Использование неравенств при решении экономических задач

Неравенство – это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: > (больше), <(меньше), (больше или равно), (меньше или равно). Запись a>b означает то же, что b

С помощью неравенств задаются основные числовые множества, формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов, оценить их количество, провести классификацию. На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Некоторые неравенства включают в себя переменные. Неравенства с переменными – это такие неравенства, в запись которых входят буквы принимающие разные значения. Они могут при одних значениях переменных быть верными, а при других – нет. Доказать такое неравенство – значит доказать, что оно выполнено при всех допустимых значениях переменных. Многие экономические задачи сводятся к решению и исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных, но чаще всего с двумя-тремя.

Исследование неравенств с множеством переменных началось примерно в XVIII веке, но было отрывочным и беспорядочным. Систематическое изучение систем линейных неравенств началось в самом конце 19 века, но о теории линейных неравенств стало возможно говорить лишь в конце двадцатых годов 20 века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов и исследований. Сейчас теория систем линейных неравенств может рассматриваться как ветвь линейной алгебры. Линейные неравенства имеют важное значение для экономистов, так как именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов. В данной работе будет изложен основной метод решения линейных неравенств, применительно к конкретным задачам.

Графический метод решения неравенств с неизвестными.

В современной математике существует несколько способов решения неравенств с двумя неизвестными: симплекс метод, графический и много других. Но я хотел бы подробно рассмотреть графический метод.

Графический метод заключается в построении множества допустимых решений неравенства, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции. В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с одной или двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду. Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, то есть привести неравенства к виду:

Затем нужно построить графики функций  y = f(x), y = g(x) ,. , y = h(x). Каждое из этих неравенств решается графическим методом. После этого требуется найти пересечение решений всех неравенств, то есть их общую часть. Решением каждого неравенства системы является некоторое полупространство. А решением всей системы будет являться пересечение всех полупространств. Это множество будет замкнутым и выпуклым. Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:

Решить графически систему неравенств:

Решение.   Сначала построим графики функций  y = 2/3x + 2  и  

                          y = x2 -1  (рис. 1):

Решением первого неравенства является интервал  x > 3, обозначенный на рис. чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов:  x < -1  и  x > 1, обозначенных на рис. серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал  x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Итак мы выяснили, как решаются системы неравенств с одной неизвестной. Теперь рассмотрим решение системы неравенств с двумя неизвестными.

Чтобы решить графически такую систему, надо:     

      1)  в каждом из неравенств перенести все члены в одну часть, то есть привести

           неравенства к виду:

2)  построить графики функций, заданных неявно:  f (x,y) = 0 и g (x,y) = 0;

3)  каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части: 

     в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить 

     графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

     справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

     части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

     эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

     решением является противоположная часть плоскости;

4)  решением заданной системы неравенств является пересечение

     (общая область) частей координатной плоскости.

Чтобы более наглядно показать решение системы неравенств с двумя неизвестными на примере, решим такую систему неравенств:

Решение. Сначала построим графики линейных функций: 5x - 7y = 11 и

2x + 3y = 10 (рис. 2). Для каждой из них находим полуплоскость, внутри которой соответствующее заданное неравенство справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость неравенства в одной произвольной точке области; в данном случае легче всего использовать для этого начало координат O (0, 0). Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y, получим: 5•0 – 7•0 = 0 > 11, следовательно, нижняя полуплоскость (жёлтого цвета) является решением первого неравенства; 2•0 + 3•0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство имеет своим решением также нижнюю полуплоскость (голубого цвета). Пересечение этих полуплоскостей (область цвета бирюзы) является решением нашей системы неравенств.

На основе представленных выше решений и исследований можно вывести общую теорему или правило, для решения систем линейных неравенств с одной или несколькими неизвестными:

«Множеством решений линейного неравенства системы служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость делит прямая ax + by + c = 0, включая и эту прямую, а другая полуплоскость вместе с той же прямой является множеством решений неравенства с противоположным знаком. Решением самой же системы является пересечение всех полуплоскостей – решений неравенств, входящих в систему».

