Теория многоугольников

Слово «Геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие»

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг — геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале ХХ в. , очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира помогают новые знания.

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои звания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, он использовал свои геометрические знания, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающим геометрами. Древнегреческий философ Платон, проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ

— древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин), откуда и пошло название «академия», одним из девизов своей школы провозгласил:

«Не знающие геометрии не допускаются!». Было это примерно 2400 лет тому назад. Из геометрии вышла наука, которая называется математикой.

Геометрия – это не только раздел математики, школьный предмет, это прежде всего феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного метода познания мира.

Занятия геометрией способствуют развитию интуиции, воображения и других важнейших качеств, лежащих в основе любого творческого процесса.

Геометрия располагает огромными возможностями для эмоционального, эстетического и духовного развития человека.

Обратимся к некоторым понятиям о геометрических фигурах, которые нам в дальнейшем понадобятся при решении задач с куском бумаги.

ТЕОРИЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников.

Многоугольником называется фигура ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.

не многоугольник многоугольник

Подставив вместо части «много» в слово «многоугольник» конкретное слово можно получить различные виды многоугольника, например, треугольник, прямоугольник, четырехугольник, шестиугольник и т. д.

Самым наименьшим числом, которым можно заменить в слове «многоугольник» часть «много» является число 3. Рассмотрим самый простой из многоугольников – треугольник.

ТРЕУГОЛЬНИК

Кто не слышал о Бермудском треугольнике[1], в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый всем с детства треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит и трех точек, не лежащих на одной прямой и отрезков, парно соединяющих эти точки. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника.

В А, В, С – вершины треугольника

АВ, ВС, АС – стороны треугольника

Треугольник является самым простым многоугольником. Но простым – еще не значит неинтересным.

Треугольники можно разделить на группы по числу сторон (приложение 1):

1. нет равных сторон – разносторонний треугольник;

2. две стороны равны – равнобедренный треугольник;

3. все стороны равны – равносторонний треугольник.

Треугольники можно разделить на группы в зависимости от углов:

1. все углы острые – остроугольный треугольник;

2. есть прямой угол – прямоугольный треугольник;

3. есть тупой угол – тупоугольный треугольник.

Если в треугольнике соединить середины двух сторон, то получим отрезок, который называется средней линией треугольника.

MN –средняя линия треугольника АВС,

М N т. к. AM=BM и AN=NC.

Высотой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной под прямым углом

ВН – высота треугольника

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противолежащие стороны равны.

ABCD - прямоугольник

AD=CD, AD=BC

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

ABCD - квадрат

AB=BC=CD=AD

Если соединить точку А с точкой С отрезком, то получим диагональ квадрата.

AC – диагональ квадрат

Если квадрат перегнуть пополам так, чтобы точка А совпала с точкой В, а точка С с точкой D, то получим среднюю линию квадрата.

MN – средняя линия квадрата.

ШЕСТИУГОЛЬНИК

Многоугольник, состоящий из шести точек, не лежащих на одной прямой и множества отрезков, последовательно соединяющих эти точки, называется шестиугольником. Точки – вершины шестиугольника, отрезки – стороны шестиугольника.

шестиугольник

Если стороны шестиугольника равны, то шестиугольник называется правильным.

УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

Вряд ли кто не умеет сам из квадратного куска бумаги сделать «петушка», лодочку, кораблик, коробочку и т. д. Достигается это путем разнообразного перегибания и складывания бумажного квадрата. Полученные при этом сгибы (складки) позволяют придавать взятому куску бумаги ту или иную желаемую форму. В своей работе я хочу показать, что с помощью перегибания бумаги можно не только делать забавные или интересные игрушки, но и получить наглядное представление о многих фигурах на плоскости, а также об их свойствах. Кусок обыкновенной белой (а еще лучше — цветной) бумаги и перочинный ножик для разглаживания или удаления ненужных частей могут оказаться прекрасным пособием для усвоения начал геометрии.

