Бизнес  ->  Строительство  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Старинные задачи на дроби

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3 , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была дробь 2/3.

В папирусе Ахмеса (древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса  длиной 5,25 м. и  шириной 33 см. ) есть задача: "Разделить 7 хлебов между 8 людьми". Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому "черному люду".

Но кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали "согласно", приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Старинные задачи на дроби

Эти задачи пришли к нам из глубины веков, от наших предков. Разные народы нашей планеты придумывали их, оттачивали условия и логику заданий. Они остроумны и занимательны, в них собраны замечательные находки многих поколений.

Очень многие задачи воспевают смекалку и скорость мышления, благодаря которым обретаешь такие качества, как сообразительность, оригинальность слова и дела, уникальность и мастерство, что всегда было и будет в цене.

Конечно, задач и головоломок за века было придумано неисчислимое множество. В своей работе я представляю задачи на дроби, это задачи с интересным содержанием и определенным способом решения.  

Задача Герона Александрийского (I в. н. э. ), древнегреческий инженер, физик, механик,  математик, изобретатель

1. Бассейн вместимостью 12 куб. ед. наполняется через две трубы, из которых через одну поступает в каждый час 1 куб. ед. воды, а через другую - 4 куб. ед. За какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

1)4+1=5(куб. ед. ) наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.

2)12:5=(часа) наполнят трубы бассейн.

Ответ: за 2 часа 24 минуты наполнится весь бассейн.

  Задача из "Арифметики" Леонтия Филипповича Магницкого. Учебник арифметики, по которому учился Михаил Васильевич Ломоносов. Эта задача трехвековой давности.

2. Один человек выпьет бочонок за 14 дней, а с женой выпьет тот же бочонок за 10 дней. За сколько дней жена его отдельно выпьет этот бочонок?

Решение 1 способом.

Весь бочонок принят за - 1.

1)1:14=бочонка пьёт один человек в день.

1:10=бочонка пьёт муж и жена в день.

2) пьёт жена в день.

3)1:дней понадобится жене чтобы выпить бочонок.

Ответ:35 дней понадобится жене чтобы выпить бочонок.

Решение 2 способом.

За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.

Ответ: за 35 дней выпьет жена.

Анания Ширакаци (615 г. ) - армянский философ, математик и географ середины 7 века.

3. В городе Афины был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, - за 2 ч, третья, еще более тонкая, - за 3 ч. За какую часть часа все три трубы вместе наполнят водоем?

Решение.

Весь водоём принят за - 1.

1)1:1==1 (водоёма) наполняет первая труба за 1 ч.

2)1:2= (водоёма) наполняет вторая труба за 1 ч.

3)1:3= (водоёма) наполняет третья труба за 1 ч.

4) 1+ (часа) понадобится всем трубам чтобы наполнить водоём.

Ответ: 2 ч понадобится трубам чтобы наполнить водоём.

4. Задача С. Сатина из журнала «Крокодил» (1990. № 34):

За десять дней пират Ерема

Способен выпить бочку рома.

А у пирата у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром

Пираты, действуя вдвоем?

Решение.

вся бочка принята за - 1.

1)1:10=бочки рома выпивает пират Ерёма в день.

1:14=бочки рома выпивает пират Емеля в день.

2) бочки рома выпивают оба пирата в день.

3)1: дней выпьют бочку рома оба пирата.

Ответ: за 5 дней выпьют бочку рома оба пирата совместно.

Старинная задача

5. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй - за 2 года, третий - за 3 года, четвертый - за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

Решение. Способ 1.

Вся работа принята за – 1.

1) 1:1=1за 1 год 1-ый плотник сделает всю работу.

1:2=(работы) делает 2-ой плотник за 1 год.

1:3=(работы) делает 3-ий плотник за 1 год.

1:4=(работы) делает 4-ый плотник за 1 год.

2)1+(домов) сделают плотники за 1 год, работая совместно.

3)1:(года) понадобится плотникам, чтобы сделать 1 дом.

Ответ: за года или 175 дней часа сделают плотники 1 дом работая совместно.

Решение. Способ 2.

Пусть все мастера работали 12 лет.

1)12:1=12(домов) построит 1-ый плотник за 12 лет.

12:2=6(домов) построит 2-ой плотник за 12 лет.

12:3=4(дома) построит 3-ий плотник за 12 лет.

12:4=3(дома) построит 4-ый плотник за 12 лет.

2)12+6+4+3=25(домов) построят плотники за 12 лет.

3)12:25=(года) построят плотники 1 дом совместно.

Ответ: за 175 дней часа построят плотники 1 дом, работая совместно.

6. Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй - за 36, третий - за 20 и четвертый - 18 дней. Какую часть сочинения напишут они за один день, если будут работать вместе?

Решение.

Всё сочинение принято за - 1.

1)1:24=сочинения пишет первый писец за 1 день.

1:36= сочинения пишет второй писец за 1 день.

1:20= сочинения пишет третий писец за 1 день.

1:18= сочинения пишет четвёртый писец за 1 день.

2) сочинения пишет первый и второй писец за 1 день.

3) сочинения пишет первый, второй и третий писец за 1 день.

4) сочинения пишут все писцы за 1 день.

5)1: дня напишут сочинение писцы работая вместе.

Ответ: за 5 дня напишут писцы сочинение, работая вместе.

7. Старинная задача (Китай, II в. ).

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение.

Весь путь принят за - 1.

1)1:7=(пути) пролетает дикая утка в день.

1:9=(пути) пролетает дикий гусь в день.

2) (пути) пролетают дикий гусь и дикая утка в день.

3)1:(дней) встретятся дикая утка и дикий гусь.

Ответ: за 3 дней встретятся дикая утка и дикий гусь.

8. Старинная задача

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за 2 месяца, овца – за 3 месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят вместе такой же воз сена?

Решение.

Всё сено принято за - 1.

1)1:1=(сена) съедает лошадь за 1 месяц

1:2=(сена) съедает коза за 1 месяц

1:3=(сена) съедает осёл за 1 месяц

2)1+=2(месяца) хватит на всех (лошадь, коза, овца) сена.

Ответ: на 2 месяца хватит сена для животных.

В результате анализа решений данных задач я составил алгоритм решения задач на дроби:

1. Определить из условия задачи, что принято за 1 целое.

2. Найти, какую часть от целого составляет каждая из величин.

3. Найти общую часть от целого всех величин.

4. Ответить на вопрос задачи.

Заключение-рефлексия.

Я выбрал эту работу, потому что в ней рассмотрены задачи, создающие «исторический фон», а также «старинные задачи». Мне понравились решать эти задачи, они очень интересные и некоторым из них чуть больше ста лет, а другие так же имеют почтенный возраст. Решение таких задач заинтересовало меня и позволило расширить моё представление о практике решения задач в старые времена.

В любой творческой деятельности, в учёбе, в труде, в игре, да и просто в жизни – внимание, смекалка, умение логически мыслить, необходимы человеку, потому что помогают решать проблемы, находить выход из сложных ситуаций и, между прочим, полезны для здоровья. Тот, кто хочет попробовать решать эти задачи, не бойтесь сложного сюжета, здесь всё легко. Награда, которую я получил, решая эти задачи - удовольствие от своей находчивости, наблюдательности, логического мышления.

Всё-таки поразительно, что эти задачи трехвековой давности до сих пор подходят нам и по сложности, и по занимательности. Занимательные сюжеты задач доставят удовольствие и детям, и взрослым.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)