Это высказывание определяет геометрический смысл множества решений неравенств. Пользуясь приведенным правилом и методом решения неравенств с двумя переменными попробуем найти решение одного неравенства, например:

2x1 – 5x2 +10 0

Искомое множество состоит из решений уравнения 2x1 – 5x2 +10 = 0 и строгого неравенства 2x1 – 5x2 +10 > 0. решением уравнения служат точки прямой 2x1 – 5x2 +10 = 0, которую мы строим по точкам А(0,2) и В(-5,0) – её пересечениям с осями координат. Множеством решений строгого неравенства является одна из полуплоскостей, на которые делит прямая АВ всю плоскость. Какая из них является искомой, легко проверить одной контрольной точкой, в качестве которой удобно взять начало координат. Подставив (0,0) в строгое неравенство, проверим, выполняется ли оно и тогда, следовательно, (0,0) принадлежит искомой полуплоскости: 2 • 0 – 5 • 0 + 10 > 0, следовательно, решением данного неравенства будет нижняя полуплоскость, включая и прямую АВ.

Научившись находить решения одного неравенства, попробуем решить систему из неравенств вида: a1x1 + b1x2 + c1 0 a2x1 + b2x2 + c2 0 a3x1 + b3x2 + c3 0

Как было сказано, решением системы неравенств является пересечение всех полуплоскостей, каждое из которых является областью решений одного из неравенств. Для примера разберем такую систему неравенств:

2x1 - 3x2 + 13 0 (I) x1 + x2 - 6 0 (II)

4x1 - x2 - 19 0 (III)

Заменяя знаки неравенств на знаки равенств, получим уравнения прямых:

2x1-3x2+13 = 0 (I/) x1 + x2 - 6 = 0 (II/)

4x1 - x2 – 19 = 0 (III/)

Вычертим эти прямые и стрелками укажем те полупространства, которые определяются неравенствами (I), (II), (III). Это делается при помощи проверочной точки О(0,0), тогда для О(0,0) неравенство (I) станет 13>0. Следовательно, начало координат принадлежит тому пространству, где 2x1-3x2+13 0. Неравенство (II) станет (-6)0, т. е. не выполняется, поэтому выбираем верхнюю полуплоскость. Неравенство (III) станет – (-19)0, т. е. выбираем левую полуплоскость. Следовательно, решением системы является треугольник, ограниченный графиками уравнений входящих в систему.

Для того чтобы лучше понять алгоритм решения таких систем решим ещё одну систему неравенств:

3x1 + x2 – 8 0 (I) x1 + 2x2 - 6 0 (II) x1 - x2 – 3 0 (III)

Вычертим прямые соответствующие уравнениям:

3x1 + x2 – 8 = 0 (I/) x1 + 2x2 – 6 = 0 (II/) x1 - x2 – 3 = 0 (III/).

Построим область решений данной системы. Как видно, это будет неограниченная область.

К решению систем неравенств приводят нас задачи экономики. Например многие экономические задачи сводятся к решению систем неравенств с большим числом неизвестных. В основном такими являются: транспортные задачи и задачи о сырье.

Экономические задачи.

Рассмотрим методику решения экономических задач, сводящихся к системе неравенств с несколькими неизвестными. Часто то или иное неравенство в экономике является важным вспомогательным средством, опорным пунктом, позволяющим доказать или опровергнуть возможность выполнения того или иного плана или действия, рассчитать прибыль от реализации товара или ресурса, вывести наиболее экономный вариант перевозок при максимальном количестве клиентов. Наглядно показать доход от экспорта и расход на импорт. Наиболее часто приходится решать экономистам задачи об использовании сырья и задачи о транспортировке сырья и грузов(транспортные задачи).

Задачи об использовании сырья.

Вообще задачей об использовании сырья называется задача, в которой требуется рассчитать наиболее выгодный план производства, при котором затраты сырья оказались бы минимальны, а доход максимальным. Итак

Предположим, что изготовление продукции двух видов П1, П2 требует использования четырёх видов сырья S1, S2, S3, S4. Запасы сырья каждого вида ограничены и составляют b1, b2, b3, b4 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции, известно и задаётся таблицей:

Виды сырья Запасы сырья Виды продукции

S1 b1 = 19 2 3

S2 b2 = 13 2 1

S3 b3 = 15 0 3

S4 b4 = 18 3 0

Доход 7 5

В последней строке указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором доход от реализации всей продукции оказался бы максимальным. Решим эту задачу графически.

