Понятие и сущность систем счисления

Для повседневных вычислений мы используем десятичную систему счисления. Усвоив ее с детства, мы склонны недооценивать такое замечательное культурное достижение человечества как введение позиционного принципа, которое является результатом длительного эволюционирования представлений человека о числе. Как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы, основанной на данном принципе, усложненным вариантом которой мы пользуемся до сих пор, по праву является одним из эпохальных открытий математики за всю историю ее существования. Именно благодаря этим открытиям впоследствии сформировалась позиционная система с основанием 2, которая была положена в основу работы компьютеров. Развитие вычислительной техники привело к возникновению нового интереса к одной из древнейших проблем математики – проблеме «систем счисления».

Выбранная мною тема актуальна для теории и истории математики. Прежде всего, это связано с тем, что системы счисления являются фундаментом и основой математической науки. Кроме того, появление представлений о числах и особенностях выполнения простейших операций с ними стало первым знанием человечества в области математики.

Математика, как и многие другие науки, берет начало с отдаленных времен жизни человечества, от которых не осталось письменных памятников. Основные понятия математики зародились задолго до изобретения человеком знаков для записи своих мыслей.

Изучение быта, языка, преданий как отсталых в культурном отношении народов, так и стоящих на высокой ступени культуры, дают возможность судить о том, как в связи с развитием производительных сил и отношений развивалась и их психическая деятельность. Становится ясным, каким нелегким трудом в продолжение тысячелетий человечество вырабатывало основные понятия математики. Постепенно у человека возникали самые первые, простейшие, представления математического характера, в частности – понятие о числе.

Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из категории «много». Оно произошло еще тогда, когда человечество находилось в состоянии дикости. На этой ступени развития общества люди отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много».

Впоследствии способность отличать друг от друга небольшие совокупности развивалась; появились слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». «Семь» длительное время обозначало неопределенно большое количество. В тексте русских пословиц сохранилась память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ»).

Дальнейшее развитие счета относится к той эпохе, когда человечество ознакомилось с формами производства – охотой и рыболовством. Человеку приходилось изготовлять простейшие орудия для овладения этими производствами. Кроме того, продвижение человека в холодные страны заставило его изготавливать одежду и создавать орудия для обработки кожи. Мало-помалу сложилось первобытное общество с соответствующим распределением пищи, одежды и оружия. Все эти обстоятельства заставили человека так или иначе вести учет коммунального имущества, сил врага, с которыми приходилось вступать в борьбу при овладении новыми территориями, и т. п.

На этой ступени развития человек отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими, однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Эта операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету ставится в соответствие один из предметов, выбранных за орудие. На данном этапе развития человек, сам того не осознавая, вводит в обиход то, без чего, собственно, и не существовала бы математика, – систему счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Система, изобретенная первобытным человеком, была достаточно примитивной, т. к. в ней не содержалось никаких правил для оперирования с числами, но люди того времени не могли создать ничего лучшего, ведь тогда общество только начинало формироваться. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т. е. системы счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков (подробнее см. в п. 1. 2). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда эти примитивные орудия счета (камешки, раковинки, косточки) нанизывались на шнурок или палочку, чтобы их не растерять; данный обычай впоследствии послужил к созданию более совершенных счетных приборов, сохранивших свое значение и до наших дней.

Особо важную роль в счете играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, показывались на пальцах.

Вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и ногах. Именно по этим признакам вышеприведенные числа впоследствии стали играть важную роль в известных системах счисления древности (древнеегипетской, римской и индейцев майя соответственно).

На первых порах расширение перечня чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов числа 40 и 60 долгое время были пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение.

Позднее появляется потребность в записи больших чисел. Унарная система для этого уже не годилась, поэтому человечество изобретает более удобные системы счисления.

2. Основные принципы систем счисления

Системы счисления развиваются уже на протяжении 13 тыс. лет. За это время они претерпели огромные изменения. Но начало они все берут от одной и той же системы – унарной (по-другому ее еще называют палочной, единичной). Археологи относят ее появление к 10-11 тысячелетию до н. э.

Цифры – условные знаки для обозначения чисел. Любое число в унарной системе образуется повторением всего лишь одной цифры – единицы. Оригинальность унарной системы заключается в том, что по типу ее можно отнести как к позиционной, так и к непозиционной системе.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции, разряде) записана эта цифра. Количество цифр, используемых для выражения чисел в позиционной системе, называется основанием, обозначаемым нижним индексом числа. Основание определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. Название система счисления получает по значению основания. Например, если основание равно 10, то система будет называться десятичной. В качестве основания можно использовать любое натуральное число, следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой цифры не изменяют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Значение числа, записанного в непозиционной системе, определяется по сумме всех числовых значений цифр этого числа.

Четыре зарубка обозначают число 4, 5 зарубок – число 5. Значение числа в унарной системе находится суммой всех зарубок, т. к. в этой системе используется только одна цифра, обозначающая единицу. Это означает, что единичная система является непозиционной .

Следует отметить, что унарную систему также можно отнести и к позиционным системам счисления. Доказать это можно на примере палочной записи числа 6.

Предположим, что унарная система является позиционной с основанием 1. Тогда должно выполняться следующее равенство:

Np = ak*pk + ak-1*pk-1 + + a1*p1 + a0*p0 = x10, где N – число, записанное в системе счисления с основанием p, ak – k-я цифра числа N, записанного в системе счисления c основанием p, x10 – число N в десятичной системе счисления.

Исходя из доказанного утверждения в данном случае x10 = 6. Тогда подставим данные в формулу (2) и проверим для них ее правильность.

1111111 = 1*15+1*14+1*13+1*12+1*11+1*10 = 610

1111111 = 1+1+1+1+1+1 = 610 (3)

Утверждение (3) верно => унарная система счисления может считаться как позиционной, так и непозиционной.

Из этого следует, что единичная система это единственное исключение из общего правила, так как одновременно является позиционной и непозиционной системой счисления.

Итак, такова была система счисления, созданная первобытным человеком – простейшая, но абсолютно неудобная; позволяет записывать только натуральные числа. Единичная запись чисел была сильно громоздкой, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления. Человек решил заменить несколько палочек загогулинкой, несколько загогулинок – другим символом и т. д. Так образовались непозиционные системы. Как было замечено выше, чтобы найти значение числа в такой системе, надо сложить все значения его цифр. Непозиционные системы также называют аддитивными (от англ. слова «add» – добавить), т. к. их главным принципом является сложение.

В непозиционных системах для записи чисел используется уже не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться так, как взбредет в голову, но только разные цифры должны выглядеть по-разному. Такая система уже годится для записи чисел и выполнения сложения и вычитания, но крайне не удобна для умножения и деления. Одна из самых древних систем – египетская, поэтому ее принципы будут подробно рассмотрены в п. 2. 1.

Египетскую систему счисления принято называть десятичной, т. к. ее нумерация – совокупность всех знаков, использующихся для записи чисел, включает в себя только степени десятки. Основанием непозиционной системы счисления часто считают число, на котором базируется нумерация этой системы. Кроме египтян, непозиционные системы использовали также ацтеки, сирийцы, древние греки и многие другие народы.

Следующей ступенью развития систем счисления является появление алфавитных аддитивных систем, в которых для записи чисел используются уже не несколько цифр, а большая часть алфавита. Все цифры алфавитной системы изображаются в точности так же, как и буквы алфавита того народа, который ее использовал. Римская система, основанная на латинском алфавите, например, использовалась в Европе до XVI века. Даже на сегодняшний день римская нумерация очень популярна. Впервые алфавитная система появилась в Греции около I века до нашей эры; до этого там использовалась цифровая система.

В алфавитную систему счисления были заложены уже более сложные принципы, чем в цифровую: более компактная запись числа, возможность записывать огромные числа с помощью добавления к буквам диакритических знаков. Алфавитной системой пользовались такие известные народы как римляне, греки, евреи, славяне. Даже армяне и грузины имели свои алфавитные нумерации (см. приложение №3).

