История русской арифметики

Трудно сказать, когда появились у того или иного народа первичные математические представления. Нужно думать, что потребность в счете предметов, а также в сравнении расстояний относится к самым ранним стадиям развития человеческого общества. Сомнительно, чтобы какой-либо определенный народ впервые изобрел искусство счета, или искусство измерения и затем путем общения передал свое изобретение другим народам. По-видимому, каждый народ самостоятельно проходил этот первый этап своего развития. Эта стадия человеческой культуры теряется в глубине тысячелетий и имеет, должно быть, не меньшую давность, чем выработка речи и использование простейших орудий труда.

Другое дело - развитие абстрактных понятий, разработка правил действий над числами, создание правил для вычисления площадей и объемов. Здесь заимствование неизбежно, и более развитые народы являются источником таких более квалифицированных познаний. Это обстоятельство заставляет пристально изучать те нити, которыми связывались различные народы и которые могли служить путями передачи интеллектуальных богатств.

Объем знаний. Раскопки древних городищ говорят нам, в частности, и о том, что элементарные математические познания пользовались весьма широким распространением на Руси уже в IX- X веках. Это были скорее навыки, чем знания, и их приобретение осуществлялось в процессе, главным образом, торговой деятельности. Такие навыки передавались, по-видимому, устным путем. К числу указанных первичных познаний следует отнести представления о целых числах, а также действия сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел. Вероятно, в это время широко использовались простейшие дроби. За это говорит хотя бы тот факт, что при торговых расчетах употребляли куски драгоценных металлов, которые рубили в случае надобности на необходимое число частей. Отсюда, как известно, возникло и наше слово рубль.

Несомненно, что в древности был хорошо известен циркуль, так как орнамент из окружностей постоянно встречается на украшениях и предметах обихода; многие раскопки доставляют нам костяные гребни и металлические застежки с такого рода орнаментом.

Далеко не все, что было нам нужно для восстановления по возможности более полной картины математической культуры наши предков, было ими записано или нашло отражение в предметах их обихода. Но даже и то немногое, что подверглось записи, дошло до нас в очень не полном виде: многие рукописи погибли во время стихийных бедствий, от небрежности и невнимания к ним современников и последующих поколений, еще большая часть погибла в результате войн. К тому же, несомненно, некоторая часть первоисточников еще не найдена.

Сочинение монаха Кирика. Наиболее древнее математическое произведение, известное нам теперь, принадлежит новгородскому монаху Кирику и написано в 1134 году. Полное наименование этого произведения таково: "Кирика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение им же ведати человеку числа всех лет". Посвящено оно арифметико-хронологоческим расчетам, состояло из 19 параграфов и повторяло о календаре все то, что можно было найти в греческих церковных книгах. В частности, Кирик, по-видимому, умел рассчитывать дни Пасхи; эту задачу не решал в своей книге, но предлагал решить другим числолюбцам. Интересно заметить, что впоследствии, спустя три с половиной века после Кирика, вычисление таблиц, по которым можно было бы указывать пасхальные дни, так называемых пасхалий, превратилось в большую церковно - государственную проблему, так во всей Руси не нашлось человека, способного произвести нужные расчеты. Расчеты же произвести было необходимо, ибо в 1492 году кончались таблицы, унаследованные от византийской церкви. Пришлось организовать специальную экспедицию на Запад (в Рим) за источниками, а быть может, и за готовыми таблицами. Организатором этой экспедиции был весьма просвещенный новгородский архиепископ Геннадий Гонзов. При нем были составлены таблицы дней Пасхи на 70 лет вперед, однако, в точности не очень - то был уверен и сам Геннадий, а поэтому рекомендовал пастырям своей епархии пользоваться ими только на ближайшие 20 лет, если "Бог благоволит еще миру стояти". Последняя оговорка для тех лет была весьма актуальна, так как в 1492 году исполнялось, согласно церковной легенде, семь тысяч лет от сотворения мира, и многие ждали, что эта дата совпадет с концом мира. Таких опасений не был лишен и сам архиепископ, однако, мир устоял, и таблицы пригодились.

Вернемся все же к содержанию труда Кирика. Значительная ее часть посвящена вычислению времени (месяцев, дней и часов), прошедшего от сотворения мира. Так, в параграфе 2 он подсчитал, что от сотворения мира до написания книги прошло 79728 месяцев (в рукописи сохранилась только часть числа, а именно 9728); в параграфе 3 он вычислил число недель, протекших от той же даты, а в параграфе 4 число дней. Эта последняя оказывается равным 24 неведиям (сотням тысяч) и 6721. В параграфе 5 подсчитывалось, что с момента сотворения мира прошло уже 200 неведий и 90 неведий и 1 неведия и 652 часа. В процессе этих расчетов Кирик, конечно, употреблял действие умножения целых чисел.

Для того, чтобы ориентироваться в тех вычислениях, которые произвел Кирик, заметим, что в древней Руси счет лет шел от сотворения мира. В момент написания Кириком его трактата шел 6642 год по славянскому летоисчислению. Легким подсчетом вы можете проверить, что либо Кирик ошибся на 24 месяца (должно быть 79704) при умножении, либо его сочинение было написано в 6644 году (1136 год новой эры).

Арифметические действия. Порядок изложения четырех арифметических действий был таков: сложение, умножение, вычитание и деление. Этим подчеркивались связи, существующие между сложением и умножением, вычитанием и делением. С тех пор мало, что изменилось в том, как выполнялись вычисления и как они располагались. Исключение составляет только деление, для которого существовали три довольно близких приема. Мы опишем два из них наиболее распространенных.

Первый состоял в том, что делитель подписывается каждый раз под частью делимого, которая на него делилась в данный момент. Остатки писались над делимым. Остатки, части делимого и делителя, уже побывавшие в действии, немедленно зачеркивались. Частное писалось справа от делителя и отделялось от него чертой. Для иллюстрации приведем пример деления числа 45672 на 6, рассмотренные в одной из рукописей

Интересно, что всегда в рукописях производилось сокращение дробей, несмотря на то, что при делении целых чисел правила действия с дробями еще не были известны.

Второй способ отличался от первого лишь записью действий; употреблялся он в том случае, когда делитель был многозначным числом. Частное в этом способе помещалось между делимым и делителем и отделялось от них горизонтальными чертами. Для иллюстрации рассмотрим деление  числа 5692597 на 3625

Заметим, что математическая терминология рукописей XVII столетия значительно отличается от привычной современному человеку. Так, слагаемые назывались перечнями, и сумма - исподним большим перечнем, уменьшаемое - заемным перечнем, вычитаемое- платежным перечнем,  разность - остатком; сомножители и их произведение особых наименований не имели; делимое называлось большим перечнем, делитель - деловым перечнем, частное - жеребейным перечнем  и остаток - остаточной долей.

Содержание статей, излагающих правила действий с целыми числами или дробями, не требует каких - либо пояснений, так как оно мало изменилось с тех пор. Зато статьи с сугубо утилитарными наименованиями должны быть разъяснены, ибо современные курсы арифметики их не содержат.

Математические развлечения. В заключение арифметические рукописи приводили задачи, являющиеся, так сказать, математическими развлечениями. Задачи эти преимущественно западного происхождения и заимствованы, в значительной своей части, из сочинения Баше де Мизерака, вышедшего во Франции в 1612 году и получившего в Западной Европе широкое распространение. В большинстве своем эти задачи хорошо известны и современным школьникам. Приведем для ознакомления несколько образцов.

О плотниках. "Четыре плотника у некоего гостя нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: только б де мне одному двор ставити, я яз-бы де его поставил един годом. А другой молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в два года. А третий молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в три годы. А четвертый так рек: только бы мне одному тот двор ставити, и яз-бы поставил его в четыре года. Ино все четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Ино, сколь долго они ставили, сочти ми".

Предложенное в рукописи решение весьма просто: в двенадцать лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый - двенадцать дворов, второй - шесть, третий - четыре и четвертый - три. Таким образом, за 12 лет ими может быть построено 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют поставить за 175 1/5 дней.

О льве, волке и псе. " Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Ино хощешь ведати сколько бы они все три - лев и волк и пес - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми. " Для решения задачи, оставив в стороне логическую сообразность и реальную возможность, автор заставляет льва, волка и пса съедать положенных им овец в течении двенадцатичасового рабочего дня.

В XVI – XVIII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). Рукописи того времени предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили практический характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые сохранились и до нашего времени.

Рукописи XVI – XVIII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века.

2. Первые учебники математики.

