Многообразие симметрии

Мы часто восхищаемся ярким цветком и красивой бабочкой, загадочной снежинкой и стремительной птицей, высокими деревьями и куполами церквей, прекрасными скульптурами и стройными спортсменами. Восхищаясь красотой окружающего мира, задумаемся над тем, что лежит в основе этой красоты. Симметрия приятна для глаза и часто ассоциируется с прекрасным.

Симметрия является той идеей, посредством которой ,человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль.

Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость». Однако под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня, ночи и т. д. ), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-то упорядоченность. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку.

«Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает»,-слова Норберта Винера.

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии. Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна.

Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правильным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр. Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства. Мы рассмотрим проявление этой идеи в различных областях ниже.

2. Многообразие симметрии.

Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, "инвариантность" каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.

Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т. д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии:

❖ Поворотная симметрия. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n, где n может равняться 2, 3, 4 и т. д. до бесконечности. Ось симметрии называется поворотной осью n-го порядка. Поворот на плоскости на угол 180° обычно называют центральной симметрией относительно точки О.

❖ Переносная (трансляционная) симметрия. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние а, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. Простейшим примером фигуры, обладающей такой симметрией, является разлиновка тетради.

❖ Зеркальная симметрия. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии. Но если фигура рассматривается на плоскости (двухмерном пространстве ), то обычно говорят о симметрии относительно прямой линии- линии пересечения плоскости симметрии с плоскостью фигуры (осевая симметрия).

❖ Симметрии подобия представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними.

Все выше перечисленные виды симметрии относятся к геометрическим.   

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О -середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

Центрально–симметричные точки также можно получить поворотом исходной точки на 180º относительно точки О.

Фигуры, симметричные относительно какой-либо точки называются центрально-симметричными.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Фигура называется симметричной относительно оси а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно оси а также принадлежит этой фигуре.

ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ.

Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а элементарным переносом или периодом.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте образует узор, называемый бордюром. У каждого народа, у каждой эпохи были свои формы, мотивы и расположение украшений на бордюрах.

Бордюры – это симметричные узоры на ленте. Но симметричный рисунок может повторяться и на плоскости. Тогда его называют орнаментом. Своеобразными орнаментами являются паркеты.

Если геометрическая фигура повторяется с помощью поворотной симметрии в других областях круга, где она построена, то полученный таким образом узор, называют розеткой.

3. Симметрия вокруг нас.

Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Но, конечно, первая в нашей жизни симметрия, которой мы любуемся, будучи незнакомы с ней по имени – это симметрия природы.

«Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет и солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, цветы, которые почти симметричны».

Р. Фейнман

Все мы год за годом с приходом весны и все лето до глубокой осени можем любоваться растениями, деревьями, их цветами, жучками, паучками, бабочками на лугу, поздней осенью узорами на замерзших лужах, а зимой снежинками и узорами на окнахи не думать о том, что перед нами проявление законов симметрии.

И так приступим к более близкому знакомству с симметрией в природе и начнём с флоры (растительного мира). Обратимся к ботанике.

Ботаника – наука о растениях. Рассмотрим примеры симметрии в растениях, постараемся найти закономерности во внешнем строении растений.

Рассмотрим кленовый лист. Кленовый лист обладает осевой симметрией. Небольшие отклонения, которые мы замечаем, вызваны нарушением некоторых условий, определяющих симметрию листа. Это движение влаги по растению, поступление питательных веществ через корневую систему вверх, к кроне, вертикальное направление силы тяжести и поступление света и воздуха со всех сторон к кроне дерева. Но эти отклонения столь малы, что не вносят беспорядка в расположение частей и воспринимаются нами как симметричные объекты живой природы. Такой вид симметрии как зеркальная, характерен для листьев большинства растений.

Рассмотрим проявление центральной симметрии в растениях. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений.

Центральная симметрия характерна для различных плодов. Рассмотрим разрез любого из этих фруктов. В разрезе они представляют собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.

Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Весь цветок ромашки обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков.

