Общество  ->  Универсальное  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Понятие подобных треугольников

Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.

Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни, поэтому и в школьной геометрии этой теме уделяется, пожалуй, самое пристальное внимание. Из всего многообразия тем, связанных с треугольником, меня больше всего привлекла тема: «Подобие треугольников». Цель моего реферата – обобщить весь теоретический материал по данной теме и показать его применение при доказательстве теорем и решении различных задач.

Искусство изображать предметы на плоскости с древних времён привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. При этом человек стремился к тому, чтобы изображение правильно отражало естественную форму предмета. Основное требование к изображению сводилось к соответствию точек натурального объекта с точками изображения на плоскости или какой-либо другой поверхности.

Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э. ), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские дворцы, индийские и другие памятники древности. Многие обстоятельства, в том числе особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересечённых несколькими параллельными прямыми, была известна ещё вавилонским учёным, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милецкому. До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идёт о построении пропорциональных отрезков путём проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов. В "Московском" папирусе при рассмотрении отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный треугольник применяется специальный знак для понятия "отношения".

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V - IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге "Начал" Евклида, начинающейся следующим определением: "Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны".

В "Началах" Евклида учения об отношениях излагаются дважды. В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и целым числам. Евклид применяет её для исследования свойств целых чисел. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом. Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенная в VI книге "Начал".

Символ, обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S - первая буква в слове similis, что в переводе означает подобие.

Понятие подобных треугольников.

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Подобие треугольников записывается так: ∆ АВС ∆ А1В1С1.

Подобные треугольники могут быть произвольно расположены как на плоскости, так и в пространстве.

Определение. Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.

Если фигуры равны, то они подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если фигуры подобны, то они не обязательно равны.

ТЕОРЕМА. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

∆АВС ∞ ∆

Коэффициент подобия равен k

Доказать:

Доказательство:

1) Пусть , а.

2) Так как ∆АВС ∞ ∆, то , тогда

(По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу)

3) Так как ∆АВС ∞ ∆, то по определению, получим , , тогда.

Доказано.

ТЕОРЕМА.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

∆АВС ∞ ∆

Коэффициент подобия равен k

Доказать:

Доказательство:

1. Так как ∆АВС ∞ ∆, то по определению, получим , ,, значит

2. , подставим полученные формулы и получим , сокращаем и получаем.

Доказано.

Признаки подобия треугольников.

Таким образом, для того, чтобы установить подобие треугольников, нужно доказать, что их сходственные стороны пропорциональны и соответственные углы равны. Оказывается, что подобие треугольников можно доказать, проверив только некоторые из равенств или. Для этого используются признаки подобия треугольников.

ТЕОРЕМА. (первый признак подобия – по двум равным углам. )

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Дано: ∆АВС и ∆

А = , В =.

Доказать: ∆АВС ∞ ∆

Доказательство.

1. По теореме о сумме углов треугольника получим С =1800 – А –В, С1 = 1800- А1 –В1, и, значит, С =. Таким образом, углы ∆АВС соответственно равны углам ∆.

2. Т. к. А = , то.

3. Т. К. С = , то

3. Так как левые части этих равенств равны, то правые части тоже равны, тогда получим = , из этого равенства следует, что

4. Аналогично, используя равенства А =, В =получаем

5. Итак, стороны ∆АВС пропорциональны сходственным сторонам ∆и соответственные углы равны, тогда по определению ∆АВС ∞ ∆.

Теорема доказана.

Следствия из этой теоремы:

1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

ТЕОРЕМА. (Второй признак подобия – по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними)

Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Дано:∆АВС и ∆,

Доказать:

∆АВС ∞ ∆

Доказательство:

1. Чтобы доказать, что ∆АВС ∞ ∆, достаточно доказать, что В = , тогда треугольники будут подобны по 1 признаку подобия треугольников.

2. Рассмотрим треугольник, у которого =, =, тогда ∆ ∞ ∆ (по первому признаку подобия треугольников), поэтому.