Только первое время Россия использовала иностранцев в качестве учителей в школах и учёных — в Академии. В навигационной школе первыми преподавателями были профессор Абердинското университета Эндрью Фархварсон, Стефан Гвин, Ричард Гриз. Но уже с первых лет существования школы появился талантливый преподаватель Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739), русский человек, не уступавший иностранцам ни в знаниях по математике, ни в организационных способностях. Магницкий был образованным человеком своего времени. Он владел латинским, греческим, немецким, голландским языками и был достаточно знаком с достижениями западноевропейской математики.

В связи с ростом школ необходимо было разрешить проблему учебников математики.

2. 1. “Арифметика” Л. Ф. Магницкого

Арифметика Магницкого.

Что же представляет собой "Арифметика" Магницкого?

Профессор П. Н. Берков называет "Арифметику" "одним из важнейших явлений книгопечатной деятельности Петровского времени".

В наши дни ее называют книгой энциклопедического характера по различным отраслям математики и естествознания (геодезии, навигации, астрономии).

Исследователи до сих пор не имеют общего мнения о том, по каким руководствам Магницкий составил свою "Арифметику". А. П. Юшкевич считает, что был использован рукописный и печатный материал более раннего времени, который Леонтий Филиппович тщательно отобрал, существенно обработал, составив новый, оригинальный труд с учетом знаний и запросов русского читателя. Магницкий впервые ввел термины "множитель", "делитель", "произведение", "извлечение корня", а также заменил устаревшие слова "тьма, легион" словами "миллион, биллион, триллион, квадриллион".

В отделе редких книг фундаментальной библиотеки хранятся два экземпляра книги "Арифметика" Леонтия Магницкого. К сожалению, не сохранилось документов, по которым можно было бы проследить историю этих экземпляров от момента их издания до наших дней. Один из этих экземпляров имеет переплет из кожи темно-коричневого цвета. Крышки переплета сделаны из дерева. На переплете были две кожаные застежки, которые не сохранились. Второй экземпляр сохранился без переплета. В обоих экземплярах нет титульных листов, нет никаких записей на полях и на обложке, по которым можно было бы что-то сказать об их прежних владельцах. Нет и точных данных, откуда и когда эти два экземпляра поступили в библиотеку. Установлено только, что один из экземпляров с сохранившимся переплетом был записан в инвентарную книгу библиотеки в середине 30-х годов. Второй экземпляр "Арифметики", сохранившийся без переплета, был записан в инвентарь в 1952 году.

Обратимся к внешнему виду и составу "Арифметики". Размер книги в ней 662 страницы, набранные славянским шрифтом.

Печать в две краски - черной и красной на плотной бумаге, страницы в рамках из наборных украшений. В тексте - заставки, концовки, гравюры. До сих пор нет единого мнения о способе печатания книги: с деревянных резаных досок или подвижными литерами. Большинство исследователей считают, "что "Арифметика" печаталась подвижными литерами, как печатались до того времени все книги на Руси начиная с Ивана Федорова. Шрифты - кириллица трех размеров (10 строк = 83, 73 и 60 мм). Цифры в тексте славянские, в примерах, задачах, таблицах - арабские".

Другие считают, что книга печаталась при помощи деревянных досок, на которых был вырезан текст, а потому возможно, что впоследствии ее допечатывали теми же досками, не упоминая новых изданий.

Стиль книги. Для нашего времени несколько необычен стиль этого учебника: наряду с систематическим изложением курса математики, в нем значительное внимание уделяется общим рассуждениям, изложенным в стихотворной форме; необычны для нас также символические картинки, помещенные в тексте. Так, на обороте титульного листа изображен букет из неведомых цветов, окруженный виньеткой со словами: "Тако цветет человек, яко цвет сельный". Под виньеткой же помещено стихотворение, дающее возможность судить об отношении автора к арифметики как к науке, помогающей человеку во всей его практической деятельности, позволяющей проникнуть в подлинную сущность вещей и потому дающей возможность избирать правильный образ действий.

Приведем это стихотворение почти целиком.

". Арифметике любезно учися, в ней разных правил и штук придержися.

Ибо в гражданстве к делам есть потребно, лечити твой ум аще числит вредно.

Та пути в небе, решит и на море, еще на войне полезна и в поли.

Общее всем людям образ дает знати, дабы исправно в размерах ступати". Определение арифметики.

"Арифметика или числительница есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретенное  и изложенное".

Такое определение арифметики впервые появляется в русской литературе. Магницкий определяет ее как художество, то есть, как искусство на деле справляться с задачами счета и вычисления. В этом определении отчетливо сказываются взгляды Магницкого на науку: наука должна служить не только потребностям своего внутреннего развития, но перед ней также всегда должна стоять благородная цель познания мира и практики в самом широком смысле слова.

Содержание книги. Учебник разделен не две книги. Первая из них посвящена изложению арифметики, а также прогрессиям и корням. Помимо этого, между частью первой, посвященной целым числам и действиям над ними, и частью второй, посвященной дробям, Магницкий помещает большую главу, посвященную описанию древних весов и монет, сравнению их с существующими, а также денег, весов и мер "Московского государства и окрестных некиих". Далее идут - третья часть, в которой излагается тройное правило; добавление под названием "О различных к гражданству потребных действованиях через прешедшие части", часть четвертая "О правилах фальшивых и гадательных" и часть пятая "О прогрессии и радиксе квадратных и кубических". Книга вторая подразделяется на три следующие части: "Арифметика алгебраика"; "О геометрических через алгебраику действуемых"; (ч. 3) "Общие о земном размерении и яже к мореплаванию принадлежа", и дополнение "О толковании проблемат навигацких различных через вышеположенныя таблицы локсодромические".

Форма изложения.   В книге строго и последовательно проводилась одна форма изложения: каждое новое правило начиналось с простого примера, затем давалась его общая формулировка и, наконец, оно закреплялось большим количеством задач, по преимуществу практического содержания.

Для того чтобы ясно представить себе характер изложения, я приведу небольшой отрывок из текста "Арифметики". "Ино сложение в три перечня. Егда же случится тебе сложити три перечня во един, како же  578, 402, 396 ты постави такожде перечень под перечень прямо, число против чисел и прочертив под ними черту, и рцы 8, 2 и битого 15: и ты десять во уме держи за один, а напиши 5 под чертою под 5: гли же един, что в уме и 7 верхнего перечня, и 9 нижнего, и соберется всего 17: о них же напиши подле 5 к левой руке под 9-ю, а десяток паки во уме держи за един какоже и прежде и собери паки во едино: един, что в уме, 5 верхнего перечня, четыре среднего, 3 нижнего: всего будет 13: о них же 3 напиши подле 7, к левой руки под 3, а десяток напиши в ряд подле 3, к левой же руке:

и будет всего сложено из трех перечней 1375". После этого формулируется "правило общее", годное для сложения не только трех перечней, но "сколько случится".

Прикладная тенденция. Магницкий ясно сознавал, что арифметика на Руси того времени была нужна в первую очередь как орудие практической деятельности. Это обстоятельство оказало существенное влияние на характер изложения. Почти каждая задача облекается им в практическую или просто интересную форму. Так, например, извлечение квадратного корня он иллюстрирует задачами вроде следующей: "Некий генерал хочет с 5000 человек баталлию учинить и чтобы та была в лице вдвое нежели в стороне и ведательно есть колико оная баталия имети будет в лице и в стороне человек".

А вот решение этой задачи: "Раздели на 2 все 5000, будет 2500, из него же извлеки квадратный радикс, будет 50 человек в стране и сие умножи через 2, придет 100".

Магницкий идет значительно дальше в удовлетворении запросов основного потребителя арифметических познаний - купечества и помещает целый большой раздел, самые заголовки глав которого не могут возбудить сомнения в их назначении.

"Тройная торговля в товарных овощах и с вывескою".

"Статья меновая в торгу".

"Торговая складная со времены".

"Описание древних монет и весов еврейских, греческих, римских и сравнение их с нынешними итальянскими, испанскими, французскими о голландскими и иных земель от многих авторов собрано и предложено здесь ради пользы читателю".

Подчеркнув то обстоятельство, что Магницкий, учитывая потребности своего времени, значительную часть своей книги посвятил разъяснению приемов использования теоретического материала в вопросах деятельности. Читатель в любой момент чувствовал, что сообщаемые ему теоретические знания необходимы в его настоящей или будущей деятельности. Многие сведения, сообщаемые Магницким, вообще впервые появляются в русской литературе: десятичные дроби, прогрессии, квадратные уравнения.

Алгебраическая часть книги.

Характер изложения алгебры совершенно такой же, как и арифметики; Магницкий часто для иллюстрации тех или иных положений обращается к первой части своей книги - арифметики и проводит аналогии.

