Математика финансов

Среди социальных наук экономика в большей степени использует математику.

Решение задач, возникающих при проведении финансовых операций иногда называют математикой финансов. В основе большинства финансовых операций лежит древняя, известная уже несколько тысячелетий идея: давать деньги в «рост» или «под процент». Этими операциями занимаются современные банки. Различные способы исчисления этого процента и определяют всё многообразие финансовой деятельности. В настоящее время конкуренция между банками нарастает. И результатом этой конкурентной борьбы часто является мнимое снижение процентных ставок по кредитам. Проценты принимают скрытую форму и меняют своё название. Например, с экрана телевизора вам обещают 11 процентов по кредиту, но когда вы начинаете его оформлять, выясняется, что нужно заплатить за оформление кредита, нужно ежемесячно платить за ведение ссудного счета, кредит можно будет получить только через банкомат, который возьмет с вас очередную плату за выдачу наличных денег. И иногда банки ухитряются придумать столько платежей и комиссий, что в результате фактический процент по кредиту может вырасти в 2 и более раза.

Целью нашей работы является анализ начисления суммы процента, при различных способах ее исчисления.

2. Простой и сложный проценты.

Все знают, как вычисляют проценты. По определению величина М составляет г процентов от другой величины N если

Значит r процентов от любой величины М определяется дробью

Например, если какая-нибудь величина М увеличивается на r процентов, результат такого увеличения будет

Аналогично при уменьшении величины М на r процентов

Представьте себе, что некоторая сумма денег Р, называемая начальным вкладом, помещается в банк. Спрашивается, какова будет сумма денег S, называемая будущей стоимостью вклада, через n лет, если годовая процентная ставка составляет r процентов. Ответ зависит от того, с каким процентом мы имеем дело - простым или сложным. В случае простого процента на начальный вклад ежегодно начисляется сумма, равная так что сумма вклада через n лет составит

Простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых операциях. Если же при расчетах используются сложные проценты, т. е. «процент от процента», то после первого года будущая стоимость составит

На второй год проценты будут исчисляться уже от этой суммы и величина вклада составит

Значит через n лет стоимость вклада достигнет величины

Это и есть основная формула для вычисления сложных процентов. Расчеты по этой формуле становятся простыми, если имеется калькулятор с клавишей , позволяющий вычислить значение показательной функции.

3. Начисление сложного процента и вычисление накопленной и первоначальной суммы вклада (кредита)

Формула для вычисления сложных процентов связывает четыре переменные величины: начальную стоимость Р, накопленную стоимость S, процентную ставку r и срок n, выраженный в годах. Если известны любые три из них, можно легко найти четвертую.

Пусть вклад Р помещен в банк под r процентов годовых. Спрашивается, сколько лет он должен пролежать, чтобы достигнуть заданной величины S. Эта задача соответствует случаю, когда по известным Р, Sи r требуется найти n. Для нахождения решения прологарифмируем обе части основной формулы и воспользуемся свойствами логарифмов. В результате получим что и дает решение задачи. Пользоваться полученной формулой так же легко, как и основной формулой: достаточно иметь калькулятор, позволяющий вычислять значения логарифмической функции, т. е. имеющий клавишу

Следует отметить, что для определенности использовались десятичные логарифмы. Однако численный результат не изменяется, если пользоваться логарифмами по другому основанию, например, натуральными. В этом случае

Перейдем к определению необходимой процентной ставки г по заданным величинам вкладов Р, S и сроку п. Для этого разделим обе части основной формулы на Р:

Далее возведем обе части в степень 1/n:

Отсюда легко находится процентная ставка r:

Наконец, рассмотрим последнюю возможность: определение Р по заданным S, r u n. Эта задача соответственно случаю, когда необходимо найти начальный вклад Р, если известно, что через n лет он должен составить сумму S. При этом операция нахождения Р называется дисконтированием.

Из основной формулы находим

4. Начисление сложного процента ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и т. д.

До сих пор предполагалось, что проценты начисляются ежегодно. Однако они могут относиться к кварталу, месяцу и более коротким промежуткам времени (особенно в условиях инфляции и гиперинфляции). Выясним, что означает фраза «процентная ставка составляет 12% годовых ежеквартально». Это отнюдь не значит, что к первоначальной сумме каждый квартал прибавляется 12%. По общепринятой терминологии это означает, что ежеквартально начисляется лишь четвертая часть годовой ставки в 12%, т. е.

