Тайны египетских пирамид

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень», - И. Кеплер.

«Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметрические фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения.

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Мы предпочли использовать первое название, как наиболее точно отражающее сущность этого понятия.

Сейчас невозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Очевидно, ее неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.

Пифагор родился в 570 году до н. э. на острове Самосее. В знак протеста против тирании Поликрата он покинул родной остров и отправился в путешествие по странам Востока. По свидетельству историков, он посетил Египет, где попал в плен к персидскому завоевателю Камбизу, и его увели в далекий Вавилон. Здесь жрецы посвятили его в свои науки и дали возможность изучить теорию чисел, музыку, философию.

В зрелом возрасте Пифагор поселился в Кротоне, где основал строго закрытое общество своих последователей («пифагорейский союз»), где уже при жизни почитавших его как высшее существо. Теперь уже невозможно разграничить то, что сделано собственно Пифагором, а что является плодом коллективного творчества его учеников и последователей. Пифагорейцам принадлежат выдающиеся заслуги в развитии математики, философии, теории музыки, которые не утратили своего значения и по сей день.

Музыка, гармония и числа – это три понятия неразрывно связанные друг с другом в учении пифагорейцев. Математика являлась одной из основ их религии. Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях. Как отмечал Аристотель, пифагорейцы «видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю Вселенную гармонией и числом».

С именем Пифагора мы со школьной скамьи связываем теорему о сторонах треугольника – «теорему квадратов». Эта теорема удивительно красива: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». В науке немного отыщется столь простых и красивых формул. Существует легенда, что открывший это соотношение Пифагор был восхищен и приказал в честь выдающегося открытия принести в жертву богам сто быков. Впрочем, количество быков в других источниках уменьшено до одного. И неудивительно, ведь прошло столько времени!

Кроме знаменитой теоремы и золотой пропорции. Пифагору, по свидетельству историков, принадлежат фундаментальные работы в теории музыки, открытие иррациональных чисел, потрясших основы пифагорейской математики. Пифагором была создана модель Солнечной системы, основанная на аналогии в расположении планет и звуков музыкальной октавы.

Утверждение Пифагора «Все есть число» и было основано на признании фундаментальной роли в природе простых целочисленных величин. Поэтому он и искал закономерности в небольших числах, придавая каждому из них особую, часто мистическую роль. Возможно, что рассмотрение, глубокое и последовательное, простейших геометрических фигур и привело его к открытию математических законов.

Многие математические закономерности, как говорят, «лежали на поверхности», их нужно было увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически. А в этом нельзя было отказать философам древнего мира; ведь все их научное познание строилось на анализе предметов и явлений, установлении связи между ними. В наше время даже трудно представить, что возможно развитие науки совершенно без использования эксперимента, а ведь таковой была наука древнего мира.

Хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1 : 2 мог послужить основой для открытия теоремы квадратов, золотой пропорции и несоизмеримых величин – великих открытий Пифагора.

Изложенная последовательность раскрытия закономерностей треугольника с отношением сторон 1 : 2 является безусловно сугубо предположительной, но не лишенной внутренней логики. Конечно, в действительности последовательность рассуждений Пифагора, приведшая его к великим математическим открытиям, была иной. Легче прийти к теореме квадратов исходя из рассмотрения прямоугольного треугольника со сторонами 3 : 4 : 5, который был известен с древних времен и назывался «совершенным», «священным египетским», «треугольником Пифагора» или Плутарха. Иранские архитекторы времен Ахеменидов и Сасснидов применяли этот треугольник при вычерчивании профиля своих эллиптических куполов.

Нетрудно доказать, что существует только один прямоугольный треугольник, стороны которого (х, у, z) образуют геометрическую прогрессию: z/у = у/х. В этом треугольнике отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф, а два других отношения сторон (z/у и у/х) отвечают корню квадратному из золотой пропорции. Это – удивительный «золотой» треугольник, он является ярким выражением золотой пропорции. С ним мы еще не раз будем встречаться в настоящем исследовании. Мы убедимся, что красивы могут быть не только произведения высокого искусства, творения Природы, но и геометрические фигуры, даже математические формулы.

Рассмотрим одно семейство равнобедренных треугольников, построенных по правилам золотой пропорции: остроугольный – с углами 36, 72 и 72 и тупоугольный – с углами 108, 36 и 36. Таким образом, остроугольный треугольник АВС разбивается на три треугольника золотой пропорции. В них стороны равны: АД = 1, ДВ = Ф, ВС = АВ = Ф + 1 = Ф2, АС = АЕ = Ф.

Интересен еще один замечательный треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90, 54 и 36, а их отношение составляет 5 : 3 : 2. В этом прямоугольном треугольнике отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции Ф/2. Это отношение отвечает равенству Ф/2 = Соs 36.

Есть и простая и по-своему красивая формула, которая связывает число «пи» с золотой пропорцией. Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой пропорции, о ее родстве с таким универсальным числом, как «пи»? Характерно, что в рассмотренном треугольнике отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5 : 3 : 2 (где величина одного угла равна сумме двух других), а отношения сторон несоизмеримы. Что кроется в этой «таинственности числовых соотношений»?

Геометрию пятигранника и звездчатого пятиугольника изучали многие математики. Мы не будем излагать их изысканий, отметим лишь, что эти фигуры буквально «нашпигованы» золотой пропорцией; она проявляется в десятках различных соотношений. Среди отрезков HJ, EH, EJ, EB отношение каждого последующего к предыдущему равно золотой пропорции». Пачоли нашел в пяти Платоновых телах – отрезков EB/EA, AJ/JK, AK/AJ. Здесь же содержится треугольник с углами 90, 54 и 46, который мы рассмотрели выше. Нет, неспроста пифагорейцы выбрали пятиугольник символом своего научного сообщества!

В 1509 году в Венеции современник и друг Леонардо да Винчи Лука Пачоли издал книгу «О божественной пропорции». Пачоли нашел в пяти Платоновых телах – правильных многоугольниках (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) тринадцать проявлений «божественной» пропорции. В главе «О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» он рассматривает правильный икосаэдр. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, образуя правильный пятиугольник. Если соединить между собой любые два противоположных ребра икосаэдра, получится прямоугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большей.

Таким образом, золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые, по представлениям ученых древности, лежат в основе мирозданья. Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.

Платон писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи». Конечно, это была интуитивно созданная, построенная на геометрических представлениях, картина мироздания. Она была чисто умозрительной, лишенной физической и экспериментальной основы. Ее главное и единственное преимущество заключалось в геометрической красоте. Но вот что примечательно. Французский геолог де Бемон и математик Пуанкаре считали Землю деформированной в форме додекаэдра. По гипотезе советского геолога С. И. Кислицина, около 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в геоикосаэдр. Переход из одной кристаллической формы в другую был неполным; геододекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. Теория структуры воды, предложенная в 1933 году Берналом и Фаулером, основана на водородной связи молекул воды, расположенных по тетраэдру. Химик Г. Г. Маленков пришел к выводу, что вода имеет структуру пентадодекаэжра. Удивительно близко к интуитивной гипотезе Платона!

