Теорема о сумме углов описанных четырехугольников

Из всевозможных случаев взаимного расположения окружностей и многоугольников выделяют те случаи, когда окружность проходит через все вершины многоугольника или касается всех его сторон. В первом случае говорят, что окружность вписана около многоугольника, а во втором - что она вписана в него. Такое взаимное расположение многоугольников и окружностей находит разнообразные применения. Это и будет рассмотрено в данной работе.

Не в каждый многоугольник можно вписать окружность или описать её вокруг него. Нет таких окружностей у невыпуклого четырёхугольника (и вообще у невыпуклого многоугольника). Но ясно, что у квадрата такие окружности есть . Поэтому, прежде всего, выясним, в каком случае около многоугольника можно описать и когда в многоугольник можно вписать окружность.

Говорят, что многоугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на ней. Тогда об этой окружности говорят, что она описана около многоугольника.

Ясно, что около многоугольника можно описать окружность, если найдётся точка, равноудалённая от всех его вершин. Эта точка лежит на серединном перпендикуляре каждой стороны многоугольника. Следовательно, около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон имеют общую точку. Около каждого треугольника можно описать окружность. Но не около каждого, даже выпуклого четырёхугольника можно описать окружность. Например, для параллелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

В этом случае углы многоугольника обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА

О СУММЕ УГЛОВ ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.

В любом описанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180.

Это свойство легко установить, воспользовавшись теоремой о вписанном угле.

В самом деле, А = 1/2 ВСD, С =1/2 ВАD, откуда следует

А + С =1/2 (ВСD + BАD) = ½ 360 = 180.

Оказывается, верно и обратное:

Если сумма противоположных углов равна 180, то около него можно описать окружность.

Говорят, что многоугольник описан около окружности, если его стороны касаются данной окружности. Тогда об этой окружности говорят, что она вписана в данный многоугольник.

Итак, окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. В каждый треугольник можно вписать окружность. Но не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Например, для параллелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллелограмм является квадратом.

ТЕОРЕМА о сумме сторон описанного четырехугольника.

Так как расстояние от центра окружности, вписанной в многоугольник, до его сторон равно радиусу окружности, то её центр равноудалён от всех его сторон. Значит, в многоугольник можно вписать окружность, если найдётся точка, равноудалённая от всех его сторон. Она и будет центром вписанной окружности. Эта точка лежит на биссектрисе каждого угла многоугольника.

Следовательно, в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех углов многоугольника имеют общую точку. Эта точка и будет центром вписанной окружности. В этом случае стороны многоугольника обладают следующим замечательным свойством: в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Это свойство легко восстановить.

В самом деле, АВ + СD = а + в + с + d, ВС + АD = а + в + с + d. поэтому,

АВ + СЕ = ВС + АD.

Оказывается, верно и обратное неравенство:

Если суммы противоположных сторон выпуклого многоугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Вычисляя длины кривых линий, можно брать любые вписанные в них ломаные, лишь бы вершины этих ломаных располагались на кривой линии достаточно часто. Для окружности таким свойством обладают границы правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, когда число их сторон неограниченно увеличивается . Поэтому, измеряя окружности, рассматривают вписанные в неё правильные многоугольники и вычисляют их периметры. Чем больше сторон, тем периметр такого многоугольника меньше отличается от длины окружности.

В результате измерений, проводившихся с древнейших времён, было установлено, что длина окружности пропорциональна её радиусу. Это выражает формула длины окружности.

ТЕОРЕМА о длине окружности.

Длина окружности пропорциональна её радиусу, т. е. отношение длины окружности к её радиусу не зависит от окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть А1 и А2 – две окружности с радиусами R1 и R2 , а В1 и В2 –вписанные в них правильные многоугольники.

Обозначим через Р1 и Р2 периметры правильных многоугольников. Их периметры относятся как радиусы описанных окружностей. Поэтому:

P1:P2=R1:R2

Если неограниченно увеличивать число сторон многоугольников В1 и В2, то их периметры будут сколь угодно мало отличаться от длин окружностей А1 и А2. Тогда отношение длин окружностей будет сколь угодно мало отличаться от отношения периметров многоугольников. Также отношение длин окружностей будет сколь угодно мало отличаться от отношения радиусов. Значит L1:L2=R!:R2

C B C1B1

Для произвольной фигуры площадь определяется следующим образом.