3. По условию. Из этих двух равенств получаем.

4. По условию , по построению =, тогда =.

5. ∆= ∆по двум сторонам и углу между ними: , АВ- общая сторона, =.

6. Из равенства треугольников получим, что =.

7. Так как = и =, то.

8. Так как и , то ∆АВС ∞ ∆ (по 1 признаку).

Теорема доказана.

Следствие.

Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

ТЕОРЕМА. (третий признак подобия - по пропорциональности трех сторон)

Два треугольника подобны , если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Дано: ∆АВС и ∆

Доказать:

∆АВС ∞ ∆

Доказательство.

1. Чтобы доказать, что ∆АВС ∞ ∆, достаточно доказать, что и воспользоваться 2 признаком подобия.

2. Рассмотрим ∆, у которого ,, тогда ∆ ∞ ∆ (по первому признаку подобия треугольников), поэтому

3. Сравнивая эти равенства с равенствами (1) получаем: ,

4. ∆= ∆по трем сторонам: ,, АВ- общая сторона.

5. Из равенства треугольников следует, что.

6. Так как и , то.

7. Так как и , то ∆АВС ∞ ∆ (по 2 признаку).

Теорема доказана.

Замечание: Из определения и признаков подобия следует, что в подобных треугольниках все соответственные элементы пропорциональны. В частности, в подобных треугольниках отношение высот, медиан, биссектрис, радиусов вписанных и описанных окружностей равно отношению соответственных сторон.

Применение подобия при доказательстве теорем.

ТЕОРЕМА 1.

Прямая, параллельная какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник подобный данному.

Дано: ∆ АВС, DЕ ║ АС

Доказать: ∆АВС ∞ ∆DВЕ

Доказательство:

1. Т. к. DЕ ║ АС, то 1=А, 2=С ( как соответственные углы при пересечении параллельных прямых DЕ и АС секущими АВ и ВС).

2. Т. к. 1=А, 2=С ,то ∆АВС ∞ ∆DВЕ (по первому признаку подобия треугольников)

Доказано.

ТЕОРЕМА 2.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано:∆АВС

МК- средняя линия

Доказать:

МК=АС, МК ║ АС

Доказательство:

1. Так как МК – средняя линия ∆АВС, то точки М и К – середины АВ и ВС, тогда.

2. Так как , то , значит.

3. Рассмотрим ∆ВМК и ∆ВАС, у них В- общий, ,тогда ∆АВС ∞ ∆МВК (по 2 признаку подобия треугольников)

4. Так как ∆АВС ∞ ∆МВК, то (по определению).

5. - а это соответственные углы при пересечении прямых АС и МК секущей АВ, значит МК ║ АС

6. , следовательно, МК=АС.

Доказано.

ТЕОРЕМА 3.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

медианы

Доказать:

Доказательство.

1. Пусть точка О - точка пересечения его медиан и.

2. Так как и - медианы, то и - середины сторон ВС и АС, тогда проведем - среднюю линию ∆АВС (по определению).

3. Так как - средняя линия ∆АВС, то по свойству средней линии =АВ, ║ АВ

4. Так как. ║ АВ, то и , как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и секущими и.

5. Так как. и , то ∆ АОВ ∞ ∆ по двум углам, значит их стороны пропорциональны:.

6. Так как =АВ, то =ВО и =АО, поэтому АО=2и ВО=2.

7. АО=2, тогда

8. ВО=2, тогда

9. , , следовательно, получаем, что точка О – точка пересечения медиани , делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

10. Аналогично доказывается что точка пересечения медиан и делит каждую их них в отношении 2:1, считая от вершины. И, следовательно, совпадает с точкой О.

11. Итак, все три медианы ∆АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказано.

ТЕОРЕМА 4.

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, подобных данному треугольнику.

∆ АВС, , СМ – высота

Доказать:

1) ∆АВС ∞ ∆АСМ

2) ∆АВС ∞ ∆АСМ

3) ∆АВС ∞ ∆АСМ

Доказательство.