Еще одна геометрическая фигура широко распространена в живой природе – это спираль. Спираль присутствует во многих живых организмах, растениях и животных. Гете считал спираль математическим символом жизни и духовного развития. Если в логарифмической спирали из центра О провести прямую, то образующиеся отрезки ОА, ОВ, ОС, ОД и т. д. , полученные при пересечении прямой с витками спирали, образуют геометрическую прогрессию. Сохраняется справедливым соотношение: ОА/ОВ = ОВ/ОС = ОС/ОД = = m, где m – постоянное число.

Отрезки радиуса, заключенного между последовательными завитками спирали, также образуют прогрессию с отношением АВ/ВС = ВС/СД = = n. Частным случаем спирали является такая, которая отвечает значению n, равному Ф, то есть золотой пропорции. Такая спираль обнаружена в образцах ионийской валюты. Ее назвали «кривой гармонического возрастания».

Золотая пропорция встречается и в других геометрических фигурах. Так, для квадрата, вписанного в полукруг, точка В делит отрезок АС в золотой пропорции: АС/ВС = ВС/АВ = Ф = 1,618

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна радиусу, деленному на золотую пропорцию.

Интересные закономерности пропорции обнаружил И. Шевелев в построениях прямоугольника, вписанного в полуокружность. Если в прямоугольнике со стороны 1 : 2 провести диагональ и описать полуокружность радиусом, равным диагонали, то получим фигуру, в которой содержатся интересные пропорции. По мнению И. Шевелева, отношения этой фигуры содержат пропорции египетских пирамид, греческого храма Парфенона, размеренностей русских сажен, римского пасса, морской сажени и золотой пропорции.

Мы рассмотрели проявление золотой пропорции в самых различных геометрических фигурах, начиная от простого прямоугольного треугольника. Но остался неясным вопрос об авторстве. Является ли Пифагор первооткрывателем этой замечательной пропорции? Весьма сомнительно. Ямвлих во «Введении в Никомахову арифметику» говорит, что Пифагор нашел золотую пропорцию и что этому он научился у вавилонян.

Имя Пифагора еще при его жизни обросло легендами, чему способствовал и он сам, рассказывая, например, что является сыном бога Аполлона, что у него золотое бедно и т. п. За многие столетия, прошедшие после его смерти, количество легенд не поубавилось, а количество достоверных сведений о нем возросло незначительно, да и то лишь со слов ученых, живших значительно позже Пифагора. Сами труды Пифагора по математике, музыке, философии не сохранились; о них можно судить лишь на основании более поздних публикаций ученых древностей. Как указывает Б. Л. Ван дер Варден, « мы кое-что знаем о музыкальной теории Пифагора, почти ничего не знаем о его теории чисел, о его астрономии – еще меньше, о его геометрии, если рассудить толком, - ровно ничего».

Многие историки сомневаются даже в том, что знаменитая теорема квадратов открыта Пифагором. Греческий философ Прокл, например, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору, рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Ветрувий же полагает, что бык пал жертвой открытия прямоугольного треугольника со сторонами 3 : 4 : 5. Однако известно, что Пифагор был непримиримым противником убоя и жертвоприношений животных, в особенности крупного рогатого скота.

В наше время известно, что за 1200 лет до Пифагора эта теорема уже приводилась в клинописных текстах Междуречья. Вполне возможно, что Пифагор узнал о «своей теореме» во время длительного вынужденного пребывания в Вавилоне. Вполне возможно, что Пифагор мог, по рассеянности (все великие ученые страдают этим пороком!) или с целью приумножения славы своей родины выдать приобретенные им в Египте и Вавилоне математические знания за свои оригинальные открытия. Существовал ведь некий декрет, по которому даже авторство всех математических работ пифагорейского союза приписывалось Пифагору.

Но если сомнительно авторство Пифагора в теореме квадратов, названной его именем, то тем более сомнительным является открытие им золотой пропорции. В своих длительных путешествиях по странам Востока Пифагор мог позаимствовать и это открытие. Ведь и звездчатый пятиугольник, ставший символом союза пифагорейцев, можно увидеть на древних вавилонских рисунках.

Эстафета знаний древности ведет от Греции к Египту, а от него к Вавилону. Но ведь и знания народов Двуречья не возникали на пустом месте, их корни также уходят в другие эпохи и другие страны.

В поисках истоков золотой пропорции следует прежде всего направиться в Древний Египет, к его загадочным пирамидам – хранилищам многих неразгаданных тайн.

Тайны египетских пирамид

Бесконечное, однообразное море песка, редкие высохшие кустики растений, едва заметные следы от прошедшего верблюда заметает ветер. Раскаленное солнце пустыни Оно кажется тусклым, словно покрытое мелким песком.

И вдруг, словно мираж, перед изумленным взором путешественника возникают пирамиды – фантастические фигуры из камня, устремленные к солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих относили к одному из семи чудес света.

О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

Обращаясь к своему войску перед «битвой у пирамид» во время египетской кампании, Наполеон патетически воскликнул: «Солдаты! На вас смотрят сорок веков!». При этом он «украл» у пирамид около пятисот лет. Фундамент первой из пирамид Египта был заложен в начале ХХУ11 века до н. э. , строительство последней было завершено примерно в конце ХУ111 века до н. э. К тому времени, когда в Афинах обосновались первые греки, нынешняя самая высокая пирамида простояла почти тысячу лет; ко времени легендарного основания Рима ей было почти две тысячи лет.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса (Хуфу). Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т. п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись досужей выдумкой. В попытках найти сенсационные открытия многие авторы публикаций забывали о создателях пирамид и их времени и начинали извлекать корни, возводить в степени размеры пирамид, выраженные в метрах и миллиметрах. Словом, происходило то, что позже стали называть «пирамидоманией».

Власть фараона в Древнем Египте была огромной, ему воздавали божественные почести, называли большим богом. Бог-фараон был покровителем страны, вершителем судеб народа. Культ умершего владыки приобретал огромное значение в египетской религии. Для сохранения тела покойного фараона и его духа и возвеличивания власти фараона сооружали гигантские пирамиды.

Очевидно, назначение пирамид было многофункциональным. Они не только служили усыпальницами фараонов, что, кстати, гарантировало их строителям «финансирование» работ, обеспечивало их рабочими и стройматериалами и в то же время безбедную жизнь зодчих, художников, распорядителей работ и т. д. Пирамиды, являясь грандиозными сооружениями древности, оказывались атрибутами величия, могущества и богатства страны, свидетельством достижения науки, которая считалась привилегией жрецов и тщательно ими оберегалась. Пирамиды были также памятниками культуры, хранилищами сведений о жизни фараона и народа страны, сведений из истории, собранием предметов быта.

Очевидно, были и другие назначения этих грандиозных сооружений древности, но нас прежде всего интересует «научное содержание» пирамид, воплощенное в их форме, размерах и ориентировке на местности. Трудно предполагать, что форма и размеры пирамиды были выбраны случайно. Здесь каждая деталь, каждый элемент формы выбирались тщательно и должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Ведь они строились на тысячелетия, «навечно».

Правильная четырехгранная пирамида является одной их хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Очевидно, и размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м (здесь расхождений в данных почти нет). Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Полное соответствие пятистам локтям будет, если длину локтя считать равной 0,4663 м. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

Высота пирамиды (Н) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Не мудрствуя лукаво, все исследователи считают, что высота пирамиды в период ее создания была такой же, какой она является в настоящее время. Однако это совсем не так.

Строго говоря, пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10 х 10 м, а столетие назад она была равна 6 х 6 м. Очевидно, вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.