Безусловным прогрессом в математике стало изобретение человеком позиционных систем счисления. В этих системах для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать различные значения в зависимости от расположения в записи числа. Сейчас мы используем индо-арабскую десятичную систему. Число в ней образуется сложением всех цифр, умноженных на числовое значение разряда, в котором они стоят. Так число 342, например, состоит из трех сотен, четырех десятков и двух единиц: 3*102 + 4*101 + 2*100. В позиционных системах кроме сложения используется еще и умножение, поэтому их также называют мультипликативными (от англ. слова «multiplication» – умножать). Такие системы могли возникнуть только у народов с развитой математикой, ведь такие системы годятся для записи чисел и очень удобны для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко, для счета не нужна большая сноровка. Впервые такая система появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Очень развитой позиционной системой счисления обладало также племя майя с полуострова Юкатан.

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, «по-арабски», хотя каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали для этого алфавит, другие – цифры. У кого-то получалось удобнее, а у кого-то не очень. Системы самых известных народов и цивилизаций будут рассмотрены во второй главе.

ГЛАВА 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДРЕВНИХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

2. 1. Особенности отдельных систем древности

Древний Египет

Система счисления древних египтян оставалась, как свидетельствуют многочисленные памятники, по существу неизменной в течение трех тысячелетий. Менялась только форма числовых знаков. Это изменение совершалось параллельно с эволюцией египетского письма.

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (около 2850 года до нашей эры), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах.

В древнейшем иероглифическом письме числовые знаки имели вид рисунков; некоторые из этих рисунков сохраняли внешнее сходство с конкретными предметами.

Отдельные числовые знаки имелись, начиная с 1, для степеней 10 вплоть до 107. Для единицы употреблялся знак (вертикальная черта). Возможно, как и во многих других системах нумерации, этот символ и в египетской системе счисления произошел от примитивного обозначения чисел зарубками, но, по мнению некоторых исследователей, египтяне создали этот знак именно таким, так как хотели придать его изображению значение мерной палки.

Знак десятки символизировал путы, которыми египтяне связывали коров. Для сотни использовался знак, изображающий мерную веревку, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. Иероглиф представлял собой изображение цветущего лотоса и применялся для обозначения тысячи. Десять тысяч рисовалось знаком. «В больших числах будь внимателен!» - говорит поднятый вверх указательный палец. Существовал также символ для ста тысяч (лягушачий головастик) и миллиона (человек с поднятыми руками).

Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и поэтому самое большое свое число 10. 000. 000 они изображали в виде восходящего солнца.

Повторяя эти знаки и ставя их один возле другого, египтяне выражали так все остальные числа. При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, то есть соблюдался закон сложения. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Все свои иероглифические надписи египтяне писали справа налево, и в том же направлении записывали и числа, начиная с низших разрядов. При этом одинаковые знаки часто объединялись в две группы, причём во второй группе их было столько же, сколько и в первой, или на одну больше. В качестве примера можно привести запись числа 65078:

Самые древние из дошедших до нашего времени математических записей египтян высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Из математических папирусов наиболее важными являются два: Лондонский, писца Ахмеса (папирус Райнда, названный так по первому владельцу), содержащий 85 задач, относящийся примерно к 1650 году до нашей эры, и Московский, или папирус Голенищева, содержащий 25 задач, возраст которого на два столетия больше, чем возраст Московского. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму. В иератическом письме знаки теряли вид рисунков, из которых они произошли, и сохраняли с ними уже лишь отдалённое сходство. Видоизменились также и числовые знаки. Сравнивая иероглифические числовые знаки с иератическими, можно сделать вывод, что последние образовались из упрощения первых, а не представляют собой нового изобретения. Изменение заключалось лишь в том, что группа одинаковых символов заменялась более простой по начертанию пометой или знаком. В итоге получилась цифровая десятичная система.

О виде иератических цифр даёт представление следующая таблица, в которой цифры даны в той форме, в которой они записаны в папирусе Райнда:

К 650 году до нашей эры появляется новый упрощённый стиль записи чисел – демотический, «народный».

Чтобы показать прогресс египетской нумерации, нужно привести пару примеров записи чисел:

Число 3 писалось иероглифически , иератически , демотически , 80 соответственно , ,.

Египетская система счисления позволяет легко производить сложение и вычитание целых чисел. Выполнение этих действий проводилось тем же способом, который применяем и мы: например, при сложении складывались знаки одинаковых разрядов, а в тех случаях, когда их числовое значение достигало 10, единица прибавлялась к следующему высшему разряду. Обозначалось сложение и вычитание иероглифами и , первоначально изображавшими «хождение» в одну или другую сторону.

Умножение целых чисел выполнялось с помощью своеобразного приёма, восходящего, по-видимому, к глубокой древности. В основе этого приёма лежит операция удвоения, играющая во многих вычислениях египтян главную роль.

Для того, чтобы перемножить, например, 77 на 37, египтяне составляли такого рода таблицу:

/32 2464 всего 2849

Каждое последующее число правого столбца получается удвоением предшествующего. Левый столбец содержит соответствующие множители вида 2k. Таблица продолжается до тех пор, пока в левом столбце не появится наибольшее из чисел 2k, меньших, чем сам множитель – 37. В данном примере таким наибольшим числом является 32=25.

Это наибольшее число левого столбца отмечалось наклонной чертой. Такой же чертой отмечались и некоторые другие числа левого столбца, выбираемые таким образом, чтобы сумма отмеченных чисел давала сам множитель (в рассмотренной выше таблице отмечены ещё 4 и 1, так как 37 = 32+4+1).

После этого числа, которые стояли против отмеченных множителей, складывались. Полученный результат записывался в конце таблицы. Это и есть результат умножения.

Деление целых чисел выполняется аналогичным способом. Для деления 2849 на 77 составляется таблица, тождественная вышеприведенной. Таблица продолжается до тех пор, пока следующее удвоение не даст в правом столбце числа большего, чем делимое 2849. Затем число 2849 разлагается на сумму чисел, принадлежащих правому столбцу. Если деление выполнятся нацело, то указанное разложение осуществляется до конца и сумма соответствующих чисел левого столбца (32+4+1) дает искомый результат.

Египетские дроби возникли из процесса измерения – деления площади поля на части. Поэтому дробь представлялась как часть единицы. Наиболее древними были двоичные дроби , для которых имелись особые обозначения. Позднее к ним присоединились дроби (и соответственно). Еще позднее стали рассматриваться вообще аликвотные дроби, то есть дроби вида , обозначавшиеся иероглифом «ра» , под которым ставился знак, выражающий знаменатель; например, писалась так:. С переходом к иератическому письму вместо иероглифа «ра» стали просто ставить точку, так что записывалась как.

Любое дробное число в египетской системе счисления представлялось как сумма «основных» дробей, которыми являются все аликвотные дроби и число.

К примеру, дробь записывалась как ; ;.

Хотя египетская нумерация была и несовершенна, египетская система счисления не была скучной и однообразной, так как в ее основе лежал интересный и оригинальный прием удвоения чисел, описанный выше, но, несмотря на это, вся египетская математика была всего лишь системой практических навыков, приводящих к правильным результатам, а не наукой в строгом смысле этого слова. Египетский писец действовал по освященной веками схеме и именно этот освященный древностью опыт, а не рациональные критерии, придавали ей статус истинности.

Римские обозначения чисел сейчас известны лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась Римская империя в сравнительно недавнем прошлом.

Для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 в римской системе счисления используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Данное соответствие не случайно.

Сначала для обозначения чисел использовались только буквы I, X, С и М. Важно заметить, что каждую из них можно представить в виде одной или нескольких палочек:

I – ; X – ; C – ; M –.

Так буква I состоит из одной палочки, X – из двух, C – из трёх, M – из четырёх. Каждая из этих букв была образована из предыдущей путем добавления одной черты, перекрещивающей знак и обозначающей удесятерение («декуссатио», — означает и удесятерение и перекрещивание).

