Жизненный путь лоцмана неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского

"Как бы то ни было, новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле открывает новое обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики"

Н. И. Лобачевский.

"Геометрия Евклида ("Эллинская геометрия"), казалось, должна была составить изъятие из закона эволюции. Две тысячи лет тому назад она застыла в своих величавых, прекрасных формах, как зачарованная красавица в народной сказке. Но вот уже более 180 лет назад пришло три витязя: один из немецкой, другой из венгерской, третий из русской земли. Они окропили ее мертвой и живой водой. И геометрия воскресла к новой жизни, нет, к новой мощной эволюции, которая широко развертывается на наших глазах, и в которой она как будто хочет захватить и механику, и физику, и космологию"

В. Ф. Каган.

"в науке очевидных истин нет и все непросто, словно тьма и свет"

Е. Ефимовский

По существу, здравый смысл - это совокупность устоявшихся догм, принадлежащих вчерашнему дню науки. Уверовав в них, исследователь уже не пылает желанием что-то менять. Напротив, становится чужд изобретательности, живому творчеству, потчуя окружающих готовыми истинами. Сколько выдающихся результатов было объявлено абсурдными только потому, что они выходили за границы здравого смысла!

Когда противиться новому невозможно, когда не остается уже ни экспериментальных, ни логических доводов, выставляют решающий аргумент: <<Это противно здравому смыслу>>. Но что же за ним стоит? На какие доказательства он опирается? И вообще, что это такое - <<здравый смысл>>? Будучи хранилищем старых парадигм, здравый смысл осуществляет функцию, <<методологического деспотизма>>. Всякий отход от принятых решений, устоявшихся образцов вызывает немедленную критику и расценивается как подрыв устоев науки, как отклонения, ошибки здравого смысла.

Под давлением всех факторов, содействующих сохранению старой парадигмы, она обретает характер предрассудка. <<Расщепить>> же человеческий предрассудок бывает, как показывает история науки, посложнее, чем даже расщепить атом. Нужны не только оригинальные идеи, столь же нужны и люди, готовые их отстаивать. Им предназначено идти наперекор всему сложившемуся строю мысли, часто выступать в одиночестве вопреки большинству. Вот почему это должны быть не только мыслители, но и характеры, не боящиеся лишений и жертв.

Всходя на костер за свои убеждения, великий итальянский мыслитель Д. Бруно сказал: <<Пусть сожгут меня, но не загородит мой труп тех путей, которые приведут человечество к светлому будущему!>>

Именно благодаря непокорным, благодаря тому, что они не склоняют головы перед всесилием отживших догм, стал возможен научный прогресс.

1 декабря 1792 года в семье землемера Ивана Максимовича Лобачевского родился мальчик Коля, будущий великий реформатор геометрии. Ему не исполнилось еще 10 лет, когда умер его отец и мать осталась практически без средств к существованию. Мальчика зачислили в Казанскую императорскую гимназию на казенный счет.

Живой, серьезный, темпераментный, энергичный, Николай учился в гимназии, а затем и в Университете очень успешно, с большим трудолюбием. Кроме обязательных - латинского и немецкого языков, он самостоятельно изучал французский и греческий настолько, что мог читать серьезные книги по математике и философии.

Юный Лобачевский был порядочным озорником, но в обращении с товарищами и учителями - воспитателями честен, прям, не терпел двуличия и предательства. Гимназию он закончил в 15 лет, и в тот же год вместе со своими братьями, поступил в только что основанный (1804) Казанский Императорский университет, которому отдал 40 лет жизни.

Материальные лишения он переносил стойко, но однажды, ради выигрыша денежного пари (кстати, для приобретения учебников) решился на озорство, за которое его чуть-чуть не разжаловали из студентов в солдаты: сидя на корове, проскакал по университетскому парку.

В Университете Лобачевский сразу же обратил на себя внимание профессоров исключительными успехами по математике, оригинальностью мышления. Самостоятельно усвоив передовые философские учения, он открыто выражал презрение ко всему показному, насаждавшемуся в Университете.

В 19 лет Н. И. Лобачевский оканчивает Университет и ему присваивается степень магистра по физике и математике с отличием (1811), в 24 года он становится профессором математики.

В мае 1827 года 35-летний Лобачевский был избран ректором университета. В 1832 году Лобачевский женился на Варваре Алексеевне Моисеевой. Точное количество родившихся детей неизвестно. Согласно воспоминаниям сына, их было 18. Согласно послужному списку, выжило семь детей.

Большое сопротивление довелось преодолеть Н. Лобачевскому, которого заслуженно называют <<Коперником геометрии>>. Он отстаивал свою теорию вопреки убеждениям ученого мира, общественному мнению и, уж конечно, наперекор здравому смыслу, которым нередко вооружено невежество.

