Связь математики, химии в природных многогранниках - кристаллах

С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью самоограняться, т. е. самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству многогранников. Слово «кристалл» – греческое (krustalloV), исходное его значение – «лёд». Однако уже в античное время этот термин был перенесён на прозрачные природные многогранники других веществ (кварца, кальцита и т. п. ), так как считалось, что это тоже лёд, получивший в силу каких-то причин устойчивость при высокой температуре. В русском языке это слово имеет две формы: собственно «кристалл», означающее возникшее естественным путем многогранное тело, и «хрусталь» – особый сорт стекла с высоким показателем преломления, а также прозрачный бесцветный кварц («горный хрусталь»). В большинстве европейских языков для обоих этих понятий используется одно слово.

Наверное, трудно назвать области жизни и деятельности, где не применялись бы эти природные многогранники. С раннего детства каждый знает, что снежинки – это хрупкие и нежные «веточки» изо льда. Чуть позднее, повзрослев, мы понимаем, что снежинки – это кристаллики замерзшей воды, но чудо кружения снежинок в воздухе не дает принять до конца это не сказочное объяснение. А домашние кристаллы – соль и сахар? Сколько сложено про них сказок, пословиц! И представить дом без этих кристаллов-труженников очень сложно. Cовременный человек, впервые столкнувшись с природными кристаллами, чаще всего не верит, что эти многогранники не являются делом рук искусного мастера. Упоминания о «кристалле» (по-видимому, всё-таки речь идёт о «хрустале») неоднократно встречаются в Библии (см. , напр. : Откровение Иоанна, 21, 11; 32, 1, и др. ). Форме кристаллов издавна придавалось магическое значение, о чём свидетельствуют некоторые археологические находки. В прикладном искусстве древности иногда в качестве образцов для подражания использовались кристаллические многогранники, причём и такие, которые заведомо не рассматривались наукой того времени. Например, в Государственном Эрмитаже хранится нитка бус, форма которых с высокой точностью воспроизводит характерную форму кристаллов красивого полудрагоценного минерала граната. Бусины эти изготовлены из золота (предположительно, ближневосточная работа I –V вв. н. э. ). Таким образом, кристаллы с давних пор оказывали заметное воздействие на основные сферы интересов человека: эмоциональную (религия, искусство), интеллектуальную (искусство).

При изучении стереометрии, рассматривая свойства различных многогранников и их виды, возникает параллель между внешним видом многогранников и видом кристаллических решеток разных химических веществ. Мы постарались проследить эту параллель, и рассмотреть зависимость химических свойств веществ от свойств соответствующих кристаллической решетки видов многогранника.

Изучением кристаллов занимались ученые, представляющие различные области научных знаний. Одним из первых законов, замеченных в отношении формы кристаллов, был закон постоянства углов между гранями или рёбрами кристаллов (И. Кеплер; Н. Стенон, ХVII в. ): на разных индивидах одного и того же кристаллического вещества углы между соответственными гранями или pёбpaми одинаковы.

Стенон первый предложил рациональное объяснение этого, состоящее в послойном нарастании граней (т. е. их параллельном перемещении) при увеличении объема кристалла, а Кеплер выдвинул первую правильную, хотя и неполную теорию строения кристаллов из шаров одинакового диаметра. Довольно давно были отмечены и такие общие особенности кристаллов, как однородность – постоянство свойств кристалла в любой его точке, и анизотропность – различие свойств кристалла по непараллельным направлениям (при одинаковости тех же свойств по параллельным направлениям). С анизотропностью тесно связана группировка всех граней кристалла в призматические пояса (зоны), оси которых имеют вполне определённые взаимные ориентировки. Эти оси (как и параллельные им рёбра между гранями одной зоны) соответствуют направлениям с наиболее плотным расположением атомов.

В 1981-1985 годах одним из направлений экономического и социального развития в СССР была задача поиска, синтеза и выращивания новых кристаллических материалов, всестороннее исследование и научную разработку путей целенаправленного изменения их свойств и прогнозирование новых веществ.

До начала 20 века промышленное использование монокристаллов ограничивалось исключительно ювелирными самоцветами. Лишь в 20 годах прошлого столетия кристаллы стали применяться, учитывая их физические свойства, обусловленных симметрией. Требование к качеству материалов и их массовому производству вызвало к жизни появление промышленности выращивания кристаллов. В настоящее время рождаются и развиваются новые области техники, целиком базирующиеся на использовании своеобразных свойств кристаллов.