Одним из «чудес» великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм!). Этот несомненный факт производит потрясающее впечатление на всех, кто бывал внутри пирамиды и видел плотно сочлененные громадные плиты.

Вот, например, свидетельство одного из современников арабского историка Аль-Кайси, который проник в великую пирамиду вскоре после того, как ее вскрыли, то есть в 1Х столетии: «Пирамиды построены из огромных камней от десяти до двадцати локтей длины, от двух до трех локтей высоты и такой же ширины. Но особенно восхищает удивительная тщательность, с какой эти камни обтесаны и уложены. Плиты так хорошо подогнаны, что между ними нигде нельзя просунуть ни иголки, ни волоска».

Но никакого «чуда» и здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигшего 500 тонн на 1 м» нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. Можно предполагать, что зазоры между блоками пирамиды во время ее строительства составляли многие миллиметры и в них можно было свободно просунуть не только лезвие, но и нож.

В результате отмеченной усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

У истоков золотой пропорции

Создание египетских пирамид свидетельствует о значительном уровне знаний в области геометрии, которыми владели зодчие. Но эти знания не возникали только в период строительства пирамид и не только в их геометрии были воплощены. Ко времени создания этих величественных монументов в египетской архитектуре уже накоплен опыт создания сооружений с гармоническими пропорциями, уже были заложены основы геометрии. Египетские зодчие знали и умело использовали в своих сооружениях пропорции прямоугольных треугольников со сторонами 1 : 1 : 2, пропорции квадрата, прямоугольников с различными целочисленными соотношениями сторон.

Изучая архитектурные сооружения Древнего Египта, В. Н. Владимиров пришел к выводу о существовании в те времени системы пропорций, построенных на квадрате и его производных.

Свидетельством этого является и изображение золотого Хесира в его гробнице, расположенной вблизи пирамиды фараона Джосера. И. Ш. Шевелев обратил внимание, что в руках у зодчего изображены орудия труда: прибор для письма и две мерные палки, служащие, вероятно, эталонами мер. Длины палок соотносятся как стороны и диагональ прямоугольника «два квадрата». Очевидно, это секрет зодчего и хотел изобразить ваятель на портрете Хесиры, чтобы довести его до сведения далеких потомков.

Изучая архитектуру Древнего Египта, К. Н. Афанасьев установил, что во многих сооружениях проявляются пропорции священных или египетских прямоугольных треугольников. Простейший египетский треугольник характеризуется отношением сторон 3 : 4 : 5, известны также треугольники с соотношением сторон 5 : 12 : 13 и 20 : 21 : 29. Очевидно, эти треугольники были издавна известны в Древнем Египте и их пропорции широко использовались архитекторами. Треугольник со сторонами 3 : 4 : 5 очень удобен для практического применения; с его помощью легко построить прямой угол, который был необходим как с воздании архитектурных сооружений, так и в замерах площадей земельных участков. Этим и объясняется распространенность пропорций треугольника 3 : 4 : 5 в Древнем Египте. Об этом свидетельствует целый ряд примеров, описанных К. Н. Афанасьевым.

Так, стороны участка богатой усадьбы в Ахетатоне построены в отношении 3 : 4. Стороны Северного дворца в Ахетатоне построены в пропорции сторон 4 : 5. Отношение длины к ширине главного зала заупокойного храма фараона Хефрена равно 5 : 3, то есть отношению гипотенузы к меньшему катету. Общая длина всего храма относится к его ширине как 12 : 5, что отвечает соотношению катетов другого «египетского» треугольника (5 : 12 : 13).

Однако все это только отдельные, разрозненные примеры. Интересно было бы найтим учебник геометрии, составленный учеными Древнего Египта. Ведь должны же быть где-то изложены основные знания Древнего Египта по геометрии, должен же существовать письменный источник, из которого зодчие черпали необходимые им знания по составлению пропорций?

На одном из египетских рельефов гробницы периода древнего царства (2800-2400 гг. до н. э. ) хорошо сохранился рисунок, изображающий семь мужских фигур возле трех прямоугольников. По характеру фигур, их поз, инструментам в руках нетрудно догадаться, что здесь изображена обработка каменотесами трех каменных блоков. Возле каждого из блоков расположен каменотес с зубилом в одной руке и молотком в другой. Здесь же расположено четверо «разметчиков», которые производят разметку прямоугольных каменных плит. Может быть, это архитекторы или их подмастерья, которые обучены геометрии и, пользуясь простейшими приспособлениями, прежде всего шнуром, определяют геометрические пропорции каменных плит? Что же хотел сообщить своим далеким потомкам безвестный художник или ученый, оставивший свой простой и лаконичный рисунок?

Очевидно, что все три прямоугольника, изображенные на древнем рельефе, выбраны совсем не случайно, они образуют строго согласованную систему взаимосвязанных геометрических фигур. Изображены не только эти фигуры, но и методы их построения с помощью линейки и шнура, игравшего роль циркуля. А циркуль и линейка были, как известно, долгое время единственными инструментами древних геометров. Все геометрические построения, определение пропорций, разбиение целого на части производилось с помощью этих простейших инструментов.

Нет, на древнем рельефе не просто сцена, изображающая работу каменотесов. В ее лаконичных геометрических фигурах тщательно зашифрован если не весь, то основной багаж знаний по геометрии, который накопили египетские ученые древнего царства. Здесь целый арсенал средств построения геометрических пропорций, которые широко использовали египетские архитекторы в своей работе. В этом рельефе «краткая аннотация» геометрии египтян.

Следует лишь удивляться достигнутому египтянами уровню знаний геометрии, умению пользоваться этими знаниями, изощренности их математического мастерства; им нельзя отказать ни в глубине познания основ геометрии, ни в уменье логически мыслить, ни во владении гармоническими пропорциями, если учесть, что творцы рельефа на гробнице жили 45 столетий назад.

Вот такая удивительная информация содержится в простеньком рисунке, изображающем египетских каменотесов за работой! А что, в таком случае, остается сказать о египетских пирамидах, хранящих знания древних ученых Египта? Здесь каждая геометрическая фигура, каждая пропорция заслуживают внимательного изучения.

Священные, или египетские треугольники были известны не только в Древнем Египте. Матила Гика в своей книге «Эстетика пропорций в природе и искусстве» (1936 г. ) указывает на знание треугольников со сторонами 3 : 4 : 5 китайцами еще в Х1 веке до н. э. Встречаются в античной архитектуре и отношения 20 : 21. Многочисленные примеры такой пропорции приводит советский ученый К. Н. Афанасьев. Интересно, что и знаменитый своей архитектурой храм Софии в Константинополе (Стамбуле) имеет соотношение размеров 20 : 21.

Современные исследователи приходят к выводу, что египтяне еще в эпоху древнего царства разрабатывали систему «гармонического пропорционирования» изображения, причем в его основе лежит золотая пропорция. «Поскольку пропорциональные соотношения носили универсальный характер, - отмечает Н. А. Померанцева, - распространяясь на многие области науки, философии и искусства, и воспринимались самими египтянами как отражение гармонического строения мироздания, они считались священными и, что вполне возможно, держались в тайне».

Неудивительно, что сведения о золотой пропорции и других достижениях геометрии древних египтян, содержащиеся в геометрических пропорциях пирамид и в рассмотренном рисунке, так умело зашифрованы. Для не посвященного в премудрости египетской науки рисунок на гробнице изображает каменотесов за обработкой каменных плит, а для достаточно эрудированных – это кладезь премудрости, сокровищница знаний египетских ученых (жрецов).

