Делимость чисел

Из всех действий арифметики самое своенравное – это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, особым «нравом».

«Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю. Математическая теория уделяет много внимания свойствам целых чисел и законам, управляющим действиями над ними. Так вот, если ограничиться множеством одних только целых (положительных и отрицательных) чисел, то опять – таки «капризничает» только одно действие: деление. Оно не всегда выполнимо в области целых чисел. Принято считать так, что целое число a делится на целое число b, если среди целых же чисел найдется такое число c, произведение которого на d дает точно число a; если же такого числа нет, то a не делится на b.

Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное (НОК), признаки делимости чисел, а постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел.

Признаки делимости чисел.

Упрощение признака делимости на 8

В школе обычно сообщают такой признак делимости на 8:

Если число, которое составляют последние три цифры данного числа, делится на 8, то и все данное число делится на 8.

Значит, вопрос сводится к делимости на 8 некоторого трехзначного числа.

Но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трехзначное число на 8. Делимость трехзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.

Признак делимости на 4 проще. Здесь требуется, чтобы делилось на 4 число, состоящее только из двух последних цифр испытуемого числа.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8? Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трехзначного числа на 8.

На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.

Старое и новое о делимости на 7.

Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его песни и поговорки:

Семь раз примерь, один раз отрежь.

Семь бед, один ответ.

Семь пятниц на неделе.

Один с сошкой, а семеро с ложкой.

У семи нянек дитя без глазу.

Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) вы уже знаете. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.

Первый признак делимости на 7. Возьмем для испытания число 5236. Запишем это число следующим образом: - 103*5+102*2+10*3+6 (так называемая «систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3*): 33*5 + З2 *2 + 3*3 + 6 = 168.

Если получившееся число делится ( не делится )на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.

Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7.

Второй признак делимости на 7. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3, а на 5.

Третий признак делимости на 7. Этот признак менее легок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.

Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д. , чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.

Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13

В таблице простых чисел, то есть таких, которые делятся только на 1 и на себя, числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно 7*11*13=1001 = 1000+1. Заместим пока, что 1000+1 делится на 7, и на 11 и на 13. , Далее, если любое трехзначное число умножить на 1001, но произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза. Пусть abc — какое-либо трехзначное число (a, b и с-—цифры этого числа). Умножим его на 1001. В результате получим число abc abc.

Следовательно, все числа вида abcabc делятся на 7, на 11 и на 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число 999999, или, иначе, 1000000 — 1.

Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7, или 11 или на 13 к делимости на них некоторого другого числа — не более чем трехзначного. Требуется, положим, определить, делится ли число 42623 295 на 7, 11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может не иметь трех цифр. Представим теперь данное число в таком виде:

42 623 295 = 295+ 623*1000+ 42*1000 000, или (аналогично тому, как это мы делали при рассмотрении признака делимости на 11):

42 623 295= 295 + 623(1000+1 — 1) + 42(1 000000 — 1 + 1) = (295 —623 + 42) + [623(1000+1) + 42(1 000 000 — 1)].

Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа на 7, 11 и 13 полностью определяется делимостью числа, заключенного в первой круглой скобке.

Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно высказать следующий объединенный признак делимости сразу на три числа 7,

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7, или на 11 или на 13, то и данное число делится соответственно на 7, или на11, или на 13.

Вернемся к числу 42 623 295. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа: (295+42) — 623 = — 286. Число —286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.

Решение задач с использованием признаков делимости.

Число на гробнице

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число2520. Трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньше чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка.

Решение:

Наименьшим общим кратным нескольких чисел (НОК) является произведение всех простых множителей одного числа и недостающих множителей остальных чисел. Для чисел первого десятка (НОК) составляется, очевидно, из следующих множителей: 2*3*2*5*7*2*3, что и дает число 2520. Любопытно отметить, что (НОК) чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 совпадает с (НОК) второй половины этого десятка чисел, то есть с (НОК) чисел 6,7,8,9 и 10. Это является примером, иллюстрирующим общее положение о том, что (НОК) любого четного числа чисел натурального ряда от 1 до 2n совпадает с (НОК) второй их половины: n+1, n+2,2n

Подарки к Новому году

Комитет профессионального союза нашей организации решил устроить новогоднюю елку для детей. Приготовляя подарки, мы быстро разложили по пакетикам конфеты и печенье. Но когда дело дошло до мандаринов, мы натолкнулись на забавное затруднение: сначала захотели разложить все мандарины по 10 штук в пакет ( а в оставшиеся пакеты - яблоки), - не получилось: на один из пакетов осталось 9 мандаринов; если бы положили по 9 мандаринов, осталось бы 8 мандаринов на один из пакетов; попробовали раскладывать по 8 мандаринов, осталось 7; стали раскладывать по 7, осталось 6; положили по 6, осталось 5.