Интересно отметить причины, которыми руководствовался Магницкий при присоединении к собственно арифметическому материалу первой книги алгебраических, геометрических и прочих сведений второй книги. По-видимому, этими добавлениями он хотел приспособить свой курс к требованиям навигацкой школы. Сам автор, однако, в предисловии указывает на две другие цели, которые он имел в виду. Первая – та, что через алгебру "арифметика чин свой, и во всем потребный нам, конец и совершение примет". Вторая- та, что сведения, сообщаемые во второй части, необходимы для очень многих специальностей и в особенности для мореплавания.

Во второй книги "Арифметики" Магницкий приводит правила решения уравнений квадратных, биквадратных, начала плоской и сферической тригонометрии, сведения о вычислении площадей фигур и объемов тел. Квадратные уравнения решаются только в трех частных случаях.

2. 2. «Руководство к преподаванию арифметики» П. С. Гурьева.

Творцом методики арифметики в России, бесспорно, является Пётр Семёнович Гурьев. Главной методической работой П. С. Гурьева в 1839г. является его «Руководство к преподаванию арифметики». Методику арифметики Гурьев рассматривает как науку, как «Знание, основанное на точных положительных началах». Строя методику преподавания, автор пытается установить путь формирования знаний. «Всякое знание человека начинается с чувственного и частного и только постепенно, посредством отвлечения и соединения переходит к общим законам и правилам; в каждой части сообщаемого материала должна проявляться идея самой науки, а полнота и совершенство этой идеи всегда находится в прямом отношении с массою сведений».

П. С. Гурьев придаёт очень большое значение задачам. Он считает, что задачи должны доставлять детям удовольствие, возбуждать в них интерес к арифметике, развивать мышление. Его задачи отличаются конкретностью содержания, близки к жизни, естественны и интересны. Особо выделяется им решение устных задач. Его идеи жили в русской школе до 70-х годов.

2. 3. «Родное слово» К. Д. Ушинского.

В 1864г. К. Д. Ушинский выпускает свою знаменитую книгу «Родное слово», которая составила эпоху в нашей бедной педагогической литературе. Новая эпоха, новая школа должны были вызвать новые передовые идеи в русской методике арифметики. Выразителем этих идей явился К. Д. Ушинский.

Широкими и смелыми мазками К. Д. Ушинский набросал программу новой методики арифметики. В «Руководстве к преподаванию по «Родному слову» в числе приложений имеется глава «О первоначальном обучении счёту». На нескольких страничках он развёртывает перспективы большой методики, разработка которой выпала на долю последующих поколений.

К. Д. Ушинский рекомендует учить счёту наглядно, указывая при этом и наглядные пособия: пальцы, орехи, палочки.

Ушинский вводит счёт парами, тройками, четвёрками, пятками в пределе 10. Он создаёт наглядный переход к сотне, употребляя в качестве пособия пучки из 10 палочек (десятки).

К. Д. Ушинский объясняет, как сами ученики должны открывать арифметические правила: вычитая 4 из 23, нужно дать ребёнку 2 пучка (десятка) и 3 отдельных палочки, затем попросить у него 4 палочки. Ученик даёт 3 палочки и затем сам догадается, что у десятка нужно «занять» единицу.

Ушинский пишет, что ученикам нужно как можно скорее дать меры: аршин, сажень, весы, гири, монеты. Пусть они «меряют, весят и считают». Задачи, по мнению К. Д. Ушинского, должны иметь практический, наглядный характер; их нужно брать из мира, окружающего детей. Он рекомендует измерять класс, двери, окна, скамьи; считать страницы книг и тетрадей; вычислять недели, дни и часы до праздников и т. д.

«Арифметике нужно учить так,— замечает он,— чтобы её нельзя было забыть». Основная мысль К. Д. Ушинского — нельзя начинать преподавание начальной математики с усвоения правил, как это обычно делалось в «старой» школе. Нужно знакомить детей с мерами и весами, заставить их самих измерять, взвешивать и считать, пользоваться масштабом, определять площади и величину углов.

3. Старинные русские меры длины, веса, объёма

3. 1. Меры длины.

3. 1. 1. Система древнерусских мер длины включала в себя следующие основные меры: версту, сажень, локоть и пядь.

    Верста. По мнению многих исследователей, это слово происходит от глагола "верстать", означающего "распределять", "уравнивать", "уравнивать путем сравнения", откуда появились такие слова и выражения как "сверстник" (однолеток), "тяглом верстаться", "он не верста тебе" и т. п. Таким образом "верста" в общем смысле слова означает нечто такое, почему следует равняться, меру выровненную, определенную.

Верста упоминается в летописях еще за 1097 год. Она содержала в себе 750 сажень. Другое название версты — "поприще". О том, что "верста" и "поприще" выражают одно и то же число, свидетельствуют различные источники: в Ипатьевской летописи сообщается, что в 1167г. смоляне начали встречать князя Ростислава за 300 поприщ от города, а в Воскресенском списке летописи — за 300 верст. Из уточненного Б. А. Рыбаковым значения сажени — 1,52 м. следует, что 1 верста = 1,52 * 750 = 1140 метров.

    Сажень. Эта мера длины упоминается еще в 1017г. Наименование "сажень" происходит от глагола "сягать" ("досягать", "досягаемый"), и смысл его может быть наглядно проиллюстрирован примером косой сажени, которая представляла собой расстояние между подошвой левой ноги и концом вытянутого вверх среднего пальца правой руки, реально воспроизводя, таким образом предел досягаемости для человека, стоящего на земле.

    Для определения значения древнерусской сажени большую роль сыграла находка в г. Тмутаракани камня, на котором была высечена славянскими буквами надпись: "В лето 6576 (1068г. ) индикта 6 дня, Глеб князь мерил море по леду от Тмутаракана до Кърчева 10000 и 4000 сажен". Из сравнения этого результата с измерениями топографов получено значение сажени 151,4см. С этим значением совпали результаты измерений храмов, и значение русских народных мер.

Сажень, представлявшая наиболее крупную овеществленную единицу длины (существовали мерные веревки, длина которых была равна сажени) получила широкое применение преимущественно при измерении расстояний и в строительстве.

Локоть. Это наименование объясняется тем, что по происхождению данная мера представляла длину локтя — расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки. Впервые локоть как мера длины упоминается в "Русской правде" Ярослава Мудрого: "мостнику, помостивше мост, взяти от дела, от десяти лакот ногата".

Значение древнерусского локтя 10. 25-10. 5 вершков (в среднем приблизительно 46-47см) было получено из сравнения измерений в Иерусалимском храме, выполненных игуменом Даниилом, и более поздних измерений тех же размеров в точной копии этого храма — в главном храме Ново-Иерусалимского монастыря на реке Истре (XVII в).

Локоть широко применяли в торговле как особенно удобную меру. В розничной торговле холстом, сукном, полотном локоть был основной мерой. В крупной оптовой торговле локоть сохранял свое значение в качестве контрольной меры, т. к. был неудобен для измерений. Полотно, сукно и пр. поступали в виде больших отрезов — "поставов", длина которых в разное время и в разных местах колебалась от 30 до 60 локтей. Но в конкретное время и в данном месте она имела вполне определенное значение.

Пядь. У наших предков слово "пядь" означало кисть руки. Первоначально под пядью понималась мера длины, равная максимальному расстоянию по прямой между концами вытянутых большого и указательного пальцев.

Пядь упоминается в описаниях путешествии русских паломников XII-XVI вв. Значение пяди (180-190мм) было найдено из сравнения результатов измерений в 1389 году в Иерусалимском храме дьяконом Игнатием в пядях с результатами измерений в копии храма близ Истры.

Пядь часто употребляли в обиходе для приближенного определения небольших длин, особенно размеров цилиндрических тел. В быту, мелком ремесле, розничной торговле употреблялись меры "народной метрологии". Вещественного оформления пядь не имела — использовали кисть руки.

Итак, по мнению ряда исследователей, древнерусская система мер длины имела следующий вид:

1 верста = 750 саженей = 2250 локтей = 4500 пядей

Значения этих мер были получены из размеров тела мужчины с наиболее встречающимся у русских X-XII веков ростом около 170 см.

3. 1. 2. XV-XVII вв. появление новых мер длины.

XV век — эпоха объединения Руси вокруг Московского княжества, в условиях роста международных связей, укрепления великокняжеской власти. XVI-XVII столетия — эпоха, когда Московское государство усилилось, расширило свои границы на востоке и юго-востоке. Происходит формирование всероссийского рынка. Новые формы государственности и экономического быта и новые задачи, возникающие в связи с образованием Московского государства, отразились и на метрологии.

Государственная политика была направлена на упорядочение мер и измерений, на придание большей стройности, полноты и законченности всей системе мер.

Новые политические и производственно-экономические условия наложили отпечаток не только на систему мер, но и на организацию, масштабы и характер их использования. Создается мощный исполнительный и учетный аппарат. Измерения в значительной степени выполняют уже государственные чиновники и выбранные от торговых людей или от органов местного самоуправления. Усовершенствуется и методика измерения.