Буква X, обозначающая число 10, представляла собой наглядное изображение двух человеческих ладоней, расположенных крест-накрест относительно друг друга. Латинская буква V выглядела как половина X и символизировала одну человеческую ладонь, и поэтому римляне присвоили ей значение числа 5. По аналогичному принципу для обозначения 50 использовалась буква L.

Для обозначения тысячи не всегда использовалась буква M, ранее вместо неё использовался знак , потому-то буква D, являющаяся половиной , и стала обозначать число 500.

В итоге получилась всем известная римская (латинская) нумерация:

   I       V       X       L       C       D       M   

   1       5       10       50       100       500     1000  

Чтобы записать составное число, римляне разлагали его на сумму основных также, как это делали египтяне. Римская система счисления была пятеричной (то есть в качестве основания использовалась цифра 5), так что римская запись числа была короче египетской (пока, конечно, египетская нумерация не стала иератической), так как египетская запись чисел ограничивалась лишь комбинацией степеней 10.

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший числовой знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший числовой знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

Известно, что математика в Древнем Риме развивалась не только за счёт знаний самих римлян, но и за счёт других народов, заселявших Апеннинский полуостров, и прежде всего этрусков.

Это подтверждает сравнение числовых знаков этрусков и древнейших римлян.

Нумерации римлян и этрусков были сильно схожи между собой. Вероятно, римляне заимствовали у этрусков некоторые элементы их системы счисления.

Этруски писали: 5 = или ; 10 = или ; 50 = или; 100 = ; 1000 = , а римляне: 5 = ; 10 = ; 50 = или , или , или , или ; 100 = ; 1000 =.

Сходство между этрусской и древнеримской записью чисел не ограничивается только формой знаков, а распространяется на сам принцип образования сложных чисел из основных. Это принцип вычитания. Римляне писали 4 = IV, 8 = IIX, 9 = IX, 40 = ХL, 90 = ХС, 400 = CD так же как и этруски, с той только лишь разницей, что последние, поскольку у них направление всего письма было обратное, ставили вычитаемый знак не слева, а справа от основного знака. Кроме того, этруски применяли вычитание гораздо чаще, чем римляне. Следует также отметить, что как этруски, так и римляне применяли принцип вычитания только при записи чисел, но не в языке, за исключением числительных, в которых один или два вычитается из 20, 30 и т. д. до 100, например, 18 = «дуодевигинти» (два из двадцати), или 99 = «ундецентум» (один из ста).

Для обозначения больших чисел римляне ставили над числовыми знаками различные символы; горизонтальный штрих обозначал увеличение в 1000 раз, например, = 30000.

Для дробей у римлян существовала двенадцатеричная система обозначения, причем каждая дробь от имела свой знак и свое название. Таким образом, римляне говорили и писали, например, не , а «полторы двенадцатых». Происхождение этой системы неизвестно.

Для облегчения действий с большими числами и дробями существовали счетные таблицы, сохранявшиеся на протяжении всего средневековья.

Наиболее древним способом счета римлян был счет на пальцах, начинающийся с левой руки и переходящий к правой. При этом каждому из пальцев придавалось значение в зависимости от положения.

Также в Риме широко использовался счет на абаке, часто доске, покрытой пылью или песком, на которой проводили черточки, разделяющие ее на столбцы, и клали камешки «калькули», откуда и произошло слово «калькуляция». Счет на абаке производился передвижением камешков или штифтиков и не представлял трудностей для сложения и вычитания. Для умножения и деления приходилось промежуточные результаты отмечать отдельно.

Римская нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

С римской системой счисления мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

Несмотря на то, что римская система счисления имела большую популярность в Западной Европе, она была громоздкой и неудобной, так как совершенно не годилась для сложных вычислений.

С появлением у греков в X веке до н. э. письменности, возникшей на основе финикийского алфавита, стал применяться и письменный счет. Сначала это была геродиановская нумерация, названная так по имени описавшего ее грамматика Геродиана (II век нашей эры). Она имелась в двух разновидностях: аттической и беотийской, названных так по областям Греции. Единица обозначалась простой чертой (палец), 5 в аттической системе(изображение пятерни), а в беотийской , 10 – соответственно и , 100 – и , 1000 – и , 10000 –. Эти знаки являлись начальными заглавными соответствующих числительных дека (10), гекатон (100), хилиас (1000), мириада (10000). Их сочетанием получались и промежуточные числительные: для 50 в аттической , а в беотийской , для 500 – соответственно , , для 5000 – и , для 50 000 –.

Остальные числа записывались при помощи принципа сложения. Число 7814, например, писалось аттически как.

Геродиановскую нумерацию можно встретить в аттических памятниках, относящихся даже к I веку до нашей эры, хотя задолго до этого (когда точно, не установлено) в остальных областях Греции ее вытеснила ионийская (александрийская) нумерация. В последней числа изображались буквами алфавита, как у евреев и родственных им финикиян, от которых греки и переняли этот способ. Числа обозначались так:

10, 2090

100, 200900

Здесь, кроме букв ставшего общепринятым алфавита, использованы еще три устаревшие: - «вау», позднее буква, заменяющая букву в конце слов, для 6; - «коппа» для 90; - «сампи» для 900. Таким образом, с помощью 27 знаков можно было записать все числа до 999. Тысячи обозначались как единицы с запятой перед буквой. Чтобы отличать цифры от букв, над ними ставили либо черту, либо штрих, например, ,.

Большие числа, вошедшие в употребление сравнительно позже, записывались по мириадам, например 54321 как или. Еще позже мириады записывались двумя точками над буквой.

Ионийская нумерация, возникшая из потребностей расширяющейся торговли, была значительно короче геродиановской. Знаки цифр произносились не как буквы, а как числительные; поэтому для быстрого действия над ними нужно было только помнить наизусть таблицы сложения и умножения, которые имелись в готовом виде. Кроме того, так как при умножении и делении многозначных чисел нужно было определять разряд цифр результата, то было введено понятие «основания» («питмен»), например, 700 имеет «основание» 7, то же, что и 7000 и 70 000 и т. д.

Производя сложение в письменном виде, греки не ставили одноименные разряды друг под другом, у них не было ни знака сложения, ни черты под слагаемыми, а вместо знака равенства они писали слово «гомой» («вместе»). Чаще всего слагаемые и их сумма писались просто в строчку. Так же записывались и другие действия. Но иногда перед итогом ставился особый знак — сокращение слова «гигнестай» (в смысле «получается»).

Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую систему счисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную (см. приложение №1 и п. 2. 2).

С помощью простого введения диакритических знаков наподобие тех, которые греки применяли для обозначения тысяч, алфавитное обозначение целых чисел можно было бы легко приспособить для обозначения десятичных дробей, но этой возможностью они не воспользовались.

Познакомившись с египетской и вавилонской системами записи дробей и действий над ними, греки, использовавшие основные и обыкновенные дроби, для астрономических вычислений выбрали вавилонскую, так как она была несравненно лучше. При этом они заменили клиновидные знаки греческими буквами. В записи целых чисел они сохранили свою алфавитную систему. Таким образом, греческая система, употреблявшаяся в астрономии, оказалась смешанной: целая часть числа изображалась в десятичной непозиционной системе, дробная часть — шестидесятеричной позиционной.

С их легкой руки мы и до сих пор считаем часы и градусы десятками и сотнями, а делим их на минуты и секунды.

Древний Вавилон

В Древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени была создана позиционная система счисления.

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений.

Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10.

Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшее, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: 60 имеет много делителей.

Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу. Для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку (в раннешумерских текстах – небольшой кружок).

- 1 - 10

Повторяя соответствующее число раз эти знаки, и, используя принцип сложения, можно было записать любое число до 59.

, т. е. 59 = 5*10 + 9.

Впрочем, иногда вавилоняне употребляли и вычитание, и вместо 19 писали 20-1, где минус обозначался знаком , читающийся как «лал», соответствующий нашему «без».