Сгибая кусок бумаги, совместим какие-либо две точки, затем, прижав их друг к другу пальцем, разгладим ножом сгиб. Каждый, наверное, не один раз проделывал это. Но задумывались ли вы когда-нибудь, почему линия сгиба обязательно получается прямой? Если подумать, то легко увидеть в этом проявление одной из геометрических теорем, а именно теоремы о том, что совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух фиксированных, есть прямая линия.

Очень полезно подыскивать геометрические обоснования и в последующих задачах.

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Решим задачу на построение из обычного куска бумаги давно знакомой нам фигуры- прямоугольника. Имеется кусок бумаги неправильной формы. Как, пользуясь только перочинным ножом, вырезать из него прямоугольник?

Решение. Положите кусок бумаги неправильной формы на стол и сделайте сгиб близ края. Пусть полученный при этом сгиб будет ХХ' Это прямая линия. Проведем ножом по сгибу и отделим меньшую часть куска. Таким образом, мы получим прямолинейный край. Подобно предыдущему, согнем бумагу по линии DY так, чтобы прямолинейный край ХХ' накладывался аккуратно сам на себя. Развернув затем бумагу, мы убедимся, что сгиб DY идет под прямым углом к краю ХХ', так как наложение показывает, что угол YDХ равен углу YDХ. Как раньше, проведем ножом по второй складке и удалим ненужную часть.

X X'

Повторяя указанный прием, мы получим края СВ и ВА. Наложение докажет, что углы при А, В, С и D равны друг другу и прямые и что стороны ВС и СD соответственно равны DА и АВ. Итак, полученный кусок бумаги АВСD имеет форму прямоугольника. Наложение доказывает следующие его свойства:

1) четыре его угла все прямые;

2) четыре же стороны не все равны;

3) но две более длинные стороны равны между собой, а две более короткие—между собой.

КВАДРАТ

Из прямоугольника сгибанием можно получить квадрат.

Решение. Взяв прямоугольный кусок бумаги А'D'ВC, складываем его наискось так, чтобы одна из коротких сторон, например СВ, легла на длинную CА'

D' A'

Угол В поместится на краю CА в точке А, конец перегиба по краю СD получится в точке D. Сделаем затем перегиб через точки А и D, отогнув по прямой AD часть A'D'DA, которая выдается. Развернув после этого лист, найдем фигуру ACBD, которая и есть квадрат. В нем все четыре углы прямые и все стороны равны.

Линия сгиба проходящая через два противоположных угла С и D, есть диагональ этого квадрата. Другая диагональ получается перегибом квадрата через другую пару противоположных углов.

Непосредственным наложением убеждаемся, что диагонали квадрата пересекаются друг с другом под прямыми углами и что в точке пересечения они взаимно делятся пополам. Эта точка пересечения диагоналей квадрата называется центром квадрата. Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника вершины которых находятся в противоположных углах квадрата. Каждый из этих треугольников имеет, очевидно, по две равные стороны, т. е. эти треугольники равнобедренные. Кроме того, эти треугольники и прямоугольные, так как каждый из них имеет по прямому углу.

Две диагонали, как легко видеть, разделяют квадрат на 4 совпадающих при наложении прямоугольных и равнобедренных треугольника; общая вершина которых находится в центре квадрата.

Перегнем теперь наш бумажный квадрат пополам так, чтобы одна сторона совпадала с противоположною ей. Получаем сгиб, проходящий через центр квадрата .

Линия этого сгиба обладает, как легко убедиться, следующими свойствами: 1) она перпендикулярна двум другим сторонам квадрата, 2) делит эти стороны пополам, З) параллельна двум первым сторонам квадрата, 4) сама делится в центре квадрата пополам, 5) делит квадрат на два совпадающих при наложении прямоугольника, 6) каждый из этих прямоугольников равновелик (т. е. равен по площади) одному из треугольников, на которые квадрат делится диагональю. Пёрёгнем квадрат еще раз так, чтобы совпадали две другие стороны. Полученный сгиб и сделанный раньше делят квадрат на 4 совпадающих при наложении квадрата .