1. Так как СМ- высота, то.

2. В ∆АВС и ∆ АСМ , значит ∆АВС ∞ ∆АСМ

(первому признаку).

3. В ∆АВС и ∞ ∆СВМ , значит ∆АВС ∞ ∆АСМ

(по первому признаку).

4. В ∆АВС:

В ∆АСМ: , следовательно

5. Так как , , то ∆АВС ∞ ∆АСМ (по первому признаку).

Доказано.

Следствия из теоремы 8:

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

2Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой проведенной из вершины прямого угла.

ТЕОРЕМА 5.

Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

ВD - биссектриса.

Доказать:

Доказательство.

1. Проведем перпендикуляры АК и СМ из вершин А и С на прямую ВD.

2. Получили ∆АКD и ∆СМD - прямоугольные, где (вертикальные), следовательно, ∆АКD ∞ ∆СМD, тогда их стороны пропорциональны, значит,.

3. Рассмотрим ∆АВК и ∆СВМ: , (ВD - биссектриса В), следовательно, ∆АВК ∞ ∆СВМ, тогда.

4. Получили и , значит, , тогда.

Доказано.

ТЕОРЕМА 6.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Окружность (О; r)

АВ и CD – хорды

Доказать:

Доказательство:

1. - вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, - вертикальные, тогда ∆AED ∆CED (по двум углам).

2. ∆AED ∆CED, следовательно, , тогда получаем, что

Доказано.

ТЕОРЕМА 7.

Докажите, что в остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает треугольник, подобный данному.

∆АBC – остроугольный,

Доказать:

∆A1ВС ∞ ∆АBC

Доказательство:

1. , ∆BA1A и ∆BC1C, тогда ∆BA1A∞∆BC1C (по 1 признаку).

2. Так как ∆BA1A∞∆BC1C, то , значит.

3. и угол ∆A1ВС1 и ∆ABC, значит ∆A1ВС1 ∞ ∆ABC (по 2 признаку).

Теорема доказана.

Следствие:

Из прямоугольных ∆BA1A и ∆BC1C следует, что ;

ТЕОРЕМА 8. (Теорема Менелая).

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении сторон АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки ,лежащие на одной прямой, то.

Доказать:

Доказательство:

1. Проведем через точку С прямую СК ││АВ, где К.

2. - общий, - соответственные при СК ││АВ , тогда ∆ ∆ , значит, следовательно,.

3. - вертикальные, - накрест лежащие при СК ││АВ, тогда ∆ ∆, значит, , следовательно,.

4. Следовательно, или.

Доказано.

Практическое применение подобия.

Определение, свойства и признаки подобия треугольников могут быть использованы для проведения измерительных работ на местности и решения практических задач.

Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он, видимо, очень хорошо знал геометрию. В рассказе “Обряд дома Месгрейвов” он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: “ я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать”.

Задача 1. Измерение высоты дерева

Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный ∆ АВ1C1 , у которого А = 45о и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ1, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние АС = 5,6м, а высота человека 1,7м?

∆АВ1С1,

С = 90о,

А = 45о,

АС = 5,6м, h человека = 1,7м.

Найти: BD

Решение:

1. Рассмотрим ∆АВС и ∆АВ1С1: А – общий, АС1В1 = АСВ = 900 (по условию), тогда ∆АС1В1 ∞ ∆АСВ (по 1 признаку подобия).

2. Так как ∆АС1В1 ∞ ∆АСВ, то и (по определению подобия).

3. В прямоугольном ∆АС1В1, известно, что А = 45о, тогда АВ1C1 = 45о.

4. Так как , то , тогда ВС=АС= 5,6м.

5. Высота дерева равна BD, BD = BC + CD, где CD = h человека = 1,7м. , получаем, BD = 5,6м + 1,7м = 7,3м

Ответ: высота дерева равна 7,3м.

Задача 2. Неприятельская вышка

Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

АВ = 50м,

MN = 22м,

BN = 500м.

Найти: КВ.