В это время на Руси образовалось психологическая атмосфера, благоприятствующая усвоению высоких представлений о роли меры и числа, о значении измерений не только для практических, но и для познавательных целей.

    В XV-XVII вв. появились новые меры длины — аршин, с течением времени вытеснивший локоть, и вершок. Были официально узаконены два значения версты. Ряд соотношений между мерами длины приведен в "Торговой книге". "Коли мерят аршинами и саженями, считати: аршин 16 вершков, сажень 3 аршина, локоть 10 вершков 2 и 2/3 вершка, 2 аршина будет 3 локтя".

Версту в 1000 сажен (2,16 км) употребляли широко в качестве межевой меры, а на окраинах России, особенно в Сибири, — и для измерения расстояний между населенными пунктами. 500-саженную версту применяли несколько реже, в основном для измерения расстояния в Европейской части России.

Верста не имела вещественного воплощения. Но нарушения единства измерений длины были связаны с широким распространением глазомерных оценок. Большие расстояния, особенно в Восточной Сибири, определялись в днях пути.

В эпоху Московского государства сажень, равная 152 см, постепенно исчезает и доминирующую роль играет маховая сажень, приравненная к 2,5 аршинам, т. е. 180 см, и казенная сажень — 3 аршина, т. е. 216 см. Соборным уложением 1649 г. была окончательно легализована 3-аршинная сажень как официальная. В ряде документов упоминаются также полусажени и чети (четверти) сажени.

До соборного уложения в практике употреблялось простая сажень, сажень великая, большая косая сажень и т. п. По различными источникам можно установить, что число различных наименований превосходило число реальных разновидностей сажени.

Метрологическая политика Московского государства, направленная на уменьшение разнообразия мер, привела к выделению одной сажени, как основной. В XVI веке таковой являлась "казенная сажень" Ивана Грозного, обязательного использования которой он требовал при измерениях, связанных с денежными расчетами.

Сажень широко применяли при измерении расстояний, планировке и строительстве различных сооружений, в кораблестроении, при землемерных и картографических работах. Так в Москве и в других крупных городах еще в XVI веке отмеряли регламентированную ширину улиц и переулков: "При государе царе и великом князе Федоре Иоанновиче всей Руси для бережения от пожаров учинены были улицы большие, в ширину по двенадцати сажен, а переулки по шти сажен" (шести).

В саженях выражали также фактическую длину улиц или их замощенных частей: например, общая длина бревенчатой и дощатой мостовых составляла в Москве в 1646 г. 2017 сажен.

Точные значения сажени воспроизводили при помощи образцовых мер, хранившихся в приказах. Упоминаются «городовая» сажень, какова в Пушкарском приказе", "железная сажень трех аршин без четверти", "две сажени железные, одна городовая и мостовая московской меры, а другая — дворовая лавочная московской меры". На меры наносили полусажень, аршин, четвертые и восьмые доли.

Наряду с саженными "линейками" применяли мерные веревки, которые первоначально не имели единой установленной длины. Для измерения расстояний между городами в верстах оказалась наиболее удобной и прочно вошла в практику мерная веревка в 100 сажен.

   Аршин. Это новая мера, заимствованная с Востока, упоминается в литературных источниках с середины XVI в. Происхождение наименования точно не установлено. Обычно его производят от наименования турецкой меры длины "аршин" (27,9 дюйма = 70,9 см), или от персидского "арши" — мера длины; на аршин обычно наносили деления в вершках ("вершки на аршине знаменаны").

    Не имея "предыстории" в виде местных мер, аршин с самого начала был распространен по стране в форме "печатных аршинов" наряду с "печатной саженью". Единое постоянное значение аршина и его долей-вершков сообщало количественную определенность разновидности сажени, они оказались приведенными к единой мере и численно связанными между собой. Аршин доминировал в торговле, вытесняя оттуда локоть. Об этом свидетельствуют таможенные книги, в частности "Таможенные книги Московского государства XVII века". Интересно то, что размеры выражали в сотнях аршин без перевода в сажени.

Во второй половине XVI века аршин проник в различные отрасли производства, особенно в текстильную промышленность, где его применяли совместно с вершком.

В "Описных книгах" оружейной палаты Кирилло-Белозерского монастыря (1668 г. ) записано: "пушка медная полковая, гладкая, прозванием "Кашпир", московское дело, длина три аршина полодинадцаты вершка (10,5 вершка). Пищаль большая чугунная, "Лев" железная, с поясами, длина три аршина три чети с полувершком".

Древнюю меру "локоть" продолжали еще употреблять для измерения сукна, полотна и шерстяных тканей домашнего изготовления. Как следует из "Торговой книги" три локтя приравниваются двум аршинам.

Пядь как древняя мера длины еще продолжала существовать, но так как значение ее изменилось из-за согласования с четвертью аршина, то это название (пядь) постепенно выходили из употребления. Пядь заменила четверть аршина.

Вершок. Наименование происходит от слова "верх" ("верх перста", т. е. пальца). Вершок упоминается в "Торговой книге" как 1/16 аршина. В литературе XVII в. встречаются и доли вершка "полвершки" и "четвертьвершки".

    Итак, все меры длины, употреблявшиеся в XVII веке, можно представить в виде таблицы.

Значение

в русских мерах в метрических мерах

Верста 100 саженей 2,16 км

    500 саженей 1,08 км

Сажень 3 аршина 2,16 м

Аршин 4 четверти 72 см

Локоть 10 2/3 вершка 48 см

Четверть аршина ("пядь") 4 вершка 18 см

Вершок — 4,5 см

Внесистемные меры длины. В "Торговой книге", "Таможенных книгах Московского государства XV11 века" и в других источниках упоминаются меры длины, употребляемые в оптовой торговле иностранцами: постав, половинка, косяк, кипа. Значения этих мер не были постоянными, изменялись в зависимости от места, времени и пр. Меры эти составляли десятки, а некоторые приближались к сотне аршин. В определенных условиях значение их выражалось в официально установленных мерах (аршинах).

3. 1. 3. XVIII век введение английских мер — фута, дюйма.

Система единиц длины, сложившаяся к концу XVII в. , увеличилась в XVIII веке введением английских мер — фута, дюйма.

Изменение системы мер длины, проведенное Петром I, было вызвано потребностью увязать русские и наиболее распространенные в то время в мире английские меры и упростить соотношения между ними в интересах не только торговли, но и в целях создания русского флота.

Указ Петра I об этой метрологической реформе до сих пор не найден, но многие литературные источники свидетельствуют о проведенном им изменении значения сажени. Значение сажени уменьшилось приблизительно на 1%, соответственно изменилось значение прочих единиц длины

Новое значение сажени отразилось и на значении версты: в употреблении осталась только верста в 500 сажен.

Приведенная в "Арифметике" Л. Ф. Магницкого система русских мер длины содержала только меры, употреблявшиеся XVII веке, причем указаны также полусажень и полуаршин, а локоть отсутствует. Фут и дюйм фигурируют в "Арифметике" лишь в задачах ("стопа" — фут и "цоль" или "палец" — дюйм). В целом система мер длины у Л. Ф. Магницкого имеет следующий вид: сажень = 2 полусаженям = 3 аршинам, аршин = 2 полуаршинам, полуаршин = 2 четвертям, четверть = 4 вершкам.

В XIX веке система единиц длины осталась в основном той же, какой была в XVIII веке:

1 сажень = 3 аршинам = 7 футам = 48 вершкам = 84 дюймам.

3. 2. Меры веса.

3. 2. 1. Система древнерусских мер веса.

В конце Х века в Киевской Руси развитие торговли разнообразными товарами требовало использования различных мер веса.

В литературных источниках XI - XV вв. упоминаются следующие меры веса: берковец, пуд, гривна, гривенка, золотник, с XIII в. еще почка и пирог. Соотношения между ними выведены по более поздним источникам: берковец = 4 пудам = 400 гривнам (большом гривенкам, фунтам) = 800 гривенкам гривенка = 2 полу гривенкам = 48 золотникам = 1200 почкам = 4800 пирогам

Берковец — эта большая мера веса, употреблялась в оптовой торговле преимущественно для взвешивания воска, меда, поташа и т. д.

Пуд — (от латинского pondus - вес, тяжесть) это не только мера веса, но и весоизмерительное устройство. При взвешивании металлов пуд являлся как единицей измерения, так и счетной единицей. Даже когда результаты взвешиваний являлись десяткам и сотням пудов, их не переводили в берковцы.

Гривна. Слово "гривна" употребляли для обозначения как весовой, так и денежной единицы. Это наиболее распространенная мера веса в розничной торговле и ремесле. Ее применяли и для взвешивания металлов, в частности, золота и серебра.