Перегнем эти 4 меньших квадрата через их углы, лежащие посередине сторон большего квадрата (по диагоналям), и получим квадрат , вписанный в наш начальный квадрат.

Этот вписанный квадрат, как легко убедиться имеет площадь, равную половине площади большого квадрата и имеет тот же центр.

РАВНОБЕДРЕНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Из бумажного квадрата сгибанием можно получить равнобедренный треугольник.

Решение. Возьмем квадратный кусок бумаги и сложим его вдвое так, чтобы противоположные края его совпадали . Получается сгиб, проходящий через середины двух других сторон и перпендикулярный к ним. На этой средней линии квадрата берем какую-нибудь точку и делаем такие сгибы, которые проходят через эту точку и через углы квадрата, лежащие по, обе стороны средней линии.

ОН – средняя линия квадрата

ОАВ – равнобедренный треугольник

(ОА=ОВ)

А Н В

Таким образом, получаем равнобедренный треугольник, в основании которого лежит сторона квадрата. Средняя линия ОН делит, очевидно, равнобедренный треугольник ОАН на два совпадающих при наложении и прямоугольных треугольника ОАН и ОВН. Она же делит угол АОВ при вершине равнобедренного треугольника пополам.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Из бумажного квадрата сгибанием получим равносторонний треугольник.

Решение. Возьмем на средней линии квадрата такую точку, чтобы расстояния ее от двух вершин квадрата были равны его стороне, и сделаем сгибы, как выше. В таком случае получим равносторонний треугольник.

Сложим равносторонний треугольник, накладывая каждую из сторон на основание. Мы получим, таким образом, три высоты этого треугольника: АА', ВВ', СС' .

Вот некоторые свойства равностороннего треугольника, которые можно вывести из рассмотрений полученной нами фигуры

Каждая из высот разделяет треугольник на два совпадающих при наложении прямоугольных треугольника.

Они делят стороны пополам и перпендикулярны к ним.

Они проходят через одну общую точку.

Пусть высоты АА' и СС' встречаются в О. Проведем ВО и продолжим ее до встречи с АС в B'. Теперь докажем, что ВВ' есть третья высота. Из треугольников C'OB и ВОА' находим, что = и убеждаемся, что углы ОВС' и А'ВО равны. Затем, из треугольников АВ'В и СВ'В следует, что углы АВ'В и ВВ'С равны, каждый из них есть прямой угол. Значит, ВВ' есть высота равностороннего треугольника АВС. Она также делит АС пополам в В'

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Из квадрата получим правильный шестиугольник

Решен и е. Перегибаем квадрат через середины противоположных сторон . Получаем линии АОВ и СОВ. На сгибах АО и ОВ строим известным нам уже способом равносторонний треугольник АОЕ, АОN, ВОF, BOG.

Делаем сгибы ЕF и NG.

Многоугольник АЕСFBGDN и будет правильным шестиугольником, в чем каждый без труда убедится сам. Наибольшее расстояние между точками многоугольника есть, очевидно, АВ.

Можно получить шестиугольник еще и следующим путем. Возьмем равносторонний треугольник и перегнем его так, чтобы все его вершины сошлись в центре.

Заключение

Рассмотренные мною задачи с куском бумаги обладают необычайной наглядностью и простотой решения, к тому же детям нравиться делать различные фигурки из бумаги, но лучше всего это делать с пользой. Задачи такого типа не просто увлекательны, наряду с игрой можно узнать много нового, познакомиться с замечательными свойствами различных геометрических фигур, изучение которых на обычных уроках не всегда интересно, а значит, не позволяет добиваться необходимых результатов. Геометрия тесно связана с окружающим нас миром. Ведь все, что мы видим вокруг (прямоугольник окна, загадочный узор снежинки, дома-параллелепипеды, капля воды), так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Изучая геометрию можно узнать много об окружающих нас предметах, увидеть красоту обычных вещей, смотреть, думать и делать выводы.

Один из выдающихся людей, Козьма Прутков, писал

«Глядя на мир, нельзя не удивляться!» и я думаю, что он был абсолютно прав!