Методы решения задач на построение сечений многогранников

Во многих задачах, связанных с построениями на изображениях пространственных фигур, приходится выполнять построение сечений этих фигур плоскостями. Одним из эффективных методов решения задач на построение сечений многогранников является аксиоматический метод, разновидностями которого являются метод следов и метод вспомогательных сечений.

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Для построения следа секущей плоскости, а также для построения сечения многогранника этой плоскостью должен быть заданным не только сам многогранник, но и секущая плоскость.

Пусть М, N, К - точки секущей плоскости, М1, N1, К1 - их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ1 NN1, NN1 К1К, для конусов и пирамид ММ1 NN1 КК1 = S (S - вершина). Обозначим вершины нижнего основания через А1, В1, С1,. верхнего основания - А, В, С,. Тогда

1) МN M1N1 = X;

2) МК М1K1 = Y;

3) ХУ = s - след секущей плоскости;

4) A1M1 s = А0. Возможно

A1N1s = A0 , или А1К1 s = A0

A0NA1A = A A0 K A1A = A

5) А0М А1А = А;

6) пункты 4-5) повторить для вершин В1,С1,. нижнего основания фигуры F;

7) - искомое сечение.

Строить сечение фигуры F секущей плоскостью α методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости α, и решение проводить по указанной схеме.

Метод следов легко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечений многограннико. ,

В тех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют метод внутреннего проецирования или так называемый метод вспомогательных сечений.

2. 2. Метой внутреннего проецирования

Пусть точки М, N, К лежат в секущей плоскости, М1, N1, К1 - их проекции на плоскость основания. Прямая М1N1, является проекцией прямой МN, лежащей в секущей плоскости. По известным проекциям АК1, ВК1,. найдем соответствующие им прямые секущей плоскости, а именно АК,ВК Для этого проводят построения:

1)АК1 MN1 = X; 2) X1 →X таким образом: если условии задачи дана призма, то проводят через X1 прямую l (lAA1 , l MN = X), если в условии задачи дана пирамида с вершиной S, то проводят SX1 , SX1 MN = X; 3) ХК АА1 = - искомая точка сечения на ребре АА1 для призмы, или ХК SА = для пирамиды. Желательно, чтобы точки К1 и а1 лежали по разные стороны от прямой M1N1. Если же они лежат по одну сторону, то в качестве опорной прямой выбирают М1K1 или N1K1 так, чтобы точки A1 и N1 или А1, М1 лежали по разные стороны от М1К1 или N1K1.

Аналогичные рассуждения и соответствующие построения проводят для всех вершин нижнего основания.

A1 D1 S

M1BNKM1CK1

A X1 K1 DAX1D

Также метод называют методом вспомогательных сечений.

Пример 1. Построить сечение пятиугольной призмы АВСDЕА1В1С1D1Е1 плоскостью, проходящей через точки М А1В1BA, N Е1ЕDD1, КС1D1DС.

A1 D1

BXY NK1

Построение.

1. AK1 M1N1 = X1, X1 →X, X1XA1A,X MN, KX A1A =

2. EK1 M1N1 = Y1, Y1 →Y, Y1YA1A, Y MN, KY E1E =.

3. М В1В =.

4. N D1D =.

5. K C1C =.

6. - искомое сечение.

Блок- схема. Построение сечений многогранников методом проекций.

3 точки на трёх гранях или на трёх скрещиваю- щихся рёбрах, не принадлежащих одной прямой

2) построить параллельные (центральные) проекции точек на плоскость проекции – основание (или одну из граней)

XY пересекает ребрада основания? нет

4) построить точку пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, используя след секущей плоскости

5) провести через пары точек на рёбрах прямые, принадлежащие граням многогранника нет построено? да

2. 3. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей

Метод применяется в тех случаях, когда секущая плоскость α задана как плоскость, проходящая через данную точку М параллельно двум скрещивающимся прямым а и b

Правило. Построение сечения, проходящего через две данные точки

(прямую) параллельно данной прямой.

1. Выяснить, какое ребро может пересекать искомое сечение.

2. Найти главную плоскость: ту, которая содержит это ребро, одну из точек искомого сечения и данную прямую.

3. Провести в главной плоскости через известную точку сечения прямую, параллельную данной.

4. Построить сечение одним из известных способов.

Правило. Построение сечения, проходящего через данную точку параллельно двум данным прямым (AB, CD)

1. Найти первую главную плоскость: ту, которая содержит данную точку искомого сечения и одну из данных прямых (параллельно которой нужно провести плоскость).

2. Провести в первой главной плоскости через известную точку сечения прямую, параллельную данной.