Золотник — около 4,3г. В X в. во времена киевского князя Владимира Святославича существовала монета, которую называли "златник". С конца XVI в. золотник служит единицей массы драгоценных металлов и камней. До 1927г. в России была принята  золотниковая система определения содержания драгоценных металлов (золота, серебра, платины) в сплаве, так называемая проба. Например, вещь 84-й пробы, изготовленная из серебра, содержит 84 золотника, или 84 х 4,3 = 361,2 (г) чистого серебра в фунте сплава. В настоящее время проба выражается в метрической системе.

Диапазон весовых значений взвешиваемых тел в эпоху Киевской Руси был значителен — меры веса имели естественное происхождение — в основе лежал вес зерен определенных злаков. Номенклатура древнерусских мер веса особенно широка от малых серебряных и золотых монет до больших кусков металла.

Кроме того практиковалось деление пуда и гривенки с коэффициентом 2 и с использованием коэффициента 3 (полпуда, четверть пуда, полчетверти пуда, треть пуда, полтрети пуда и т. д. )

В аптекарском деле доминировали "золотник", "ползолотник" и "зерно" ≈ 1/68 золотника. Появившееся в результате торговли с Западом наименование "фунт" постепенно вытеснило наименование "гривна" ("гривенка большая"), а слово гривенка стало употребляться без прилагательного.

3. 2. 2. XVII век введение новых мер — фунт, пуд.

Чистого разграничения между фунтом и гривенкой не существовало.

В XIX в. за основную единицу веса был принят фунт. Фунт был весьма распространен в розничной торговле, как и пуд, постепенно вытеснивший берковец. В 1894-98 гг. Д. И. Менделеевым был изготовлен платиново-иридиевый эталон фунта. Положением о мерах и весах 1899 года новый прототип фунта был узаконен и выражен в метрических мерах.

1 фунт =0,4095124 кг.

Из мер веса были узаконены: пуд, фунт, лот, золотник.

Номенклатура мер веса пополнилась метрическими мерами от тонны до миллиграмма.

В "Сравнительных таблицах" 1902г. были узаконены в метрических мерах значения самых различных мер веса.

Положением о мерах и весах 1916г. были узаконены метрические меры от "метрической весовой тонны" до миллиграмма. Кроме того, для взвешивания бриллиантов, жемчуга и драгоценных камней был легализован метрический карат (от арабского слова кирит) – единица веса (массы) драгоценных камней, бриллиантов, алмазов и пр. , а также золота, которую используют ювелиры всех стран, в том числе и России. С начала 20 столетия  установлен метрический карат, вес (масса) которого 0,2г. Карат является мерой содержания золота в сплаве.

3. 3. Меры объёма.

Ведро. Основная русская дометрическая мера объема жидкостей – ведро = 1/40 бочки = 10 кружек = 30 фунтов воды = 20 водочных бутылок (0,6) = 16 винных бутылок (0,75) = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров (15 л - по другим источникам, редко) Ведро – железная, деревянная или кожаная посуда, преимущественно цилиндрической формы, с ушками или дужкой для ношения. В обиходе, два ведра на коромысле должны быть в "подъём женщине". Деление на более мелкие меры проводилось по двоичному принципу: ведро делили на 2 полуведра или на 4 четверти ведра или на 8 получетвертей, а также на кружки и чарки. Древнейшая "международная" мера объёма - «горсть».

До середины XVII в. в ведре содержалось 12 кружек, во второй половине XVIIв. так называемое казённое ведро содержало 10 кружек, а в кружке — 10 чарок, так что в ведро входило 100 чарок. Затем, по указу 1652 года чарки сделали втрое больше по сравнению с прежними ("чарки в три чарки"). В торговое ведро вмещалось 8 кружек. Значение ведра было переменным, а значение кружки неизменным, в 3 фунта воды (1228,5 грамма). Объем ведра был равен 134,297 кубических вершков.

Бочка. Бочка, как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры. Равнялась 40 ведрам (492 л).

Материал для изготовления бочки выбирали в зависимости от её назначения: дуба - для пива и растительных масел ель - под воду липа - для молока и мёда

Чаще всего в крестьянском быту использовались небольшие бочки и бочонки от 5-и до 120-и литров. Большие бочки вмещали до сорока вёдер (сороковки)

Бочки использовали так же и для стирки (отбивки) белья.

В XV в. еще были распространены старинные меры - голважня, лукно и уборок. В XVI-XVII вв. наряду с довольно распространенными коробьей и пузом часто встречается вятская хлебная мера куница, пермская сапца (мера соли и хлеба), старорусские луб и пошев. Вятская куница считалась равной трем московским четвертям, сапца вмещала 6 пудов соли и приблизительно 3 пуда ржи, луб - 5 пудов соли, пошев - около 15 пудов соли.

Бытовые меры объема жидкостей были весьма разнообразны и широко использовались даже в конце XVII в. : смоленская бочка, боча-селёдовка (8 пудов сельдей; в полтора раза меньше смоленской).

В житейском обиходе и в торговле употребляли разнообразные хозяйственные сосуды: котлы, жбаны, корчаги, братины, ендовы. Значение таких бытовых мер в разных местах было различно: например, емкость котлов колебалась от полуведра до 20 ведер.

В XVII в. была введена система кубических единиц на основе 7-футовой сажени, а также введён термин кубический (или "кубичный"). Кубическая сажень содержала 27 кубических аршин или 343 кубических фута; кубический аршин — 4096 кубических вершков или 21952 кубических дюймов.

3. 4. Старинные меры в современном языке.

В современном русском языке старинные единицы измерения и слова, их обозначающие сохранились, в основном, в виде пословиц и поговорок.

Поговорки:

"Пишешь аршинными буквами" - крупно

"Коломенская верста" - шутливое название очень высокого человека.

"Косая сажень в плечах" - широкоплечий в поэзии:

Умом Россию не понять, Аршином общим (казённым) - не измерить. Тютчев

4. Старинные задачи.

4. 1. Задачи Л. Ф. Магницкого.

1. Как узнать день недели?

Перенумеровав дни недели, начиная с понедельника, по порядку с 1 до 7, предложите кому-нибудь загадать некоторый день недели. Затем предложите порядковый номер задуманного дня увеличить в 2 раза и к этому произведению прибавить 5. Полученную сумму предложите умножить на 5, а затем то, что получится, умножить на 10. По объявленному результату вы называете день недели, который был загадан.

Как узнать загаданный день недели?

2. У кого кольцо?

Перенумеровав присутствующих и отвернувшись от них, предлагаете кому-либо взять кольцо и одеть его на какую-нибудь руку на какой-нибудь палец. Затем попросите удвоить порядковый номер того, кто взял кольцо, и к полученному результату прибавить 5. Полученную сумму попросите умножить на 5 и к ней прибавить номер пальца, считая с мизинца. Полученную сумму попросите опять умножить на 10, к результату прибавить число 1, если кольцо надето на левую руку и число 2, если кольцо надето на правую руку. После объявления результата предложенных вами арифметических действий вы отгадаете, кто из присутствующих взял кольцо и на какой палец, какой руки надел его.

Как по объявленному результату это определить?

3. Отгадать несколько чисел.

Предложите кому-либо задумать несколько (вам известное кол-во) однозначных чисел. Затем предложить первое из задуманных чисел умножить на 2 и к полученному произведению прибавить 5. Получившееся число попросите умножить на 5 и к тому, что получится, попросите прибавить 10 и второе задуманное число. Затем надо столько раз, сколько осталось неиспользованных задуманных чисел, проводить такие операции. Умножать полученное от предыдущих действий число, но 10 и к произведению прибавить очередное задуманное число. После объявления результата предложенных вами действий вы объявляете, какие числа были задуманы.

Как узнать загаданные числа?

4. Какое число задумано?

Предложите кому-нибудь задумать двузначное число и объявить вам остатки от деления этого числа на 3, 5 и 7. После этого вы говорите, какое число было задумано.

Как отгадать задуманное число?

5. “Некий человек нанял работника на год,   обещал ему даже 12 руб и кафтан. Но тот,   работав 7 месяцев,  восхотел уйти и попросил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству 5 руб и кафтан,  какой цены был кафтан?” (4р. 80 к)

6. К однозначному числу приписать такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число? (В 11 раз)

7. Как 2 пиратам разделить добычу,   чтобы оба были довольны?

(Один делит поровну, а второй выбирает ту часть,  которая ему больше понравилась).