- Что за история? Неужели и дальше так будет продолжаться? Взяли бумагу, карандаш и начали рассчитывать. И что бы вы думали: делим число имеющихся у нас мандаринов на 5, остается 4; делим на 4, остается 3; делим на 3, остается 2; делим на 2, остается 1. Вот какое удивительное число мандаринов мы имели. А сколько же все-таки?

Решение:

Во всех случаях раскладывания мандаринов по пакетам не хватает только одного мандарина. Следовательно, если бы мы имели одним мандарином больше, то их число делилось бы на 10, на 9, на 8, на 7, на 6, на 5, на 4, на 3,и на 2. То таким числом, как вы знаете из решения предыдущей задачи, является 2520 или кратное ему. Значит, мы имели самое меньшее 2519 штук мандаринов.

Может ли быть такое число?

Может ли быть такое число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при делении на 4 дает остатке 2, при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4?

Решение:

Таких чисел бесчисленное множество. Наименьшее из них 58. В самом деле, разность между делителем и остатком во всех случаях равна 2. Следовательно, если к искомому числу добавить 2, то оно разделится без остатка на любой из указанных в задаче делителей. Наименьшее кратное чисел 3,4,5,6 есть 60. Вычитая 2, получаем 58.

Корзина яиц

(из старинного французского задачника)

Женщина несла на рынок корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала, яйца разбились. Виновник несчастья, желая возместить потерю, спросил:

-Сколько всего яиц было в корзине?

-Точно не помню, -ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по, 3,по 4, по 5 или по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо. А когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось.

Сколько яиц было в корзине?

Решение:

Наименьшее кратное чисел 2,3,4. 5 и 6 равно 60. Надо найти кратное 7, на 1 большее кратного 60. Заметим, что

60 n+1= 7*8n+4n+1.

Число 60n+1 делится на 7, если 4n+1 делится на 7.

Наименьшее из подходящих значений n– число 5

Значит, в корзине могло быть 301 яйцо. При следующем подходящем значении n=12 получается 721 яйцо. Но этот случай (и все последующие) исключается: такую тяжесть женщина не могла нести.

Трехзначное число

Если от задуманного мной трехзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять от него 9, то оно разделится на 9. Какое число я задумал?

Решение:

Очевидно, что задуманное число кратно 7,8 и 9. Значит, оно равно 7*8*9=504.

Других множителей у него нет, так как при наличии самого меньшего из них, то есть еще одной двойки, искомое число стало бы уже четырехзначным.

Четыре теплохода

В порту пришвартовались 4 теплохода. В полдень 2 января 1953 года они одновременно покинули порт.

Известно, что первый теплоход возвращается в этот порт через каждые 4 недели, второй – через каждые 8 недель, третий - через 12 недель, а четвертый – через 16 недель.

Когда в первый раз теплоходы снова сойдутся все вместе в этом порту?

Решение:

(НОК) чисел 4,8,12 и 16 есть 48. следовательно, теплоходы сойдутся через 48 недель, то есть 4 декабря 1953 года.

Ошибка кассира

Обращая к кассиру магазина, покупатель сказал:

-Получите, пожалуйста, с меня за 2 пачки соли по 90 копеек; за 2 куска мыла по 2р. 70 коп. , за 3 пачки сахара и за 6 коробок спичек, но стоимость пачки сахара и спичек я не помню.

Кассир выдал покупателю чек на 29р. 17 коп. Взглянув на чек, покупатель вернул его кассиру и сказал:

- Вы, несомненно, ошиблись в подсчете общей суммы.

Кассир проверил и согласился. Пришлось извиниться и выдать покупателю другой чек.

Каким образом покупатель обнаружил ошибку?

Решение:

Цена на соль и мыло кратно числу 3. количество пачек сахару и коробок спичек тоже кратно трем. Поэтому сумма стоимости всех покупок должна быть кратна числу 3. этой кратности не было в сумме, обозначенной на чеке (сумма цифр 2+9+1+7=19 не делится на 3). Значит, в подсчете имеется ошибка.