Решение:

1. ∆АКВ ∞ ∆АМN по 1 признаку подобия: А – общий, АВК = AMN = 900 (колокольня и защитная маска расположены перпендикулярно земле).

2. Так как ∆АКВ ∞ ∆АМN, то (по определению подобных треугольников)

3. тогда.

4. Получим, , тогда.

Ответ: 2 м.

Задача 3. Определение расстояния до кораблей в море

Найти расстояние от точки А, находящейся на берегу до корабля

АВ = х.

Найти: АК.

Решение:

1. Выбираем на местности точку В, измеряем расстояние АВ.

2. С помощью специальных приборов измеряем углы, под которыми виден корабль (точка К) из точек А и В.

3. Строим ∆А1В1К1, у которого

4. Так как , то ∆А1К1В1 ∞ ∆АКВ (по 1 признаку подобия).

5. Так как ∆А1К1В1 ∞ ∆АКВ, то.

6. Измерив длины отрезков АВ, А1К1 и А1В1, найдём длину отрезка АК по формуле.

Задача 4. Определение высоты дерева.

Длина тени дерева 21 м. В это же время суток тень человека ростом 1,8 м составляет 2,7 м. Какова высота дерева?

Пусть АС – высота дерева, А1С1 – рост человека, ВС – длина тени дерева, В1С1 – длина тени человека. Считаем, что и дерево, и человек располагаются перпендикулярно земле.

∆А1С1В1 и ∆АСВ,

А1С1 = 1,8 м,

ВС = 21 м,

В1С1 = 2,7 м

Найти: АС.

Решение:

1. Так как угол падению солнца одинаковый, то

2. Получаем, , , тогда ∆А1С1В1 ∞ ∆АСВ (по первому признаку подобия).

3. Так как ∆А1С1В1 ∞ ∆АСВ, то

4. , тогда.

5. , тогда АС = 14 м.

Ответ: высота дерева 14 метров.

Задача 5. Нахождение ширины реки.

На рисунке показано, как можно определить ширину BB1 реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и AB1C1. Определите BB1, если AC = 100 м, AC1 = 32 м, AB1 = 34 м.

Решение:

1. Так как ∆АС1В1 ∞ ∆АСВ, то , тогда.

3. , получим АВ = 106,25 метров

Ответ: метра.

Задача 6. Найти середину отрезка АВ, заданного на местности двумя точками А и В.

Дано: отрезок АВ, F – середина АВ

Найти: F

Построение.

1. Возьмем какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ.

2. Продолжим прямую ВС за точку С и отложим на ней точку D на расстоянии равном 2ВС от точки С (DG = GC=ВС).

3. Соединим точки А и D.

4. Продолжим прямую AD за точку А, и отложим на ней точку Е на расстоянии равном AD от точки А (AD = AE).

Доказательство.

1. Докажем, что искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС.

2. Рассмотрим ∆EDC. Так как AD = AE, DG = GC (по построению), то AG – средняя линия ∆ EDC, тогда СЕ ││AG.

3. Рассмотрим ∆ABG. В нём СF ││AG, тогда по теореме 5, ∆АВG ∞ ∆BCF, следовательно,.

4. Так как по построению GC=ВС, то , а значит , а следовательно.

5. , значит F – середина АВ.

Задачи.

Задача 1.

Дана трапеция ОКМN (ОN – большее основание). Боковые стороны трапеции продолжены до пересечения в точке S. Докажите, что подобен.

ОКМN – трапеция,

ОN ││ КМ, ОN > КМ

ОК ∩ MN = S

Доказать:

Доказательство.

Так как ОКМN – трапеция, то ОN ││ КМ, тогда по теореме 5, ∞.

Доказано.

Задача 2.

Через точку М взятую на медиане АК треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке Е. Найдите отношение если.

АК – медиана,

ВМ ∩ АС = Е,

Решение.

1. Проведем прямую КО║ВЕ

2. Т. к. ОК║ВЕ, то ∆КОС ∞ ∆ВЕС (по теореме 5), тогда.