Значит ли это, что египтяне являются первооткрывателями золотой пропорции? Такое утверждение было бы преждевременным. Чем больше мы изучаем древние культуры, тем больше убеждаемся в наличии глубоких корней, в преемственности многих знаний. Ведь и египетская наука не возникла на пустом месте. Она наследовала знания других народов, других эпох, и прежде всего Двуречья. Существует также гипотеза, что некоторые свои знания египтяне получили от жителей легендарной Атлантиды.

Может быть, в далекой истории Двуречья и Атлантиды теряются корни египетской культуры и с ними истоки открытия золотой пропорции? И вот неожиданно в наше богатое открытиями время следы золотой пропорции удалось обнаружить в еще более удаленном от нас прошлом, в удаленном на 20-25 тысяч лет.

Как сообщает Б. Фролов, при археологических раскопках палеолитической стоянки на реке Ангаре в Сибири М. Герасимов обнаружил прямоугольную тщательно обработанную пластинку, изготовленную из бивня мамонта. Пластинка декорирована сложным рисунком спиральной форм ы, в центе ее – отверстие. Размеры пластинки 13,6 х 8,2 см, что с точностью до (+ ,-) 1 мм отвечает золотой пропорции. Возраст этой стоянки оценивается в 20-25 тысяч лет. Очевидно, пластинка из этой палеолитической стоянки является наиболее древним свидетельством применения людьми правила золотой пропорции.

Если бы указанная находка была единственной, можно было бы считать соотношение сторон в ней, отвечающее золотой пропорции, просто случайностью. Однако и в изображениях эпохи палеолита более позднего периода (около 15 тыс. лет назад) в пещерах Франции также обнаружены подобные пропорции. Американский студент Макс Рафаель писал в 1946 году, что изображения бизонов, мамонтов и лошади в этих пещерах находятся в размерах золотой пропорции. А. Окладников нашел на скалах возле села Шишкино на реке Лене палеолитические рисунки диких коней и козла, размеры которых таковы, что они находятся в соответствии с пропорцией золотого сечения. К тому же и пластина из бивня мамонта, описанная выше, оказалась необычной, она являлась древним календарем. Семь витков спирали на ее поверхности имели 243 зазубрины, а кромки – 122 зазубрины, что в сумме составляло 365 – число дней в году.

Нет необходимости доказывать, что у людей палеолита не было научного представления о золотой пропорции. Применение ими золотой пропорции было итогом творческой интуиции, интуитивного познания мира. Но разве это принижает творцов эпохи палеолита?

Леонардо Фибоначчи и его задачи

Усилием математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована. Казалось бы, вопрос исчерпан. Оставалось лишь изучить проявление этой закономерности в природе, искать ее практическое применение. Возможно, так бы и произошло, если бы не появилась в истории математики одна незаметная задача.

С понятием «средневековье» в нашем сознании ассоциируется разгул инквизиции, костры, на которых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за «телом господним». Наука в те времена явно не находилась «в центре внимания общества». В ее разрозненных очагах едва теплилась пытливая мысль ученых; она никогда не угасла, даже при безраздельном господстве догматов христианской религии.

В этих условиях появление книги по математике, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо из Пизы, явилась важным событием в «научной жизни общества». В книге «Liber abacci» («Книга об абаке») были собраны известные в то время сведения по математике, приводились примеры решения всевозможных задач. И среди них была простая, не лишенная практической ценности для предприимчивых итальянцев, задача о кроликах: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?». Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения. В результате решения этой немудреной задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. Этот ряд чисел был позже назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо (Fibonacci – сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи).

Чем же примечательны числа, полученные Леонардо Фибоначчи? Рассмотрим этот ряд чисел: 1,2, 3, 4, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, 610, 987, 1597 и т. д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. На языке математики это записывается следующим образом:

U1, U2, Un, где Un = Un-1 + Un-2.

Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют в математике рекуррентными, или возвратными последовательностями. Рекуррентным является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами Фибоначчи. Оказалось, что они обладают рядом интересных и важных свойств.

Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И. Кеплер (1571 – 1630) установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции.

Через сто лет английский ученый английским ученый Р. Симпсон математически строго доказал, что отношение рядом расположенных числен Фибоначчи в пределе стремится к золотой пропорции. И лишь в 1843 году математик Ж. Бине нашел формулу для отыскания любого члена ряда чисел Фибоначчи.

Определим отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи (Uп/Uп-1): оно равно 2, 1,5; 1,66; 1,6; 1,625; 1,615, 1,619, 1,6181, 1,61797; 1,61805 и т. д. Полученные отношения как бы колеблются около постоянной величины, постепенно приближаются к ней, разница между соседними отношениями уменьшается. Это наглядно видно на приведенном графике. Отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к величине, близкой 1,618 то есть золотой пропорции.

Соотношение рядом стоящих чисел ряда Фибоначчи отражает колебательный процесс, осцилляцию, строго периодическое со все уменьшающейся амплитудой уменьшение разницы в отношениях этих чисел, затухающее колебание этих отношений относительно величины Ф – золотой проекции. Эта закономерность затухающая осцилляция отражает единство и борьбу целочисленной дискретности и непрерывности затухающих колебаний. Это подобно самой жизни, которая вечно стремится к равновесию и никогда его не достигает, то приближаясь, то удаляясь от некоторой золотой середины – желанной и недосягаемой.

Величина Ф считается иррациональным числом, то есть несоизмеримым, его нельзя выразить через отношение целых чисел. Но при развертывании ряда чисел Фибоначчи их отношение будет все ближе к золотой пропорции и в пределе будет равно золотой пропорции (точнее, бесконечно близко к ней). Выходит, что иррациональная величина Ф равна отношению двух бесконечно больших чисел, то есть она соизмерима. Здесь проявляется еще одна интересная грань взаимосвязи целых чисел Фибоначчи с иррациональной золотой пропорцией.

А теперь сложим расположенные через одно числа Фибоначчи. Получим новый ряд чисел: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123 и т. д. Как видим, получим также рекуррентный ряд чисел; отношение соседних чисел здесь также в пределе стремится к золотой пропорции.

Этот производный рекуррентный ряд чисел можно получить из ряда чисел Фибоначчи и другим способом. При последовательном закономерном делении последующих чисел ряда Фибоначчи на предыдущие получим: 1 : 1 = 1; 3 : 1 = 3, 8 : 2 = 4; 21 : 3 = 7; 55 : 5 = 11; 144 : 8 = 18, 377 : 13 = 29 и т. д. , то есть производимый рекуррентный ряд, получивший название «ряд Люка». Сложив расположенные через одно числа ряда Люка, получим новый производный рекуррентный ряд: 15, 25, 40, 65, 105 и т. д. Разделив числа этого ряда на пять, получим исходный ряд чисел Фибоначчи.

Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от первого до Un равна следующему через одно (Un+2) без единицы. Легко показать и проверить на примерах, что отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи в пределе стремится к квадрату золотой пропорции, равному 2,618033 Удивительное свойство! Получается, Ф + 1 = Ф2. Но ведь это соотношение имеет место в совершенном прямоугольном треугольнике с углом около 51 50. Это же уравнение связывает отрезки целого, разделенного на две части в соответствии с золотой пропорцией. Невидимая, но прочная связь общих закономерностей соединила в логически единую стройную систему совершенные геометрические фигуры, пирамиды Египта, задачу о размножении кроликов.

