Системы счислений и их основания

Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Самым простым способом записи натурального числа является изображение его с помощью соответствующего количества черточек и палочек. Такой способ применяли в глубокой древности все народы. Ясно, что он приемлем лишь для записи небольших чисел – в пределах одного-двух десятков. Следующим шагом было изобретение для обозначения чисел специальных знаков. Любопытно, что при этом знак, изображающий единицу, почти во всех системах очень напоминал черточку. Это сходство сохранилось и по сей день. Сейчас повсеместно распространена десятичная система счета. Однако не во все времена люди пользовались этой системой. Возможно много различных систем счисления. Но нас интересует система счисления народа ханты, потому что она нам близка, так как мы родились и выросли в северном регионе. В нашем районе живут и трудятся около 10 тыс. человек, половина из которых – ханты.

Чтобы иметь дело с числами, необходимо, прежде всего, уметь называть и записывать их. Способ наименования и записи чисел принято называть системой счисления.

Чтобы лучше ее понять, необходимо познакомиться с другими системами. Возможно много различных систем счисления, которые делятся на две большие группы - позиционные и непозиционные. Посмотрим первые способы записи числа.

Первые нумерации. Непозиционные системы счисления.

Первые нумерации

Одной из древнейших нумераций является египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы. Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. Люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3,4,5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности чаще всего считали на пальцах. И поэтому предметы стали группировать по 5 или по10. В дальнейшем десяток десятков получил особое название (в русском языке - сотня), десяток сотен - свое название и т. д. Для удобства записи такие узловые числа стали обозначать особыми знаками. Если при пересчете оказывалось 2 сотни 7 десятков и еще 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз – знак для единицы. Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи числа знаки можно было располагать в любом порядке, и значение записанного числа при этом не менялось. Поскольку в такой записи положение знака не играло роли, подобные системы счисления стали называть непозиционными. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков и римлян. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобна для умножения и деления. Необходим был новый способ записи чисел.

Позиционные системы счисления.

Для позиционной системы характерно то, что число разбивается на разряды, которые считаются справа налево, и каждая цифра в записи числа означает определенное количество единиц именно того разряда, в котором эта цифра стоит. Запись 568 означает, следовательно, что число состоит из восьми (простых) единиц, шести десятков и пяти сотен.

Единица каждого следующего разряда всегда в определенное число раз превосходит единицу предыдущего. Это отношение называют основанием системы счисления. Наша система счисления потому и называется десятичной, что ее основанием является число десять: каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего.

Общепринятой системой счисления является десятичная позиционная система, берущая свое начало от счета на пальцах . Она была изобретена в Индии, затем заимствована там арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. В этой системе для записи любого числа используется лишь десять цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Значение каждой цифры в позиционной системе счисления определяется не только ею самой, но также и местом (позицией), которое она занимает в записи числа.

У ряда африканских племен и в древнем Китае господствовала пятеричная система счисления, которая по сравнению со всеми упомянутыми обладает тем практическим преимуществом, что можно считать на пальцах руки.

Очень широкое распространение имела в древности, особенно на Ближнем Востоке, двенадцатеричная система . Ее происхождение, по всей вероятности, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах, только за единицу принимался не отдельный палец, а фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые перебирались большим пальцем. Так как каждый палец состоит из трех фаланг (трех суставов), то всех фаланг получилось 12.

Остатки двенадцатеричной системы счисления сохранились до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно название для числа двенадцать, то есть для единицы второго разряда в двенадцатеричной системе,- дюжина. Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например столовые приборы в сервизе или стулья мебельном гарнитуре. Несомненные остатки двенадцатеричной системы имеются у англичан – в системе мер (например: 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (шиллинг = 12 пенсам).

Иногда встречаются и более крупные числа в качестве базиса системы счета, например, 20, при которой счет велся на пальцах обеих рук и ног.

В Центральной Америке (у ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все перечисленные системы, очевидно, также связаны со счетом на пальцах, имея, так сказать, «анатомическое» происхождение.

