Что такое многогранники и каких видов они бывают

Нас окружает множество предметов. Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской. Разных людей интересуют разные качества этих предметов. Математиков интересуют форма предметов и их размеры.

Изображённый на рисунке 1 мяч имеет форму шара.

Многие небесные тела имеют форму, близкую к форме шара.

Заметьте, что формы предметов очень разнообразны и не для всякой формы имеется специальное название.

Так как математики изучают не сами предметы, а их формы, то вместо предметов они рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус и т. д.

Название многих геометрических тел идут из глубокой древности, причём произошли они от соответствующих предметов. Например, из Древней Греции пришли термины: «конус», «пирамида», «цилиндр».

Обратите внимание на интересный факт: все геометрические тела называются словами иностранного происхождения. А линии и их части называются чисто русскими словами: прямая, отрезок, ломанная, луч, треугольник, многоугольник.

Вспомним, что замкнутая линия разбивает плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Эти области отделяются друг от друга самой данной линией, которая для каждой из этих областей является границей.

Точно так же и каждое геометрическое тело, которое мы рассматриваем, имеет внутреннюю и внешнюю области. Внутренняя и внешняя области геометрического тела отделены друг от друга поверхностью этого тела. Поверхность шара называется сферой, а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет, говорят просто: поверхность конуса, поверхность куба и т. д.

Среди множества разнообразных геометрических тел есть большая группа многогранников. На рисунке 4 изображены различные многогранники:

При всём их различии многогранники имеют ряд общих свойств.

Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника.

Вершины этих многоугольников являются так же и вершинами многогранника, а стороны многоугольников - рёбрами многогранника.

Обратите внимание на то, что у многоугольника число вершин равно числу сторон, а у многогранника число вершин и число граней необязательно одинаково.

2. Изображение геометрических тел.

С давних пор люди пытались изобразить объёмные тела на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Были разработаны специальные приёмы, позволяющие обмануть зрение. Один из них – перспектива. Простым примером может служить картина, на которой изображены железнодорожные рельсы: рельсы кажутся сходящимися в одной точке, что и создаёт иллюзию объёмного изображения.

Здесь изображён многогранник . Хорошо видны три его передние грани, но, не «обойдя его», невозможно представить себе, как он выглядит сзади.

Представьте себе, что этот многогранник прозрачный Теперь мы видим все его грани, рёбра, вершины. Но изображать многогранник прозрачным не очень удобно. Получается набор линий, как на рисунке в, в котором трудно разобраться. Глядя на этот рисунок, невозможно понять, как линии расположены в пространстве.

В геометрии для облегчения восприятия договорились линии, которые скрыты от глаз наблюдателя, изображать не простыми, а штриховыми. Тогда наш многогранник мы будем изображать так, как показано на рисунке г.

§ 2. Параллелепипед и пирамида.

3. Прямоугольный параллелепипед.

Многогранники могут иметь самую различную форму. Среди них выделяют прямоугольный параллелепипед.

Обычный, всем известный кирпич с точки зрения геометрии является параллелепипедом. Форму параллелепипеда имеют спичечные коробки, телевизоры и многие другие предметы, с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни. Форму прямоугольного параллелепипеда часто используют архитекторы при проектировании зданий. Каждый параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину, высоту .

У параллелепипеда 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней. Каждая грань параллелепипеда – прямоугольник. Противоположные грани параллелепипеда равны.

Среди всех параллелепипедов особую роль играет один, хорошо вам известный – куб. Куб – это такой прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, поэтому все его грани – квадраты.

4. Пирамида.

Важным и интересным семейством многогранников являются пирамиды.

У пирамиды различают основание и боковые грани .

Боковые грани – треугольники, сходящиеся в одной вершине, а основание – многоугольник, противолежащий этой вершине. В основании может лежать многоугольник с любым количеством сторон. Пирамиду называют по числу сторон её основания: треугольная пирамида, четырёхугольная, шестиугольная и т. д.

Простейшей пирамидой и даже простейшим многогранником является треугольная пирамида. Все её грани – треугольники, и каждая из них может считаться основанием. У треугольной пирамиды четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины. Ни один многогранник не может иметь меньшего числа граней, вершин или рёбер, чем у треугольной пирамиды.

Форму пирамид имели гробницы фараонов в Древнем Египте. В третьем тысячелетии до нашей эры египтяне сооружали пирамиды, сложенные из каменных блоков, позже они стали придавать пирамидам геометрически правильную форму. Древнеегипетские пирамиды сохранились до наших дней. Одна из самых знаменитых – пирамида Хеопса, высота которой достигает 147 метров.

§3. Свойства и площади многогранников.

Изучая многогранники, я заметил ряд интересных особенностей.