Для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т. е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа.

Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов.

Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева, с небольшими пробелами между ними. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов кроме уже известных.

Так, например, число 3725 будет иметь вид:

, то есть 1*602 + 2*60 + 5

В Древнем Вавилоне, около 1650 года до нашей эры, система счисления оставалась псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции.

Однако в период правления Селевкидов, около 300 лет до нашей эры, эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, то есть обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность.

При отсутствии разряда ставился значок , игравший роль нуля. Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800, и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста.

Именно поэтому вавилонская система считается лишь относительно позиционной, так знаки низшего разряда могли означать как единицы, так и кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее, изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.

Умножение и деление вавилонский вычислитель выполнял поразрядно. Вавилонский прием умножения по существу совпадал с современным. Но в то время как нам приходится запомнить таблицу умножения, содержащую 36 небольших по величине результатов, вавилонскому вычислителю, если он хотел бы сразу написать частичное произведение разряда на разряд, требовалось бы помнить 1711 результатов, выражающихся громоздкими числовыми образованиями. Естественно, что ему приходилось прибегать к таблицам умножения. Для деления вавилоняне использовали так называемые таблицы обратных величин.

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти границы. Ими пользовались Ближний Восток, Средняя Азия, Северная Африка и Западная Европа. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, то есть до начала XVII века.

Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/602 и так далее. Привычное для нас деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Племена майя, ацтеков и инков

Племя майя жило в Центральной Америке в течение первого тысячелетия и во время своего расцвета имело одну из наиболее развитых и очаровательных культур этого периода. Хотя они и не знали, что такое колесо и упряжные животные, но зато превосходили других в областях плетения, архитектуры и изготовления глиняной посуды.

Но истинно поразительны были их достижения в областях астрономии и математики. Пока в Европе была темная эпоха средневековья, жрецы и астрономы племени Майя определили по солнцу, что продолжительность года составляет 365. 242 дня (современное измерение: 365. 242198), а длина лунного цикла равна 29. 5302 дням (современное измерение: 29. 53059). Такие удивительно точные результаты были едва возможны без мощной системы записи числа.

Уже в IV веке до нашей эры, то есть за 1600 лет до XII в. — начала распространения позиционной системы записи чисел в Европе, майя имели позиционную систему счисления с основанием 20 и нулем.

Числительные записывались двумя способами: либо в виде иероглифов, либо с помощью точек и тире, причем именно второй способ служил для счета и прежде всего для календарных расчетов, содержал нуль и строился по двадцатеричной системе, сохранившей следы более древней пятеричной системы. Последнее обстоятельство этнографы приводят как одно из доказательств того, что майя, как и вообще индейцы, в незапамятные времена переселились в Америку, перейдя Берингов пролив из северо-восточной Азии, обитатели которой по сей день сохранили в своих языках пятеричную систему счисления.

Нуль изображался в системе майя в виде ракушки, а не закрытого глаза, как прежде ошибочно толковали этот знак. Полностью нумерация майя выглядела так:

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

Как и всё письмо майя, числа записывались столбцами, идущими справа налево, причём снизу вверх, следуя от низших разрядов к высшим.

В следующем, втором разряде, только что приведенные знаки имели значение в 20 раз больше, чем в первом; следовательно, запись велась, например, так:

= 17*200+1*201 = 37; = 0*200+18*201 = 360.

Однако в третьем разряде, но только при счете времени, делалось исключение: третья единица бралась не в 20, а в 18 раз больше второй, а следовательно, в 360 раз больше первой единицы, что было ближе к продолжительности года, чем 202.

Для дробей у майя не было знаков, либо они до нас не дошли.

= 12*200 + 13*201 + 19*(20*18) = 12 + 260 + 6840 = 7112;

= 2*200 + 0*201 + 0*(20*18)+1*(20*18*20) = 2 + 7200 = 7202;

= 12*200 + 6*201 + 0*(20*18) + 14*(20*18*20) = 12 + 120 + 100800 = 100932.

Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя использовала иероглифическую нумерацию и применялась в повседневной жизни.

На западном материке развитыми математическими знаниями, кроме народов майя, обладали также ацтеки, образовавшие в XII веке нашей эры в Мексике раннерабовладельческое государство, и инки, которые достигли той же ступени общественного развития в Перу в XI — XIII веках. Ацтеки, имевшие иероглифическое письмо и солнечный календарь, пользовались двадцатеричной непозиционной системой нумерации. Система счисления у ацтеков в Мексике была более последовательно двадцатеричной, чем у майя, но в остальном менее тонкой, так как не использовала ни позиционный принцип, ни специальный символ для нуля. Первые девять натуральных чисел они записывали так:

Их сочетанием образовывались знаки остальных чисел, например:

3 = ; 6 = ; 7 = ; 8 =;

12 = ; 15 = ; 90 = ; 200 =.

Позже в Сирии стала употребляться алфавитная система счисления (см. приложение №1).

Похожей по принципу была и финикийская аддитивная система счисления.

С помощью вышеприведенных символов составлялись знаки остальных числительных. Одинаковые числовые знаки группировались по три.

Финикийское письмо произошло из иероглифического письма, возникшего под влиянием египетской письменности. Из финикийских букв возникли потом еврейские, арабские и греческие буквы, а из последних — латинские и русские. Таким образом, финикиянам принадлежит величайший вклад в мировую культуру — создание алфавита.

Финикияне и родственные им древние евреи, в государствах которых большую роль играли писцы, вместе с алфавитной письменностью пользовались и алфавитной записью чисел, основанной на десятичной системе счисления их алфавита.

У евреев использование алфавитных обозначений чисел окончательно вошло в обиход ко 2 веку до нашей эры. Алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков из Милета, которые изобрели эти обозначения еще в 8 веке до нашей эры. В нумерации древних евреев 22 буквы их алфавита, к которым добавлялись пять букв в их начертании в конце слов, оказались как раз достаточными для обозначения цифр:

Число 5742, например, в древнекитайской палочковой системе будет выглядеть так:.

Наибольший вклад в развитие математики внесла вторая китайская система счисления.

Древнекитайская иероглифическая нумерация, возникшая около 4000 лет назад, является одной из самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую». Форма китайских иероглифических цифр установилась к III веку до н. э.

Числа в этой системе записывались слева направо, от больших разрядов к меньшим. Чтобы показать, какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде, китайцы использовали специальные служебные иероглифы, обозначающие степени 10, писавшиеся после основного иероглифа. Вот первые четыре из них:

10 100 1000 10000

6*10000 + 7*1000+ 2*100 + 3*10 + 1 = 67231

Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда – кружок – аналог нашего нуля. В конце числа нули не писались.

Для записи больших чисел в древнем Китае использовались 4 различные системы:

Система 億 兆 京 垓 秭 穰 Принцип

1 105 106 107 108 109 1010 Каждое следующее число больше предыдущего в 10 раз

2 108 1012 1016 1020 1024 1028 Каждое следующее число больше предыдущего в 10000 раз

3 108 1016 1024 1032 1040 1048 Каждое следующее число больше предыдущего в 108 раз

4 108 1016 1032 1064 10128 10256 Каждое следующее число является квадратом предыдущего

Таким образом, древнекитайская иероглифическая система является десятичной мультипликативной, так как для записи составных чисел в ней используется умножение.

Древняя Русь

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу. Прежде чем перейти к древнерусской нумерации, следует подробно разобрать кириллическую и глаголическую азбуку и выявить между ними сходства и различия, так как основой любой алфавитной системы счисления, в том числе и русской, всегда является алфавит.

