и А3 массы f, g и h соответственно.

• Р – центр масс по условию. Значит, тока B – объединение точек (А1, f) и (А2, g), то есть (В, (f + g)). Аналогично (С, (g + h)) и (D, (f + h)).

• Рассмотрим отрезок А1С. Точка Р делит его в отношении =

• Пусть длина отрезка РС = y, значит, по свойству барицентрических координат, существует некое число i, такое, что f ∙ i = y. Аналогично рассмотрим отрезки ВР и РD (h ∙ i = x, g ∙ i = z).

Рассмотрим ∆А1А2А3 и ∆РА2А3. Они имеют общее основание. Значит, по первой лемме о площадях = , аналогично = , =.

• = = = ;

• = , а т. к f + g + h =1 по условию , то f =. Аналогично и g =; h =.

Способ №2

• Поместим в вершины треугольника А1, А2, и А3 массы f, g и h соответственно.

• Р – центр масс по условию. Значит, тока B – объединение точек (А1, f) и (А2, g), то есть (В, (f + g)). Аналогично (С, (g + h)) и (D, (f + h)).

• Рассмотрим объединение (D, (f + h)). По свойству материальных точек =.

Рассмотрим ∆А1А2Р и ∆РА2А3. Они имеют общее основание. Значит, по первой лемме о площадях =. Аналогично, рассмотрев треугольники: 1. ∆РА2А3 и ∆А1РА3 получаем = ; 2. ∆А1РА3 и ∆PА1А2 получаем =.

• = , = , = ; Отсюда по пропорции: S1∙g = f∙S2 то есть = и S3∙f S1∙h, следовательно =.

• Получаем = =.

• По свойству пропорции: = = = =

• = , следовательно, g =. Аналогично f = , h =.

Применение барицентрических координат

Барицентрические координаты в геометрии

Ранее в докладе уже было продемонстрировано применение барицентрических координат при решении геометрической задачи. Попробуем теперь самостоятельно доказать теорему о медианах треугольника.

Теорема 4 (о медианах треугольника): медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

∆А1А2А3 – произвольный

А3R, А1D, А2P – медианы

Доказать: А1Z:ZD = 2:1, А2Z:ZР = 2:1,

А3Z:ZR = 2:1.

Доказательство:

Пусть точка пересечения медиан – центр масс треугольника.

Помещаем в вершину А1 массу, равную единице. Поскольку точка Р делит сторону А1А3 пополам, то и в точку А3 должна быть помещена масса, равная единице. Аналогично и в точку А2, т. к. R – тоже середина. Отсюда следует, что барицентрические координаты точки Z (1, 1, 1).

Точка Р. – объединение двух вершин. Значит в ней сосредоточена масса 2 (1+1).

А масса в третьей вершине осталась нетронутой, поэтому по правилу рычага А2Z:ZР = 2:1. Аналогично и А1Z:ZD = 2:1, А3Z:ZR = 2:1.

Объединяя массы двух вершин в одну точку, ты утверждаем:

1. центр масс треугольника будет лежать на прямой А1D

2. центр масс треугольника будет лежать на прямой А2Р

3. центр масс треугольника будет лежать на прямой А3R

Значит, из теоремы о единственности центра тяжести можно заключить, что центр масс треугольника может находиться только на пересечении данных прямых, а это значит, что они пересекаются в одной точке.

Барицентрические координаты в колориметрии

«Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех, кои желанны философу. Я надеюсь на этом примере показать, что значит математика в натуральной философии и побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки – сначала выучиться геометрии».

И. Ньютон. Оптика

Еще в конце 17 века Ньютон обнаружил, что белый цвет можно рассматривать как смешение семи различных цветов. В середине 18 века Ломоносов высказал мысль, что путем смешения лишь трех определенных цветов можно получить все возможные цвета и оттенки. Эта гипотеза была уточнена и развита в 19 веке Юнгом и Гельмгольцем. Они разработали теорию трехцветного зрительного аппарата человека. Согласно этой теории в человеческом глазу имеются колбочки только трех различных типов: одни воспринимают днем только красный цвет, другие - только зеленый, третьи - только синий. Любой другой цвет воспринимается как «смешение» этих трех цветов.

Рассмотрим пример. При работе в Paint, Word, Power - Point мы нередко меняем цвет линий, заливки, букв и т. д. , пользуясь при этом спектром.

Нули в окошках RED, GREEN, BLUE означают, что результатом «смешения» будет черный цвет. Если, например, поставить в окошко RED максимальное число (для компьютера цветность 255 - предел), то мы получим чистый красный цвет.