Например: посчитаем число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) у различных многогранников и запишем результат в таблицу.

Призма В Г Р В+Г-Р

Треугольная 6 5 9 2

Четырехугольная 8 6 12 2

Пятиугольная 10 7 15 2

Шестиугольная 12 8 18 2

N-угольная 2n 2+n 3n 2n+(2+n)-3n=2

Пирамиды В Г Р В+Г-Р

Треугольная 4 4 6 2

Четырехугольная 5 5 8 2

Пятиугольная 6 6 10 2

Шестиугольная 7 7 12 2

N-угольная 1+n 1+n 2n 1+n+(1+n)-2n=2

Вывод: свойство справедливо для всех призм и пирамид.

Я выяснил, что для решения практических задач необходима такая величина, как площадь боковой поверхности.

А что такое площадь и как ее измерить? Многие путают понятие площади с понятием поверхности.

Чтобы узнать площадь фигуры надо выбрать какую-то фигуру за единицу площади - меру для площадей. Такой фигурой принято считать квадрат, сторона которого равна единицы длины. Чтобы найти площадь фигуры, надо узнать, сколько раз единичный квадрат укладывается в измеряемой фигуре. Площади многих многоугольников мне уже давно известны, а вот как найти площади многогранников мне представляло выяснить.

Так у многогранников грани - это знакомые мне многоугольники - квадраты, прямоугольники, треугольники, пятиугольники и т. д. , то я стал рассматривать сумму площадей граней. И при нахождении удобных способов вычислений, стали «появляться» следующие формулы. Смотри в таблицу.

Фигура Формула

S = a · b.

S = ab/2

S = πR²

S(бок) = P · h = 4ah

P = 4 · a

S(бок) = 2(a + b) · h

P = (2a + 2b) · h

S(бок) = P · h = 3a · h

S1 = b · h

S2 = a · h

S3 = c · h

S(бок) = b· h + a · h + c · h =

h · (b + a + c) = P · h.

P = b + a + c.

S(бок) = P · h.

C(окр) = 2πr

S(бок) = C · h

S(бок) = 2πr · h.

§4. Решение задач.

Задача 1.

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Решение.

Так как у шестигранного карандаша шесть боковых граней, и два основания, получается, что у него восемь граней.

Задача 2.

В комнате требуется ремонт. Нужно поклеить обои. Сколько нужно обоев, если: длина комнаты – 4,6 метра; ширина – 2,23 метра; высота – 2,5 метра. Площадь окна – 3, 503 м². Длина двери – 2 метра, ширина – 1 метр.

Решение.

S(об) = P · h – S(ок) – S(дв).

S(об) = P · h – (S(ок) + S(дв)).

S(об) = 2(a + b) · h – (S(ок) + S(дв)).

S = 2×(4,6 + 2,23) × 2,5 – (3,503 + 2) =28,647 кв. м.

Задача3

У многогранника 4 вершины. Как вы думаете , сколько у него ребер? Определите вид фигуры.

Решение.

Так наименьшее число вершин у треугольной призмы -6, то меньше этого количества быть не может. Значит это пирамида, так как наименьшее число вершин -4. Пирамида или тетраэдр.

Задача4.

На внутренней стенки стеклянной цилиндрической банке виднеется капля меда в 3 см от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально.

противоположной, уселась муха. Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.

Высота банки- 20 см; диаметр- 10 см.

Решение.

Найдем длину окружности : 10*3,14=31,4 см.

Найдем половину этой длины: 31,4÷2=15,7 см.

Рассмотрим развертку боковой поверхности цилиндра.

1. Предполагаемый путь: СД+ СВ+ВА= 3+ 15,7+3=21,7см

2. Путь более короткий: ДВ+ВА=3+ 15,8=18,8 см

Задача5.

Какой гвоздь труднее вытащить- круглый, квадратный или треугольный, - если они забиты одинаково глубоко и имеют одинаковую площадь поперечного сечения?

Решение.

Возьмем высоту каждого из гвоздей по 1см.

Площадь боковой поверхности будет находиться , как произведение периметра на высоту. Сравним периметры треугольника, квадрата, круга. Так как у квадрата периметр самый большой , то площадь будет самой большой.

Периметр треугольника самый маленький, то площадь соприкосновения с окружающим материалом будет самая маленькая. Вытащить его будет легче. У цилиндра площадь будет средней, т. е. между площадями треугольника и квадрата. Исходя из этого рассуждения можно сказать , что квадратный гвоздь вытащить труднее.

Решая практические задачи я понял , что знаний у меня недостаточно, так как некоторые задачи остались у меня под вопросом. Я не остановлюсь на этом, буду дальше приобретать знания. Но я считаю , что цель своей работы выполнил.