Когда Н. Лобачевский представил в 1832 году на обсуждение Российской академии идеи неэвклидовой (<<воображаемой>>, как он ее назвал) геометрии, против выступили известные русские математики М. Остроградский и В. Буняковский. <<Работа выполнена с таким малым старанием, что большая часть ее непонятна>>, - сказал, например, М. Остроградский. И, заключая свою речь на заседании, заявил, что этот труд <<не заслуживает внимания академии>>.

После такой оценки специалистов тем более не стеснялись в выражениях люди, вообще далекие от математики, хотя и пытавшиеся говорить от ее имени. К сожалению, располагая печатными органами, они могли влиять на умонастроение общества, создавая вокруг личности ученого обстановку недоброжелательства и вражды. В частности, журнал небезызвестного реакционера Ф. Булгарина, прославившегося травлей передовых писателей, заявлял: <<Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой и самой ясной в математике, какова геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое учение. Для чего же писать, да еще и печатать такие нелепые фантазии?.>>

Действительно, великий математик не учел, с какой непонятливой публикой он может иметь дело. Ведь еще в XVII столетии выдающийся естествоиспытатель и философ Р. Декарт предупреждал: когда пишешь о трансцендентальных проблемах (то есть проблемах, выходящих за пределы сущего), будь трансцендентально ясен.

Однако для Н. Лобачевского дело принимало вовсе не шутливый поворот. 20 ноября 1845 года Лобачевский был в шестой раз утверждён в должности ректора на новое четырёхлетие. Несмотря на это, в 1846 году Министерство грубо отстраняет Лобачевского от должности ректора и профессорской кафедры (официально - по причине ухудшения здоровья). Формально он получил даже повышение - был назначен помощником попечителя, однако жалованья ему за эту работу не назначили.

Помимо неевклидовой геометрии Лобачевский сделал ряд и других открытий: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений, в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.

В разные годы он опубликовал несколько блестящих статей по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

Вскоре Лобачевский разорён, имение его жены было продано за долги. В 1852 году умирает старший сын Лобачевского. Здоровье его самого подорвано, слабеет зрение. Главный труд учёного, <<Пангеометрия>> записывают под диктовку ученики слепого учёного в 1855 году.

Похоронен на Арском кладбище в Казани.

3. Пятый постулат Эвклида и аксиома параллельности Лобачевского.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Многие пытались доказать пятый постулат Евклида. Он послужил отправным пунктом геометрии Лобачевского. Аксиома о параллельностях входила в список постулатов в <<Началах>> Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида. Лобачевский в работе <<О началах геометрии>> (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Почти одновременно с Лобачевским примерно то же наблюдения сделал венгерский математик Янош Бойяи. Молодой математик приходит к выводу, что пятый постулат недоказуем и независим от остальных. Это означало, что, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию, отличную от евклидовой. Он шутит в письме отцу: <<Я создал странный новый мир из ничего!>> Примерно в 1820 - 1823 годах Бойяи заканчивает трактат с описанием новой геометрии. И отправляет свои работы К. Гауссу, но тот отвергает их, это послужило одной из причин по которой работу Яноша не признали, Гаусс на тот момент был <<королём математики>> и его мнение много значило.

После смерти Гаусса в его записках был найден такой текст: <<Похвалив Бойяи, я бы похвалил себя, так как сам сделал подобные наблюдения несколькими годами ранее>>. Для молодого, жаждущего славы Бойяи, было шоком узнать от Гаусса, что чуть раньше эти же наблюдения сделал русский математик Лобачевский.

Сейчас точно установлено, что Гаусс лет на 10 раньше Лобачевского начал замечать независимость пятого постулата, но побоялся критики со стороны коллег, поэтому о его размышлениях узнали только после его смерти.

Лобачевский не побоялся опубликовать свои труды, за что и поплатился. Его лишили должности ректора и профессора, но это его не остановило. Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах что и заложены в школьном курсе некоторые из них:

А- I 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

А- I 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости

А- II 1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

А- II 2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Основные свойства измерения отрезков и углов

А- III 1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

А- III 2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Основные свойства откладывания отрезков и углов

А- IV 1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

А- IV 2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Существование треугольника, равного данному

А- IV 3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно дан-ной полупрямой.

Основное свойство параллельных прямых

А- V 1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Но последняя из этого списка была заменена Лобачевским на свою аксиому, которая звучит так: <<через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её>>.

4. Содержание геометрии Лобачевского.

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы опараллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Но теоремы которые в евклидовой геометрии зависят от пятого постулата у Лобачевского радикально отличаются. Николай Иванович замечает: <<Мои непривычности противоречат представлению и привычке, зато безупречны со стороны логической>>.

Семь безупречных непривычностей в непривычной геометрии.

1. Сумма углов любого треугольника меньше 180 ° и меняется от треугольника к треугольнику.