и подразумевается, кроме того, что процент сложный.

Подсчитаем, на сколько процентов увеличится через год первоначальный вклад, равный единице, если процентная ставка составляет 12% годовых ежеквартально.

Для этого можно воспользоваться основной формулой, положив п равным четырем (число кварталов в году), а r- равным трем:

Таким образом, отбрасывая единицу и умножая на 100, получаем 12,55%. Он больше «обычных» 12% годовых, однако не в 4 раза, как можно было ожидать.

Предположим теперь, что процентная ставка составляет 12% годовых ежемесячно. Аналогично предыдущему это значит, что каждый месяц начисляются сложные проценты в размере

Снова можно воспользоваться основной формулой, что дает

Рост составляет 12,68% - процент увеличения вклада за год.

Далее можно вычислить еженедельные, ежедневные и ежечасные начисления

(последнее вряд ли может встретиться в практике). Тогда для различных периодов начислений общий годовой рост вклада и соответствующий процент составят:

При вычислениях было принято: а) в году 52 недели, 365 дней и 8760 часов, б) процентная годовая ставка во всех случаях равна 12%.

5. Что выгодней простой процент по вкладам или сложный.

Многообразие форм кредитования и инвестирования обусловливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Когда банки принимают средства клиентов во вклады, они могут использовать простой или сложный процент. Своими словами можно сказать, что простой процент, это тот, который начисляется только на сумму внесенного вклада. Процент начисляется за каждый день, но выплачивается один раз по окончании срока вклада. Если используется форма сложного процента, то за время хранения вклада в банке проценты выплачиваются несколько раз. Например проценты начисляются ежемесячно в последний день месяца. Они присоединяются к сумме вклада и следующий месяц проценты начисляются на общую увеличенную сумму вклада. Таким образом, если вы размещаете свои средства на одинаковый срок и под одинаковый процент, с той только разницей, что в одном случае процент будет простой, а в другом случае сложный, то по вкладу со сложным процентом вы получите доход больший. Если же условия вклада разные, то следует воспользоваться математикой и применить формулу эффективной годовой процентной ставки.

. Допустим : вам встречается два рекламных объявления; один банк предлагает 15,5% ежеквартально, а другой - 15,2% ежемесячно. Что лучше? Для того чтобы ответить на этот и подобные вопросы, введем дополнительное понятие - эффективная процентная ставка.

Если на основной вклад Р в течение года т раз начисляются сложные проценты, то при годовой процентной ставке г ожидаемый вклад S через год составит

Эффективная годовая процентная ставка определяется из условия т. е. это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что и сложные проценты с начислением т раз в году.

Приравнивая правые части уравнений, окончательно находим

В отличие от эффективной ставки первоначальная ставка r с m-кратным начислением называется номинальной. Теперь мы готовы ответить на вопрос, какое предложение выгоднее: 15,5% ежеквартально или 15,2% ежемесячно.

В первом случае r =15,5; m=4.

Отсюда, используя формулу, находим

Во втором случае r=15,2; m=12.

По той же формуле

Таким образом, 15,5% ежеквартально дает больший доход, чем 15,2% ежемесячно.

6. Геометрическая прогрессия и сумма одинаковых платежей, в течение n лет.

Все задачи, разобранные нами до сих пор, сводились к единовременному помещению капитала (взятию кредита) и расчету процентов. Однако на практике встречаются и многоразовые операции.