Разнообразие и высокая стабильность свойств кристаллов, возможность целенаправленного изменения этих свойств обусловили широчайшее применение кристаллов в науке и технике. Без использования кристаллов немыслима современная микроэлектроника и, следовательно, электронно-вычислительная техника. С химией у кристаллографии существуют давние и тесные связи. Закон Дальтона и закон Гаюи, одинаковые по форме, взаимно подкрепляли гипотезу о дискретном строении материи. Так, согласно закона Гаюи все кристаллы состоят из плотно уложенных рядами маленьких частиц, имеющих присущую данному веществу правильную геометрическую форму. Кристаллография является одной из надёжнейших основ стереохимии. Связь этих наук ярко иллюстрируется тем фактом, что дважды лауреат Нобелевской премии Лайнус Полинг был одновременно крупнейшим и химиком, и кристаллографом. В оптике кристаллы используются не только в качестве пассивных элементов типа призм и линз, но и как генераторы и разнообразные модуляторы оптического излучения. Работы по высокотемпературной сверхпроводимости, сулящей необозримые перспективы для энергетики и экологии, также базируются на получении определённых кристаллов и исследовании их свойств. Интенсивно изучается и используется роль кристаллов в биологических системах, в медицине и т. д. Разнообразные запросы науки и техники вызвали появление целой отрасли промышленности – производства синтетических кристаллов.

Кристаллам и кристаллографии отдали надлежащую дань и художники, и литераторы. Так, центром композиции своей знаменитой гравюры «Меланхолия» один из гениев Возрождения Альбрехт Дюрер сделал кристаллический многогранник. Морис Эшер широко использовал в своих работах принципы кристаллографической симметрии; будущий нобелевский лауреат по литературе поэт Иосиф Бродский некоторое время служил лаборантом в лаборатории Синтеза кристаллов Санкт-Петербургского (тогдашнего Ленинградского) университета (впрочем, следов его деятельности в этой науке не сохранилось). Число упоминаний о кристаллах в литературных произведениях перечислить невозможно. Таким образом, кристаллографии принадлежит почётная роль связующего звена между самыми разными сторонами духовного мира человека. Наверное, наиболее глубоко и синтетично выразил это обстоятельство Н. А. Морозов, крупный учёный, поэт, многолетний узник Шлиссельбургской крепости, в стихотворении, посвящённом Е. С. Фёдорову:

В недрах стеклянных фиалов

Словно волшебный скульптóр

Светлые грани кристаллов

Лепит бесцветный раствор.

В нас из мечтаний неясных,

Мыслей, томлений и дум

Грёзы творений прекрасных

Вечно ваяет наш ум.

Родствен семье минералов

Мир бестелесных идей.

Грёзы, как грани кристаллов,

Вкраплены в души людей.

Кристаллические вещества.

В кристаллических веществах частицы, из которых построены кристаллы, размещены в пространстве в определённом порядке и образуют пространственную кристаллическую решётку. Обычно на рисунке частицы в кристаллической решётке построены из повторяющихся одинаковых структурных единиц, индивидуальных для каждого кристалла. Такая структурная единица называется элементарной ячейкой. Простейшая элементарная ячейка содержит восемь узлов в вершинах куба. Поскольку к каждой «вершине-узлу» примыкают восемь простейших ячеек, то на каждую простейшую ячейку приходится один атом. Однако элементарную ячейку можно построить и так, чтобы она содержала дополнительные узлы, расположенные внутри объема куба или на его гранях, – такие решётки называются сложными. Всего существует 14 типов кристаллических решёток (например: куб, призма, октаэдр и т. д. ). В зависимости от характера частиц, образующих кристалл, и от типа химической связи между ними различают четыре класса кристаллических решеток: металлические, ионные, молекулярные и макромолекулярные (последние иногда называют атомными). Кристаллы каждого из этих классов могут иметь любой из 14 типов кристаллической решётки.

1) Металлические структуры. Атомы в металлах упакованы максимально плотно и образуют простейшие кристаллические структуры, при этом атомы упрощенно рассматривают в виде шаров. Упаковать («уложить») шары так, чтобы они заполнили всё пространство (чтобы между ними совсем не было промежутков) невозможно. Если же эти промежутки сведены к минимуму, говорят о плотноупакованных структурах. Известно три основных типа структуры металлов. Наиболее плотная упаковка шаров достигается в случае гексагональной плотной упаковки (ГПУ) и гранецентрированной кубической упаковки (ГКУ) – в этих упаковках атомы металла (шары) занимают 74% всего объёма.