3. Найти вторую главную плоскость: ту, которая содержит данную точку искомого сечения и вторую из данных прямых (параллельно которой нужно провести плоскость).

4. Провести во второй главной плоскости через известную точку сечения прямую, параллельную данной.

5. Построить сечение.

1. Плоскость АВС; 2. РМ АВ;

3. Плоскость ВСD; 4. МRСD;

5. а)т. к. МRМРR, МR АСD, МРR∩АСD = РМ, то РN СD б) т. к. МРМРR, МР АВD, МРR∩АВD=NR, то NRАВ

Пример 2. Даны параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и точки М АА1, N В1C1, К АD. Провести сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку N параллельно прямым МВ1 и СК.

1. Построим дополнительно плоскость β, βСК и βВ1М, Плоскость β проведем через одну из вершин данного параллелепипеда. Возникает вопрос: через какую? Для этого переберем все вершины параллелепипеда. Например, возьмем вершину D нижнего основания. Легко провести прямую, параллельную МВ1, но прямая, параллельная СК, окажется вне параллелепипеда. Следовательно, через точку D проводить плоскость β нельзя.

Так, перебирая все вершины, приходим к выводу, что β можно провести через вершину С1 или А. Пусть для определенности β проходит через С1. Проведем С1РВ1М и С1L СК. Плоскость β проходит через точки С1, L, Р.

2. Проводим последовательно NТ С1L, Т В1М, LР, РС1. Для проверкиN LР.

3. NТ - искомое сечение (пятиугольник).

Пример 3. На ребре АD тетраэдра взята точка М так, что DМ:АD = λ. 0< λ <1 Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью α, проходящей через точку М параллельно прямым АВ и СD, если AВ:СD = m. При каком λ это сечение будет ромбом.

Так как плоскость сечения параллельна прямой АВ, то линия МN пересечения плоскости α с плоскостью АВD параллельна прямой АВ. Т. к как плоскость сечения параллельна прямой СD, то α пересекает плоскости АСD и ВСD по прямым MQ (Q AC) и NP (РВС), параллельным прямой СD. Так как Q α и Рα ( Р, Q (АВС)), то (РQ) α, и прямая РQ является следом секущей плоскости на грани АВС тетраэдра, Так как αАВ, то РQАВ. Итак, МNРQ - искомое сечение. Так как МNAВРQ, а РNСDMQ, то сечение – параллелограмм.

Вычислим длины сторон параллелограмма МNPQ через длины рёбер АВ и СD тетраэдра. Так как треугольник ABD подобен треугольнику MND, то MN: АВ = DМ : АВ =λ, значит, МN=λAВ. Имеем, АМ = АD - DМ = (1 - λ)АD.

Из подобия треугольников AMQ и ADС находим МQ:СD=AМ:AD=1-λ, то есть МQ=(1-λ)СD. Сечение MNPQ будет ромбом, если MN=MQ.

λAB = (1- λ)CD, откуда.

Выводы.

1) Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной двум ее скрещивающимся рёбрам всегда является параллелограммом.

2) Если противоположные ребра АВ и СD тетраэдра перпендикулярны, то параллельные им стороны MN и МQ сечения также перпендикулярны. В этом случае сечение - прямоугольник.

3) Если тетраэдр АВСD правильный (как известно, его противоположные рёбра перпендикулярны), то m = 1 и λ= 1/2. Значит, сечение, являющееся квадратом, проходит через середины рёбер этого тетраэдра.

Правило. Построение сечения, проходящего через данную точку параллельно данной плоскости.

1)зафиксировать данную грань: 2) назвать главную плоскость параллельно которой, (грань), которой принадлежит требуется построить сечение данная (полученная) точка сечения

3)есть 8) есть ребро пересечения нет прямая и точка вне её, главной плоскости с данной принадлежащие сечению? плоскостью? нет да да

4) провести в данной плоскости 9) восполь- 10) требуется через данную (полученную) точку зоваться ме дополнитель- сечения прямую, параллельную тодами: про- ное исследова- выделенному ребру (получена екций, или ПМ ние точка) нет 5) есть две точки, принадлежащие двум рёбрам одной грани? да

6) через эти точки про- 7) выделить сечение вести прямую принад- и доказать , что оно лежащую одной грани искомое

Пример 4. Через точки Р, R иQ, заданные соответственно на ребрах СВ, СD и СС1 призмы АВСDА1В1С1D1, проведена плоскость. Построим сечения призмы плоскостями, параллельными плоскости РQR и проходящими через следующие точки: а) K1, заданную на ребре С1D1 б) А2, заданную на ребре AА1.