Кириллица составляет видоизменение греческого алфавита. Срезневский доказывал, что кириллица в той форме, в какой она встречается в древнейших рукописях XI века, не может считаться видоизменением тогдашнего греческого алфавита, так как греки во времена святого Кирилла и Мефодия употребляли уже не устав, а скоропись. Из этого следовало бы, что святой Кирилл или один из его учеников (Климент), вероятный изобретатель кириллицы, взял за образец греческий алфавит прежних времен, или же, что кириллица известна была на славянской почве задолго до принятия христианства. Выяснилось, однако, что греки не только в IX веке, но еще и в первой половине XI века употребляли так называемый литургический устав в богослужебных книгах, которые скорее могли служить образцом для изобретателя кириллицы, чем какие-нибудь другие. Разница между этими двумя уставами состоит только в том, что славянский не имеет ударений и почти никаких знаков препинания и, что самое главное, в нем больше букв, чем в греческом.

Глаголица является второй древнеславянской азбукой. Она состоит из 40 знаков, расположенных в таком же порядке, как и в кириллице. Когда и где в первый раз появилось название глаголица — неизвестно, но, во всяком случае, оно не может быть очень древним, так как ни у известного монаха Храбра, жившего около Х века и написавшего сочинение об изобретении славянских письмен, ни в греческих и латинских житиях святых Кирилла и Климента славянская азбука не носит специального названия. По всей вероятности, глаголица была названа так не по четвертой букве (глаголу), а потому, что она составляет собрание знаменательных, говорящих знаков (cp. церк. -сл. : глагол — слово; глаголати — говорить).

Существуют мнения, что святой Климент изменил форму букв, изобретенных Кириллом. Какие это изменения, об этом только можно высказывать более или менее правдоподобные гипотезы. Одни думают, что Климент немножко изменил только форму нескольких букв кириллицы, которые первоначально могли слишком походить на греческие. Другие полагают, что святой Кирилл изобрел кириллицу, а святой Климент – глаголицу, но этому противоречит известие, что изменение было сделано ради ясности, между тем как никто не станет утверждать, что глаголица яснее и проще кириллицы. Наконец было высказано Шафариком третье мнение, весьма правдоподобное, хотя тоже гипотетическое, что святой Кирилл изобрел глаголицу, а Климент – кириллицу. До сих пор пока не решен вопрос, кто именно был изобретателем глаголической и кириллической азбук.

Главным основанием кириллицы, как было описано выше, служит греческий уставный алфавит, буквы которого без существенных изменений повторяются в ней. Не так легко решить вопрос относительно тех букв, которых недостает в греческом алфавите: о них высказано несколько различных мнений; некоторые из этих букв похожи на соответственные буквы глаголицы. Еще труднее решить вопрос о глаголице, которая имеет начертания, на первый взгляд, совсем не похожие ни на какой известный алфавит. Гейтлер, например, в обширном сочинении доказывает, что глаголица является видоизменением албанского алфавита.

Из истории глаголицы положительно известно только следующее: она стала распространяться не позже кириллицы. Кириллическая азбука была распространена на востоке в странах, принадлежащих к восточной церкви, глаголица же только на западе у католических славян в Хорватии, Иллирии и когда-то, может быть, в Чехии. Оттого явилось предание, что изобретателем глаголицы был святой Иероним, который считается апостолом этих стран. Форма начертаний букв этих двух азбук с течением времени несколько изменялась и по этим изменениям иногда можно с довольно большою точностью определить время написания памятника.

Разобравшись с обеими азбуками, можно приступить к рассмотрению нумераций, которые базировались на данных алфавитах.

Славянская глаголическая нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Применялась она нечасто, но достаточно долго. Использовалась она с VIII по XIII век.

В этой системе числа записывались по принципу, схожему с принципом построения чисел в греческой ионийской нумерации. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали.

= 500 + 60 + 8 = 568

В славянской кириллической нумерации роль цифровых знаков играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Эта система счисления получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До конца XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Таким образом, с помощью 27 букв можно было записать любое число до 1000.

Интересен был способ записи чисел второго десятка. Число 14, например, записывалось так:. Читается дословно «четырнадцать», то есть «четыре на десять». Как слышится, так и пишется: не 10 + 4, а 4 + 10. Такой принцип использовался для всех чисел от 11 до 19.

И в кириллической и в глаголической системе счисления над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – «титло», представляющий собой горизонтальную черту.

Славяне, как и греки, умели записывать числа и большие 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения.

Числа 1000, 2000, 3000 и так далее, записывались так же, как и соответствующие им числа при делении на тысячу, только перед числом в нижнем углу ставили специальный знак.

Для обозначения и наименования высших десятичных разрядов (более 103) существовали две системы: «малое число» и «великое число» (малый перечень и большой перечень).

В «системе малых чисел» число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу». Таким образом, для обозначения тем (множественное число от слова «тьма») первые 9 чисел обводились кружками. Десять тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легион», или «неведий». Обозначалось это число также как и «тьма» в том лишь отличии, что линии кружка, в котором находилась буква, были не сплошными, а пунктирными. Один миллион составлял «леодр», обозначающийся знаком единицы в кружке в виде солнца. Число «ворон», то есть 107, изображалось так, как и «легион», но с большим интервалом пунктира. Для ста миллионов использовалось название «колода».

В системе большого перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:

Тысяча тысяч – тьма (106),

Тьма тем – легион (1012),

Легион легионов – леодр (1024),

Леодр леодров – ворон (1048),

Десять воронов – колода (1049).

Народы юга Сибири

Еще не так давно, лет 70 — 80 тому назад, безграмотные скотоводы Хакасии пользовались своей древней системой обозначения чисел, знаки которой очень напоминали римские.

Цифровые знаки вырезались на четырехгранной деревянной бирке, длиной 40-50 см, шириной 2-3 см и толщиной около 1 см. Они представляли своего рода расписку, составленную между пастухом и хозяином. На лицевой стороне вырезались символы, обозначающие количество голов скота, сданных пастуху, а на обратной – число их, взятых хозяином назад. Сбоку – число павшего скота. Такую бирку обычно расщепляли пополам, одна половина ее оставалась у чабана, а вторая – у владельца отары. Если была необходимость выяснить количество голов скота, сданных пастуху, тогда две половины соединялись. Иногда, вместо одной бирки, расщепляемой пополам, делали по две, одинаковых размеров и с одними и теми же цифрами. Одна из них оставалась у хозяина, а другая отдавалась пастуху. В этом случае за последними знаками вырезались точки или знаки, означающие, что счет окончен. Обычно после цифр счетной бирки хозяин отары вырезал свою тамгу – знак собственности.

Интересно, что подобный порядок встречается на камнях с древнетюркскими текстами, найденными в Южной Сибири. Там также вырезанные тамги обозначали принадлежность к определенному роду.

Ниже изложены знаки, используемые хакасами для письменного счета:

Цифровые знаки

X Десять

Пятьдесят

Пятьсот

(:) Знаки, обозначающие конец счета

Эти цифровые знаки не были одинаковы для всей территории Хакасии. Так, в северной ее части (Ширинский, Орджоникидзевский районы) пользовались цифрами, приведенными в левом столбце. В основу начертания цифр хакасской нумерации положены знаки, составленные из различных комбинаций креста. Благодаря бытованию этой нумерации, хакасам были известны простые арифметические действия: вычитание, сложение, умножение и деление. Но, несмотря на это, хакасская система была приспособлена лишь только для счета скота и являлась несовершенной и громоздкой, т. к. использовала непозиционный принцип.

При обращении к другим народам, проживающим на территории Саяно-Алтая, подобные цифры можно встретить у тофаларов.

Начертание тофаларских цифр следующее:

I – единица; X – десяток;

, – пятьдесят; – сотня; – тысяча; – половина.

Пока неизвестно, были ли такого же рода цифровые знаки у тувинцев, алтайцев и шорцев. Вполне возможно, что они не сохранились.

Деревянные счетные палочки, употреблявшиеся как расписки при различных договорных обязательствах, известны у якутов. Единицы до 4 обозначались зарубками, пересекающими бирку поперек, пять обозначалось наклонным рубцом, числа от 6 до 9 – наклонной зарубкой с одной, двумя, тремя или четырьмя перпендикулярными зарубками справа; десять – двумя накрест пересекающимися зарубками, сто обозначалось зарубками в виде буквы Ж и т. д.