Самый крупный базис системы счета, а именно 60, существовал у древних вавилонян. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

За основание системы счисления можно принять не только числа 5, 12, 20, 60, но и любое натуральное число р, большее1. Чтобы различать, в какой системе записано число, если это не следует из сказанного, мы будем указывать основание системы мелким шрифтом справа внизу числа. Например, число 25710 записано в обычной десятичной системе, 2578 — в восьмеричной, а 25712 — в двенадцатеричной системе. При этом само основание во всех случаях пишется в десятичной системе.

Для записи чисел р-ичной системе счисления нужно р цифр. Число, записанное цифрами а, а,, а в р-ичной системе, равно ар+ар++а. Например: 326=3•7+2•7+6 (индекс 7 означает, что число записано в семеричной системе). Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести в р-ичную систему, то делят это число на р с остатком. Потом делят на р с остатком неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым, получаем искомую р-ичную запись нашего числа. Например, из того, что 29=4•6+5, а 4=0•6+4, вытекает, что 19=45.

Операции над натуральными числами в р-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения Особенно простой вид эти таблицы имеют для двоичной системы счисления. Поэтому действия в этой системе выполнять быстро и легко.

Таблица сложения. Таблица умножения.

1 1 10

Двоичной системой счисления пользовались многие первобытные племена, она еще была известна древнекитайским математикам, но по настоящему развил и построил двоичную систему немецкий математик Г. В. Лейбниц.

Еще в XVII в. Г. В. Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 1 101 0102. Однако в нашем веке, когда были созданы ЭВМ, оказалось, что для выполнения арифметических операций на этих машинах самой удобной является именно двоичная система счисления.

Финно – угорская система счисления.

Исследования показали, что в прежние времена была очень распространенна семеричная система среди урало-алтайских народов. Этой системой пользовались и финно-угорские народы. Так, Хунфалви сообщает нам: «Цифры от 1 до 7 у финнов и угров простые. Родственные народы, таким образом, на начальной стадии своего развития считали, пользуясь семеричной системой, как это было в случае и с турками, и с другими народами».

Возможно, какие-то события, которые мы не знаем, подвинули финно-угорские народы к принятию десятичной системы. Это скорее произошло в Новое время после тесного соприкосновения с другими народами.

У остяков еще сохранились заметные следы семеричной системы, хотя сегодня она полностью освободила место для десятичной. Доказательством этого может служить уже, то, что в остяцком языке только для первых семи основных чисел сохранились древние названия, а именно 1 - ит; 2 - кат; 3 - хулам; 4 - нял; 5 - вет; 6 - хут; 7 - лапат. Числа 8,9 это словообразование. Так 8-нийл возможно, развивающее из нял, нил-4. До сих пор жители поселка Питляр Возелова П. И. (1936г. ), Сязи Д. М. (1921г. ) говорят, что на пошив бурок нужно кат калан (2 оленя) или 8 лап. На пошив кисов хулам калан (три оленя) или 12 лап. А на орнамент для саха нужно нял сыюв (четыре теленка) 16 лап, а именно 8 белых и 8 черных лап.

В то время как 9 состоит из яр (много) и ян-10. Означает 9-ближе к десяти, «избыточное десять», «неровное десять», 10 –ян.

У остяков выше г. Сургута 9-означает (десять кроме одного), (один лишний в десяти).

Далее отдельно стоят появившееся позднее названия простых чисел: 20-хус (в переводе звезда); 100-сот (в переводе сила); 1000-серас, сюрас (в переводе продавец).

Кроме употребительных сегодня форм 14-нялхосьян (четыре второй десятки), 21-хольян пела ит) одна единица на третий десяток), 77- семьдесят семь, иногда отыскивается более древние формы, где число 14 выражается посредством «кат лапат» - две семёрки. 21-хулам лапат (три семёрки, 49-лапат лапат (семь семёрок).