Если фигура простая, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольников, то её площадь равна сумме площадей этих треугольников.

Данная фигура имеет площадь, если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от длины окружности. Применим это определение к нахождению площади круга. Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние которых от данной точки не больше данного радиуса.

ТЕОРЕМА о площади круга.

Площадь круга равна половине произведения длины, ограничивающей его окружности на радиус.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Построим два правильных многоугольника: Р1 – вписанный в круг и Р2 – описанный вокруг круга . Многоугольники Р1 и Р2 являются простыми фигурами.

Многоугольник Р2 содержит круг, а многоугольник Р1 содержится в круге.

Радиусы, проведённые в вершины многоугольника Р1, разбивают его на несколько треугольников, равных треугольнику АОВ. Поэтому S(Р1)= n S (АОВ).

Так как S (АОВ) = АС ОС = АС АО cos a

S (P1)=(n AC) AO cos a=pR cos a/2

Где р – периметр многоугольника Р1, R - радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника Р2:

S(P2)=n S(BOF)

S(BOF)=AB AO=AC AO/cos a

S(P2)=(b AC)AO/cos a=pR/2cos a

Итак, многоугольник Р1, содержащийся в круге, имеет площадь

S(P1)=pR cos a /2 а многоугольник Р2, содержащийся в круге, имеет площадь

S(P2)=pR/2 cos a

Согласно определению это значит, что площадь круга

S=LR/2= , что и требовалось доказать.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180. Описанная (вписанная) окружность для данного четырёхугольника существует тогда только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

ТЕОРЕМА о диагоналях вписанного четырехугольника.

Произведение диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим вписанный четырёхугольник АВСD. Для удобства введём обозначения: АВ = а, ВС = в, СD = с, DА = d, АС = k, ВD = р . Докажем, что рk = ас + вd.

На диагонали АС возьмём такую точку М, что АМВ = DВС. Треугольники АВМ и DВС подобны по двум углам (АВМ = DВС по построению, а углы ВАМ и ВDС равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно,AB:BD=AM:CD (2)

Откуда АВ СD =АМ ВD, или ас = АМ n. Далее, треугольники МВС и АDВ также подобны, так как МВС = АВЕ, а углы ВСМ и ВDА равны как вписанные и опирающиеся на одну дугу. Поэтому

DC:MC=BD:AD

Откуда ВС АD = МС ВЕ, или ве = МС n

Сложив неравенства , получим: ас + вd = рk, что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырёхугольника является характеристическим, т. е. верно и обратное утверждение:

Если в четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рассмотрим два многоугольника А1А2Аn и В1В2Вn, стороны которых соответственно равны: А1А2 = В1В2, А2А3 = В2В, АnА1 = ВnВ1. Если n = 3 , то многоугольники равны; если же п 3, то многоугольники могут быть и неравными (например, квадрат и ромб). В частности, если первый многоугольник – вписанный, то второй может не быть вписанным. Оказывается, что в этом случае площадь первого многоугольника больше площади второго. Итак, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА о площади вписанного четырехугольника.

Площадь данного вписанного многоугольника при п 3 больше площади любого другого многоугольника с соответственно равными сторонами, но не являющимся вписанным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Отметим, прежде всего, что площадь выпуклого многоугольника всегда больше площади невыпуклого многоугольника с соответственно равными сторонами, поэтому при доказательстве теоремы достаточно ограничиться рассмотрением выпуклых многоугольников.

Рассмотрим многоугольник А1А2Ап, вписанный в окружность. Можно сказать, что круг составлен из многоугольника и п сегментов – фигур, ограниченных дугой и хордой. Деформируем теперь нашу фигуру так, чтобы все сегменты не изменили своей формы. Новая фигура ограниченна кривой линией, составленной из дуг сегментов, поэтому длина этой кривой такая же, как у исходной окружности, но сама кривая уже не является окружностью .

Следовательно, площадь новойC фигуры меньше, чем площадь исходной. С другой стороны, площади сегментов не изме- нились, так как не изменились сами сегменты. Следовательно, D площадь уменьшилась за счёт уменьшения площади многоуголь- ника, т. е. площадь вписанного B многоугольника больше площади любого другого многоугольника с соответственно равными сторонами.