Когда счет касался денег, то для обозначения копеек употреблялись еще точки, наносимые острием ножа, причем большие точки обозначали десятки копеек, а малые — копейки, числом меньше десяти. В данном случае эта бирка также, как и у хакасов раскалывалась пополам, и лица, заключившие сделку, брали себе по половинке. В случае необходимости расчета половинки соединялись. Аналогичные знаки на деревянных брусках применялись якутами для обозначения количества родовых покосных угодий. Так, десять возов сена обозначались одной точкой, двадцать возов — двумя точками и т. д. до сорока; пятьдесят — наклонным рубцом, сто — двумя пересекающими друг друга наклонными линиями в виде римской цифры «X», пятьсот — двойным наклонным рубцом — //, тысяча — парой двойных наклонных рубцов в пересечении в виде косого креста; вертикальная линия — границы покосов.

Счет на деревянных брусках был известен и у эвенков. Здесь вырезанная линия (I) обозначает единицы, крестик (X) — десятки. Среди народов Сибири, кроме вышеуказанных, подобные цифровые знаки встречаются лишь у хантов – народности финно-угорского происхождения, проживающей ныне в Западной Сибири. У них также существовали деревянные бирки для счета с идентичными зарубками.

I – один; / – пять; X – десять; – сто; – тысяча.

Сравнив цифровые знаки всех перечисленных народов, можно заметить общность их происхождения. Видимо, это свидетельствуют о каких-то связях их далеких предков. Если учесть, что якуты имеют южносибирские элементы в своей культуре, а эвенки могли ее заимствовать, и то, что около 1 века основная масса ранних угров — потомков тагарских динлинов, послужившая ядром для сложения современных обских угров (конкретно хантов), удалилась из Хакасско-Мннусинской котловины в Западную Сибирь, то можно предположить общие цифровые знаки, бытовавшие у этих народов до недавнего времени, возникли еще в те далекие времена, когда их предки проживали на одной общей территории.

Развитие индо-арабской системы счисления

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях.

На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черта в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям.

В течение некоторого времени в Индии имела хождение система счисления под названием кхарошти, очень напоминающая аттическую. Эта система интересна тем, что в качестве промежуточного этапа между единицей и десятью выбирается число четыре. Вероятно, косой крест в качестве четверки соблазнил создателей чисел кхарошти простотой написания при полном сохранении модельности (четыре луча).

Постепенно кхарошти уступила место другой нумерации – брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи.

Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что этот переход происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления.

Считают, что первые девять знаков брахми породили в конечном счете современные цифры.

Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8-9 веку вместе с обозначениями деванагари.

Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. Система деванагари получилась и последовательной, и экономной, и не противоречащей традиции, и чрезвычайно удобной для вычислений. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари.

Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятеричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. В итоге произошел сдвиг, приведший к современной системе счисления. Не исключена также возможность, что такой переход, по крайней мере, отчасти, произошел в Греции, скорее всего в Александрии, и оттуда распространился в Индию.

В 772 году индийский трактат «Сидданта» был привезен в Багдад и переведен на арабский, после чего там стало употребляться две системы записи чисел:

1. В астрономии по-прежнему употребляли алфавитную систему.

2. В торговых расчетах купцы стали применять систему, заимствованную из Индии.

Арабские цифры были видоизменёнными изображениями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.

На косточках абака использовались изображения арабских чисел. Для экономии места они изображались боком. Поэтому, в частности, цифры «2» и «3» приобрели ту форму, которую мы знаем.

В двенадцатом веке в Европе был переведен на латынь трактат об индийских числах арабского математика Аль-Хорезми. Когда в следующем веке индийские обозначения стали широко известны, новая система получила название «алгоритм». Через пару столетий европейские «алгоритмики» одержали верх над теми, кто пользовался римскими цифрами в вычислениях с целыми числами, но лишь с 1585 года индо-арабская система обозначений, систематически расширяясь, стала использоваться и применительно к дробям.

Из арабского языка европейцами было заимствовано слово «цифра» (по-арабски – «сыфр»), буквально означающее «пустое место» (перевод санскритского слова «сунья», имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин «нуль» (nullum - ничто).

Европейская цифра «8» никак не связана с арабским эквивалентом. Её изображение происходит из сокращённой записи латинского слова octo («восемь»).

В 17 веке в употребление вошла десятичная запятая, которой стали отделять целую часть числа от дробной. После этих изменений развитие современной системы счисления завершилось.

Это отнюдь не означает, будто была достигнута полная стандартизация в названиях или обозначениях чисел. В Америке и Франции биллион означает тысячу миллионов, а в Англии и Германии - миллион миллионов; в континентальной Европе часто используется десятичная запятая, а в англосаксонских странах предпочитают ставить десятичную точку; англосаксы используют запятые, чтобы отделять степени тысячи, в некоторых странах для этой цели служит точка.

Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника.

2. 2 Сравнение систем счисления

Для более полного уяснения сущности систем счисления, рассмотренных в предыдущем параграфе, следует их сравнить между собой.

Не стоит сравнивать мультипликативные системы счисления с аддитивными, т. к. уровень сложности первых намного выше. Даже самая прогрессивная непозиционная система будет многим уступать позиционной, ибо все непозиционные системы имеют ряд существенных недостатков, главными из которых являются потребность введения новых знаков для обозначения больших чисел и использование очень сложных и громоздких алгоритмов представления чисел и выполнения арифметических действий. Поэтому сравнивать системы счисления мы будем внутри этих групп.

В качестве критериев оценки и сравнения между собой, рассмотренных в данной работе систем счисления, представляется правильным выделить следующие:

1) Наличие нуля.

2) Простота и краткость записи чисел на материальном носителе.

3) Приемы и приспособления народов, использующих данную систему счисления, для выполнения арифметических действий над числами.

4) «Предел» нумерации.

5) Способ записи дробей.

Так как непозиционные системы счисления стоят на более низкой ступени развития, то начать следует именно с них.

1) Безусловно, аддитивные системы не используют позиционный принцип, т. к. это противоречащие друг другу понятия. Что касается нуля, то он присутствовал лишь в греческой ионийской системе счисления. Греки ввели в позиционную систему записи дробей, заимствованную у вавилонян, современный знак 0 — нуль, произведя его, как полагает большинство специалистов, от первой буквы слова ουδεν — «ничто». При записи целых чисел (кроме числа 0) этот знак, естественно, не находил применения, ибо алфавитная система, которой пользовались греки, не была позиционной.

2) Все алфавитные системы, кроме римской, позволяют записывать числа до 1000 с помощью трех и менее символов. Столь же лаконичными среди цифровых были система брахми и египетская. Последняя стала такой не с самого появления, а только после введения иератических цифр. Остальные цифровые системы, такие как геродиановская, сирийская, финикийская, ацтекская и кхарошти были менее совершенными. Выражения чисел с помощью этих систем было неудобно для использования и достаточно громоздким.

Для записи составных чисел в римской системе счисления используется принцип вычитания. Используя этот принцип, число 998, например, можно представить римскими цифрами как CMXCVIII, а 447 как CDXCVII. Если бы в римской системе использовалось только сложение, то запись этих чисел была бы примерно такой:

998 – DCCCCLXXXXVIII,

447 – CCCCXXXXVII.

Из выше изложенного можно сделать вывод: вычитание сокращает записи римских чисел почти в 2 раза, но, тем не менее, римская система все равно является неудобной и сложной, что ставит ее на последнее место среди алфавитных систем с позиции рассматриваемого признака.

3) Первые арифметические действия над числами стал производить еще первобытный человек. Впоследствии им были созданы также и примитивные счетные приборы. С усложнением хозяйственной деятельности человек уже не мог ограничиться сложением и вычитанием небольших чисел. Постепенно у каждого народа стали появляться свои алгоритмы действий над числами. Кто-то пользовался только пальцевым счетом, кто-то применял счетные доски. Чем больше систем счисления, тем больше разных приспособлений и приемов для работы с числами.