То, что у остяков преобладала семеричная система, мы обнаружили в древних сказках и сказаниях. Например, в сказаниях о Мастере Старик, давая Богатырю семь кожаных вожжей, говорит: «Если ты столкнешься с какой-нибудь могучей силой, то шесть вожжей ты разорви, а если седьмую разорвешь, то мы больше тебя не знаем». Герой - таки разорвал седьмую. И «небо в глазах исчезло, земля в глазах исчезла» у его оленей «сила ног разорвалась». В этом сюжете с вожжами выражена идея крайних чисел: если разрывается шестая, где-то наверняка есть седьмая, если седьмая - разрывается всё. Семь - крайнее число. Всё равно семи.

Даже у селькупов числительное «семь» (сельчи) выступает в роли собирательного местоимения «все».

В мифологии Куль-отыру, как и другим великим духам, представлен весь ряд «от 1 до 7».

Читая сказки народов Севера, обнаруживаешь, что действия героев начинаются с цифры «2». Описывается жизнь двух братьев, старика и старухи, мужа и жены, матери и сына, бабки и внука, тети и племянника, двух сирот. Только с приходом третьего героя устанавливается мир, согласие; или третья попытка становится удачной. В мифологии третьим является то, ради чего начато действие.

В представлениях хантов отсутствует ноль. Сотворение мира происходит из «ничего» через единичное.

Там, где происходит рождение или возрождение, преобладает троичность. По легенде нижнеобских хантов (пос. Ванди-яз), после потопа сей-поторе осталось три человека, от них и народились местные ханты.

Любимыми числами у остяков (ханты) являются числа 7 и 3. Совершать жертвоприношения принято не реже трех раз в год. Посещение святилищ начинается с его троекратного обхода посолонь. Многие праздники продолжаются не менее трех дней. В жертву забивается не менее трех оленей, при этом раздается обращенный к богам троекратный крик.

Знаки «4» и «5» соответствуют числу частей тела (душ) женщины – «4» и мужчины – «5». Проходя через руки трех матерей, рожденный младенец, благословляется на очеловечение: девочку подносят к 4 пням, мальчика - к 5. похоронный обряд устраивают на 4 – 5 дней. Все обряды совершаются 4-5 раз. 4 – женского пола 5- мужского пола.

Число «6»представляется недоделанной или испорченной «семеркой». В «6» есть зловещий оттенок. Ее стараются пропустить. Грань между 5 и 7 выступает рубежом между мирской и духовной жизнью.

Подобно другим народам, число «7» у хантов является любимым числом. В обрядах часто встречается цифра «7» в ритуалах общения с богом отмечается все семь их божественных душ воплощений. Число 7 встречается в песнях, былинах. Так число 7 остяки используют повсюду, где незнакомая величина должна быть примерно определена, или где они вольны употребить любое число, то есть в значении «несколько». В стихотворении, где отразилось их мировоззрение, находим, что вода имеет семь ипостасей, или источников - «святая вода в семи источниках», и семь бездн; что небо имеет семь щелей или отверстий, откуда господин неба, бог получил название- «господин семиглазового неба». Мир и земля имеют не, как мы предполагаем четыре, а семь сторон света.

Это же слово (лапат) у остяков входило в состав кратких семерке чисел, то есть 14, 21, 49, 77 и т. д. , и обозначало понятие множества. Так, например, остяки едят 7 – 14 – 21 мухомор (много мухоморов), в честь медведя сложено 77 песен и т. д.

Число семь, кажется, любимо и богами, ибо полная жертва, которую они требуют, состоит из семи животных; перед их изображениями делают семь поклонов головы; роща стоящая и из семи лиственниц и других древних деревьев, считается святой. Желаемым числом сыновей, у остяцких героев, так и у некоторых арийских народов, было семь.

Многочисленные сказания, мифологии, древний счет народа ханты свидетельствуют, что у народов ханты была семеричная система счисления.