Объёмно центрированная кубическая упаковка (ОЦКУ) в отличие от первых двух не являются плотноупакованной – атомы занимают в ней лишь 68% имеющегося объёма. Как возникают эти структуры, можно понять, рассмотрев гексагональный и квадратичный способы упаковки шаров. В случае гексагональной упаковки каждый шар соприкасается с шестью другими. Между сферами имеются пустоты. Центры любых трёх соседних шаров образуются равносторонний треугольник. Менее плотной оказывается квадратная упаковка, в которой центры четырёх соседних шаров образуют квадрат.

Гексагональной плотной упаковки (ГПУ) образуется с помощью укладывания на первый слой второго слоя, так чтоб каждый шар верхнего слоя соприкасаются с тремя слоями нижнего слоя. Шары третьего слоя располагаются точно над шарами первого, шары четвёртого слоя – точно над шарами второго и т. д. Структуру ГПУ строятся из чередующихся слоёв АВАВАВА

Более сложную последовательность имеет гранецентрированная кубическая упаковка (ГКУ) – при таком способе построения кристалла шары третьего слоя располагаются над пустотами второго слоя. Когда на третий слой укладывают четвертый слой шаров, то он оказывается таким же, как первый. Следовательно, последовательность слоёв в ГКУ – АВСАВСАВС ОЦКУ может быть построена единственным способом. Каждый шар в этом случае находится в центре куба, вершины которого заняты другими шарами – следовательно, каждый шар соприкасается с восемью другими шарами, или при этом принято говорить, что каждый атом имеет координационное число n=8. В случае ГПУ и ГКУ координационное число n=12. Высокие координационные числа в металлических кристаллах – следствие ненаправленного характера металлической связи. Примеры металлов с различными типами кристаллических решёток приведены в таблице.

ГКУ ГПУ ОЦКУ

Кальций Магний Щёлочные металлы

Алюминий Кобальт Барий

Медь Цинк Хром

Серебро Титан Железо

Особый характер металлической связи и описанные особенности металлических решёток обусловливают такие важнейшие свойства металлов, как высокие температуры плавления, ковкость, электропроводность, теплопроводность.

2) Ионные структуры. Если в узлах кристаллической решётки расположены ионы, то такая решётка называется ионной. Разноимённые ионы, из которых состоят ионные кристаллы, удерживаются вместе электростатическими силами. Поэтому структура ионной кристаллической решётки должна обеспечивать их электрическую нейтральность. Каждому типу ионов в ионной решётке соответствует своё собственное координационное число. Формы пространственных решёток могут быть разнообразными и часто достаточно сложными. Вещества с ионными кристаллическими решётками обладают сравнительно высокой твёрдостью, они достаточно тугоплавки и малолетучи. Электрический ток проводят не только их расплавы, но и растворы, поскольку многие ионные соединения легко растворяются и затем диссоциируют в полярных жидкостях. Отметим характерное свойство ионных кристаллов, отличающее их от металлов. В отличие от последних ионные кристаллы являются хрупкими, поскольку даже небольшие сдвиги в кристаллической решётке приближают друг к другу одноименно заряженные ионы, отталкивание между которыми приводит к разрыву ионных связей и, как результат, к появлению трещин в кристалле или даже к его разрушению.

3) Молекулярная структура. Молекулярные кристаллы составляют молекулы, связанные между собой слабыми межмолекулярными силами (ван-дер-ваальсовыми либо водородными связями). Например, лёд состоит из молекул воды, удерживаемых в кристаллической решётке водородными связями. Каждая молекула воды связана водородными связями с четырьмя другими окружающими её молекулами. Две из этих водородных связей обусловлены атомами водорода данной молекулы воды и ещё две обусловлены атомами водородами окружающих молекул воды. Поэтому лёд имеет тетраэдрическую структуру, напоминающую структуру алмаза. Водородная связь в структуре льда объясняет не только его высокую температуру плавления, но также его малую плотность. При плавлении водородные связи частично разрушаются, и молекулы воды получают возможность упаковываться плотнее – это объясняет характер поведения кривой ВТ на фазовой диаграмме воды. В качестве другого примера молекулярных структур можно указать структуру кристаллов иода, существующего в виде молекулярных кристаллов вплоть до 30 градусов. Узлы кристаллической решётки кристаллов иода заняты двухатомными молекулами иода. Хлор и бром образуют подобные структуры при более низких температурах. Такую же структуру имеет диоксид углерода («сухой лёд»). Молекулярную структуру имеет ещё ряд неорганических соединений (например, твёрдый аммиак), а также большинство органических соединений (например, твёрдый метан, фенол, нафталин, белки и т. д. ).

