Определение центра тяжести математическими средствами

Центр тяжести тела – это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, каждой из частей данного тела.

Теоремы, необходимые при решении задач на нахождение центра тяжести.

Теорема 1. (1-я теорема Паппа-Гюльдена).

Пусть поверхность образована вращением некоторой линии вокруг оси, причём линия лежит в одной плоскости с осью и целиком по одну сторону от оси. Тогда площадь этой поверхности равна произведению длины линии на длину окружности, описанной центром тяжести линии, т. е. линия имеет длину l и её центр тяжести находится на расстоянии z от оси вращения, то.

Док-во:

Рассмотрим док-во на примере усеченного конуса, поскольку остальные примеры – предельные случаи усечённого конуса.

4) S1= и S2= => S(ус. конуса)=

5) (подобие треугольников) => l1= и

6) - расстояние от середины образующей усечённого конуса до оси вращения. => ч. т. д.

Теорема 2. (2-я теорема Паппа-Гюльдена).

Пусть тело образовано вращением некоторой плоской фигуры (пластинки) вокруг некоторой оси, причём пластинка лежит в одной плоскости с осью и целиком по одну сторону от оси. Тогда объём этого тела равен произведению площади пластинки на длину окружности, описанной центром тяжести пластинки.

Док-во:

1) Рассмотрим случай, когда вращающаяся пластинка – прямоугольник, у которого одна пара сторон параллельна оси вращения. а и b – стороны прямоугольника, r – расстояние ближайшей стороны до оси вращения, тело вращения втулка, т. е. цилиндр, у которого высота – b, радиус основания r+a и из него вырезан концентрический цилиндр с радиусом основания r.

2) V(втулки)=, где S=ab – площадь прямоугольника, z=- расстояние от его центра тяжести до оси вращения. ч. т. д.

Центр тяжести линий.

Возьмём линию, как тонкую однородную проволоку, масса куска которой равна его длине.

Определение центра тяжести линии состоит в том, что нужно разбить её на маленькие по размеру кусочки, которые можно уже считать материальными точками, и взять центр тяжести получившейся системы материальных точек.

Для точного определения центра тяжести необходимо знать перечисленные ниже свойства центра тяжести линии:

• Если линия имеет центр симметрии, то её центр тяжести совпадает с центром симметрии.

• Если линия имеет ось симметрии, то её центр тяжести лежит на оси симметрии.

• Если линия имеет плоскость симметрии, то её центр тяжести лежит на плоскости симметрии.

Из этих свойств следует, что центр тяжести отрезка лежит в его середине. Поэтому центр тяжести ломанной можно находить, заменяя каждый отрезок АВ материальной точкой (С,1), где С – середина отрезка АВ, l – его длина, и взяв затем объединение материальных точек, получившихся из всех звеньев ломанной. Пользуясь этим, можно дать точное определение центра тяжести линии, заменяя её ломанными, всё более и более близкими к ней, и затем переходя к пределу.

Центр тяжести пластинки.

С точки зрения физики материальная точка – это точка, снабжённая массой. Математически: материальная точка – это пара, состоящая из точки и некоторого положительного числа, называемого массой.

Центр тяжести n материальных точек - это точка, в которой расположено объединение этих материальных точек.

Теорема а) Центр тяжести и объединение этих материальных точек не зависит от порядка их последовательного объединения (группировки), т. е. от выбора объединяемых пар.

б) Центр тяжести и объединение системы материальных точек не изменяется, если заменить несколько материальных точек их объединением.

Нахождение центров тяжести

А1(x1;y1), A2(x2;y2), , An(xn;yn).

A1-m1, A2-m1, , An-mn.

Найти: центр тяжести.

Решение:

1)Находим центр тяжести системы материальных точек: m1+m2++mn=M или

2) Если масса не сосредоточена в отдельных точках, а распределена непрерывно, то нахождение координат центра тяжести приводит к вычислению интегралов.

Рассмотрим материальную пластину, ограниченную двумя кривыми y=f(x), y=g(x) и прямыми х=а, х=b. f(x) g(x).

Предположим, что поверхностная плотность этой пластинки постоянна и равна. Определим центр тяжести пластинки:

1) Делим [a;b] на n равных частей точками деления x1

2) Через x1, x2,x3,,xn-1 проведем прямые Oy. Получим n узких пластинок. Находим центр тяжести пластинок.

3) Рассмотрим пластинку на отрезке [xi-1; xi].

4) Заменив каждую пластинку прямоугольником с основанием [xi-1;xi] и высотой f(c1) – g(c1), получаем точку сi.

Центр тяжести пластинок находится приблизительно в точках с координатами:

Для первой пластинки: ()

Для второй пластинки: ()

Для n-пластинки: () , где ci – середина отрезка [xi-1; xi].

5) Массы узких пластинок приближенно равны массам прямоугольников: m1=[f(c1) – g(c1)]1, m2=[f(c2) – g(c2)]2, , mn=[f(cn) – g(cn)]n, где i=xi-xi-1.

6) Заменим каждую узкую пластинку материальной точкой, расположенной в центре тяжести этой пластинки и имеющей ту же массу, что и узкая пластинка. Тогда, центр тяжести такой системы материальных точек совпадает с центром тяжести всей пластины:

Рассмотрим центр тяжести буквы Г и пластинки в форме буквы Г

Пример 1.

Буква Г. Центр тяжести О расположен на отрезке DE, где D и E – середины AB и ВС. При этом DO:OE=BC:AB

Пример 2.

