История возникновения чисел и системы счисления

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бульшее число предметов, объединялась в понятии «много». Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее-черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.

Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки.  В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).

Большие числа славяне записывали теми же буквами, но для обозначения тысяч рядом с буквой слева^ внизу ставили знак Т" , например: 10ОО-*А; 3000-* Г. Число 10000 обозначали той же буквой, что и 1, но без титла, и ее обводили кружком. Называлось это число «тьма». Отсюда и выражение «тьма народу». Число следующего разряда-100 000-называлось «легион». Для обозначения этого числа писали букву А и вокруг нее ставили кружок из точек; 10 легионов составляли новую единицу-леодр. Леодр обозначали буквой А, заключенной в кружок из черточек. Тьма тем (т. е. 1012) называлась «легион», легион легионов (т. е. 1024)-«леодр», леодр леодров (т. е. 1048)-«ворон», и наконец, число 1049 называлось «колода». Для обозначения воронов букву ставили в кружок из крестиков. Для больших чисел уже названий не было.

У нас на Руси в далеком прошлом цифры обозначались буквами церковнославянского алфавита:

«аз» «веди» «глаголь» и т. д.

Для того чтобы буква стала числом, наверху ставился особый знак «титло» ([—') • Например, число одиннадцать изображалось так: 5) , двадцать два — так: 1^6. И только в начале XVIII века на Руси стали пользоваться «арабскими цифрами», которые арабы позаимствовали у индийцев. современном их начертании: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти обозначения вошли в первый печатный курс арифметики на русском языке, составленный Л. Ф. Магницким и опубликованный в 1703 году.

Кроме того, на Руси пользовались римской нумерацией. Согласно этой нумерации:

I VXLСDМ

«и» «вэ» «икс» «эль» «цэ» «дэ» «эм»

151050100 500 1000

Она сохранилась до настоящего времени. Ею, например, пользуются теперь для обозначения цифр на циферблате часов, при обозначении глав и некоторых страниц в книгах и т. д.

В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C — 200, Л — 30, А — 1).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д.  В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок.  В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы. счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бульшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бульшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бульшей). Например, VI = 6, т. е. 5 + 1, IV = 4, т. е. 5 — 1, XL = 40, т е. 50 — 10, LX = 60, т. е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в. , а в других странах Западной Европы — до 16 в.

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу.  В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Необходимо также заметить, что индийские математики впервые в истории ввели нуль как знак, говорящий об отсутствии единиц того или иного разряда — числа, написанного в десятичной позиционной системе счисления. Индийское название нуля — «сунья», что в дословном переводе означает «пусто».

Открытие индийцев было воспринято» арабскими учеными, которые в VIII веке занесли его в Европу. «Арабская нумерация», заимствованная у индийцев, поскольку она была проще и удобнее всех остальных систем счисления, постепенно распространилась по всей Европе и вытеснила полностью или частично все другие системы нумераций.

Существовали системы счисления и с другими основаниями.  В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты — на 60 секунд.

Древние египтяне пользовались десятичной системой, тогда как древние вавилоняне употребляли шестидеся-теричную систему счисления. Например, число 2-60+13

ММ А МММ в обозначении вавилонян выглядело так: -у у\ у у у •

Как египтяне, так и вавилоняне еще не владели поместным (позиционным) значением цифр. Секрет поместного значения цифр был открыт индийскими математиками примерно полторы тысячи лет тому назад. Они впервые в мировой науке стали пользоваться позиционной десятичной нумерацией.

В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом П (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком черточек), число 100-знаком в (это символ измерительной веревки) и т. д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: "К©

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н. э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака-прямой клин у (1) и лежащий клин •* (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: *ч -4 У Т V Число 60 снова обозначалось знаком у , например число 92 записывали так: Т^-ч^ТТ

Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ 4 для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда — числа 12 — «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе - гросс — встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В. В. Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления.  В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатиричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах. В начале нашей эры индейцы племени майя, которые на полуострове Юкотан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления- двадцатиричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 - горизонтальной чертой, например запись ' ' ' ' означала 14. В системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, А, Н, X, М, а число 1-черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения р (50) ддд~(35) и т. д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Интересно отметить, что арабы слово «сунья» перевели на свой язык термином «цифра» (аз з1!г). Таким образом, раньше словом цифра назывался только нуль. Именно в этом смысле слово цифра употреблял итальянский математик начала XIII века Фибоначчи, выпустивший в 1202 году арифметическую книгу под названием «Книга об абаке» (абак — счетная доска, предшественница наших конторских счетов). В таком же смысле это слово употребляет в начале XVIII века первый составитель печатной арифметики Л. Ф. Магницкий. Однако с течением времени европейцы под цифрами стали понимать знаки: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а первый из них назвали нулем.

В Китае и Японии для записи чисел применялись иероглифы.

Современная десятичная запись натуральных чисел впервые появилась в Индии в VI в. Через арабов, завоевавших в УИ-УШ вв. обширные районы Средиземноморья и Азии, индийская нумерация получила широкое распространение. Отсюда и название - арабские цифры.

В страны Европы новая, индийская нумерация была также занесена арабами в Х-Х1П вв. , однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось ставить только римские цифры. Лишь к началу XIX в. индийскую нумерацию стали применять повсеместно.

В России уже в XVII в. во всех без исключения математических рукописях встречается только позиционная десятичная система счисления.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Однако наиболее употребительной оказалась индо -арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.