Предположим, что через равные промежутки времени осуществляются одинаковые платежи. Такая финансовая операция обычно называется аннуитетом. Окончательная сумма складывается из всех платежей плюс сложные проценты, начисленные на эти платежи. Поясним сказанное простым примером. Пусть ежегодно в течение 6 лет делаются взносы в размере 100. Какова будет общая сумма, если процентная ставка составляет 7% годовых? Изобразим поступление платежей в виде временной диаграммы общая сумма

Далее, 6-й по порядку платеж вообще не приносит процентов; 5-й платеж дает

4-й по основной формуле сложных процентов -

Аналогично получаются проценты, «набегающие» от каждого платежа. Очевидно, что чем раньше сделан платеж, тем больший вклад в общую сумму накоплений он дает, как и показано на рис. 1. если обозначить окончательную сумму через 5, можно записать

Конечно, для того чтобы вычислить эту сумму, можно подсчитать каждое слагаемое и сложить их. Это утомительно, но выполнимо. Представим, однако, что платежи делаются ежемесячно в течение нескольких десятков лет (именно так образуются пенсионные фонды). В этом случае число слагаемых заранее неизвестно. Часто требуется определить, сколько платежей необходимо сделать, чтобы сумма S достигла заданной величины. На помощь приходит математика, предлагая простые способы решения подобных задач. Это геометрическая прогрессия, а именно, формула для суммы n членов геометрической прогрессии.

Вернемся к примеру аннуитета с ежегодными платежами. В этом примере подставляя эти значения в формулу для суммы геометрической прогрессии, сразу получаем

Полезно получить формулу для вычисления суммы платежей аннуитета в общем виде. Если обозначить периодические платежи через R, число платежей –n,а процентную ставку - r, то

Полученная формула может применяться и при решении задач, когда по известным S,r,n требуется определить периодические платежи R. Обычно такого рода задачи возникают при определении амортизационных отчислений.

Например, руководство фирмы считает, что через пять лет для замены части оборудования потребуется сумма 10000. спрашивается, каковы должны быть ежемесячные платежи, если процентная ставка составляет 6% годовых ежемесячно. В данном случае

Приведенную выше формулу удобно представить в виде

Подставляя численные значения, получаем

Это и есть величина ежемесячных платежей.

Рассмотрим еще одну задачу, связанную с регулярными платежами. Начнем с простого примера. Спрашивается, какую сумму необходимо ввести в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность в течение последующих 6 лет ежегодно получать по 100(как всегда денежные единицы опускаются и предполагается, что после последней выплаты на счете ничего не остается). Решение данной задачи очевидно, чтобы через п лет получить сумму, равную R при ставке г процентов годовых, нужно вложить сейчас сумму

В нашем примере таким образом, для обеспечения шести ежегодных выплат по 100, нам придется сделать общий взнос в размере где Рп - часть взноса, обеспечивающая n-ю выплату. Наглядно решение задачи можно изобразить временной диаграммой (рис. 2)

Сумма чисел, стоящих в левой колонке на рис. 2, дает искомый вклад. Легко, однако, заметить, что последовательность этих чисел образует геометрическую прогрессию. Это дает возможность получить результат в общем виде, а потом применить общую формулу к нашему примеру. Если обозначить: выплаты- R, процентную ставу -г (относится к тому промежутку времени, через который производятся выплаты), число выплат - п ,то величина искомого вклада Р равна:

Подставляя в формулу для суммы членов геометрической прогрессии получим

Подставляя численные значения из нашего примера и воспользовавшись калькулятором, имеем величину искомого вклада

Как и следовало ожидать, эта величина меньше суммы всех выплат, равной 600. объяснение простое: на вклад «набежали» проценты.

7. Расчет платежей погашения по заданной величине кредита.

Приведенная выше формула имеет еще одно полезное применение: расчет платежей погашения по заданной величине кредита. Самый простой пример — взятие ссуды в банке для покупки какой — либо вещи с последующим погашением долга периодическими равными платежами. Положим, вы берете в банке 5000 у. е. для приобретения автомобиля. У банка должен быть свой «интерес», поэтому его условия таковы: срок погашения кредита 3 года, процентная ставка — 12% годовых ежемесячно. Напомним, что фраза «12% годовых ежемесячно» означает сложные ежемесячные проценты в размере

Спрашивается, каковы должны быть ваши ежемесячные платежи, если по условию они одинаковы по величине. Для решения этих и подобных задач удобно формулу представить в виде:

Здесь Р - величина кредита, г - процентная ставка, R- искомый размер платежа, а n-общее число платежей.

Применим полученную формулу для решения нашей задачи. Подставляя численные значения с помощью калькулятора легко находим размер платежа

Следует заметь, что общая сумма ваших платежей составит т. е. превышает (и существенно) стоимость автомобиль, равную 5000. Это превышение и есть «интерес» банка.