Пропорции, в которых смешиваются три базовых цвета и будут являться барицентрическими координатами искомого цвета. Нахождение этих координат помогает ответить на вопрос, какой цвет получится при смешении двух произвольных цветов и в какой пропорции необходимо смешать базовые цвета для получения искомого цвета.

Некоторые цвета имеют стандартные координаты цветности.

Например, координаты чистого белого цвета (1, 1, 1), а черного (0, 0, 0)

Решим задачу:

Найдем цвет, который получается при «смешении» в равных пропорциях белого цвета с цветом, получившимся при «смешении» красного и синего цветов в равных пропорциях.

Для решения задачи выберем на плоскости равносторонний (для простоты) треугольник со стороной а.

Барицентрические координаты белого цвета известны (1, 1, 1).

Найдем с помощью программы, какой цвет получится при «смешении» красного и синего цветов в равной пропорции. Это сиреневый цвет (без учета яркости).

Теперь находим цвет Х, который получится при «смешении» белого и сиреневого в равных пропорциях.

Для определения координат получившегося цвета, воспользуемся теоремой о связи барицентрических координат и площадей.

Вычислим площадь треугольника RXB. Мы знаем, что точка, которой соответствует белый цвет, является точкой пересечения медиан, а медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, GW:WV=2:1. GV= =.

Отсюда WV = :3 =.

Поскольку требуется «смешать» сиреневый и цвет Х в равных пропорциях, то WN = VN.

Поскольку в равностороннем треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то можно найти площадь треугольника RNB:

SRNB = =

Также можно найти площадь всего базисного треугольника:

SRGB = =.

Треугольники RGN и GNB равны по первому признаку (боковые стороны базисного треугольника равны по условию, GN - общая сторона, а поскольку GV - бис. , то углы между данными сторонами также равны). Значит и площади рассматриваемых треугольников равны. Найдем одну из них:

SRNG = (- ) : 2 =

По теореме о связи барицентрических координат с площадями получаем, что координаты точки N:

(по свойству б - координат мы имеем право разделить координаты на одно и то же число, в данном случае, на а2 ,также умножим данные координаты на знаменатель)

Получим, что координаты точки N: (5, 1, 5).

Проверяем с помощью программы: получается также сиреневый цвет (программа дает ответ без учета яркости, т. к. координаты определены с точностью до пропорциональности). Если воспользоваться обычными красками и палитрой, то мы получим тот же сиреневый цвет, который получился в начале, только светлее.

Данная задача доказывает, что при добавлении белого цвета к какому-либо другому, цвет останется прежним, а меняется только яркость.

Барицентрические координаты в химии.

Рассмотрим применение барицентрических координат в химии на примере задачи.

Имеется 600 г. раствора йода в спирте, причем концентрация йода составляет 18%. Требуется получить 10%-ный раствор йода в спирте. Определим, сколько следует долить чистого спирта.

Сначала решим задачу стандартным школьным способом:

Решение: w1(в-ва) = 18% w2(в-ва) = 10% m(в-ва) = 600 × 0,18 = 108 (г. ) m1 (р-ра) = 600г. m2(р-ра) = 108 : 0,1 = 1080 (г. ) m2(р-ра) - m1(р-ра) -? m2(р-ра) - m1(р-ра) = 1080 - 600 = 480 (г. )

Ответ: 480 г.

А теперь - с помощью барицентрических координат:

Рассмотрим отрезок АВ длиной I и сопоставим чистому спирту точку А, а чистому йоду - точку В. Тогда данный раствор изобразится в виде материальной точки 600Р, где Р имеет координаты w = 0, 82, v = 0, 18, т. е АР = 0,18. Требуемый раствор изобразиться в виде материальной точки (600 + х)Q, где х - искомое количество спирта в граммах, а Q - центр масс двух материальных точек хА и 600Р. По условию точка Q должна иметь б - координаты k = 0,9, j = 0,1, т. е АQ = 0,1. По правилу рычага имеем: х│АQ│ = 600 │QР│, т. е 0,1 × х = 600 × 0,08. Отсюда х = 480 г.

Ответ: 480 г.

Выводы:

1. Анализ теоретического материала по геометрии масс позволил установить связь между б – координатами и площадями некоторых треугольников новыми способами

2. Анализ теоретического материала по б – координатам позволил рассмотреть возможность применения б – координат в колориметрии

Заключение

Геометрия треугольника, наравне со многими другими разделами математики, дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Кроме того, каждый любитель геометрии треугольника имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема!