Отдых  ->  Хобби  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Множество точек плоскости, задаваемое неравенством с одной- двумя переменными

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты встречаются в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н. э. ), а также в других источниках. За весь период истории геометрия обогатилась новыми направлениями. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Графики дают наглядное представление о характере зависимости между величинами, они часто применяются в разных областях науки и техники.

Понятия и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач. И дело не только в том, что решая задачи по алгебре, математическому анализу или другим областям математики, мы часто делаем геометрические чертежи или используем формулы и теоремы геометрии. Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы и теоремы геометрии. Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы с геометрическими фактами, мы часто можем «увидеть» геометрически решение задачи и найти пути рассуждений, предугадать которые, глядя «чисто алгебраически» на нагромождение формул, просто не представляется возможным. Вообще, характерной чертой современного развития математики является то, что геометрия все больше приобретает роль метода осмысления и организации математической информации буквально во всех областях математики и её приложений.

Свойство знакопостоянства лежит в основе метода областей, который можно не только использовать для изображения решений неравенств с двумя переменными, но и наглядно и эффективно применять при решении неравенств с параметром.

Значение исследовательской работы состоит в нахождении наиболее эффективных способов решения математических задач с целью дальнейшей профессиональной ориентации учащихся, расширение мировоззренческой среды.

Полуплоскость

1. Выясним, какое множество точек координатной плоскости задается неравенством у>x.

Если координаты точек связаны уравнением у=х, то на координатной плоскости мы получим биссектрису I и III координатных углов. Точки, у которых абсцисса равна некоторому числу а, а ордината больше а, расположены на вертикальной плоскости х=а выше точки её пересечения с биссектрисой у=х. Таким образом, неравенством у>х задается множество точек, расположенных выше прямой у=х . Это полуплоскость, ограниченная биссектрисой у=х, причем сама биссектриса полуплоскость не принадлежит.

Аналогично неравенством у<х задается множество точек, расположенных ниже прямой у=х .

2. На прямой положение точки определяется одной координатой, а на плоскости в прямоугольной системе координат положение точки определяется двумя её координатами - абсциссой и ординатой.

На координатной прямой неравенству х>3 соответствует открытый луч А на координатной плоскости это же условие задает уже полуплоскость, расположенную правее прямой х=3 .

Все точки этой полуплоскости имеют абсциссы, больше 3. Ни точки прямой х=3, ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают.

Если точки граничной прямой не включаются в рассматриваемое множество, то такая полуплоскость называется открытой.

Если точки граничной прямой входят в рассматриваемое множество, то такая полуплоскость называется замкнутой и на чертеже прямая изображается сплошной линией.

Примеры:

3. Двойное неравенство 1≤х ≤ 3 задает на координатной плоскости вертикальную полосу

, а двойное неравенство 2≤у ≤ 5- горизонтальную полосу

А если потребовать, чтобы выполнились оба этих условия одновременно, то на координатной плоскости получится пресечение этих множеств - прямоугольник

Точно так же условия х ≥ 0 и у ≥ 0 задают первую координатную четверть- все её точки имеют неотрицательные координаты

2. Графики наиболее часто встречающихся функций (уравнений).

1. , где - уголок с вершиной в точке . При лучи уголка направлены вверх, при - вниз.

2. , где - окружность с центром в точке и радиусом

3. , где - квадрат с вершинами в точках .

4. , где с>0- пара прямых, параллельных оси ОY .

5. │y-b│= c, где с>0- пара прямых, параллельных оси ОХ .

6. - парабола. Вершиной параболы является точка (х۪0; у0), где х۪0= , у0=y(х۪0). При а>0 ветви параболы направлены вверх (рис. 17), при а<0- вниз .

Глава II. Построение множества точек плоскости, аналитическим заданием которого является система неравенств.

2. 1 у≥х2

Рассмотрим функцию у=х2.

Составим таблицу её значений.

х -3 -2 -1 0 1 -2 -3

у 9 4 1 0 1 4 9

Построим параболу.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству у≥х2, будет занимать внутреннюю область. Точки параболы также являются решениями.

2. х2+у2<1.

Рассмотрим уравнение х2+у2= 1. Графиком данной функции будет окружность с центром в точке (0;0) и r =1.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству х2+у2<1, будет занимать внутреннюю область окружности, но точки самой окружности в решение не входят (рис. 20)

Неравенством у < x-1 задается множество точек, расположенных ниже прямой у = х-1, а неравенством у < -x+3 – множество точек, расположенных ниже прямой y = -x +3.

Системе неравенств удовлетворяют координаты точек, принадлежащих сразу двум указанным множествам. Оно показано штриховкой .

2. 4. Рассмотрим неравенство (х+у-3)(х-у-1) <0

Данное произведение меньше 0 тогда, когда один из множителей меньше 0, а другой больше 0.

Получилось множество внутренних точек двух вертикальных углов: COD и AOB.

Точки граничных прямых во множество решений не входят

2. 5. х

Это двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств.

Искомым геометрическим методом точек является та часть плоскости, которая лежит «ниже» прямой у = х+1 и «выше» прямой у = х. Причем сами прямые не принадлежат геометрическому месту точек .

2. 6. >1

Данное неравенство распадается на две системы.

Прямая у = 0 совпадает с осью ОХ. Построим прямую у = х.

Множество внутренних точек двух вертикальных углов (COD и AOB) является решением неравенства. Точки граничных прямых в решение не входят (рис. 24)

7. Построим множество точек плоскости, задаваемое тремя соотношениями

Построим прямые х + у = 0, х - у = 0, х - 2 = 0.

Множество точек, находящихся в открытой части плоскости хОу, ограниченной прямыми х +у = 0, х – у = 0, х – 2 = 0, является решением системы (эта часть заштрихована)

Двойное неравенство задает на координатной плоскости вертикальную полосу, а неравенство- внутреннюю область окружности с центром в точке (0;0) и r = 4.

Множество точек, находящихся в замкнутой части плоскости хОу, ограниченной прямыми x = -2, х = 3 и окружностью, является решением системы .

Первое неравенство (у + 2х + 3)(у - х) ≥ 0 распадается на 2 системы:

Построим прямые у + 2х + 3 = 0, у – х = 0 и окружность х2 + у2 = 9 с центром в точке (0;0) и r =3.

Множество точек, находящихся в замкнутой части плоскости хОу, ограниченной прямыми у=х, у+2х+3=0 и окружностью, является решением системы. Оно показано штриховкой

Графиком функции у =│х│-5 является уголок с вершиной в точке (0;-5). Графиком у = 4-2х2 является парабола. Вершина параболы в точке (0;4), т. к. а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Множество точек, находящихся в замкнутой части плоскости хОу, во внутренней части параболы, ограниченной прямыми у = - х - 5, является решением системы

Рассмотрим первое неравенство │х│+│у│≥4,

│у│≥ 4-│х│

Рассмотрим уравнение

│у│= 4-│х│

Построим прямые у = 4 - х, у = 4 + х, у = х - 4, у = -х - 4

Определим, какая часть плоскости удовлетворяет данному неравенству. Для этого рассмотрим произвольные точки А(3;3), В(1;1).

В (1;1) не принадлежит плоскости, удовлетворяющей данному неравенству.

Таким образом, множество точек плоскости, удовлетворяющих данному неравенству, лежит «вне» квадрата с координатами (4;0), (0;4), (-4;0), (0;-4), и граничные прямые входят в это множество.

Рассмотрим второе неравенство х2 + у2 < 16

Графиком функции х2+у2=16 является окружность с центром в точке (0;0) и r = 4.

Определим, какая часть плоскости удовлетворяет данному неравенству. Для этого рассмотрим произвольные точки А(3;3), В (1;1)

A (3;3) не принадлежит плоскости, удовлетворяющей данному неравенству

Таким образом, неравенство х2 + у2 < 16 задает круг с центром в точке (0;0) и r = 4, сама окружность не входит во множество точек.

В результате получается геометрическое место точек, показанное штриховкой

Неравенство │х│+│у│≤3 задает множество точек плоскости, лежащих внутри квадрата с вершинами в точках (0;3), (3;0), (0;-3), (-3;0).