Для цветов характерна и поворотная симметрия, например: цветок шиповника. Этот цветок можно повернуть вокруг некоторой оси на угол, равный 360( /5 (или кратный ему), и он совместится сам с собой. Эту прямую называют поворотной осью 5-го порядка.

В случае же нечетного количества лепестков, как анютины глазки, цветок обладает только осевой симметрией. Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360(. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка.

В любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой, центральной, поворотной или винтовой симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.

Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

Симметрия форм и окраски цветков придаёт им красоту.

Зоология – наука о животных. Переходя к рассмотрению симметрии в животном мире, отметим, что для насекомых, рыб, птиц и млекопитающих (не считая простейших) практически не существует поворотной симметрии, так как их существование опирается на выполнение функции движения вперед-назад. Такое направление движения является принципиально выделенным движением. В этих направлениях животное устремляется за пищей или спасается от опасности. Именно это вместе с направлением силы тяжести определяет существование зеркальной симметрии живых существ относительно вертикальной плоскости. Такая симметрия способствует поступательному движению живого организма.

Поворотная симметрия 5-го порядка встречается в животном мире лишь у некоторых обитателей моря.  

Неживая природа.

На первый взгляд мир неживой природы кажется лишенным симметрии и порядка, но это не так. И ярким доказательством этого могут служить кристаллы, которые являются украшением неживой природы и вносят очарование симметрии в мир неживой природы. Выразительным примером могут служить снежинки, являющиеся не чем иным, как кристаллами воды. Совершенный вид снежинки определяется тем, что она обладает и центральной и, и поворотной симметрией.

Все твёрдые тела в природе состоят из кристаллов. Кристаллы – это многогранники достаточно правильной формы. Кристалл каменной соли, например, имеет форму куба.

Почти все кристаллы, встречающие в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.

Камни лежащие у подножия горы весьма беспорядочны; однако каждый камень является огромной колонией кристаллов, которые представляют собой в высшей степени симметричные постройки из атомов и молекул. Слово “кристаллос” у древних греков означало “лёд”. Гомер, описывая осаду Трои греками, говорит, что в первую морозную ночь щиты героев покрылись “кристаллос” — льдом. Позже, когда в горах нашли минерал, напоминавший лёд, его назвали горный хрусталь — горный лёд.

Кто из нас не любовался рисунками ледяного царства Снежной королевы и изображениями снежинок, обладающих строгой симметрией. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией, причем не любой, а симметрией относительно поворота на 60° (поворотной симметрией 6-го порядка).

Великий Кеплер в своей знаменитой книге "Новогодний подарок", или о шестиугольных снежинках" размышлял о новогоднем подарке советнику императора, покровителю наук и философу. Этот господин сильно любил. Ничто не по причине его незначительной ценности, а скорее как прелестную забаву, как шаловливо щебечущего соловья. Мучительно перебирая, какой же предмет может быть Ничто, Кеплер вдруг заметил снежинки, тихо падающие на его одежду, все как одна шестиугольные, с пушистыми лучами. Ничто найдено! Кеплер подарит советнику в Новый год снежинки.

Пытливый ум Кеплера в простых снежинках сразу распознал загадку, почему все снежинки шестиугольные, почему не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок. Кеплер вспомнил о других примерах тел шестиугольной формы - о пчелиных сотах и о зернышках граната, надеясь найти ответ по аналогии. Однако такого ответа ему получить не удалось. Снежинки сохраняют сложную форму на протяжении всего пути, сохраняя при этом симметрию. Закон постоянства углов между гранями кристалла окончательно установил датчанин Николаус Стенон.

Конечно, закон симметрии всеобъемлющ, он не делает исключений ни для кристаллов, ни для живых организмов. Эти законы одинаково действуют и на Земле, и в космосе. Вот почему инопланетные существа не могут иметь совершенно невероятные формы. Их внешний вид должен обладать зеркальной симметрией, так как на любой планете действует сила тяжести и для любого живого существа с этих планет направление движения является определяющим для его существования ( так же как и на Земле). Исходя из этого, инопланетное существо может быть похоже на сказочного дракона, но оно не может быть левоглазым или правоухим и число конечностей слева и справа должно быть одинаковым. Значит, оно не может быть похожим на Тянитолкая.