Золотая пропорция является иррациональной величиной, она отражает иррациональность в пропорциях природы. Числа Фибоначчи отражают целочисленность в организации природы. Совокупность обеих закономерностей (золотой пропорции и чисел Фибоначчи) отражает диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного, подвижного и инертного и т. д.

Характерно, что ряд чисел Фибоначчи в своем развитии стремится к пределу, выражающему золотую пропорцию. Не это ли является убедительным свидетельством единства этих двух критериев гармонии природы?! Следует учесть, что числа Фибоначчи получены при решении задачи о размножении организмов, затрагивающей глубинные законы развития биосферы. Золотая пропорция выражает единственное из возможных соотношение частей с целым. Неудивительно, что золотая пропорция признана основным критерием гармонии природы. Последовательный ряд инвариантов золотой пропорции (1, 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090; 0,056 и т. д. ) обладает свойством рекуррентности (в обратном исчислении) и аналогичен ряду чисел Фибоначчи. Это еще раз подтверждает глубинную связь чисел Фибоначчи с золотой пропорцией. В этом ряду чисел второй член ряда выражает связь двухлинейных размеров – двух соседних чисел. Третий член ряда, число 0,382, выражает связь площадей квадратов, а четвертое число 0,236 – выражает связь объемов кубов (0,618 = 0,382; 0,618 = 0,236).

В 1917 году американский ученый Натан Альтшиллер-Курт из Оклахомского университета опубликовал в математическом журнале статью, в которой привел выражение пропорции через развертывание единицы.

Затем были найдены и другие формулы для нахождения золотой пропорции путем его бесконечного дробления. Все они свидетельствуют о предельной простоте и фундаментальности этой величины; ведь она является здесь производной единицы – начала натурального ряда чисел, начала исчисления.

Фундаментальность числа Ф, его «изначальный» характер дают основание приобщить его к двум другим не менее важным и фундаментальным числам: числу «пи», выражающемуся отношение длины окружности к диаметру, и е – основанию натуральных логарифмов.

Характерно, что все три числа являются несоизмеримыми, символизируя единство непрерывного и дискретного, их бесконечную борьбу и непрерывное движение, изменение природы. Математики нашли изящные выражения для вычисления величин П и е, используя ряды и непрерывные дроби. В них эти фундаментальные величины выводятся из сочетания целых чисел.

Не случайно математики Р. Курант и Г. Робинс утверждают, что «руководящим принципом современной математики стало сведение в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся натуральных чисел 1, 2, 3 ». Универсальность иррациональных величин Ф, е, П, их широкое распространение в различных закономерностях стимулируют поиски уравнений, которые бы объединили эту триаду мировых констант природы.

Такие попытки предпринимались неоднократно. Величайшим триумфом математики явилось открытие формулы, которая связывает число «пи» с основанием натуральных логарифмов е. Эта формула была открыта Эйлером и позже де Муавром и названа именем последнего.

«Эта знаменитая формула – возможно, самая компактная и знаменитая из всех формул», - писали американские ученые Э. Кезнер и Дж. Ньюмен. Известная формула Гаусса нормального распределения случайной величины характеризуется плотностью вероятности какого-либо события; в ней вероятностью распределения связаны числа П и е. Не в этой формуле отражен вероятностный характер законов природы?

Выше мы отметили связь золотой пропорции с числом «пи», которая выражена очень простой и красивой формулой Ф = 2 СоsП/5. Таким образом, все три величины е, П и Ф связаны между собой простыми отношениями, могут быть выражены через соотношения рядов целых чисел, в том числе через единицу. Не свидетельствует ли это об их органическом единстве, об их фундаментальности?

Французский математик Паскаль (1623-1662) построил числовую таблицу, имеющую форму треугольника; в ней каждая строчка получается из предыдущей путем удвоения каждого из чисел строчки. Эта таблица получила название «треугольник Паскаля». Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n, то есть суммы чисел в строчках возрастают в степенной зависимости, удваиваясь в каждой последующей строчке.

Такой характер построения треугольника Паскаля отвечает наиболее простому размножению организмов в биологии, например, делению клеток. Каждая клетка в результате деления превращается в две клетки, которые, в свою очередь, делятся на две клетки и т. д.

Треугольник Паскаля обладает многими интересными свойствами. Все стороны его симметричны. Между суммами чисел в столбцах установлена следующая зависимость: если из большего числа вычесть рядом стоящее меньшее число, получим следующее число в ряду сумм. Установлена связь чисел ряда Фибоначчи с треугольником Паскаля. Если провести диагонали треугольника Паскаля, то суммы чисел на этих диагоналях составят ряд чисел Фибоначчи.

Задача о кроликах, очевидно, выражает некоторую закономерность роста, свойственную всем организмам, самой жизни. Поэтому закономерности ряда чисел Фибоначчи и порожденная ими золотая пропорция должны в той или иной форме проявляться в самых различных организмах: в их строении, эволюции, функционировании. И действительно, исследования ученых в самых разнообразных областях природы привели к открытию в них закономерностей, отвечающих числам Фибоначчи и золотой пропорции. Где только не находили числа Фибоначчи! И в картинах художников, и в кардиограмме, и в строении почв, и в деятельности мозга

Ряд чисел Фибоначчи был получен при решении задачи о размножении кроликов при следующих исходных условиях: «через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики со второго месяца после рождения». Конечно, эта задача чисто условная, математическая. Ведь кролики отличаются более высокой плодовитостью и рожают не по одной паре крольчат, но и производить потомство начинают не с двухмесячного возраста.

Можно эту задачу составить так, чтобы она была аналогична задача Фибоначчи, но с большим временем, после которого кролики начинают размножаться, например равным трем месяцам, т о есть утроенному в сравнении с ежемесячным рождением кроликов. Естественно, что в этих условиях размножение кроликов будет происходить менее интенсивно. В результате такого размножения число пар кроликов составит ряд чисел: 1; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 9; 13; 19; 27; 40; 59; 86; 126; 185; и т. д. Нетрудно видеть закономерность этого ряда чисел: здесь каждое число ряда является суммой двух чисел – предыдущего и расположенного через одно (например, 185 = 126 + 59). Это соотношение можно выразить в следующем виде:

Un = Un-1 + Un-3.

Отношение двух рядом стоящих чисел этого ряда, например U27/U26, равно 1,46557 а отношение чисел, расположенных через одно, например, U27/U25, равно 2,1479 Нетрудно убедиться, что второе отношение равно квадрату первого, а куб первого отношения равен 3,147 Отсюда следует уравнение, аналогичное уравнению золотой пропорции, которое для данного ряда чисел и предельного отношения их имеет следующий вид: х3 – х2 = 1. Решение этого уравнения и дает значение х, равное 1,46557 Примечательно, что величина х3, равная 3,147897 очень близка к значению числа П, отличаясь от него всего на 0,006.

Нетрудно убедиться, что в этом случае, когда кролики будут начинать размножаться через месяц после своего рождения, при подсчете числа кроликов получим ряд чисел: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. , описываемый формулой 2 n, где n = 0, 1, 2, 3 и т. д.