8. Некто продал коня за 156 рублей. Покупатель, заплатив деньги, раздумал, считая цену слишком высокой , и возвращает коня. Тогда торговец изменил условия покупки. Он предложил покупателю купить у него только подковные гвозди (по 6 гвоздей на каждой подкове, всего 24 гвоздя) и после уплаты за них получить в придачу и лошадь. За гвозди владелец лошади установил такую цену : за первый – полушку(1/4 копейки), за второй – ½ копейки, за третий – 1 копейку и т. д. , т. е. плата за каждый следующий гвоздь была в 2 раза больше , чем за предыдущий. Покупатель согласился, считая, что он заплатит не более 10 рублей. В задаче спрашивается, на сколько покупатель просчитался.

4. 2. Задачи Л. Н. Толстого.

1. У одного хозяина 23 овцы, а у другого на 7 больше. Сколько у них овец вместе?

2. У одного мужика 26 овец, а у другого на 5 овец меньше. Сколько у них овец вместе?

3. У двух мужиков 50 овец, а у одного 15. На сколько у него меньше против другого?

4. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена-600р. Сколько было всех денег?

5. У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

6. У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?

7. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследство было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

8. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 ч утра. В 12 ч выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 верст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

9. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно , что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец? ( Ответ:8 косцов)

4. 3. Задачи 1916 года.

1. Предлагается разрезать данную фигуру на возможно меньшее число частей и сложить из отрезков квадрат. Как это сделать?

2. (А. Н. Сергеев. 1916 год. )

Предлагается найти число, которое равнялось бы произведению числа, составленного четырьмя последними цифрами искомого числа, на квадрат числа, стоящего перед этими четырьмя цифрами. Требуется полное решение этой задачи.

3. (С. Г. Колмаков. 1916 год. )

На стол было подано самовар, содержащий некоторое целое количество стаканов кипятку. Пока он был на столе, выкипело 1/44 часть бывшей в нем воды. Из самовара было налито несколько стаканов, причем каждый стакан не доливали на 1/40 часть. Самовар был убран, когда в нем оставалось два полных стакана воды. Предлагается определить, сколько полных стаканов воды было в нем вначале? Указать способ решения этой задачи.

4. (А. Н. Сергеев. 1916 год. )

Купец купил три прямоугольных участка земли различной величины, заплатив по одному рублю за квадратную сажень. Каждый участок он огородил забором, при чем за сажень забора заплатил также по одному рублю. Подсчитав, во что обошелся каждый участок вместе с устройством забора, купец обнаружил. То затрата (в рублях) на каждый участок выражается четырехзначным числом, при чем число, составленное двумя последними цифрами этого числа, показывает длину участка (в саженях), а число, составленное двумя первыми цифрами,- его ширину. Предлагается определить размеры каждого участка.

5. Русские математики.

5. 1. Леонтий Филиппович Магницкий.

Биографические сведения о Л. Ф. Магницком очень бедны. Нет точных данных о том, где, при каких обстоятельствах узнал и оценил Петр I Леонтия Филипповича. Имеются сведения, что он был родным племянником архимандрита Нектария, устроителя Ниловой пустыни близ Осташкова Тверской губернии. Архимандрит Нектарий (в миру Николай Теляшин, 1587-1667) был хорошо известен царям Михаилу Федоровичу и Алексею Михайловичу. Немудрено, что сын крестьянина Осташковской слободы, близкий родственник архимандрита, стал известен Петру I. Где получил Леонтий Теляшин свои знания, особенно математические, – неизвестно. Ими он настолько привлек к себе Петра I, что тот назвал его “магнитом” и дал ему прозвище-фамилию Магницкий, с назначением на должность учителя в московскую вновь организованную школу “математических и навигационных наук”, где он и прослужил много лет, вплоть до своей смерти.

“Магницкий был похоронен в церкви Гребневской богоматери, что находилась в Москве на углу Лубянского проезда и Мясницкой улицы. В 1932 году при постройке метро эта церковь была разобрана. 27 мая на глубине одного метра обнаружилась небольшая плита из крепкого известняка, на обратной стороне которой действительно оказалась тонко выбита “эпитафия” надгробия Л. Ф. Магницкого. На другой день под плитой-памятником на глубине четырех метров обнаружена была гробница Магницкого. Она была выложена из хорошего кирпича и залита со всех сторон известью. В могиле находилась дубовая колода, в ней лежал невредимый скелет Леонтия Филипповича с некоторыми сохранившимися на нем покровами, в частности, сравнительно хорошо сохранились сапоги; под головой находилась стеклянная чернильница, имевшая форму лампадки, и рядом лежало полуистлевшее гусиное перо. Вместе с гробницей Леонтия Филипповича была гробница Марии Гавриловны, жены Магницкого, где на камне была высечена надпись, возвещающая об ее внезапной смерти при неожиданной встрече с сыном, которого она считала умершим”.

На плите-памятнике Л. Ф. Магницкого искусно выбит текст, написанный его сыном Иваном, из которого можно получить достоверные биографические сведения о Магницком:

1. время рождения – 9 июня 1669 г. ;

2. фамилия Магницкий дана царем Петром I в 1700 г. и неизвестна его фамилия до этого времени;

3. Магницкий “наукам научился дивным и неудобовероятным способом”; тем самым исключается его пребывание студентом духовной академии;

4. Магницкий был назначен учителем российского юношества;

5. время смерти – 19-20 октября 1739 г. “.

Тридцати с небольшим лет Магницкий становится учителем математики первой русской Математико-Навигацкой школы.

“14-го января 1701 года последовал указ Петра Великого об открытии Математико-Навигацкой школы: “быть Математических и Навигацких, то есть, мореходных хитросно наук учению”. Учителями школы были назначены приглашенные еще в 1698 году англичане: для “науки математической” – бывший профессор Абердинского университета Андрей Фарварсон, для “науки навигацкой” – Стефан Гвин и Ричард Грейс. Под школу была отведена Сухарева башня со всеми бывшими при ней строениями и землею. В помощь названным учителям вскоре был приглашен и Магницкий".

Научными предметами, преподаваемыми в Математико-Навигацкой школе, были: арифметика, геометрия, тригонометрия, с практическими приложениями их к геодезии и мореплаванию, навигация и часть астрономии.

Из этих предметов на долю Магницкого приходилась, вероятно, главным образом арифметика.

Для нового училища нужны были соответствующие учебники. “Сохранилась интересная “выпись” Оружейной палаты: “Февраля в 1 день (1701 г. ) взят в ведомость Оружейной палаты осташковец Леонтий Магницкий, которому велено ради народныя пользы издать через труд свой словенским диалектом книгу арифметику. А желает он имети при себе впомоществовании кадашевца Василия Киприанова ради скораго во издании книги совершения. О котором признал он, что имеет в тех науках знание отчасти и охоту. По которому его доношению, его великого государя, повелением он, Василий, тогож февраля в 16 день во Оружейную взят и через учителей школ математических о искусстве в вышеозначенных науках свидетельствован. А по свидетельству его, великого государя, повелением записан во Оружейной палате его, великого государя указом, и велено ему к скорому во издании тоя книги совершению чинить в чем может Магницкому помощствование, в чем он и трудился по самое тоя книги совершение”.

Как видим, с изданием столь необходимого для новой школы учебника спешили: он вышел в свет в кратчайший для такого труда срок (11 месяцев) тиражом 2400 экземпляров. “В награду за ее составление автор получил кормовые деньги со 2 февраля 1701 г. по 1 января 1702 г. в размере 5 алтын на день, а всего 49 рублей, 31 алт. , 4 деньги, в чем и выдал расписку, которая сохранилась в делах Морского архива”.

Вклад в математику. Одна из жемчужин учебной коллекции – “Арифметика” Магницкого, первый русский печатный учебник математики. В январе 1998 года исполнилось 295 лет со дня ее выхода. Влияние этой книги на развитие физико-математических знаний и исследований в России было очень велико. Недаром когда говорят про “Арифметику” Магницкого, то всегда вспоминают слова М. В. Ломоносова, называвшего ее “вратами своей учености”. Она была “вратами учености” не только для Ломоносова, но и для ряда поколений русских людей, сделавших много для просвещения страны. К тому же нужно учесть, что, помимо арифметических знаний, в ней были изложены также алгебраические, геометрические, тригонометрические, астрономические и навигационные сведения, так что произведение Магницкого в действительности было своеобразной энциклопедией математических знаний и давало достаточно обширные прикладные сведения.

5. 2. Михаил Васильевич Остроградский.

Биографические сведения. Остроградский родился 12 (25) сентября 1801г. в семье помещика Полтавской губернии Кобелякского уезда. На девятом году жизни он был определен в пансион при Полтавской гимназии, называвшийся домом для воспитания бедных детей. Гимназического курса обучения он не закончил и по желанию отца вышел из третьего класса гимназии. Отец хотел видеть сына военным; это было в то же время сильнейшим желанием мальчика. В 1816г. Остроградского повезли в Петербург для определения в один из гвардейских полков, но не довезли до туда, круто изменив решение по совету одного из родственников, горячо настаивавшего на определение юноши в университет.