Пластинка в форме буквы Г,

Соединяем центры ABMF и MCDE. O – центр тяжести, делит отрезок, соединяющий центры, в отношении обратно пропорциональном SABMF и SMCDE.

Примеры практической направленности.

Рассмотрим примеры, показывающие практическую направленность применения верности расчётов центра тяжести.

Причины, вызвавшие морские катастрофы.

• Плавучесть судна – способность плавать с заданной осадкой, неся на себе снаряжения и грузы, необходимые для нормальной эксплуатации. Для обеспечения плавучести судна в процессе его эксплуатации судоводителю требуется пользоваться многими математическими понятиями и приёмами вычислений. В частности, для этого нужны чертёж судна и связанные с ним коэффициенты, параметры, определяющие посадку судна, уравнение равновесия судна; вычисляется вес судна и координаты его центра тяжести, объемное водоизмещение и координаты центра величины, изменение углубление от приёма груза; определяется число тонн на единицу осадки. И всё это требует больших и точных математических расчётов. Если вес судна больше силы поддержания, судно, естественно, тонет.

На судно в спокойной воде действуют два рода сил: сила тяжести , которая приложена в центре тяжести G судна и направлена вертикально вниз (к центру Земли), и сила гидростатического давления , которая приложена в так называемом центре величины С и направлена вертикально вверх. Под влиянием последней силы судно стремится всплыть, поэтому ее называют силой поддержания.  

Очевидно, для равновесия плавающего судна необходимо, чтобы сила  и   были равны по величине, а точки их приложения лежали на одной вертикали.

При наклонении судна на какой-либо борт под действием кренящего момента МК (например: внезапного усиления ветра, как было с броненосцем «Капитан») на угол θ центр величины судна, вследствие изменения формы подводного объема судна (рис. б), переместится в сторону крена из положения С0 в положение Сθ. В курсах теории устройства судна доказывается, что при малых углах крена траекторию перемещения центра величины можно принять за окружность с центром в некоторой точке М (рис. б) и радиусом r. Точка М называется поперечным метацентром, r — поперечным метацентрическим радиусом.

Тогда пара сил  и , приложенных, соответственно, в точках G и С0, образует так называемый восстанавливающий момент МВ. В курсах теоретической механики доказывается, что восстанавливающий момент можно определить по формуле

  где h = r – zG + zC,  a  zG и zC — соответственно, координаты центра тяжести и центра величины в выбранной системе координат. В соответствии с этим выражением может быть три случая крена.

1. МВ > 0, то есть центр тяжести лежит ниже метацентра. Тогда восстанавливающий момент действует в сторону возвращения судна в прямое положение; судно остойчиво.

  2. МВ = 0, то есть центр тяжести совпадает с метацентром . Тогда сила тяжести   и сила поддержания   действуют по одной прямой и восстанавливающего момента не возникает. Этот случай называется случаем нулевой остойчивости судна; практически судно неостойчиво.  

3. MВ < 0, то есть центр тяжести лежит выше метацентра . Тогда восстанавливающий момент действует в ту же сторону, что и кренящий момент, — в сторону увеличения крена; судно неостойчиво.  

• Остойчивость – способность судна, выведенного воздействием внешних сил из положения равновесия, возвращаться к нему снова после прекращения этого воздействия. Потеря остойчивости – скоротечный вид крушения, чаще всего приводящий к гибели не только судна, но и экипажа.

Различают продольную и поперечную остойчивость судна. Наибольшую опасность при плавании представляет потеря поперечной остойчивости. Наклонение судна в поперечной плоскости, перпендикулярной плоскости ватерлинии, называется креном, наклонение в продольной плоскости – дифферентом.

При работе на судах следует учитывать, что при приёме и снятии груза взаимное расположение центра тяжести и центра величины меняется, что влечёт за собой изменение остойчивости. Поэтому при грузовых операциях в море и в порту капитан должен контролировать и регулировать остойчивость судна. Для этого в процессе грузовых работ производят расчёт остойчивости по определённым формулам и схемам, учитывая вес и расположение имеющихся на судне запасов топлива, питьевой воды, пищевых запасов и принимаемого или снимаемого груза.

При эксплуатации судна каждый капитан помнит, что любое достаточно остойчивое судно неразумными действиями можно привести в неостойчивое состояние. Например, если капитан рыболовного судна, увлёкшись ловом, не проследит за тем, чтобы своевременно обработать и уложить улов в трюмы, на палубе скопится слишком много рыбы. Как следствие, центр тяжести судна поднимется выше метацентра, и судно потеряет остойчивость.

• В случае непредвиденных ситуаций (шторм, столкновение с посторонними телами) происходит разгерметизация отсеков, которая приводит к быстрому потоплению суда

. 3. Заключение

Центром тяжести некоторого тела является расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за неё мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение.

Итак, математические расчёты центра тяжести являются одними из теоретических основ при решении задач практического содержания. Безусловно, математика является основополагающим фундаментом учёбы судоводителя и вообще моряка. Применив математику для изучения механического равновесия, я убедилась, что математический подход к решению физических проблем не только помогает проникнуть в суть законов природы, но и обогащает и саму математику. А практическое применение решения данной проблемы, как я поняла, помогло бы избежать большинство морских трагедий и, следовательно, предотвратить гибель людей. Знание математики необходимо для решения большинства повседневных задач судоводителя. Без математики невозможно освоить и успешно эксплуатировать технические средства судовождения. Знакомясь с выбранной мною темой, я изучала специальную литературу, пользовалась Интернетом, решала задачи, необходимые для определения центра тяжести и поняла, что математика важна, как в теории, так и на практике.