Рассмотренные три ряда чисел отражают три различных по интенсивности механизма размножения организмов. «Размножение», или «рост» «по Фибоначчи», широко распространено в природе и будет описано ниже. Деление простейших одноклеточных организмов подчиняется степенному ряду 2n. Остается открытым вопрос о ряде, описываемом уравнение х3 – х2 – 1 + 0, где х = 1,46557 Реализуется ли в природе этот механизм размножения и роста организмов? Это покажут дальнейшие исследования.

Великолепный Парфенон

Замечательные произведения архитектуры не стареют. Понятие «старое» не ассоциируется здесь с понятием «несовершенное», «плохое». Древние сооружения с гармоническими пропорциями дарят современным людям такое же эстетическое удовлетворение, как и их далеким предкам. Каноны прекрасного в архитектуре во многом остались неизменными, время не смогло убить их красоту.

Зодчие древности воздвигали замечательные сооружения – от храмов Египта и Греции до костелов Европы и русских церквей, а перед учеными встал неизменный вопрос: в чем эстетический секрет этих творений, какие каноны гармонии использовали древние мастера?

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.

К 480 году до н. э. армия персов во главе с царем Ксерксом вторгалась в Грецию. Полчища варваров двинулись с севера и оставались у Фермопильского ущелья. Их путь преградили 300 спартанских воинов, прикрывавших отход основных войск. В результате предательства все они пали вместе со своими предводителем – царем Леонидом. Персидская армия захватила и разгромила Афины.

Но эллины с честью выдержали тяжелое испытание. В битве при Саламине был разгромлен персидский флот, а в сражении при Платеях разбита армия персов. Победа греков над персами означала торжество принципов демократии и свободы; она привела к новому плодотворному импульсу в греческом искусстве, к эпохе искусства великой классики. В произведениях этого времени преобладают чувства величия и радости. Формы художественных произведений отличаются высокой гармоничностью, пластикой, гуманизмом. Воплощением этих качеств является храм Афины Парфенон – великолепное сооружение афинского Акрополя.

Восстановление Акрополя, разрушенного персами началось при Фемистокле – выбранном военном руководителе. Как пишет греческий историк Фукидин: «Фемистокл советовал, чтобы поголовно все афиняне, находящиеся в городе, занялись сооружением стен, не щадя при этом ни частных, ни общественных построек». Особенно интенсивно работы по строительству Акрополя велись при Перикле. Ко времени его правления греческие города-государства объединяются в Афинский морской союз, казна переносится в Афины и часть ежегодных взносов союзников откладывалась богине Афине. Эти средства и были использованы для восстановления Акрополя и создания новых храмов на священном холме.

На протяжении 15 лет правления Перикла в Афинах сооружали необыкновенные по красоте храмы, алтари, скульптуры. Руководителем всех работ был назначен скульптор Фидий. Перикл вовлек в строительство большое число граждан, чем «обеспечил их достатком и отвратил от бездействия и праздности». Со всех сторон в Афины доставляли белый мрамор, медь, слоновую кость, золото, черное дерево, кипарис, кедр. Повсюду работали ремесленники: мастера глиняных изделий, плотники, медники, каменотесы, живописцы, эмалировщики, граверы. Как писал Плутарх: «Между тем росли здания, грандиозные по величине, неподражаемые по красоте. Все мастера старались друг перед другом отличиться изяществом работы; особенно же удивительна была быстрота исполнения».

Враги Перикла обвинили его в расточительстве, в бесполезной трате государственных доходов. Тогда, по свидетельству Плутарха, Перикл в собрании предложил народу вопрос, находит ли он, что издержано много. Ответ был, что очень много. «В таком случае, - сказал Перикл, - пусть эти издержки будут не на ваш счет, а на мой, на зданиях я напишу свое имя». «После этих слов Перикла народ, восхищенный ли величием его духа или не желая уступать ему славу таких построек, закричал, чтобы он все издержки относил на общественный счет и тратил, ничего не жалея».

Всю вторую половину У в. до н. э. на Акрополе шло строительство храмов, пропилей (преддверей), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н. э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.

Как указывает Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе В. Смоляка, посвященной изучению пропорции Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Б. Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада Парфенона, приведенные Н. И. Бруно.

Приведенная Б. Смоляком схема пропорций Парфенона подкупает своей простотой, цельностью, связью с золотой пропорцией. Но не менее интересен и подход И. Шевелева, который увидел реализацию в Парфеноне двух эталонов длины, то есть те же, что и палки египетского зодчего Хесиры. Пропорции отвечают прямоугольнику со сторонами 1 : 2 и являются основным соотношением частей Парфенона.

Застывшая музыка русских храмов

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1 : 2. В квадрат вписываются и многие фасады древних храмов (например, Георгиевский собор в Юрьеве-Польском, 1230-1234 гг. ). Однако встречаются и другие соотношения габаритов храмов в плане и в фасаде. Членение же целого на части подчинено еще малоизученным законам гармонии, секретам архитектуры, которыми владели русские зодчие и которые еще предстоит открыть. Попытки такого рода предпринимаются уже давно. Давно уже пытаются раскрыть тайны гармонии русских храмов, их непреходящей красоты.

Одиноко стоит в пойме реки Нерли над зеркалом спокойных вод изящный и легкий белокаменный храм, словно любуется своим изображением в воде. Эта небольшая, скромная по архитектурной композиции церковь Покрова на Нерли (1165 г. ) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих.

Строительство храма на устье Нерли у «ворот» Владимирской земли преследовало несколько целей. Храм служил как бы символом, «архитектурным прологом» к архитектурным ансамблям города Владимира. Это был такжк памятник победоносному походу на болгар и одновременному умершему от ран юному сыну князя Андрея – Изяславу. Храм был посвящен празднику Покрова Богородицы, прославлению ее чудесной силы. Как указывает Н. Воронин, храм Покрова на Нерли «с достоинством встречал иноземцев у ворот Владимирской земли, говоря языком камня о ее силе и красоте. Архитектурная мысль владимирских зодчих проявила здесь свою широту и углубленную философскую мудрость».

Для храма Покрова характерно спокойное равновесие, основанное на симметрии и в то же время – удивительная легкость, устремленность ввысь. Создается впечатление невесомости храма, парящего над поймой реки.

В основе композиции храма лежит крестовокупольная схема. Вертикальное членение храма преобладает над горизонтальной. Узкие окна подчеркивают устремленность храма ввысь. Строение завершено стройной, слегка приподнятой на прямоугольном постаменте главой со шлемовидным покрытием. Не образ ли широко плечего воина в шлеме хотел воплотить зодчий в облике храма?

Знакомство с храмом Покрова создает образ гармонии, архитектурной красоты. И невольно возникает вопрос: какими «секретами» владели русские зодчие, творившие восемь веков назад? Условили ли они гармонические пропорции архитектурной композиции интуитивно или действовали по строго определенному «научно обоснованному» плану?

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране.

2 октября 1552 года пала Казань, навсегда избавив Россию от угрозы татарского нашествия. Царь Иван Грозный, «осветя град во имя святыя и живоначальные Троица», тем самым превратил Казань из мусульманского города в христианский. Для прославления «казанского взятия», вошедшего в историюб Руси наравне с Куликовской битвой, было решено заложить на Красной площади Москвы собор Покрова, «что на рву», позже этот храм был прозван в народе «Василием Блаженным» из-за погребения в конце ХУ1 века у его стен юродивого, носившего это прозвище.