D B A2S4

S2 S3 A

Решение. А) Обозначим для краткости плоскость, проходящую через точку К1 параллельно плоскости РQR, через β. Так как βPQR, то плоскость грани СDD1C1 пересекает плоскости β и РQR по параллельным прямым. Аналогично плоскость грани BCC1B1 пересекает плоскости β и PQR по параллельным прямым и т. д.

1) В плоскости СDD1 через точку К1 проведем прямую, параллельную прямой QR. Пусть эта прямая пересекает прямые СС1, DD1 и СD соответственно в точках С2, D2 и S1. 2) В плоскости ВСС1 через точку С2 проведем прямую, параллельную прямой РQ. Пусть эта прямая пересекает прямые B1С1, B1В1 и ВС соответственно в точках N1, В2 и S2. 3) Через точки S1 и S2 проведем прямую S1S2. Ясно, что S1S2PR. Пусть прямая S1S2 пересекает прямые АВ и АD соответственно в точках S3 и S4. Тогда многоугольник K1D2S4S3B2N1 —искомое сечение.

Б) Так как точка А2 лежит в гранях, не пересекаемых плоскостью РQR, то для построения искомого сечения можно построить сначала такое сечение, плоскость которого параллельна плоскости РQR и которое при этом проходит через какую-нибудь точку грани, содержащей точку A2. В предыдущем пункте рассматриваемого примера уже построено сечение K1D2S4S3B2N1, плоскость которого параллельна плоскости РQR и которое проходит через точку В2.

Используем это сечение как вспомогательное. 1) В плоскости ABB1 через точку А2 проведем прямую, параллельную прямой S3B2, и точку пересечения построенной прямой с прямой BB1 обозначим B3. 2) В плоскости BСС1 через точку B3 проведем прямую, параллельную прямой В2N1, и точку пересечения построенной прямой с прямой В1С1 обозначим N2. 3) В плоскости А1В1С1 через точку N2 проведем прямую, параллельную прямой N1K1, и точку пересечения построенной прямой с прямой С1D1 обозначим K2. 4) В плоскости СDD1 через точку К2 проведем прямую, параллельную прямой K1D2, и точку пересечения построенной прямой с прямой DD1 обозначим D3. 5) Точку D3 соединяем с точкой А2.

Многоугольник А2B3N2K3D3 — искомое сечение.

Правило. Построение сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую κ параллельно заданной прямой m.

1) Через прямую т и какую-нибудь точку прямой κ проведем плоскость.

2) В этой плоскости через уже выбранную на прямой κ точку проведем прямую mm1.

3) Пересекающимися прямыми κ и m1 определяется плоскость искомого сечения.

3. Глава 2.

Методы решения метрических задач на построение сечений

Свойства фигур, такие как отношение длин непараллельных отрезков, величины углов между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями, отношение величин углов, при параллельном проектировании фигуры на плоскость не сохраняются. Такие свойства фигуры принято называть метрическими. Можно ли, зная изображение фигуры F, решать метрические задачи, относящиеся к оригиналу ?

3. 1. Метод выносных чертежей. Метод разворота плоскостей

Чертеж, на котором построена фигура, имеющая форму оригинала заданной плоской фигуры (т. е. подобная первой фигуре), называют выносным чертежом фигуры.

В некоторой плоскости MNK требуется провести прямую МX, расположенную определенным образом относительно сторон этого треугольника. На изображении пространственной фигуры МNК, если Х NK, то необходимо найти этой целью выносят МNК вне основного изображения таким образом, чтобы М1N1K1 имел натуральную форму оригинала фигуры. В плоскости М1N1K1 проводят интересующее построение метрического характера и находят истинное положение точки X1 на N1K1. Воспользовавшись теоремой Фалеса, находят Х NK. Если МNК и М1N1К1 имеют общую сторону (допустим, МК), то метод назовем методом разворота плоскости (вокруг МК). Поясним это на примере.

Пример 1. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SАВСD, у которой высота SO вдвое больше стороны основания, плоскостью, проходящей через вершину А перпендикулярно ребру SС.

Построение.

1. Вынесем SDС до положения S3D3C3, имеющего неискаженный вид, и проведем Х3Y3 S3C3.

В S3D3C3 S3D3 =S3C3 = S2C3, S3X3 = S2X2, D3C3 = AD.

2. Находим Y SD и Z SB таким образом, чтобы.

3. АZХY - искомое сечение.

4. Пусть АD - сторона квадрата - основания пирамиды. Развернем плоскость АВСD до положения А1В1С1D1 таким образом, чтобы А1В1С1D1 являлся квадратом ( А=A1; D=D1).