В связи с ростом торговых операций в Греции появился своеобразный счетный прибор, по идее своей напоминающий наши счеты, известный в древности под названием абак, который мог быть использован для выполнения всех четырех действий арифметики. Но изобрели абак, вероятно, не греки, а финикийцы. Абак был «походным инструментом» греческого купца. Того же типа счетные доски были в ходу и у римлян. Латинское слово «calculus» (камешек) стало обозначать также «исчисление». Римляне же придумали надевать счетные камешки на рейки; так возникли счеты, которыми у нас пользуются и до сих пор. Кроме того, у римлян существовали счетные таблицы, использовавшиеся ими для облегчения действий с большими числами и дробями.

Евреи заимствовали математические знания у египтян и вавилонян, вероятно, заимствовав и основные принципы работы с числами. Что касается славян, то они стали использовать счеты, начиная с XVI века. До этого, у них, вероятно, не было специального приспособления для счета. Кстати, единственным математическим документом, дошедшим до нас от далеких времен, является рукописное сочинение Кирика. Делая хронологические расчеты, Кирик без труда производил действия сложения и умножения, а деление, по всей вероятности, он осуществлял путем подбора, рассматривая последовательно кратные для данного делимого и делителя.

Египетским вычислителям было не сложно производить сложение и вычитание целых чисел благодаря наглядности своей цифровой системы. При иероглифической нумерации действия вообще сводились к сложению или вычитанию знаков одинаковых разрядов. Египтяне пользовались абаком, но в отличие от греков передвигали камешки не слева направо, а сверху вниз, и счетными таблицами для разложения дробей на аликвотные. Главным же приемом египетской системы счисления является операция удвоения.

Таким образом, вышеизложенный фрагмент текста показывает, что наиболее распространенным приспособлением для счета был абак.

4) В непозиционных системах счисления нельзя записывать сколь угодно большие числа, т. к. для этого пришлось бы вводить бесконечное множество новых знаков. В любой нумерации непозиционной системы есть обозначение, которое выражает наибольшее число этой нумерации. Такое число условимся называть пределом нумерации.

В иероглифической нумерации египетской системы счисления пределом было десять миллионов, изображающихся в виде восходящего солнца. Иератическая нумерация, употреблявшаяся преимущественно в официальных документах и текстах, не использовала цифр, значение которых больше 10 000. Пределом геродиановской нумерации являлось 50 000. В ионийской нумерации греческой системы максимальная цифра обозначалась так и имела числовое значение – 90 000. Для ста тысяч особого знака не было и, поэтому, 100 000 и числа, превосходящие его, выражались словесно. Однако Архимед расширил границы ионийской нумерации и ввел обозначения для невероятно больших чисел, среди которых было и число, выражаемое единицей с 800 миллионами нулей, но и это было не самое большое число в системе обозначений, изобретенной Архимедом (подробней об «октадах» Архимеда см. в приложении №2). Славянская глаголическая система использовалась нечасто, и поэтому обозначений для больших чисел в ней не было, и пределом являлась 1 000, обозначаемая буквой. Самым большим числом кириллической нумерации было «великое» число под названием «колода», выражающая 1049. Об этом числе говорили так: «И более сего несть человеческому уму разумевати». Пределом римской нумерации был миллион, обозначаемый. В нумерации ацтеков наибольшим числом было 8000, обозначающимся сумкой, полной какао-бобов.

5) Пришло время оценить системы счисления с точки зрения последнего критерия – способа представления дробей.

Египтяне использовали только аликвотные дроби и все остальные дроби представляли с помощью них. Римляне применяли лишь двенадцатеричные дроби, возникшие у них в результате того, что асс, являющийся основной единицей измерения массы, а также денежной единицей, делится на 12 равных частей, унций, а унции со временем стали употребляться для измерения любых величин.

Первое время все дроби греческой системы счисления были конкретными, т. е. частями известных единиц, а именно денежных, а не отвлеченными – не связанными с определенными мерами. Так, 1\2 обола выражалась знаком ; драхма (6 оболов) изображалась знаком. Буквой X обозначался халк – самая мелкая денежная единица = 1/8 обола. Кстати, такого же типа были дроби в Древней Руси. Например, «четверть» и «осьмина» долгое время означали части более крупной меры.

Со временем у греков появилось целых три способа канонического представления дробей. Один из них – это наш способ образования «обыкновенных» дробей. Письменное выражение обыкновенных дробей совершалось у древних греков различными способами. Наиболее совершенный из них по существу не отличается от нашего. Его мы находим у Герона и еще чаще у Диофанта. По этому способу числитель и знаменатель дроби обозначаются двумя числами, записанными, конечно, в ионийской нумерации и расположенными одно под другим; только порядок расположения прямо противоположен нашему: числитель пишется снизу, а знаменатель сверху; дробной черты между числителем и знаменателем у греков не существовало. Так, дробь Диофант записывал следующим образом:. Наряду с обыкновенными дробями употреблялась и египетская система «основных дробей», чрезвычайно схожая с той, которая использовалась в Древнем Египте. Так же как и в Египте, в Греции основными дробями являлись прежде всего «единичные» дроби вида , выражающиеся греками числом k со штрихом, и 2/3. Шестидесятеричные дроби являлись третьим способом представления дробей в Греции. Они получили широкую популярность среди греческих астрономов, т. к. позволяли получать достаточно точные результаты при решении тригонометрических задач.

Вывод: Анализ непозиционных систем счисления показывает, что лидирующей по всем критериям оценки является ионийская система. Числа в этой системе записывались достаточно удобно и кратко; существовало три способа канонического представления дробей, а в записи шестидесятеричных дробей использовался ноль. Греческая система получилась достаточно прогрессивной в силу того, что к ее созданию приложили руки два величайших математика античности – Архимед и Аполлоний.

Неплохие результаты показала также египетская система счисления, несмотря на то, что она была цифровой в отличие от ионийской. Кроме того, система счисления Древнего Египта была одной из самых древних систем.

Но единственной древней непозиционной системой, которой сейчас хоть немного пользуется человечество, является именно римская, а не какая-то другая, система счисления, хоть она, по моему мнению, была и не лучше нашей, древнеславянской кириллической системы. Римская империя была очень влиятельна, и поэтому люди пользовались ее системой счета, что еще не свидетельствует об удобстве ее использования.

Сейчас мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления, являющейся прямым потомком системы деванагари, изобретенной в Индии примерно в 8 веке.

Но много ли существовало других систем счисления с позиционным принципом? Их было три: система майя, китайская система и древневавилонская система. Это лучшие системы счисления древности, но были ли они лучше индийской? Теперь надо сравнить позиционные системы, чтобы ответить на этот вопрос.

1) Нуль имелся во всех этих системах, но возник везде он в разное время. В Древнем Вавилоне и у цивилизации майя он появился примерно одинаково – за 300 лет до нашей эры. В Индии – лишь в 8 веке. Неясно, был ли нуль собственным изобретением индийцев; возможно, они познакомились с ним по сочинениям александрийских астрономов. Когда точно начал использоваться ноль в Китае – не установлено; известно лишь, что его появление датируется с 1368 по 1644 год – во времена правлении династии Мин.

2) Числа вавилонской системы счисления не отличались краткостью своего написания, т. к. вавилонская нумерация включала в себя не 60 разных символов, а всего 2 – для обозначения 10 и 1, путем сложения которых и получались остальные. Выходит, что для обозначения чисел, меньших 60, использовался чисто аддитивный принцип, и запись таких чисел по длине своего написания не уступала даже записи в египетской иероглифической системе.

В отличие от вавилонской запись чисел китайской системы была более компактной, но дополнительные символы для обозначения степеней 10 удлиняли ее. Однако, на китайской счетной доске (подробнее см. далее) этих иероглифов не было, так как там для обозначения пустого разряда оставляли пустое место.

В индийской системе числа записывались еще короче, поскольку при записи чисел в ней использовался ноль. Числа майя записывались более кратко, чем вавилонские, благодаря вертикальному написанию, но более громоздко, чем в китайской и индийской системе.