Вначале был выстроен каменный собор «Покровский», который затем по велению царя был обстроен семью деревянными церквами – приделами. Затем царю «даровал бог двух мастеров русских, по прозвищу Посника и Барму», которым царь «повелел» сооружать церкви каменные заветные восемь престолов». Взявшись за строительство, Барма и Постник задумали улучшить общую композицию сооружения, придать ему более строгий геометрический план, для чего возвести вокруг собора еще восемь приделов.

И. С. Николаев, анализируя постройки, пришел к выводу, что собор Покрова является «плодом коллективного творчества, художественного соревнования разных артелей мастеров, объединенных стремлением достичь общего яркого и единого декоративного эффекта». Трудно представить себе только одного зодчего, нарисовавшего или вылепившего тысячи совершенно различных деталей. Очевидно, при сооружении Покровского собора вместе с каменщиками работали и художники. «Храм отличается удивительно гармоничной композицией в целом, несмотря на фантастическое разнообразие декоративных деталей и их контраст», - пишет И. С. Николаев.

Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и ассиметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических «неправильностей». Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако эта неточность делает композицию более живописной, «живой» и она выигрывает в целом.

Высказываются разные мнения о назначении храма Василия Блаженного, о природе его необычной, красочно-нарядной композиции. По мнению М. А. Ильина, «храм о девяти приделах», поставленных на одном основании, символизировал собой горний Иерусалим – небесный Сион – рай, где должны были найти вечный покой души тех, кто отдал свою жизнь за «други своя», за общенародное дело разгрома татар.

Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Как указывает М. А. Ильин, «нарастание декоративных форм ввысь вторит всему замыслу здания. Формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей, весь смысл которых – взбираться все выше и выше к венчающему шатру, по граням которого уже вьются, бегут к главке золоченные спирали».

В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследуя его, Б. Смоляк пришел к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения.

Едва ли правомерно утверждать, что зодчие собора Василия Блаженного знали о золотой пропорции и ее математическом выражении 1,618 или 0,618 и сознательно пользовались этой величиной в своих построениях. Но они могли интуитивно прийти к этой пропорции, пользуясь системой квадрата и прямоугольника «два квадрата», отношением их сторон и диагоналей, а также используя пропорциональные циркули.

При рассмотрении храма Василия Блаженного в Москве невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно восьми (вокруг центрального собора)? Существовали ли какие-либо каноны, определяющие число куполов в храмах? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые, однако уже в Х веке строили и многокупольные церкви. После реформы патриарха Никона в середине ХУ11 века было запрещено строить одноглавые церкви как не соответствующие пятиглавому чину русской православной церкви. Многие выстроенные православные соборы были пятиглавыми. Восьмеричный стиль приспосабливается к пятиглавию, но основой остается восьмигранный шатер.

Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по пять и восемь куполов. Новгородский Софийским собор (Х век) был тринадцатиглавым, а Преображенскую церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава! Случаен ли такой рост числа куполов (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) или здесь проявляется ряд чисел Фибоначчи, отражается естественный закон роста – от простого к сложному? Трудно ответить однозначно на этот вопрос, но трудно и не обратить внимания на эту совокупность чисел.

Исследователь архитектуры древнего мира подобен палеонтологу, определяющему по остаткам костей облик жившего в давние времена животного, или археологу, который по скудным остаткам материальной культуры далеких предков пытается воссоздать картину их быта. Архитектурные сооружения древности, в особенности те, которые хорошо сохранились, несут нам значительно больше информации, чем археологические или палеонтологические находки. Но нам мало видеть русский храм, сохранившийся почти неизменным, таким же, каким видели его создатели. Нам интересно (и полезно!) познать творческие секреты древних мастеров, их эстетические архитектурные идеи, которые были положены в основу композиций. А это задача не простая. Здесь знаний геометрии мало, здесь и историю нужно знать, и психологию художников.

Давно уже нет в живых создателей замечательных русских храмов, являющихся сокровищницей отечественной культуры. Но остались (к сожалению, далеко не все!) творения из рук, и прежде всего выражение их духовных ценностей, воплощенных в камне. Чем они руководствовались при выборе пропорций, при членении на части?! Для ответа на этот вопрос нужна кропотливая работ исследователя, кропотливые замеры и сопоставления.

Анализ пропорций многих русских храмов показал наличие золотой пропорции в членении целого на части. Особенно преуспел в таких исследованиях И. Швелев. В пропорциях Успенской церкви Еленского монастыря он установил преобладание здесь золотой пропорции и отношений в квадрате и «двух квадратах». Ширина и высота храма, высота ярусов, купола, подкупольного пространства и многие другие размеры частей связаны между собой золотой пропорцией или ее половиной.

Присутствие двух основных пропорций в Елецкой церкви обусловлено замыслом ее создателя, его представлением о гармонии и красоте. Для осуществления этого замысла при строительстве церкви, по мнению И. Шевелева, применялись два эталона длины – маховую, или большую сажень (191,6 см) и малую сажень, равную парному шагу (154,9 см). Их отношение равно 0,809, или половине золотой пропорции. Очевидно, при создании архитектурных храмовых сооружений, в стремлении создать непревзойденные шедевры гармонии и красоты древнерусские мастера опирались не только на интуицию, но и на осознанную систему пропорций и в том числе на золотое сечение. Это и опередило непреходящую эстетическую ценность созданных ими храмов.

Во времена монопольного господства религиозной идеологии строительство храмов представляло, но существу, едва ли не единственную реальную возможность (кроме народных песен) художественного самовыражения талантливых представителей русского народа. В религиозных архитектурных творениях русских зодчих запечатлено стремление к гармонии, эстетические идеалы того времени. В них воплощалось все лучшее, что было достигнуто развитием зодчества. И следует только удивляться тому высокому уровню, которого достигли русские зодчие, в большинстве своем безымянные крепостные. «Все материальные силы, все интеллектуальные силы общества сошлись в одной точке – в зодчестве. Таким образом, искусство под предлогом возведения божьих храмов достигло великолепного развития», - писал Виктор Гюго.

Выражение «архитектура – это застывшая музыка» стало крылатым. Оно не является, безусловно, результатом строго научного анализа, это скорее всего итого образного, интуитивного ощущения некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией. Музыкальная мелодия основана на чередовании звуков различной высоты и продолжительности, в ее основе – временная упорядоченность звуков. В основе архитектурной композиции – пространственная упорядоченность форм. Казалось бы, между ними ничего общего. Но чтобы оценить размеры пространственной конструкции геометрической фигуры, мы должны проследить взглядом от начала до конца эту фигуру, и чем больше, например, длина ее, тем длительнее будет восприятие. Очевидно, здесь и заключена органическая связь пространственного и временного восприятия объектов человеком.

Наглядным примером такого анализа могут служить известные опыты психологов с прямоугольниками различных отношений сторон. Опыты показали, что при осмотре таких прямоугольных листов картона большинство испытуемых предпочитали те фигуры, в которых отношения сторон были равны золотой пропорции. Почему при зрительном восприятии этой пропорции она оказалась предпочтительной? Не потому ли, что при таком соотношении сторон длительность оценки их длин равнялась золотой пропорции? Ведь соотношение длительностей восприятия различных частей предмета или его габаритов рождает ритм восприятия, который может соответствовать, а может и не соответствовать ритмам, господствующим в организме человека, в частности, в его нервной системе. К этому вопросу мы еще вернемся при дальнейшем рассмотрении.