Виды процентных платежей при уплате кредитов.

Наиболее распространенными платежами по кредитам являются аннуитетные платежи и гашение кредита равными долями. Аннуитетными платежами называются платежи банку одинаковыми суммами. Они применяется при выдаче кредитов на длительный срок (например, ипотека). То есть, заемщик платит каждый месяц одну и ту же сумму. Приведем пример: Кредит 850000 рублей взят на 30 лет под 11 процентов годовых. Ежемесячный аннуитетный платеж 10000,00 рублей. За первый месяц начислено процентов 7684,00 (850000* 11 % /365*30). За второй месяц начислено процентов7664,00 (847684* 11%/365*30) График гашения кредита выглядит следующим образом: гашение кредитауплата процентов платеж всего

2316,007684,0010000,00

2336,00 7664,00 10000,00

И так далее: в первую очередь уплачиваются проценты банку, которые составляют большую сумму платежа, а оставшаяся сумма направляется на гашение кредита. Постепенно сумма процентов будет уменьшатся, так как уменьшается размер кредита и к концу 30-летпего периода график гашения будет выглядеть так: гашение кредитауплата процентовплатеж всего

9827,00172,0010000,00

9910,0090,0010000,00

Если кредит берется в небольшой сумме, то применяется способ гашения КРЕДИТА равными долями. При таком способе сумма ежемесячной выплаты будет всегда разная, и она будет постепенно уменьшаться. График гашения кредита будет выглядеть следующим образом: Например, кредит в сумме 6640,00 под 11% годовых на 4 месяца.

Гашение кредитауплата процентов

1660,0060,00

1660,0045,00

1660,0030,00

1660,0015,00

При выборе схемы кредитования рекомендуется сначала просчитать свои возможности, чтобы платежи по кредиту не привели вас к проблемам. Затем необходимо подробно узнать условия в нескольких банках, особенно если вы берете большой кредит на длительный срок. Это связано с тем, что при одинаковой процентной ставке банки используют различные схемы дополнительных платежей (комиссий).

Например, комиссия за оформление кредита обычно составляет 2-3 процента, комиссия за ведение ссудного счета 0,5-1,0 процента. Обязательным условием выдачи кредита может быть страхование жизни заемщика или имущества, которое берется в залог, что так же значительно увеличит ваши расходы на получение кредита. И здесь простая математика поможет выбрать наиболее оптимальный вариант. Не забудьте уточнить условия досрочного погашения кредита, так как договор может предусматривать уплату всех процентов согласно плану-графику, независимо от того когда вы погасите кредит. Т. е. , даже если вы погасите кредит через неделю, то проценты придется заплатить такие, будто вы пользовались кредитом все предусмотренное договором время. Если же договором предусмотрена возможность досрочного гашения кредита, то специалисты рекомендуют оформлять кредиты на более длительные сроки, да же если в момент оформления кредита вы видите, что сможете расплатиться гораздо быстрее. Но часто бывают случаи, когда финансовая ситуация заемщика ухудшается (потеря работы, болезнь и т. п. ). В этом случае банк может через суд предъявить претензии к поручителям, реализовать заложенное имущество, в том числе и купленную по ипотеке квартиру. Так что лучше не рисковать и оставить запас прочности.

8. Заключение

В заключение можно сказать, что кредит может быть как «плохим», так и «хорошим» в зависимости от того приносит он деньги в наш карман или забирает деньги из нашего кармана. И это зависит не столько от банка, сколько от нас, от того как мы дружим с математикой. Например, вы купили автомобиль, который стоит в магазине 200000,00, заплатили за него с учетом процентов банку 222000,00, а через год смогли продать его только за 180000,00. Чистый убыток 42000,00. (222000,00-180000,00) Или тот же автомобиль купил водитель такси, заработал на нем за год 120000,00 и через год продал его за 150000,00. Чистая прибыль составит 48000,00. (120000+150000-222000). Или еще пример: если вы уверены, что квартира, которую вы покупаете, будет дорожать на 20 процентов в год, а все затраты по ипотечному кредиту не превысят 18 процентов в год, то такой кредит - прямая выгода. Главное, не полениться, призвать на помощь математику и все заранее просчитать.