3) Вавилонская система счисления была такой же наглядной, как и египетская, поэтому действия сложения и вычитания не вызывали никаких затруднений. В Древнем Вавилоне использовались таблицы умножения и обратных величин; вавилонские купцы применили абак.

Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились на счетной доске с помощью счетных палочек. Счетные палочки делались из бамбука, слоновой кости или металла. Когда были изобретены отрицательные числа, палочки стали делать двух цветов – красные и черные, или с различными сечениями – квадратным и треугольным. Палочки раскладывались на счетной доске, которая была разлинована на строки и столбцы. Цифры, составленные из счетных палочек, имели вид, указанный на рисунке слева, с той лишь разницей, что отсутствие разряда указывалось пустым местом на счетной доске. Оно было хорошо заметно благодаря чередованию вертикального и горизонтального положения палочек. В математической литературе эти цифры изображались на бумаге; в этом случае отсутствие разряда указывалось знаком.

Впоследствии на основе счётной доски возник счётный прибор «суан-пан», напоминающий русские счёты. Японцы, перенявшие этот прибор у китайцев, назвали его «соробан». «Суан-пан» представляет собой прямоугольную рамку, в которой натянуты 12 или более параллельных проволок. Перпендикулярно проволокам проведена перегородка, разделяющая рамку на две неравные части. В большем отделении на каждой проволоке нанизано по пять подвижных шариков, в меньшем – по два. Проволоки соответствуют десятичным разрядам, каждый шарик меньшего отделения имеет значение, равное значениям пяти шариков большего отделения на той же проволоки.

К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, и извлечение квадратного и кубического корней. Вычисления индийцы производили на счётной доске, покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Числа записывались заострённой палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались. Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления.

Сложение и вычитание производились как слева направо, т. е. от низших разрядов к высшим, так и наоборот.

Для умножения существовало около десятка способов. При основном способе умножения операцию можно было начинать как с низшего, так и с высшего разряда. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения. Например, чтобы умножить 135 на 12 сначала писали

Перемножая 5*12 и стирая 5, получали

1360 и, сдвигали множитель:

Перемножая 3*2 и добавляя 6 к 6, стирали 6 и записывали на её место 2, а единицу держали в уме или записывали в стороне. Эту единицу прибавляли к произведению 3*1 и сумму 4 писали внизу вместо стёртой тройки.

Далее перемножали 1*2 и прибавляли 2 к 4 внизу, т. е. стирали 4 и на её месте писали 6. И, наконец, 1*1=1, поэтому, 1 внизу не стирали. В заключении стирали множитель, и на доске оставалось произведение 1620.

При делении делитель подписывался под делимым так, чтобы первые их цифры находились одна под другой, и из цифр делимого, написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя, не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из цифр остатка.

К сожалению, история не сохранила сведений об арифметических действиях, производимых майя. Из сообщений испанцев известно, что арифметические расчеты производили купцы. Но, прежде всего, математические действия с применением многозначных чисел связаны с астрономическими вычислениями, которые лежали в основе календаря.

4) Пределов у позиционных систем счисления нет. Правда, в китайской иероглифической системе для выражения огромных чисел приходилось бы вводить новые обозначения для степеней 10.

5) Превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/602 и т. д. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян.

1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель.

У племени майя для дробей знаков не было, либо они до нас не дошли. Но скорее всего они были, т. к. люди, которые определили начальную дату летоисчисления рода человеческого – 5041738 год до нашей эры, не могли не додуматься до этого.

Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятеричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. Но, как ни странно, ни греки, ни индийцы не включили в свои системы счисления десятичные дроби, но именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем (но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя, которую изобрели арабы). Друг от друга дроби отделялись вертикальными и горизонтальными линиями. При умножении дроби записывали рядом, а при делении – одну под другой.

Дроби у китайцев появились почти одновременно с целыми числами, задолго до отрицательных чисел. Первыми дробями были 1/2, 1/3 и 2/3, называвшиеся «половиной», «малой половиной» и «большой половиной» соответственно. Ко II веку до н. эры китайцам удалось достаточно полно разработать все операции с дробями. Сложение и вычитание представлено общими правилами, отличающимися от современных лишь незначительно: вместо наименьшего общего кратного знаменателей берется просто их произведение. Правило перемножения числителей и знаменателей было подкреплено геометрическим представлением. Деление дробей производилось большей частью не так, как это делают теперь, а путем приведения дроби к общему знаменателю. В III веке у китайцев, пользовавшихся десятичной системой мер, по существу, начали появляться десятичные дроби, первоначально в метрологической форме. С помощью таких десятичных дробей давались приближенные выражения иррациональностей – нецелых корней.

Прежде чем сделать вывод по позиционным системам следует упомянуть одну их немаловажную особенность.

Позиционные системы счисления являются результатом развития непозиционных систем.

Это можно подтвердить на примере Древнего Вавилона. Дело в том, что до принятия позиционной шестидесятеричной системы счисления там использовалась десятичная аддитивная. Знаки для 1 и 10 были такими же, а для обозначения 100, 1000, 10000 применялись другие символы – , и соответственно.

А в Индии до принятия системы деванагари использовалось целых две непозиционных системы – кхарошти и брахми. Первые девять цифр второй из них впоследствии видоизменились и стали знаками позиционной системы.

Вывод: даже в том случае, если бы древневавилонская система, включала в себя более прогрессивные принципы, она все равно бы не нашла сейчас широкомасштабного применения, т. к. 60 цифр нумерации – это слишком много, что сказалось бы сложными алгоритмами выполнения арифметических действий и неудобностью в использовании.

Система майя является более достойным решением, но, все-таки, она является достаточно сложной по сравнению с китайской и индийской системой.

Что касается индийской и китайской системы счисления, то по типу они были одинаковы. И та и другая система были десятичными с наличием нуля, включали в себя развитые алгоритмы для выполнения арифметических действий и работы с дробями. Хоть нуль в китайской системе использовался и не так часто, как в индийской, но, тем не менее, он играл достаточно важную роль в вычислениях. Другое дело, что людям привычнее работать с простыми знаками, а не со сложными иероглифами.

Индийская система счисления является более простой для понимания и использует более облегченные алгоритмы для работы с числами, чем китайская. Именно поэтому за короткие сроки индийская система обрела популярность по всему миру и сейчас большинство населения нашей планеты пользуется усовершенствованным вариантом именно этой замечательной системы счисления.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что индийская система счисления является самой развитой и прогрессивной системой древнего мира и в силу этого по праву используется в современной математике (результаты анализа см. в приложении № 4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа представляет собой комплексное исследование основных систем счисления древнего мира. При проведении исследования было рассмотрено и описано около 20 различных систем древности, среди которых особо интересными для изучения оказались египетская, греческая, славянская кириллическая, индейцев майя и вавилонская. Системы были сравнены между собой по 5 оценочным признакам. В результате сравнения были выявлены самые удобные и прогрессивные системы счисления, которыми стали греческая ионийская среди непозиционных и индийская среди позиционных.

Данный вывод был сделан из того, что они характеризуются простотой и краткостью записи чисел на материальном носителе, включают в себя развитые приемы для выполнения арифметических действий, содержат наиболее удачные представления о способах записи дробей.

Подробное изучение позволило нам проследить эволюцию систем счисления, определить причину появления новых систем – постоянный поиск человеком более удобных способов представления чисел.

В качестве источников была изучена литература по истории древнего мира и по истории математики.

Особенность данной работы состоит в том, что автор не только изучил различные источники, содержащие информацию по данной теме, но и самостоятельно провел исследование – выделил оценочные признаки для сравнения систем счисления древности и по результатам сравнения выявил системы, которые показали наиболее высокие результаты.

В заключение хочется отметить, что данное исследование является начальным этапом изучения различных способов записи чисел. В дальнейшем планируется углубить познания в области систем счисления методом подробного изучения современных позиционных систем.