2. Среди фигур с четырьмя углами совсем нет прямоугольников, так как сумма углов всякого выпуклого четырёхугольника меньше 360°.

3. Не около всякого треугольника можно описать окружность.

4. Подобных треугольников не существует.

5. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Монотонно убывающей функцией

6. Угол между двумя прямыми, проходящими через одну точку и параллельными данной прямой является монотонно убывающей функцией, принимающей все значения от 90° до 0°.

7. Чем дальше продолжаются параллельные линии в сторону параллельности, тем больше они сближаются.

Докажем одну из них: Подобных треугольников не существует.

Доказательство:

Предположим, что существует два неравных треугольника с попарно равными углами: А=А1; В=В1; С=С1 и AB>A1B1. На АВ отложим BD=A1B1 и через D проведём прямую DE так, чтобы угол BDE равен углу B1A1C1 получились равные как соответственные углы A равен углу BDE, образовавшиеся при пересечении АС и DE прямой АD, а это значит что DЕ не пересекается с АС, но пересекается с ВС в какой-то точке Е. Так как треугольник ВDЕ= треугольнику А1В1С1, то угол ВЕD равен углу В1С1А1 и α+δ=180 ̊ тогда в четырехугольнике АDЕС сумма углов равна 360, что невозможно в геометрии Лобачевского, значит не могут существовать два неравных треугольника с попарно равными углами. Следовательно, и не существует подобных треугольников.

1. 4. Признание геометрии Лобачевского

Лобачевский умер в 1856 году. Спустя несколько лет была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам Лобачевского. Появляются переводы их на французский и итальянский языки, комментарии видных геометров. Публикуется и труд Бойяи.

В 1868 году выходит статья Э. Бельтрами об интерпретациях геометрии Лобачевского. Бельтрами определил метрику плоскости Лобачевского и доказал, что она имеет всюду постоянную отрицательную кривизну. Такая поверхность тогда уже была известна - это псевдосфера Миндинга. Бельтрами сделал вывод, что локально плоскость Лобачевского изометрична участку псевдосферы . Окончательно непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана в 1871 году, после появления модели Клейна.

Вейерштрасс посвящает геометрии Лобачевского специальный семинар в Берлинском университете (1870). Казанское физико-математическое общество организует издание полного собрания сочинений Лобачевского, а в 1893 году столетие русского математика отмечается в международном масштабе.

Значение пятого постулата невозможно переоценить, так как без него не обошлась бы ни одна из двух известных нам геометрий. Если бы пятый постулат не рассмотрели ученые, то не было бы такого величайшего открытия, ведь с помощью неевклидовой геометрии люди получили новое представление о пространстве. Именно с пятого постулата все началось: он - точка отсчета, двигатель науки.

6. Модели геометрии Лобачевского.

Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.

Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил что орисфера в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.

Псевдосфера

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера . Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере, а движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

Модель Клейна

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского .

Плоскостью служит внутренность круга, прямой - хорда круга без концов, а точкой - точка внутри круга. <<Движением>> назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде а (то есть <<прямой>>), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд (<<прямых>>) (например, b, b').

В этой модели расстояние между точками A и B на хорде NM определяется через двойное отношение

Модель Пуанкаре

Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми .

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами

1. Заключение.

Открытие Н. И. Лобачевского явилось поворотным пунктом в развитии геометрических идей, математической логики и мышления в 19 веке. Новая геометрия, созданная Лобачевским, существенным образом повлияла на весь ход дальнейшего прогресса человечества. Он не только открыл неевклидову геометрию, но и настойчиво в течении всей жизни углублял и расширял ее идеи, доведя свою геометрию примерно до такой степени совершенства, до какой за несколько веков, трудами многих ученых была разработана евклидова геометрия.

Вывод: в процессе работы я изучил аксиомы, на которых строится школьный курс геометрии, рассмотрел содержание геометрии Лобачевского, рассмотрел доказательства 7 <<непривычностей>> неевклидовой геометрии, представил одно из них на защите; Изучил биографии и жизненный путь <<лоцманов неевклидовой геометрии>> Яноша Бойяи и Карла Гаусса, рассмотрел модели плоскостей и фигур на которых выполняется геометрия Лобачевского.

Цель работы над научно-исследовательским проектом найти общее и различное в основополагающие принципах построения <<евклидовой>> и <<неевклидовой>> геометрии достигнута, гипотеза о том, что нет различия в геометриях Эвклида и Лобачевского опровергнута.

Не так уж много в мировой науке открытий, сравнимых по своей интеллектуальной дерзости и последующему влиянию на ее развитие с творением Лобачевского. Его можно сравнить с Колумбом, открывшим миру новый континент, с Коперником, перевернувшим представления людей о строении Вселенной.