Неравенства │х│≤2, │у│≤2 задают множество точек, лежащих внутри квадрата с вершинами (-2;2), (2;2), (2;-2), (-2;-2).

Искомым геометрическим местом точек является часть плоскости, закрашенная штриховкой (рис. 30)

Первое двойное неравенство можно разделить на 2 неравенства

Неравенство x2 + y2 ≤ 16 задает круг с центром в точке (0;0) и r = 4, а неравенство x2+y2≥9 задает внешнюю часть окружности с центром в точке (0;0) и r = 3.

Неравенство │у│≤2 задает множество точек плоскости, лежащих «ниже» прямой у = 2 и «выше» прямой у = -2. Искомым геометрическим местом точек является часть плоскости, закрашенная штриховкой .

Глава III. Неравенства с двумя переменными.

Свойство знакопостоянства. Метод областей.

Графическое решение неравенств

Неравенство с двумя переменными и можно записать в виде где— многочлены с указанными переменными. Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть и другого вида:

Решением неравенства (1) называется упорядоченная пара действительных чисел ,обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки координатной плоскости. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений.

Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью его решений.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одну и ту же область решений.

График уравнения где — многочлен, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения меняет знак на противоположный.

Действительно, если взять любую точку, лежащую выше графика, то ее ордината будет больше, чем ордината точки , имеющей такую же абсциссу, но лежащей на графике. То есть множество точек плоскости, расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства , то есть. Для точек, лежащих ниже графика, имеет место неравенство.

Аналогично можно сформулировать утверждение для графика уравнения где:— многочлен.

Пример 1. Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством.

Решение.

Графиком уравнения является парабола, которая разбивает координатную плоскость на две области. Данное неравенство представим в виде Отсюда следует, что искомое множество точек расположено выше параболы.

Можно взять пробную точку, например точку (1; 0), и найти значение многочлена Следовательно, точка (1; 0) не является решением заданного неравенства и, искомое множество — открытая область, не содержащая точку (1; 0).

Вместо многочлена можно рассмотреть элементарную функцию. Например, для выражений и на рисунках 3 и 4 соответственно представлены решения неравенства

В данных неравенствах переменную можно выразить в явном виде, то есть уединить эту переменную в одной из частей неравенства. А если переменная задана в неявном виде?

Области знакопостоянства линейного многочлена

Уравнение , где , задает прямую линию. Геометрической интерпретацией решения линейного неравенства с двумя переменными является следующая теорема.

Теорема 1. Прямая , где , разбивает координатную плоскость на две открытые полуплоскости так, что координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют неравенству , а другой — неравенству.

Доказательство. 1. Если , то при увеличении и постоянном значении величина увеличивается, а при уменьшении— уменьшается. Следовательно, выше прямой лежат точки, где , а ниже прямой — точки, где .

2. Для случая роли полуплоскостей меняются.

3. Пусть , тогда и уравнение исходной прямой примет вид: а)Если , то при увеличении значения величина увеличивается, а при уменьшении — уменьшается. Поэтому правее прямой лежат точки, координаты которых удовлетворяют неравенству, а левее этой прямой — точки, для которых .

б)При роли полуплоскостей меняются.

Исходя из теоремы 1, можно сформулировать свойство чередования знака для линейного многочлена , где.

При переходе через точку прямой из одной полуплоскости в другую знак значения многочлена F(x; у) меняется на противоположный.

Пример 2. Изобразить на координатной плоскости область решений неравенства

Решение. Изобразим прямую прерывистой линией и определим знак выражения = в одной из полученных открытых полуплоскостей с помощью пробной точки (0; 0): F(0; 0) = -12, -12<0. Согласно теореме 1 искомое множество — открытая полуплоскость, не содержащая точку (0; 0).

Пример 3. Выделить на координатной плоскости множество точек, которое задает система неравенств

Решение. На плоскости строим прямую прерывистой линией и прямую сплошной линией.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы, изображено горизонтальной штриховкой. Решением второго неравенства является область, изображенная на рисунке вертикальной штриховкой (пробная точка (0; 0)). Общая часть полученных множеств решений отмечена двойной штриховкой, включая точки, принадлежащие сплошной линии, и исключая точки на прерывистой линии.

Если прямые и пересекаются, то каждая из систем неравенств задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы.

Совокупностьсоответствующая системе неравенств задает оставшуюся часть, исключая границы (координатную плоскость с «вырезанным» углом). Аналогичные утверждения верны и для других пар систем и совокупностей неравенств. Другими словами, в алгебре указанные совокупность и система неравенств являются логическими отрицаниями друг друга, а в геометрии (на координатной плоскости) соответствующие им множества точек являются дополнениями друг друга до всей плоскости.

Пример 4. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств или

Решения первой системы неравенств показаны на рисунке 11 вертикальной штриховкой, а второй — горизонтальной штриховкой.

Пример 5. Найти все пары целых чисел , удовлетворяющие уравнению

Решение. Множество допустимых пар чисел определяется системой неравенств

Из допустимых пар целых чисел (1;-1), (2; 1), (3; 0), (2; 0) (рис. 12) исходному уравнению удовлетворяет одна пара (2; 0).

Метод областей и его обобщения

Рассмотрим выражение , (2) где , причем прямые и попарно различны.

Выражению (2) соответствует разбиение плоскости на области прямыми линиями. Точки пересечения прямых называются особыми точками границы области, другие точки — обыкновенными. Метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения (2):

При переходе через обыкновенную точку прямой (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (2) меняется на противоположный.

Действительно, при переходе через прямую линию в выражении (2) меняет знак только один множитель.

Пример 6. Решить графически неравенство

Решение.

На координатной плоскости строим сплошными линиями график уравнения , состоящий из трех прямых.

Многочлену соответствует разбиение плоскости на семь областей. Возьмем пробную точку (3; 0) и определим знак значения выражения

F(x; у) в этой точке: F(3; 0) = 30, 30 > 0. Ставим знак плюс в области, содержащей точку (3; 0). Далее, используя свойство чередования знака выражения F(x; у) вида (2), расставляем знаки в остальных областях. Нумерация областей на рисунке показывает последовательность их обхода (последовательность обхода может быть и другой). Выбираем области, содержащие знак плюс и решения уравнения

Пример 7. Определить на координатной плоскости области решения неравенства

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств

На координатной плоскости строим прямые и сплошными линиями, а прямую — прерывистой линией. К первому неравенству системы применяем метод областей и находим множество решений (на рис. 14 отмечено штриховкой).

Пусть дано выражение вида

, (3) где , причем прямые и попарно различны , — фиксированные натуральные числа, и выражению соответствует разбиение плоскости на области.

Для решения неравенства (1), где выражение имеет вид (3), используется обобщенный метод областей, который опирается на следующее правило чередования знака выражения:

При переходе через обыкновенную точку прямой (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (3) меняется на противоположный, если. — нечетное число, и не меняется, если— четное число.

Пример 8. Решить графически неравенство

Решение.

Рассмотрим многочлен

График уравнения состоит из двух прямых. Определяем области знакопостоянства многочлена F(x; у), используя свойство чередования знака выражения вида (3). На рисунке решения состоят из областей, содержащих знак минус, и точек прямых.

Области знакопостоянства многочленов F{x; у) второй степени

Рассмотрим кривые второго порядка: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу.

Теорема 2. Окружность (с центром в точке А(т; п) и радиуса

R > 0) делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне окружности, удовлетворяют неравенству , а расположенных внутри окружности — неравенству.

Доказательство. Выберем произвольную точку , не лежащую на окружности () и найдем значение выражения = в точке :

= Если разность больше нуля, то есть точка находится вне окружности, то ставим знак плюс . Для точек, расположенных внутри окружности, разность меньше нуля — ставим знак минус. Утверждение теоремы выполняется.

Пример 9. Найти на координатной плоскости геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение: График уравнения , где состоит из двух окружностей и

С помощью пробной точки (0; 3) определяем знак в одной из четырех полученных областей: F(0; 3) = 45, 45 > 0. Ставим знак плюс в области, содержащей точку (0; 3). Далее, используя свойство чередования знака выражения F(x; у) вида (2), расставляем знаки в остальных областях. Область решений содержит все точки окружностей и множество, изображенное штриховкой .

Эллипс, заданный каноническим уравнением делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне эллипса, удовлетворяют неравенству , а расположенных внутри эллипса -

Пример 10. Какое множество точек координатной плоскости описывается неравенством

Решение. Начертим сплошной линией эллипс и прямую .

Многочлену соответствует разбиение координатной плоскости на четыре области. Определим знак значения выражения в пробной точке: , Применяя свойство чередования знака выражения вида (2), получаем множество решений данного неравенства (области, содержащие знак минус и все точки эллипса и прямой).

Гипербола делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную выражение меняет знак на противоположный. .

Пример 11. Изобразить в координатной плоскости множество решений неравенства.

Решение, Приведем данное неравенство к виду и изобразим сплошной линией гиперболу с центром симметрии и прямую. Дальнейшее применение метода областей приводит к искомому множеству решений (области, содержащие знак плюс и все точки гиперболы и прямой).

Пример 12. Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек с координатами , для которых.

Решение. Данному неравенству соответствуют параболы и , которые разбивают координатную плоскость на семь областей. Применяя метод областей, получаем решения данного неравенства (изображены штриховкой на рисунке).

Рассмотрим обратную задачу — составление неравенства, которым задается некоторое множество точек координатной плоскости.

Задача 13. Записать неравенство, которое задает множество точек плоскости, показанное штриховкой на рисунке.

Решение. Составим выражение

Возьмем из заштрихованной области, например, точку и найдем значение. Так как имеется чередование заштрихованных областей, то неравенствозадает заштрихованную область координатной плоскости и все точки параболы и окружности.

Области знакопостоянства выражений, содержащих знак модуля

Для решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля, обычно разбивают координатную плоскость на отдельные области так, чтобы на каждой из них можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.

Пример 14. Найти площадь фигуры, заданной неравенством

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности четырех систем неравенств:

1) 2) 3)

Решения первой системы неравенств образуют треугольник ОВС решения второй системы составляют треугольник ОАВ, решения третьей системы — треугольник ODC и решения четвертой системы — треугольник OAD.

Рис. 22

Таким образом, координаты всех точек плоскости, принадлежащих параллелограмму ABCD, включая его границы, составляют множество решений данного неравенства. Определим координаты точек A,B,C,D. Для этого решим системы, составленные из уравнений прямых линий:

(BC); (AB); (AD); (DC), пересекающихся в вершинах параллелограмма. Получим: , ,,.

BD =, AC =

Прямые и (и диагонали параллелограмма, лежащие на этих прямых) взаимно перпендикулярны.

Ромб, заданный уравнением гдеделит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне ромба, удовлетворяют неравенству а расположенных внутри ромба — неравенству

Пример 15. На координатной плоскости отметить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству.

Решение. Сначала начертим сплошной линией ромб, или и отметим внутренние точки ромба. Затем выполним параллельный перенос построенной фигуры на вектор .

Пример 16. На координатной плоскости отметить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

Решение. Изобразим множество точек, заданное неравенством , и выполним параллельный перенос на вектор .

Фигура, заданная уравнением (или), делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения меняет знак на противоположный

Пример 17. Показать на координатной плоскости множество точек с координатами (х;у), для которых

Решение. На координатной плоскости строим пунктирными линиями график уравнения, состоящий из двух «уголков»: и

Берем пробную точку (2; 0) и определяем знак выражения в этой точке: ;. Ставим знак плюс в области, содержащей точку (2; 0). Затем, используя свойство чередования знака выражения, расставляем знаки при переходе через обыкновенные точки в смежную область. Отметим области, содержащие знак плюс.

Решение неравенств с параметром.

Пусть дано неравенство где — переменная, — фиксированное число (параметр), символ заменяет один из знаков: Рассматривая параметр как равноправную переменную с переменной , мы сводим задачу решения неравенства с параметром к решению неравенства с двумя переменными и.