Но обратимся к архитектуре. Нет ли здесь в соотношениях частей сооружения некоторого сходства с закономерностями построения музыкальных произведений? Серьезных исследований в этом направлении пока еще нет, отсутствует прежде всего методологическая основа, неясно еще, что следует искать. Но попытки такого рода уже есть.

Ю. А. Артемьев при анализе некоторых архитектурных сооружений определял степень совершенства формы путем сравнения высоты основных архитектурных зданий с пропорциями чисел музыкальной октавы (1/2; 3/5; 2/3; ѕ; 4/5; 8/9; 16/17; 1). При этом высота здания от основания до купола принималась равной Ѕ. Расчетные пропорции частей зданий сравнивались с пропорциями музыкального ряда, определялась сходимость (расчетных и фактических размеров), и по ее величине, выраженной в процентах, автор судил о степени совершенства формы.

Для дома Пашкова (Москва, В. И. Баженов) сходимость указанных величин составила, по расчетам Ю. А. Артемьева, 94,2 %. Замеры других сооружений (храм Покрова во рву в Москве, дворец Разумовского в Батурине, Михайловский дворец в Ленинграде, храм Вознесения в Москве, Успенский собор в Кремле, церковь Троицы в Подмосковье) показали сходимость 93,3-85,0 %. Конечно, сходимость произведенных замеров с «музыкальной моделью» Ю. И. Артемьева не очень велика, а 85 % и вовсе низка. Выделение в архитектурном сооружении частей также несколько условно, и полученные результаты скорее можно отнести к смелой гипотезе, чем к установленному факту. Характерно, что приведенному анализу был подвергнут и храм Покрова во рву, в пропорциях которого другие исследователи находят совершенно другие закономерности, в частности золотую пропорцию («кто что хочет, то и находит»). Подобное положение сложилось и с изучением Парфенона.

Пока не ясно, в чем причина этих «многоликих» толкований гармонии сооружений древних архитекторов, наличие столь различных, часто противоположных моделей. Или прав был И. В. Гете, утверждавший, что между противоположностями лежит не истина, а проблема. Может быть, архитекторы шедевров зодчества интуитивно познали принципы композиций, которые близки к некоторым канонам (критериям) гармонии, но ни одному из них не отвечают полностью.

Связь гармонии архитектурных сооружений с музыкальной гармонией еще предстоит открыть. И совсем не обязательно искать связь пропорций формы с пропорциями звукоряда, ведь мелодии состоят не из звукоряда, а из бесконечного сочетания разнообразных звуков.

Создание религиозных храмов и других произведений архитектуры требовало от зодчих и строителей хорошего знания геометрии, принципов и правил создания гармонических пропорций, обладания прекрасным художественным вкусом и, кроме всего прочего, требовало наличия продуманной системы мер, эталонов длины.

Заключение

В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира.

Идеи пифагорейцев оказались удивительно живучими. Во всех последующих исследованиях ученые пытались так или иначе найти простые числовые соотношения в самых различных явлениях и структурах; изучение законов гармонии стало важной частью изучения природы.

Впоследствии с близким результатом подобные опыты провели Витма (1894) , Лэйо (1908) , Зондайк (1917) и другие. В России в 1896-1898гг. И. П. Балталон под руководством А. А. Токарского. " Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии свойственного взрослым. По видимому ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому, находящемуся за пределами возрастных границ, в которых происходит формирование психики, чувства и интеллекта, как отдельных элементов единого целого - эстетически вполне сформированной личности. " Сейчас невозможно достоверно установить ни человека впервые открывшего золотую пропорцию, ни времени, когда это произошло. Очевидно ее неоднократно открывали, забывали и открывали вновь, в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.

Эстафета знаний древности ведет от Греции к Египту, а от него к Вавилону. Одним из самых замечательных, известных и загадочных архитектурных сооружений с древности являются пирамиды Египта, которые также были построены строго по золотой пропорции.

Помимо пирамид, множество других построек Древнего Египта построены по этим принципам. Сохранился рельеф эпохи Древнего царства (2800-2400гг. до н. э. ) свидетельствующий о сознательном использовании египтянами геометрических пропорций, основанных на золотом сечении.

В древних культурах других стран мы обнаруживаем тоже самое. Особенно выделяется храм Афины - Парфенон. В его геометрии вообще отсутствуют прямые линии; его совершенные пропорции передают наблюдателю чувства величия и радости, наполняя его душу гармонией, взывая к гуманистическим чувствам.

Существуют исследования русских храмов И. Шевелева, К. Н. Афанасьева, М. А. Ильина, Б. Смоляка установивших наличие золотой пропорции во многих, если не во всех православных храмах.

В Западной Европе, в которой, начиная со средневековья, охарактеризовавшегося постройкой великих готических соборов, образовались ложи Вольных каменщиков, проще говоря масонов, архитектуре, геометрии, и священной золотой пропорции уделялось огромное значение.

Множество людей занималось исследованиями о том, как "с помощью геометрии философские и теологические идеи перевести в конкретные формы изящества и красоты". "Золотое сечение, известное так же, как золотая пропорция или золотая середина, было одной из самых важных и широко распространенных геометрических формул, использовавшихся при строительстве соборов.

Золотая пропорция имела особое значение для христианской теологии, поскольку она обозначает трехэлементную теорему, сконструированную из двух элементов и "соответствующей первой загадке святой Троицы: трое, которые являются двумя".

"Все материальные силы, все интеллектуальные силы общества сошлись в одной точке - в зодчестве. Таким образом искусство под предлогом возведения божьих храмов достигло великолепного развития, " - писал масон Виктор Гюго. Древние зодчие Египта, Греции, Руси, Средней Азии, во многих других местах, при построении своих архитектурных шедевров пользовались системой мер, соответствующих золотой пропорции (таких, как система саженей в России), что существенно облегчало эту задачу во времена, когда уровень образования архитекторов и вообще науки был не слишком велик.

Выражение "архитектура - это застывшая музыка стало крылатым.

Оно основано на образном, интуитивном ощущении некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией. Музыкальная мелодия основана на чередовании звуков различной высоты и продолжительности, в её основе - временная упорядоченность звуков. В основе архитектурной композиции - пространственная упорядоченность форм. Но что бы оценить размеры пространственной конструкции геометрической фигуры, мы должны проследить взглядом от начала до конца эту фигуру, и чем больше, например длинна её, тем длительнее будет восприятие. Очевидно здесь и заключена органическая связь пространственного и временного восприятия объектов человеком. "

Существует "представление о готическом соборе, как о музыкальном инструменте. Если взглянуть на церковь с этой точки зрения, то её скрытые пропорции и молчаливая гармония апсид, верхнего ряда окон и нефа могут зазвучать в мозгу человека, заставить его сердце и душу тихо запеть в унисон с божественной гармонией". Есть исследования М. Марутаева, Л. Мазеля, Л. Сабанеева и других, устанавливающих наличие золотого сечения в произведениях великих композиторов. С древних времен имеются представления о соответствии размеров и музыкальной гаммы, о гармоническом сочетании.

Дать определение золотой пропорции еще не значит ее изучить. Нужно было определить величину этого удивительного соотношения. Она оказалась близкой к 1,6, а если точнее – к 1,62, еще точнее – к 1,618. Более глубокий математический анализ показал, что золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, она отвечает простому математическому выражению и равна 1,6180339