5. Выделим АSС вне основного рисунка до положения А2S2С2, имеющего неискаженный (как в оригинале) вид. В этом случае А2S2С2 - равнобедренный, О2 - середина отрезка А2С2, S2O2 A2C2 ; S2O2 = 2 AD (условие) и А2С2 = А1С1

6. В плоскости A2C2S2 проведем А2Х2 S2C2.

7. Находим точку Х С таким образом, чтобы , используя теорему Фалеса.

3. 2. Алгебраический (Вычислительный) метод

При решении метрических задач на построение сечений или другого типа удобно проводить анализ, а затем построения. В анализе предполагая, что задача решена, и находим интересующие нас отношения, зная которые, легко решить метрическую задачу на изображении F фигуры.

Если в предыдущем методе надо было выносить МNК до натурального вида, а затем находить точку X, удовлетворяющую условиям, то при решении алгебраическим методом необходимо найти , используя известные теоремы геометрии, зная МNК. Решим пример 1 алгебраическим методом.

Анализ.

Пусть АD =.

Тогда АС = , SO = 2. Найдем отношение AXC подобен SOС по двум углам. Следовательно,

Найдем отношение.

. Аналогично.

Построение. 1. XSC. 2. YSD. 3. ZSB (используя теорему Фалеса). 4. AYXZ – искомое сечение.

3. 3. Геометрический метод.

Найдем точку Х - изображение основания перпендикуляра из А на прямую SС одним из ранее предложенных способов. 1. XSC

3. Проводим прямую l через точку О параллельно прямой ВD,.

4. АZХY - искомое сечение.

Доказательство.

AXSC по анализу и построению. по условию, аналогично. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что,. Из этого следует, что и требовалось установить.

Задача имеет единственное решение.

Пример 2. В основании пирамиды SАВС лежит прямоугольный АВС, С = 90°, АС = ВС, ребро SС перпендикулярно плоскости основания и SС : АС =3:2. М - середина ребра АС, N - середина ребра АВ. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через М перпендикулярно прямой SN.

Анализ. Введем систему координат. С( 0; 0; 0), А(2; 0; 0), В(0; 2; 0), S(0; 0; 3), М( 1; 0; 0), N(1; 1; 0).

K A M CB xNy

Пусть плоскость а проходит через М перпендикулярно SN. Тогда уравнение этой плоскости

1(x - 1) + 1(y - 0) – 3(z - 0) = 0, x + y – 3z – 1 = 0. (1)

Найдем точку К пересечения плоскости а с прямой АS.

2. Построение.

2. МРТК - искомое сечение.

3. Доказательство.

По условию - равнобедренный, следовательно, - равнобедренный, - медиана, а значит, и высота. Таким образом,.

По анализу и построению. Тогда , т. е. МРТК - искомое сечение. Задача имеет единственное решение.

Пример 3. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник AВС, боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания, и отношение ребер СА:СB:СM=. На ребрах АВ и ВС взяты соответственно точки D и Е—середины этих ребер. Построим сечение пирамиды плоскостью , проходящей через точку Е перпендикулярно прямой МD.

EHC0E0B0

M0DH0 д гE0 D0

M D0 B0

A0M0(C0) 1ж е(E0) 1 PNQ

A0D0B0 F C HK

C0 B DA

Решение. Способ выносных чертежей (рис. а). Так как плоскость а перпендикулярна прямой МD, то прямая МD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости. В частности, если прямая МD пересекает плоскость в точке Н, то МD ЕН. т. е. отрезок ЕН — это высота треугольника МЕD. Посттроимя ЕНМD 1) Построим равнобедренный прямоугольный треугольник A0В0С0 (рис. б), точки D0 и Е0 —середины соответственно его сторон А0В0 и B0C0, и таким образом получим отрезок D0E0. Это одна из сторон треугольника М0Е0D0.

2) Построим прямоугольный треугольник B0С0М0 (рис. а), катет B0С0 которого взят с рисунка б. Из равенства ясно, что катет С0М0 следует построить равным B0C0 Медиана М0Е0 треугольника B0C0M0 — это вторая сторона треугольника М0E0D0.

3) Построим равнобедренный треугольник А0В0М0 , (рис. г), основание A0B0 которого возьмем с рисунка б, а боковые стороны A0M0 — с рисунка в. Медиана M0D0 треугольника A0B0M0 — это третья сторона треугольника М0Е0D0.

4) По трем полученным на рисунке б, в, г сторонам строим треугольник М0E0D0 (рис. д) и проводим в нем (точно) Е0Н0 М0D0.