Пример 22. Для каждого значения параметра решить неравенство

Решение. Воспользуемся графическим решением неравенства, полученным в примере 14.

Разобьем область решений (параллелограмм) на элементарные области прямыми и. Теперь можно записать ответ, учитывая уравнения прямых

(BC); (AB); (AD); (DC),

Ответ: при или решений нет; при ; при ; при ; при ; при

Пример 23. Найти все значения а, при которых область определения функции содержит ровно одно целое число.

Решение.

1. Из определения логарифма следует, что

2. Упростим выражение, стоящее в основании степени

3. Из условия имеем

Используя метод замены множителей

(на или на ) получим(), или (**)

Для решения последнего неравенства используем метод областей.

Неравенству (**), учитывая условия (*), удовлетворяют координаты точек областей D3, D7 и части областей D1 и D5

При каждом значении в части области D1 бесконечное множество целых чисел, в части области D5 — нет ни одного целого числа, то есть не удовлетворяют условию задачи.

При (1; 4) в области D7 решение имеет вид [; 4]. Если 3 << 4, то отрезок [; 4] содержит одно целое число 4.

При = 4 решение = 4.

В области D3 при решение имеет вид [4; ], оно содержит одно целое число 4 при условии 4 < < 5.

Объединим полученные значения параметра.

Ответ:(3;5).

Вообще, неравенство вида у > f(x) на координатной плоскости хОу задает ту часть плоскости, которая лежит «выше» графика функции у = f(x). Неравенство вида у < f(x) на координатной плоскости хОу задает ту часть плоскости, которая лежит «ниже» графика функции у = f(x). Неравенство вида у ≥ f(x) на координатной плоскости хОу задает ту часть плоскости, которая лежит «не ниже» графика функции у = f(x). Неравенство вида у ≤ f(x) на координатной плоскости хОу задает ту часть плоскости, которая лежит «не выше» графика функции у = f(x).

Кроме того, если уравнение f(x;у)=0 задает на координатной плоскости какую-либо «замкнутую» линию (замкнутую ломаную, окружность), то неравенство f(x;у)≤0 задает ту часть плоскости, которая лежит «внутри» этой «замкнутой» линии; неравенство f(x;у)≥0 задает ту часть плоскости, которая лежит «вне» этой «замкнутой» линии. Заметим, что и в том, и в другом случае граница фигуры принадлежит указанному геометрическому месту точек.

Например, неравенство (х-3)2+(у-1)2≤4 задает круг с центром в точке (3;1) и r =2, а неравенство │х│+│у│≥1 задает множество точек плоскости, лежащих вне квадрата с вершинами в точках (-1;0), (1;0), (0;-1), (0;1). И в том, и в другом случае граница (окружность и квадрат соответственно) принадлежит указанному геометрическому месту точек.

Заключение.

Целью исследования явилось изучение геометрического места точек плоскости.

В исследовательской работе, на основе анализа литературы, был рассмотрен вопрос о нахождении геометрического места точек плоскости.

В ходе исследовательской работы использованы следующие методы и методики:

1. Изучение литературы.

2. Практическая работа.

В результате исследовательской работы можно сделать следующее заключение:

1. Был изучен алгоритм нахождения геометрического места точек, заданного неравенством (системой неравенств).

В данных задачах фигура задается неравенством (системой) F(x;y)>0, F(x;y)<0, F(x;y)≥0, F(x;y)≤0.

Алгоритм построения такой фигуры следующий:

1) записать уравнение границы (границ)

F(x;y)=0

2) Изобразить на координатной плоскости линию (линии), заданную уравнением F(x;y)=0, которая разобьет координатную плоскость на части;

3) С помощью контрольной точки, установить, какая часть (какие части) плоскости удовлетворяют данному неравенству;

4) Заштриховать искомую фигуру.

1. Рассмотрены графики наиболее часто встречающихся функций.

2. Изучено свойство знакопостоянства для многочленов степени не выше второй, для выражений, содержащих знак модуля.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)