Остроградский еще долго мечтал о военной службе, не сочувствовал своей гражданской карьере и учился плохо. Он готов был расстаться с мыслью о блестящем мундире гвардейца и помириться с положением провинциального пехотного или артиллерийского офицера. Лишь в конце второго года университетской жизни образ его мыслей резко изменился; он начал работать и сразу же ощутил в себе призвание к математике. Поводом для этого послужило то обстоятельство, что он тогда перешел жить на квартиру университетского преподавателя математика Павловского. Последний своими беседами сумел пробудить сначала интерес, а затем и страстную любовь Остроградского к науке. С жаром принявшись за ученье, Остроградский через два месяца поражал Павловского своими успехами. Математический талант давал Остроградскому возможность налету схватывать прочитанное и подмечать промахи и ошибки изложения. К концу года он сдал экзамены за курс университета.

В 1820г. Остроградский захотел оформить окончание университета. Для этого следовало сдать экзамены. Он их блестяще сдал. Ректор университета Осиповский, просвещенный и деятельный профессор, предложил присудить Остроградскому первую ученую степень – кандидата наук. Однако острая политическая борьба, существовавшая среди харьковской профессуры, привела к тому, что ее реакционная часть добилась лишения Остроградского диплома об окончании университета, мотивируя это его вольнодумством и непосещением лекций по богословию.

Эта обида не сломила Остроградского, а скорее побудила его к настойчивой дальнейшей работе. В 1822г. он отправился в Париж и там с жадностью начал впитывать высокую послереволюционную культуру французской математической школы, слушая лекции выдающихся математиков и физиков того времени: Ампера, Коши, Лапласа, Пуассона, Фурье. Вскоре он начал пробовать свои силы и на пути самостоятельного творчества. Уже в 1825 г. Коши в одном из мемуаров с похвалой отозвался об исследованиях Остроградского, посвященных вычислению интегралов. В следующем году Остроградский представил Парижской академии свой первый мемуар «О волнообразном движении жидкости в цилиндрическом сосуде», впоследствии напечатанный в ее трудах.

Денежные затруднения заставили Остроградского заняться педагогической работой в колледже Генриха IV, куда он поступил по рекомендации своих учителей.

В 1828г. Остроградский вернулся в Россию. Сохранились документы, согласно которым стало известно, что он тотчас же по возвращении был взят под надзор полиции.

Репутация талантливого ученого, приобретенная Остроградским в Париже, раньше его донеслась до России и доставила ему немедленно по приезде в Петербург звание адъюнкта Академии наук, а через два года и звание академика по прикладной математике.

В Петербурге Остроградский продолжал свои научные изыскания и со страстью отдался педагогической работе. Он преподавал в Главном педагогическом институте, в Институте путей сообщения, в Морском корпусе, в Михайловской артиллерийской академии; долгое время был главным наблюдателем за преподавателем математики в кадетских корпусах. В своей педагогической деятельности Остроградский стремился познакомить слушателя с высокой математической культурой французской школы и в своих лекциях сообщал о последних достижениях науки. Так, например, в Институте путей сообщения он рассказывал о работах Абеля по алгебраическим функциям, об исследованиях Штурма по отделению корней уравнений и пр. Насколько уровень преподавания Остроградского в технических учебных заведениях был выше уровня преподавания в университетах, мы увидим немного далее.

В 1856г. Парижская академия наук избрала Остроградского своим членом-корреспондентом в награду за его научные заслуги, а через пять лет его не стало, - он умер в Полтаве по дороге из своего поместья в Петербург.

Научные заслуги Остроградского. В истории математики одно из почетных мест принадлежит видному русскому ученому – академику Михаилу Васильевичу Остроградскому. Острый и смелый ум, широкое математическое образование, а также владение современным ему естествознанием позволило ему получить результаты первостепенного значения в механике и различных частях математики. Значительный интерес Остроградский проявил в теории алгебраических функций и опубликовал в этом направлении ряд своих исследований. Интересно заметить, что метод выделения алгебраической части интеграла от рациональной функции, приводимый теперь в учебниках, был найден Остроградским в связи с разработкой теории алгебраических функций. О том, что три работы Остроградского посвящены теории вероятностей, я только упомяну для того, чтобы подчеркнуть разносторонность его интересов, но не для того, чтобы на них показать силу его таланта. Ряд его научных результатов вошел в учебники, но многие его крупнейшие достижения, как это часто случалось с работами русских ученых, не дошли до широких научных кругов Запада и позднее были заново получены другими. Однако, несмотря на то, что лишь относительно небольшая часть его исследований стала достоянием современной ему европейской науки, его имя получило широкое признание далеко за пределами России. За то, что уже современники признали в нем одного из крупнейших математиков того времени, говорит хотя бы тот факт, что Остроградский был избран академиком не только Российской, но также Туринской, Римской, Американской Академии и членом-корреспондентом наиболее сильной по составу и научному весу Парижской Академии наук. Еще более значительны его заслуги в деле как развития научных исследований по математике в России, так и приближения уровня ее преподавания к западноевропейскому. Эти заслуги трудно преувеличить. О том, сколь велика была слава Остроградского в России, можно судить хотя бы по тому, что когда молодые люди отправлялись учиться в высшие учебные заведения, то друзья и родные напутствовали их словами: «становитесь Остроградским».

5. 3. Пафнутий Львович Чебышев.

Биографические сведения. Жизнь Пафнутия Львовича Чебышева небогата внешними событиями. Родился он 26 мая 1821г. в сельце Окатове Боровского уезда Калужской губернии. Первоначальное образование и воспитание он получил дома; грамоте его обучила мать Аграфена Иванова, а арифметике и французскому языку – двоюродная сестра Сухарева, девушка весьма образованная и, по-видимому, сыгравшая значительную роль в воспитании будущего математика. В 1832г. семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. Шестнадцатилетним юношей он стал студентом Московского университета и уже через год за математическое сочинение на тему, предложенную факультетом, был награжден серебряной медалью. С 1840г. материальное положение семьи Чебышевых пошатнулось, и Пафнутий Львович вынужден жить на собственный заработок. Это обстоятельство наложило отпечаток на его характер, сделав его расчетливым и бережливым; впоследствии, когда он уже не испытывал недостатка в средствах, он не соблюдал экономии в их расходовании только при изготовлении моделей различных приборов и механизмов, идеи которых часто рождались в его голове.

Двадцатилетним юношей Чебышев окончил университет, а через два года опубликовал свою первую научную работу, за которой последовал ряд других, все более и более значительных и быстро привлекших к себе внимание научного мира. Двадцати пяти лет П. Л. Чебышев защищал в Московском университете диссертацию на степень магистра, посвященную теории вероятностей, а еще через год был приглашен на кафедру Петербургского университета и переселился в Петербург. Здесь началась его профессорская деятельность, которой П. Л. Чебышев отдавал много сил, и которая продолжалась до достижения им преклонного возраста, когда он оставил лекции и отдался целиком научной работе, продолжавшейся буквально до последнего мгновения его жизни. В двадцать восемь лет он получил в Петербургском университете степень доктора, причем диссертацией служила его книга «Теория сравнений», которой затем в течение более полстолетия студенты пользовались как одним из самых глубоких и серьезных руководств по теории чисел. Тридцати двух лет Академия наук избрала П. Л. Чебышева адъюнктом по кафедре прикладной математики, а тридцати восьми – ординарным академиком. Год спустя он был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874г. та же Академия удостоила его весьма редкой чести избрания своим иностранным сочленом.

8 декабря 1894г. утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным столом. Накануне был его приемный день, он сообщал планы своих работ ученикам и наводил их на мысли о темах для самостоятельного творчества.

Научные заслуги Чебышева. Пафнутий Львович Чебышев оставил неизгладимый след в истории мировой науки и в развитии русской культуры.

Многочисленные научные труды почти во всех областях математики, в том числе достижения в теории чисел и теории вероятностей, а также в прикладной механики, труды, глубокие по содержанию и яркие по своеобразию методов исследования, создали П. Л. Чебышеву славу одного из величайших представителей математической мысли.

Для истории математики особенно важно то, что конструирование механизмов и разработка их теории послужили П. Л. Чебышеву исходной точкой для создания нового раздела математики – теории наилучшего приближения функций многочленами. Здесь П. Л. Чебышев явился пионером в полном смысле этого слова, совершенно не имея предшественников.

П. Л. Чебышев был доступен для всех, кто хотел научно работать и имел для этого данные; он щедро делился своими идеями. Благодаря этому он оставил после себя большое число учеников, ставших впоследствии первоклассными учеными; среди них: А. М. Ляпунов, А. А. Марков. От него идут истоки многих русских математических школ – теории чисел, теории приближения функций, теории механизмов, с успехом продолжающих работу и в наши дни.