3. Т. к. АК -медиана, то ВК=КС=ВС, тогда , значит ЕС=2ОС, следовательно ОЕ=ОС.

4. Т. к. КО║ВЕ, то ∆АМЕ ∞ ∆АКО (по теореме 5), тогда.

5. Т. к. , то МК=2АМ, тогда АК = АМ + МК = АМ + 2АМ = 3АМ, тогда , значит,.

6. ,значит АЕ=АО, следовательно, АО=3АЕ.

7. АО = АЕ + ЕО, тогда ЕО = АО – АЕ, значит ЕО = 3АЕ – АЕ = 2АЕ.

8. Получили, ЕО=ОС= 2АЕ, тогда АС = АЕ + ЕО + ОС = АЕ + 2АЕ + 2АЕ = 5АЕ, тогда АЕ=АС, ЕС=АС, тогда =.

Ответ: =

Задача 3.

Основания трапеции равны 8 и 12 см. Боковые стороны, равные 4,5 см и 5,2 см, продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояния от точки M до концов меньшего основания.

ABCD – трапеция,

BC ││ AD,

BC = 8 см,

AD = 12 см,

AB = 4,5 см,

CD = 5,2 см,

AB ∩ CD = M

Найти: МВ, МС.

Решение:

1. Пусть ВМ = х см, СМ = у см, тогда МА = (х + 4,5) см, МD = (у + 5,2) см.

2. Так как ABCD – трапеция, то BC ││ AD, тогда ∆АМD ∞ ∆BMC (по теореме 5), тогда

3. Так как , то ,

4. , получим , тогда , , , , , таким образом ВМ = 9 см.

5. , получим , тогда , , , , , таким образом СМ = 10,4 см.

Ответ: 9 см и 10,4 см

Задача 4.

В ∆MNK на стороне МК как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны MN и NK в точках Е и F соответственно,.

Найти FEN.

∆MNK, окружность (О; r),

МК – диаметр окружности,

MN ∩ окружность (О; r) = Е,

NK ∩ окружность (О; r) = F,

Найти: FEN.

Решение.

1. Проведём MF и КЕ.

2. Так как МК – диаметр окружности, то (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)

3. Так как , то MF и КЕ – высоты ∆MNK, тогда ∆MNK ∞ ∆MFЕ (по теореме 11)

4. Так как ∆MNK ∞ ∆MFЕ, то соответственные углы равны, значит,.

5. , значит,.

Ответ:.

Задача 5.

АВ - диаметр круга, а точка Р вне его выбрана так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и D соответственно, причем CD делит ∆ABP на части, площади которых относятся как 1:3. Найти угол между АР и ВР (или угол, под которым виден диаметр круга из точки Р).

∆АВР, круг (О; r), АВ – диаметр круга,

АР ∩ круг(О; r) = С, ВР ∩ круг(О; r) = D,

Найти: APB.

Решение:

1. Проведём BC и AD.

2. Так как AB – круга, то (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)

3. Так как , то BC и AD – высоты ∆АВР, тогда ∆АВР ∞ ∆PCD (по теореме 11)

4. Так как ∆АВР ∞ ∆PCD, то

5. Так как , то , тогда , значит,.

6. По следствию из теоремы 11, получим, , следовательно, , тогда.

Ответ:.

Задача 6.

Прямая l пересекает стороны АВ и АD параллелограмма АВСD в точках Е и F соответственно. Пусть G точка пересечения прямой l с диагональю параллелограмма АС. Доказать, что

ABCD – параллелограмм

Доказать:

Доказательство:

1. Проведем ВК ││ l и DL││ l , где К и L точки диагонали АС.

2. - общий, - соответственные при DL ││ l, тогда ∆ АLD ∆ AGF АЕG, значит,

3. - общий, - соответственные при ВК ││ l, тогда ∆АВК ∆ АЕG, значит,

4. Так как стороны ∆АВК и ∆DLC попарно параллельны, а АВ = CD, то ∆АВК=∆DLC, и значит, AK=LC.