Что же повлияло на ум древних народов, что они сделали семь базисом для счёта? Куда более удобнее группы чисел, например, число пальцев одной (5) или обеих рук (10). Потанин, долгое время занимавшийся этим вопросам в отношении древних обитателей северной Азии, высказывает весьма содержательное мнение: «На севере Сибири мы видим, что связанные с почтением числа семь сказания имеют такие мощные корни в религиозных взглядах народов и так тесно связанны с культом, что очень сложно объяснить это явление внешними влияниями. А так, как число семь совпадает со звёздным изображением Большой Медведицы, то именно здесь следует искать разгадку почитания этого числа на Севере. Если это предложение, верно, то следует признать, что до открытия планет подобного почитания не было. Но древние народы Сибири, не отличавшие планет, кроме Венеры, от ряда неподвижных звёзд, уже почитали число 7. При этом нужно с сожалением признать, что такое прекрасное и выдающееся созвездие, как

Большая Медведица не оказала своего влияния на творческий дух древнего человека».

Таким образом, «7» - всё, что звучит в человеке. Она же – сгусток (живая единица) пространства-времени. В угорском приходе-уходе четырёх (пяти) душ или самодийском превращении людей в богов, весь мир охватывается тем, что идёт изнутри человека. А в «изнутри» непременно есть середина – «я». Поэтому за «7» идёт не «8», а следующая «семь-я» - «3» («9») или «7». Или Ничего.

Остякам не были известны цифры. Если они хотели выразить письменно какое-то число, то обозначали его соответствующим количеством зарубок. Возможно, если бы финно –угорские народы не перешли к десятичной системе счисления, то в семеричной системе использовали бы только семь цифр: 0,1,2,3,4,5,6. А число 7 заменилось бы одним десятком. Число 14 - двумя десятками.

Выразим первые числа натурального ряда в семеричной системе.

Десятичные числа 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 10

2 2 3 4 5 6 10 11

3 3 4 5 6 10 11 12

4 4 5 6 10 11 12 13

5 5 6 10 11 12 13 14

6 6 10 11 12 13 14 15

Таблица умножения.

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 11 13 15

3 3 6 12 15 21 24

4 4 11 15 22 26 33

5 5 13 21 26 34 42

6 6 15 24 33 42 51

Примеры: 2563+6345=12241 352•146=62345 4655-3261=1364

45405:132=316. Так как семеричная система имеет 7 различных знаков, то таблица умножения и деления проще. В данной системе счисления складывать, умножать, вычитать, делить числа, зная таблицы сложения и умножения не трудно, просто не привычно.

Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Правило: запись целого числа в любой позиционной системе счисления означает представление этого числа в виде суммы степеней основания с различными, коэффициентами и являются цифрами числа.

Пусть, например, нам дано в семеричной системе число 2536. Эта запись означает, что данное число представляется в виде суммы

2536=2•10 +5•10+3•10+6

Но основание семеричной системы счисления 10 в десятичной системе записывается как 7. Поэтому наше равенство может быть переписано с десятичными числами.

2536 =2•7+5•7+3•7+6=2•343+5•49+3•7+6=686+245+21+6=958

Обратный перевод из десятичной системы, скажем в семеричную.

Пусть дано: 958=9•10+5•10+8. Поэтому наше равенство можно переписать семеричными числами, то есть: 9=12; 10=13; 8=11; 10=13•13=202; 202•12=2424; 13•5=101

Тогда: 958=12•202+5•13+11=2424+101+11=2536

В этом переводе числа из десятичной в семеричную систему, потребовалось бы все вычисления производить в семеричной системе. Что, во всяком случае, менее привычно, чем в десятичной системе.

Можно переводить из десятичной системы в семеричную, чтобы вычисления производить в десятичной привычной системе.

Рассмотрим снова то же число: 958=136•7+6

Это означает, что наше число, кроме некоторого количества семерок, содержит еще шесть единиц.

Для определения следующей (второй справа) цифры разделим полученное частное на 7, оно равно19, а остаток 3. Последний и дает нам следующую цифру 3, так как результат второго деления можно представить в виде:

958=(19•7+3) •7+6=19•7+3•7+6, остается разделить 19 на 7. Так как 19=7•2+5, то

958=(7•2+5) •7+3•7+6=2•7+5•7+3•7+6=2536

Мы снова получили то же самое представление, но путь, по которому на этот раз прошли был более удобен: требовалось только делить десятичное число на новое основание и выписать остатки, которые и дают семеричные цифры числа справа налево.