5) Возвращаемся к рисунку а. На рисунке д точка Н0 разделила отрезок M0D0 в отношении М0Н0:М0D0. С помощью луча l в таком же отношении разделим точкой Н отрезок МD.

6) Так как плоскость и плоскость АВМ имеют общую точку H, но эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку Н. Так как прямая МD перпендикулярна плоскости , то прямая МD перпендикулярна линии пересечения плоскостей и АВМ. На рисунке a уже есть прямая, которой прямая МD перпендикулярна. Это прямая АВ. Поэтому, не обращаясь к новому выносному чертежу, проведем в плоскости АВМ через точку Н прямую FКАВ.

Теперь искомое сечение определяется точкой Е и прямой FК, и нетрудно его построить, например, заметив, что, так как FКАВ, прямая FК параллельна плоскости АВС, а это значит, что плоскость , проходящая через прямую FК, пересечет плоскость AВС по прямой, параллельной FК, т. е. по прямой ЕLАВ. Таким образом, четырехугольник ЕFКL — искомое сечение.

Вычислительный способ (рис. а). Как и при решении этого примера способом выносных чертежей, будем строить ЕHМD. Для этого подсчитаем стороны треугольника МDE, введя для выполнения расчетов вспомогательный параметр, положив, например, МС=.

Тогда АС=ВС=, и из прямоугольного треугольника АВС АВ=2, следовательно, СD=. Поэтому МD=. Ясно, что , и из прямоугольного треугольника МСЕ.

Подсчитаем теперь отношение МH:HD. Если ЕНМD, то , или

, откуда , и, значит,.

С помощью вспомогательного луча l строим точку Н. Далее искомое сечение строится так, как это сделано способом выносных чертежей.

Геометрический способ (рис. ж). Построим сначала вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину С перпендикулярно прямой МD. С этой целью рассмотрим треугольник МСD. Его сторона СD является в прямоугольном треугольнике АВС медианой, и поэтому СD= AB. Но , где по условию СA = СВ = СМ. Таким образом,. Значит, СD=СМ. Тогда медиана СN равнобедренного треугольника МСD перпендикулярна его стороне МD. Итак, построена одна прямая, перпендикулярная прямой МD и проходящая через точку N. Для проведения второй прямой, перпендикулярной МD и проходящей через точку N, заметим, что так как в треугольнике МАВ МА=МВ, то медиана МD является и высотой этого треугольника, т. е. на рисунке ж уже есть прямая АВМD. Поэтому в плоскости МАВ через точку N проведем прямую РQАВ. Тогда РQМD.

Пересекающимися прямыми СN и РQ определяется вспомогательное сечение — треугольник СРQ, плоскость которого перпендикулярна прямой МD. Теперь построим сечение пирамиды плоскостью. Ясно, что плоскость пересекает плоскости МВС, МАВ и МАС по прямым, параллельным соответственно прямым СР, РQ и QС.

Итак, в плоскости МВС через точку Е проведем прямую EFСР, затем в плоскости МАВ через точку F проведем прямую FКРQ и в плоскости МАС через точку К—прямую KLCQ. Ясно, что при таком построении точка L лежит в плоскости, определяемой пересекающимися прямыми ЕF и FК. Соединим точку L с точкой Е. Четырехугольник ЕFКL — искомое сечение.

3. 4. Координатный метод.

При решении задач координатным методом находят интересующее нас отношение, вводят прямоугольную систему координат (для метрических) задач или аффинную систему координат (для позиционных задач). Решение задач упрощается, если ввести систему координат рационально.

Решим нашу задачу координатным методом. Анализ. Введем систему координат:

0(0; 0; 0), А(1; - 1; 0), С(- 1; 1,0), S(0; 0; 4), D(1; 1; 0).

Пусть Х (х; у; z). Характеристическое свойство точки X:

1) ХС; 2) АХ SС.

Запишем условия 1) и 2) в координатной форме:

Следовательно,. Пусть Y (х; у;zг). Тогда Y удовлетворяет аналогично двум условиям: Y SD и XYSС. Запишем эти условия в координатной форме:

В координатном методе действуют по определенной схеме.

1. Ввод системы координат (рационально).

2. Запись характеристического свойства.

3. Запись этого свойства в координатной форме.

Заключение.

В работе были рассмотрены различные способы построения сечений многогранников: а) метод следов; б) метод внутреннего проецирования; в) метод параллельного переноса прямых и плоскостей

Было сформулированы правила и блок- схемы по каждому из методов. Рассмотрены примеры решения задач по каждому из способов. Классифицировать задачи с учетом задания точек сечения.

Сравнение сложности способов показано при решении одной и той же задачи.