Треугольник – младший из многоугольников

Простейший из многоугольников – треугольник –играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры подробно изучили треугольник, но он по-прежнему притягивает пытливые умы юных математиков.

В работе представлен анализ свойств треугольника и его элементов, рассмотрены виды треугольников. «Три кита» Евклидовой геометрии – признаки равенства треугольников, применение свойств треугольника в деятельности человека.

Треугольник – это простейшая фигура: три стороны и три вершины.

Математики его называют двумерным симплексом. «Симплекс» - по латыни означает простейший. Трёхмерным симплексом называют треугольную пирамиду. Именно силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звёзд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия – наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади, сложить результаты. Верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу. В одном египетском папирусе 4000-х летней давности говорится, что площадь равнобедренного треугольника равна произведению половину основания на боковую сторону (а не на высоту).

S=1/2ah. аС

Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведётся очень активно. Пифагор открывает свою теорему. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = a² + b²

Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны.

S =( p (p-a)(p-b)(p-c) p=(a+b+c)/2 – полупериметр.

Становится известным, что биссектрисы, как медианы и высоты, пересекаются в одной точке. Центральное место в геометрии треугольника занимают замечательные точки:

1) Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекается в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности. 3 серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности.

Медианы треугольника не пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2/1, считая от вершины.

2) Три высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в 15 – 17 вв. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонардо Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Эта окружность получила название окружности девяти точек.

Её центр оказался в середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с центром описанной окружности.

Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой. Ему приписывают такую красивую теорему: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего». Этот треугольник называется внешним треугольником Наполеона. Аналогично строится и внутренний треугольник Наполеона. Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведённое в 15-19 вв. создало впечатление, что о треугольнике уже известно всё. Тем удивительнее было открытие, сделанное американским математиком Ф. Морли. Он доказал, что, если в треугольнике провести через вершины лучи, делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника.

Инженеры любят треугольник за его «жёсткость»: даже, если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличие от четырёхугольников и многоугольников с большим числом сторон, где такое соединение допускается изменение формы многоугольника. Если взглянуть на металлические формы мостов, то составляющие их балки образуют треугольники, а также треугольники образуют столб с подпоркой и полка с кронштейном. Но устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит единственная плоскость.

Человека в жизни окружает огромное количество предметов, созданных природой и самим человеком. Многие из них имеют треугольную форму.

Телефон Ель

Мухомор

Многоугольник – это фигура, у которой смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Точки А, В, С, Д, Е, F – вершины, а отрезки АВ, ВС, СD, DЕ, ЕF, FA – стороны многоугольника.

А ВВнешняя область

Внутренняя область

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называется соседними.

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника. FB, FC, FD – диагонали. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая внешней областью многоугольника.

Многоугольники бывают выпуклыми и не выпуклыми. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Выпуклый невыпуклый

Простейший из многоугольников – треугольник играет в геометрии особую роль. Вся геометрия со времен Евклида покоится на « 3х китах» - трех признаках равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник – это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой и отрезками, их соединяющими. Отмеченные точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Три угла - ∟ВАС, ∟СВА и ∟АСВ – называются внутренними углами треугольника АВС. Часто их обозначают одной буквой: А, В, С. Углы связаны теоремой: Сумма внутренних углов треугольника 180º.

Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром. Стороны связаны свойством: Любая из сторон треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, или в том случае, если их соответственные элементы равны.

∟ А= ∟А

∟ В= ∟В

Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Свойство равных треугольников:

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Треугольники могут различаться по сторонам и углам.

По сторонам:

Равнобедренный равносторонний разносторонний

По углам:

Прямоугольный тупоугольный остроугольный

Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники могут быть равнобедренными.

Равнобедренные треугольники имеют особые свойства:

1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник является равнобедренным, в качестве основания может быть любая сторона, поэтому у него все одинаковые углы – по 60º.

Равносторонний треугольник может быть остроугольным. Все замечательные точки в нем совпадают.

Особый интерес представляет прямоугольные треугольники.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый из острых углов

45º. Высоты треугольника пересекаются в вершине прямого угла. Медианы пересекаются в середине гипотенузы. Эта точка является и точкой пересечения середин перпендикуляров к сторонам, а также центром описанной окружности.

Ты на меня, ты на него, на всех нас посмотри,

У нас всего, у нас всего, у нас всего по три.

Три стороны и три угла, и столько же вершин.

И трижды трудные дела мы вместе совершим.

Мы – треугольников семья, дружнее не сыскать,

Мы – треугольников семья, нас каждый должен знать.