5. 4. Софья Васильевна Ковалевская.

Биографические сведения. Софья Васильевна Ковалевская родилась в Москве 15 января 1850г. в семье артиллерийского генерала Василия Корвин-Круковского, занимавшего должность начальника арсенала. Через восемь лет после этого ее отец вышел в отставку поселился с семьей в своем имении Палибино (Витебская губерния), в котором и прошло все детство Ковалевской. Родители мало интересовались воспитанием детей, предоставив заботы об этом нянькам и гувернантками – сначала француженке, а затем англичанке. Быть может, последней Ковалевская обязана тем, что в ней воспитались поразительная работоспособность, усидчивость и аккуратность, так мало вязавшиеся с помещичьей деревенской жизнью.

В 1863 году при Мариинской женской гимназии были открыты педагогические курсы с отделениями естественно-математическим и словесным. Для этого Софья вступила в брак с Владимиром Онуфриевичем Ковалевским. Вскоре в Петербурге Софья стала тайно посещать лекции. Сдав экзамен на аттестат зрелости, Ковалевская решила изучать математику заграницей.

Ковалевская решила попытать счастья в Гейдельберге. После всевозможных проволочек комиссия университета допустила Софью к слушанию лекций по математике и физике. 3 октября 1870 года Ковалевская отправилась к Вейерштрассу в Берлин. Ковалевская написала первую самостоятельную работу - "О приведении некоторого класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим".

Зиму 1873 и весну 1874 года Ковалевская посвятила исследованию "К теории дифференциальных уравнений в частных производных". Она хотела представить его как докторскую диссертацию. Позднее, установили, что аналогичное сочинение, но более частного характера, еще раньше Ковалевской написал знаменитый ученый Франции Огюстен Коши. Задачу стали называть "теорема Коши - Ковалевской", и она вошла во все основные курсы анализа. Большой интерес представлял приведенный в ней разбор простейшего уравнения (уравнения теплопроводности), в котором Софья Васильевна обнаружила существование особых случаев, сделав тем самым значительное открытие. Совет Геттингенского университета присудил Ковалевской степень доктора философии по математике и магистра изящных искусств.

6 декабря 1888 года Парижская академия известила Ковалевскую о том, что ей присуждена премия Бордена.

7 ноября 1889 года Ковалевскую избрали членом-корреспондентом на физико-математическом отделении Российской академии наук.

В апреле 1890 года Ковалевская уехала в Россию в надежде, что ее изберут в члены академии на место умершего математика Буняковского. Когда она пожелала, как член-корреспондент, присутствовать на заседании Академии, ей ответили, что пребывание женщин на таких заседаниях "не в обычаях Академии".

Большей обиды, большего оскорбления не могли нанести ей в России. Ничего не изменилось на родине после присвоения С. Ковалевской академического звания. В сентябре она вернулась в Стокгольм.

29 января 1891 года не приходя в сознание, Софья Ковалевская скончалась от паралича сердца, в возрасте сорока одного года, в самом расцвете творческой жизни.

Научные заслуги Ковалевской. Безусловно, наиболее значительной была теорема Ковалевской о системах дифференциальных уравнений, которая излагается теперь во всех курсах по теории дифференциальных уравнений в частных производных. Задача состояла в условии таких достаточно широких условий, при которых система линейных дифференциальных уравнений имеет решение.

Это исследование Ковалевской не потеряло своего значения и до наших дней: оно вошло во все современные учебники теории дифференциальных уравнений в частных производных в виде одной из важнейших глав под названием «системы Ковалевской».

5. 5. Николай Иванович Лобачевский.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) — создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827-46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии.

Биографические сведения. Николай Иванович Лобачевский родился в 1792 году в Макарьевском уезде Нижегородской губернии Отец его занимал место уездного архитектора и принадлежал к числу мелких чиновников, получавших скудное содержание. Бедность, окружавшая его в первые дни жизни, перешла в нищету, когда в 1797 году умер отец и мать, в возрасте двадцати пяти лет, осталась одна с детьми без всяких средств. В 1802 году она привезла троих сыновей в Казань и определила их в Казанскую гимназию, где очень быстро заметили феноменальные способности ее среднего сына.

Когда в 1804 году старший класс Казанской гимназии был преобразован в университет, Лобачевского включили в число студентов по естественнонаучному отделению. Учился юноша блестяще, однако поведение его отмечалось как неудовлетворительное преподавателям не нравилось «мечтательное о себе самомнение, излишнее упорство, вольнодумствие».

Юноша получил прекрасное образование Лекции по астрономии читал профессор Литрофф. Лекции по математике он слушал у профессора Бартельса, воспитанника такого крупного ученого, как Карл Фридрих Гаусс. Именно Бартельс помог Лобачевскому выбрать в качестве сферы научных интересов геометрию.

Уже в 1811 году Николай Лобачевский получил степень магистра, и его оставили в университете для подготовки к профессорскому званию. В 1814 году Лобачевский получил звание адъюнкта чистой математики, а в 1816 году был удостоен профессорского звания. В это время Николай главным образом занимался наукой, но в 1818 году он был избран членом училищного комитета, который должен был, по уставу, управлять всеми делами, касавшимися гимназий и училищ округа, подведомственных тогда не непосредственно попечителю, но университету. С 1819 года Лобачевский преподавал астрономию, заменяя отправившёгося в кругосветное плавание преподавателя. Административная деятельность Лобачевского началась с 1820 года, когда он был избран деканом.

При Лобачевском Казанский университет достиг расцвета. Обладавший высоким чувством долга, Лобачевский брался за выполнение трудных задач и всякий раз с честью выполнял возложенную на него миссию. Под его руководством в 1819 была приведена в порядок университетская библиотека.

В 1825 Николай Лобачевский был избран библиотекарем университета и оставался на этом посту до 1835, совмещая (с 1827) обязанности библиотекаря с обязанностями ректора. Когда в университете началось строительство зданий, Лобачевский вошел в состав строительного комитета (1822), а с 1825 возглавил комитет и проработал в нем до 1848 (с перерывом в 1827-33 гг. ).

По инициативе Лобачевского начали издаваться «Ученые записки Казанского университета» (1834), были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет.

Активная университетская деятельность Лобачевского была пресечена в 1846, когда Министерство просвещения отклонило ходатайство ученого совета университета в оставлении Лобачевского не только на кафедре, но и на посту ректора. Незаслуженный удар был тем более ощутим, что Министерство удовлетворило испрашиваемую в том же ходатайстве просьбу ученого совета об оставлении на кафедре астронома И. М. Симонова, участника экспедиции Ф. Ф. Беллинсгаузена и М. П. Лазарева (1819-21 гг. ) к берегам Антарктиды.

Неевклидова геометрия. Величайшим научным подвигом Николая Лобачевского считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В протоколе заседания об этом великом событии следующая запись: «Слушано было представление Г. Орд. Профессора Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением своего сочинения на французском, о котором он желает знать мнение членов Отделения и, ежели оно будет выгодно, то просит сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета».

В 1835 Николай Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии: «Напрасное старание со времен Евклида в продолжении двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки, будучи, наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Лобачевский исходил из допущения, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько прямых, не пересекающихся с данной прямой. Развивая следствия, проистекающие из этого допущения, которое противоречит знаменитому V постулату (в других вариантах 11-ой аксиоме) «Начал» Евклида, Лобачевский не убоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» — квинтэссенции повседневного опыта.

Ни комиссия в составе профессоров И. М. Симонова, А. Я. Купфера и адъюнкта Н. Д. Брашмана, назначенная для рассмотрения «Сжатого изложения», ни другие современники Лобачевского, в том числе выдающийся математик М. В. Остроградский, не смогли по достоинству оценить открытие Лобачевского. Признание пришло лишь через 12 лет после его кончины, когда в 1868г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические.

К неевклидовой геометрии пришел также Янош Бойяи, но в менее полной форме и на 3 года позже (1832).

Дальнейшее развитие идей Лобачевского. Открытие Николая Ивановича Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен «Начал» Евклида: «Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?». До появления геометрии Лобачевского существовала только одна геометрия — евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки: в 1872 Феликс Клейн определил геометрию как науку об инвариантах той или иной группы преобразований (различным геометриям соответствуют различные группы движений, т. е. преобразований, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя точками; геометрия Лобачевского изучает инварианты группы Лоренца, а прецизионные геодезические измерения показали, что на участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида).

Что же касается геометрии Лобачевского, то она действует в пространстве релятивистских (т. е. близких к скорости света) скоростей. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.

Умирая, Николай Лобачевский произнес с горечью: «И человек родился, чтобы умереть». Его не стало 12 февраля 1856 года.