Если же говорить о зеркальной симметрии внешнего облика человека, то именно она всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

Конечно же, абсолютно симметричного человека не существует. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей.

И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая, левому глазу – правый и т. д.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела. Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально.

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Ее можно наблюдать в архитектуре, живописи, музыке, литературе, прикладном искусстве.

Рассмотрим симметрию в произведениях архитектуры. Чудесные шедевры древнерусской архитектуры - деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т. е. с симметричными восьмигранными шатрами, русские церкви, как нельзя лучше соответствовали понятиям гармонии и красоты в средневековой Руси.

Принципы симметрии стали руководящими для архитектуры более поздних времен. Впечатляющим примером тому служит храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Он состоит из девяти церквей, выполненных наподобие башен и объединенных с помощью галерей, которые проходят по нижнему ярусу. В соответствии с замыслом царя каждая церковь посвящена тому или иному святому или христианскому празднику. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то поднимаются, то опускаются, то как бы набегают друг на друга, то отстают, создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

Поговорим о парадоксе симметрии, который проявляется при рассматривании зеркально-симметричных архитектурных сооружений. Если зритель смотрит на такое сооружение с фасада, его симметричная конструкция просматривается в полном объеме. Если же это здание рассматривать сбоку, то оно представляется асимметричным, что придает сооружению особую выразительность и производит более сильное эстетическое впечатление. В расчете на этот парадокс строились целые архитектурные ансамбли. Замечательный пример такого ансамбля – собор Св. Петра в Риме.

В центре симметричной площади зодчий поставил обелиск, и зрители вынуждены подходить к собору не с фасада, а сбоку

Огромное влияние симметрии в живописи. Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии.

Принцип симметрии очень часто используется совместно с принципом "золотого сечения". Таким примером может служить картина Рафаэля "Обручение Марии".

Единство симметрии и асимметрии можно наблюдать в картине Альбрехта Дюрера «Тайная вечеря», созданной им в 1511 г. На первый взгляд гравюра зеркально-симметрична: в центре Христос, а слева и справа от него по пять апостолов. Поскольку на гравюре, кроме Христа, тринадцать фигур, то для симметрии Дюрер одного из апостолов изображает на одной центральной линии с Христом (Христос его обнимает). Еще две фигуры художник выносит на задний план и располагает их симметрично по другую сторону стола. Симметрию подчеркивают форма сводов, округлое отверстие и подставка в центре, складка на скатерти и расположение предметов на столе. Фигуры апостолов и Христа асимметричны, они наклонены друг к другу, они в движении, и это сразу создает тревожное настроение: только что Христос сообщил, что один из апостолов его предал. В целом симметричная композиция картины асимметрична в деталях, и это создает целую гамму противоречивых настроений. Дюрер мастерски использовал симметрию и асимметрию для достижения нужного эффекта.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент.

Для усиления эстетического эффекта симметрия используется и в поэзии, и в музыке. «Душа музыки- ритм – состоит в правильном периодическом повторении «частей музыкального произведения», -писал русский физик Вульф. Ритмично звонят колокола. На Руси с давних пор сложилась своя система звонов. Колокольный ритмический перезвон – это гармоничная и симметричная музыка. Музыка, исполняемая на музыкальных инструментах или воспроизводимая человеческим голосом, также полна симметрии.

Стихи – это тоже ритм, закономерно повторяющаяся система звуков. Однако, как и в музыке, симметрию нельзя сводить только к ритму. В любом литературном произведении существуют смысловые части, которые видоизменяются, проходя через произведение. Палиндром - это абсолютное проявление симметрии в литературе.

Например: «А луна канула», «А роза упала на лапу Азора». Палиндром В. Набокова: Я ел мясо лося, млея. Рвал Эол алоэ, лавр. Те ему: "Ишь! И умеет Рвать!" Он им: "Я - минотавр!"   

4. Выводы.

Итак, что же есть симметрия? Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.