Правило:

Цифрами, представляющими число в семеричной системе, будут остатки от последнего деления этого числа на 7, записанные в обратном порядке.

Вычисления удобно располагать, как показано ниже:

7 136 7

25 7 197

21 66 14 2

48 63 5

В результате вычислений получаем 958 = 2536

Сделаем проверку примера (п. 2): 316•132= 45405

316=3•7+1•7+6 =160 ; 132= 1•7+3•7+2=72;

160•72=11520=4•7+5•7+4•7+5=4•2401+5•343+4•49+5=9604+1715+196+5=

11520= =45405

Система счёта по основанию 7, менее выгодна, чем система по основанию 10. Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатеричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка на 2 и на 5, между тем 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У числа 7 делителей 2, у числа 10 – 4 делителя, а у числа 12 -делителей 6. Если выражать обыкновенные дроби в виде десятичной дроби, то получаем 8 дробей.

1/2 1/4 1/5 1/10 1/20 1/25 1/50 1/100

0,5 0,25 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01

В двенадцатеричной системе счисления имеем 12 дробей. Самая выгодная система счисления является двенадцатеричная без знаменателя можно записать гораздо больше дробей, которые будут изображены так:

1/2 1/3 1/4 1/6 1/8 1/9 1/12 1/16 1/18 1/24 1/36 1/48 1/72 1/144 0,6 0,4 0,3 0,2 0,16 0,14 0,1 0,09 0,08 0,06 0,04 0,03 0,02 0,01

Было бы, впрочем, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых куч, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом.

Если число, написанное в десятичной системе, делится на 6 без остатка, то будучи выражено в другой системе оно тоже будет делиться на 6 без остатка. Например, разделим 72 на 6.

Деление 72:6 в различных системах счисления выражается следующим образом:

В двоичной 1001000:110=1100

В троичной 2200:20=110

В четверичной1020:12=30

В пятеричной242:11=22

В шестеричной200:10=20

В семеричной132:6=15

В восьмеричной110:6=14

В девятеричной80:6=13

Мы видим, что делимое, делитель, частное во всех случаях, по существу, одинаковы, но промежуточные выкладки разные.

Если число, написанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в двенадцатеричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах двенадцатеричной системы в смысле делимости на большее число делителей, имеют в виду, что благодаря склонности нашей к «круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся в двенадцатеричной системе нулями.

Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся лишь дроби десятичные, Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь или нельзя. Это не так. =0,2 в семеричной системе. =0,1 в троичной системе.

А что означает число 0,33 в семеричной системе? 0,33==

Почему же весь мир выбрал десятичную систему, а не двенадцатеричную систему счисления? Почему именно числу 10 отведена такая привилегированная роль?

Человек, далёкий от этих вопросов, ответил бы, вероятно, не задумываясь, так: дело просто, в том, что число 10- круглое, на него удобно умножать любое число, поэтому удобно считать десятками, сотнями и т. д. Мы выясняли, что дело обстоит как раз наоборот: число 10 потому и круглое, что оно принято за основание системы счисления. При переходе к какой-либо иной системе счисления, скажем семеричной (где оно записывается в виде 137), его «круглость» немедленно исчезнет.

При таких преимуществах двенадцатеричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решиться на такую реформу.

Великий французский математик Лаплас так высказался по этому вопросу сто лет назад: «Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и 4, то есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы, несомненно, отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, - именно, возможность счёта по пальцам рук».

Причины, по которой именно десятичная система оказалась общепринятой, совсем не математического характера.

Десять пальцев рук - вот тот первоначальный аппарат для счёта, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. По пальцам удобно считать от 1 до 10. Сосчитав до десяти, то есть использовав до конца возможности нашего природного «счётного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т. д. Таким образом, именно счёт по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющейся. Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами – живые счетные машины.

Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами - живые счётные машины.