4) Макромолекулярные (атомные) структуры. В отличие от ионных и металлических кристаллов, которые состоят из ионов, а также в отличие от макромолекулярных кристаллов, которые состоят из молекул, макромолекулярные кристаллы имеют решётку, построенную из атомов. Именно поэтому такие кристаллы называют ещё атомными. Макромолекулярные кристаллы, в свою очередь, можно подразделить на три группы: каркасные структуры, цепочечную структуру и слоистые структуры.

Каркасные структуры. Например, имеют алмаз (аллотропная форма углерода) – одно из самых твёрдых веществ. Атом углерода может образовывать четыре одинарные ковалентные связи. Направленные к вершинам правильного тетраэдра, в центре которого располагается атом углерода. Таким образом строится трёхмерная решётка, составленная исключительно из атомов углерода. Все связи одинаковы, как и углы, образующиеся между атомами. Чтобы разрушить кристаллы с атомно-ковалентной решеткой, подобной алмазу, необходимо разрушить множество прочных ковалентных связей. Энергии ковалентных связей составляют величины порядка сотен кДж на моль, поэтому такие кристаллы являются твёрдыми веществами с высокими температурами плавления. Так, температура плавления алмаза составляет примерно 3500 градусов.

Слоистые структуры. Кристаллы с такой структурой можно рассматривать как двумерные макромолекулы. Слоистые структуры характеризуются ковалентными связями внутри каждого слоя и слабого ван-дер-ваальсовыми взаимодействиями между слоями. Классическим примером вещества со слоистой структурой является графит – другая аллотропная форма углерода. Поскольку плоскости в графите соединяются только ван-дер-ваальсовыми силами, их легко заставить скользить относительно друг друга, если приложить даже небольшое усилие. Этим объясняется, например, «пишущее» свойства графита. В отличие от алмаза, графит хорошо проводит электричество: под влиянием электрического поля нелокализованные электроны легко могут перемещаться вдоль плоскости шестиугольников; наоборот – в перпендикулярном направлении графит практически не проводит электрический ток.

Цепочечные структуры. Некоторые вещества образуют структуры, похожие на цепочки. В качестве примера можно привести оксид серы (VI), кристаллизирующийся в виде тонких блестящих игл (SO)n. Цепочечную структуру имеют многие аморфные вещества, например, полимеры.

Таблица: « Виды кристаллических решеток ».

Виды кристаллических решеток. Рисунок. Название элемента. Свойства группы.

ГПУ Магний, кобальт, цинк, титан. Высокая температура плавления.

(Гексагональная плотная упаковка ). Ковкость.

Электропроводимость. Теплопроводимость.

ГКУ Кальций, алюминий, медь, серебро. Высокая температура плавления.

(гранецентрированная кубическая Электропроводность упаковка). Теплопроводность.

ОЦКУ Щелочные металлы. Высокая температура плавления.

(объемно- центрированная кубическая Барий. Электропроводность упаковка). Хром. Теплопроводность.

Железо.

Ионная NaCl, лед. Высокая твердость.

Тугоплавкость.

Малолетучесть.

Электропроводность

Ионные кристаллы - хрупкие.

Молекулярная Йод, хлор, бром, аммиак, метан, бензол,При высокой температуре- распад, фенол, нафталин Малолетучи. Теплопроводны.

Правильные многогранники (Платоновы тела ).

В среде математиков существует аргументированное мнение, что прототипами пяти правильных многогранников (тел Платона) послужили природные кристаллы. Многим архимедовым (полуправильным) многогранникам также имеются точные или очень близкие аналоги в мире кристаллов.

Великий греческий философ Платон (около 428-около 348 до н. э. ) выделял 5 первоначал: эфир, вода, воздух, земля, огонь. Он предложил уподобить каждое первоначало правильному выпуклому многограннику:

Тетраэдр – эфир,

Октаэдр – вода,

Гексаэдр (куб) - воздух,

Икосаэдр – земля,

Додекаэдр – огонь.

Платон, поражённый совпадением количества правильных многогранников с числом «сущностей» природы, посчитал это равенство отнюдь не случайным. И он пришёл к заключению, что огонь построен из «колючих» тетраэдров, воздух – из более «округлых» октаэдров, вода – из ещё более «круглых» икосаэдров, а земля – из кубов, которые могут плотно прилегать друг к другу. Оставался ещё додекаэдр, и Платон решил, что такую красивую и совершенную форму имеет весь мир – Вселенная.