Допустим, что предприятие выпускает x1 единиц продукции вида П1; x2 единиц продукции вида П2. для этого требуется 2x1 + 3 x2 единиц сырья S1. Так как всего имеется в наличии 19 единиц сырья S1, то должно выполняться неравенство 2x1 + 3 x2 19. Используем аналогичные рассуждения для составления оставшихся неравенств. В результате получится такая система неравенств:

2x1 + 3 x2 19

2x1 + x2 13

3 x2 15

3x1 18

Получаемый предприятием доход составляет F = 7x1 + 5 x2.

Неизвестные x1 и x2 должны удовлетворять условию x1 0 и x2 0.

Математически задачу можно сформулировать так:

Дана система:

2x1 + 3 x2 19

2x1 + x2 13

3 x2 15

3x1 18 состоящая из четырёх неравенств и линейная функция F = 7x1 + 5 x2. требуется среди неотрицательных решений системы найти такое, при котором F принимает наибольшее значение.

Для решения геометрическим способом построим прямые и полуплоскости решений данных неравенств.

Предположим F = 0, построим прямую l 7x1 + 5 x2 = 0 ().

Теперь будем прямую l передвигать параллельно самой себе, как показано на чертеже. Уравнение движущейся прямой будет 7x1 + 5 x2 = F, причем величина F будет возрастать при движении прямой. Для того, чтобы найти наибольшее значение F, надо прямую l передвигать до тех пор, пока она не коснется последних точек многогранника решений неравенств. Очевидно, что наибольшее значение F примет в точке С(6,1), и следовательно, Fmax = 7 • 6 + 5 • 1 = 47. Точку С находим как пересечение прямых (II) и (IV).

Ответ: нужно изготовить 6 единиц продукции 1 и 1 единицу продукции 2.

Поняв метод решения задач об использовании сырья, попытаемся решить подобные задачи самостоятельно.

Задача №1.

Пусть изготовление продукции A и B требует использования трёх видов сырья S1, S2, S3, имеющихся в ограниченном количестве p1, p2, p3. Тогда можно составить такую таблицу:

Вид сырья Запасы сырья Продукция A Продукция B

S1 p1 = 10 a1 = 1 b1 = 4

S2 p2 = 6 a2 = 1 b2 = 2

S3 p3 = 9 a3 = 2 b3 = 1

Доход 1 1

Пусть завод выпускает x1 единиц продукции вида A; x2 единиц продукции вида B. А прибыль от продукции A = , а прибыль от продукции B =. Тогда максимальная выгода равна F = x1 + x2. Теперь составим систему неравенств данной задачи. Также нужно учесть, что x1 0, и x20. Она будет выглядеть так: x1 + 4 x2 10 x1 + 2 x2 6

2x1 + x2 9

Решим эту систему графически:

1. x1 + 4 x2 = 10 x1 = 6, x2 = 1 x1 = 2, x2 = 2

2. x1 + 2 x2 = 6 x1 = 4, x2 = 1 x1 = 2, x2 = 2

3. 2x1 + x2 = 9 x1 = 3, x2 = 3 x1 = 4, x2 = 1

Теперь построим прямые и полуплоскости, являющиеся решениями данных неравенств, и прямую l0 = x1 + x2 = 0(красный цвет). Перемещая параллельно самой себе прямую l0, видим, что наибольшее значение F принимает в точке C, её координаты будут равны: x1 + 2x2 = 6

2x1 + x2 = 9 x1 = 4, x2 = 1, т. е. C(4;1), следовательно Fmax = x1 + x2 = 4 + 1 = 5. Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль нужно изготовить 4 продукта A и 1 продукт B.

Задача №2.