5. Получаем, что.

Доказано.

Задача 7.

В параллелограмме АВСD точка К – середина стороны ВС. Отрезок АК пересекает диагональ ВD в точке О. Найти площадь параллелограмма АВСD, если площадь треугольника ВОК равна 2.

ABCD –параллелограмм

ВК = КС

Решение:

1. -накрест лежащие при AD ││ BC (по определению параллелограмма), - вертикальные, тогда , следовательно

2. По условию ВК=КС=АD, тогда , и значит,

3. Так как и то тогда следовательно

4. Так как ∆АВО и ∆ADO имеют общую высоту, проведённую из вершины А, то их площади относятся как основания, следовательно,, то.

5. Получаем

Ответ:.

Задача 8.

В треугольнике АВС через точку D, лежащую на стороне АС, проведена прямая параллельно стороне АВ до пересечения со стороной ВС в точке К. Найдите отношение ВК к КС, если площадь треугольника BKD составляет от площади треугольника АВС.

Решение:

1. Проведём через точку D прямую DL││ВC, где.

2. , DL││ВC, тогда BKDL – параллелограмм, а значит ∆DLB = ∆BKD, тогда , получаем.

3. - общий, - соответственные при DL ││ ВС, тогда ∆DLА ∆СKD, значит

4. - общий, - соответственные при DL ││ ВС, тогда ∆DLА ∆ABС, значит

5. ∆DLА ∆СKD , ∆DLА ∆ABС, значит ∆ABC ∆СKD, тогда

6. По обобщенной теореме Фалеса получим, , тогда.

9. , значит.

10. , значит.

11. Получаем и, значит, , отсюда

12. Решаем полученное уравнение, и получаем, что , значит или

Ответ: или

Задача 9.

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла опущена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADC и CDB, равны соответственно r1 и r2. Найдите радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС.

∆АВС, окружность (О1; r1) вписана в ∆ACD окружность (О2; r2) вписана в ∆ВCD окружность (О; r) вписана в ∆AВC

Найти: r

Решение:

1. По теореме 8 получим, что ∆ACD ∆АCB, тогда

2. Так как в подобных треугольниках все соответственные элементы пропорциональны, то отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению соответственных сторон, значит , тогда.

3. По теореме 8 получим, что ∆ВCD ∆АCB, тогда.

4. Так как в подобных треугольниках все соответственные элементы пропорциональны, то отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению соответственных сторон, значит , тогда.

5. Так как ∆АВС – прямоугольный, то по теореме Пифагора

6. Подставляем полученные значения а и в, получаем , тогда , а следовательно, , а значит , откуда получаем

Задача 10.

Катет ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С разделен точками D и Е на три равных отрезка. Докажите, что если ВС = 3АС, то.

CE = ED = DB

ВС = 3АС

Доказать:

Доказательство:

1. Так как CE = ED = DB, то ВС =3СE

2. ВС =3СE и ВС = 3АС, тогда СЕ =АС

3. Пусть СЕ = а, тогда АС = ED = DB = а.

4. Из прямоугольного ∆АСЕ, по теореме Пифагора получим АЕ =

5. Из прямоугольного ∆АСD, по теореме Пифагора получим АD =

6. Из прямоугольного ∆АBC, по теореме Пифагора получим АB =

7. Получаем, что в ∆DEA и ∆BEA стороны пропорциональны: , а значит, ∆DEA ∆BEA

8. Так как ∆DEA ∆BEA, то по определению,

9. ∆АСЕ – прямоугольный и АС = СЕ , значит

10. Получаем

Доказано.

Заключение

Данный реферат является кратким учебным пособием по теме: «Применение подобия треугольников при доказательстве теорем и решении задач». В работе обобщен и систематизирован весь теоретический материал по данной теме, приведена подборка большого количества теорем и задач. Реферат предназначен для учащихся старших классов и может служить пособием для подготовки в ВУЗы.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)