Для изготовления двух продуктов A и B используется три вида сырья S1, S2, S3, запасы которого известны. Необходимо рассчитать наиболее оптимальный вариант производства продуктов и максимальную прибыль от их реализации. Имеется таблица:

Вид сырья Количество сырья Продукция A Продукция B

S1 75 5 3

S2 83 4 7

S3 50 1 5

Доход 4 5

Пусть x1 -  количество выпускаемой продукции первого вида, тогда x2 -  количество выпускаемой продукции второго вида. Прибыль от реализации всей продукции составляет: F = 4 x1 + 5 x2. Составим систему неравенств:

x10, x20

Перейдём из неравенств к уравнениям:

Многоугольник решений ABCDO. Для нахождения максимума функции  F = 4x1 + 5 x2 построим начальную прямую F(x1,x2)  = 0. Передвигая прямую F(x1,x2) = 0 вдоль вектора параллельно самой себе получим, что максимальное значение наша прямая принимает в точке C - точке пересечения прямых (1) и (2). Найдем её координаты:

5x1 + 3x2 = 75

4x1 + 7x2 = 83 x1 = 12, x2 = 5 т. е. C(12,5)

Подставим полученные значения x1 и x2 в уравнение прибыли, рассчитаем максимальную прибыль предприятия:

F(x1,x2)  = 4 •12 + 5 • 5 = 73.

Оптимальный план найденный геометрическим способом: предприятию необходимо выпускать 12 единиц продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида. В этом случае предприятие получит прибыль 73 денежных единиц.

Транспортная задача.

Транспортной задачей называется такая экономическая задача, в которой требуется найти наиболее оптимальный план перевозок, при котором общее количество тонно-километров будет наименьшим, т. е. общее количество километров будет наименьшим, а количество перевезённого груза максимальным.

На три завода З1, З2, З3 нужно завезти сырьё одинакового вида, которое хранится на двух складах С1,С2 в соответствии с данными указанными в таблице.

С1 С2 З1 З2 З3

20 25 10 15 20

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т. е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.

Решение.

Обозначим через x и y количество сырья, которое нужно вывезти со склада С1 соответственно на заводы З1 и З2. Тогда со второго склада на эти заводы нужно довезти 10 – x и 15 – y тонн сырья. Так как общее количество имеющегося на складах сырья совпадает с потребностью заводов, т. е. всё сырьё должно быть вывезено со складов на заводы, то после обеспечения заводов З1 и З2 оставшееся на складах сырьё полностью вывозится на завод З3, т. е со склада С1 на завод З3 вывозится 20 – x – y,а со склада С2 25 – (10 – x) – (15 – y) = x + y тонн. Учитывая расстояния, находим общее число тонно – километров:

5x + 7y + 10(20 – x – y) + 3(10 – x) + 4(15 – y) + 6(x + y) = 290 – 2x – y.

Заметим теперь, что все величины, выражающие количество перевозимого по разным дорогам сырья, неотрицательны.

Таким образом, задача о нахождении наиболее выгодного варианта перевозок сводится математически к нахождению точки M(x,y) многоугольника Q, в которой функция 290 – 2x – y принимает наименьшее значение. Вместо этой функции можно рассматривать функцию – 2x – y. Действительно, если будет найдено наименьшее значение функции – 2x – y, то прибавив к этому значению 290 получим наименьшее значение функции 290 – 2x – y.

На рисунке показано, что наименьшее значение линейной функции – 2x – y, рассматриваемой на многоугольнике Q, достигается в вершине C. Иначе говоря, наиболее выгодный вариант перевозок соответствует точке C(10;10), т. е. x = 10, y = 10. Общее количество тонно-километров для этих значений x, y равно 290 – 2 • 10 – 10 = 260. Т. е. наименьшее число тонно-километров равно 260. Как видим, геометрическая модель позволила полностью решить поставленную задачу.

Заключение.

Системы линейных неравенств находят себе применение во многих отраслях науки. В физике они применяются в теории электрических цепей, имеют особо важное значение для экономистов, т. к именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и в расчете бюджетов и наиболее выгодных вариантов ведения торговли. Геометрическая модель системы помогает рассчитать и описать национальный доход государства, наглядно показать импорт и экспорт товаров и ресурсов, рассчитать средне годовой национальный доход государства.

Существует множество вариантов решения систем неравенств, но в работе я рассмотрел только графический метод решения.