Такие многогранники часто называют правильными многогранниками (Платоновыми телами). Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Как известно существует только пять правильных многогранников, что доказывает теорема Эйлера. Пусть В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Тогда В – Р + Г = 2. Тогда можно составить следующую таблицу – взаимосвязи числа граней и числа ребер, сходящихся в каждой вершине:

n m 3 4 5

3 В=4, Р=6, Г=4 тетраэдр В=6, Р=12, Г=8 октаэдр В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр

4 В=8, Р=12, Г=6 куб Не существует Не существует

5 В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр Не существует Не существует

Других правильных многогранников не существует.

В 1996 году был открыт новый тип молекул, построенных из атомов углерода. Они были названы фуллеренами – по имени архитектора Роберта Бакминстера Фуллера, который строил купола из многогранников. Открытие молекул происходило « искусственным» образом: ученые склеивали модели тетраэдров. Самая симметричная и красивая молекула – бакминстерфуллерен – имеет 60 вершин и состоит из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников. Эта фигура не является правильной, зато она выглядит точно так же, как современный футбольный мяч! За это открытие ученые получили высшую научную награду – Нобелевскую премию (по химии). Так математика помогла химии найти новые вещества.

В геометрии рассматривают тела, которые получили название полуправильных или Архимедовых тел. Эти многогранники были впервые рассмотрены Архимедом в 111 в. до н. э. в недошедшем до нас сочинении. Его работа дошла до нас только через сочинения других авторов. Все эти многогранники были вновь открыты и описаны в эпоху Ренессанса. Известный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 — 1630) в книге «Гармония мира» в 1619 г. полностью восстановил потерянную информацию о них.

Полуправильным многогранником называется многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно с разным числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n - угольные призмы, все ребра которых равны, т. е. боковыми гранями которых являются квадраты( например правильная шестиугольная призма).

К полуправильным многогранникам относятся так называемые n - угольные антипризмы, все ребра которых равны. ( например, шестиугольная антипризма, полученная из шестиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол в 30 градусов. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединены с двумя ближайшими вершинами другого основания. Если высоту призмы подобрать таким образом, чтобы все боковые грани являлись правильными треугольниками, то полученная антипризма будет полуправильным многогранником.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника.

Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий 8 граней. Из них 4 - правильные шестиугольники и 4 - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать углы октаэдра и икосаэдра, то получим усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр.

Из куба и додекаэдра тоже можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр.

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе секущие в плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, называемый кубооктаэдр. Его гранями являются 6 квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра.

Аналогично, если в додекаэдре провести секущие плоскости через, середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, называемый икосододекаэдр. У него 12 граней - правильные пятиугольники и 20 граней - правильные треугольники, т. е. все грани додекаэдра и икосаэдра.

К последним двум многогранникам применим операцию « усечения». Получим соответственно усеченный кубооктаэдр и усеченный икосодододекаэдр.

К оставшимся многогранникам более сложного типа относятся:

Ромбокубооктаэдр. У него 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников.

Ромбоикосодододекаэдр. У него 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

«Плосконосый» ( иногда называют курносый )куб. У него 38 граней, из них 6 квадратов, 32 правильных треугольника.

«Плосконосый» ( курносый ) додекаэдр. У него 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

Интересно заметить, что на протяжении более 2 тысяч лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогранников не существует. И только совсем недавно, в середине прошлого столетия, был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. Он получился из ромбокубооктаэдра поворотом верхней чаши на угол 45 градусов.

Симметрия в кристаллах.

Не могло остаться без внимания одно из основных свойств кристаллов – их симметричность, визуально выражающаяся в закономерном, «правильном» расположении одинаковых граней кристалла. Как говорил творец современной теории строения кристаллов E. С. Фёдоров, «кристаллы блещут симметрией». Эти и многие другие геометрические и физические закономерности, обнаруженные в кристаллах, привели к середине XIX в. к представлению об их трёхмерно-периодическом или решётчатом строении. Это представление просуществовало в виде гипотезы (хотя и весьма солидно обоснованной) до 1912 г. , когда был проведён исторический эксперимент по дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (Макс фон Лауэ). Этот эксперимент непосредственно доказал правильность принятой гипотезы и послужил стимулом бурного развития кристаллографии и её проникновения буквально во все области человеческой деятельностью.

Анизотропия и симметрия кристалла.

Анизотропия - ( от греч. Anisos - неравный, tropos - направление) - зависимость свойств среды от направления.

В природе, в научных и заводских лабораториях кристаллы растут в виде красивых, правильных многогранников с плоскими гранями и прямыми ребрами. Симметрия и правильность внешней формы природных кристаллических многогранников - отличительная особенность кристаллов, но не обязательная. В заводских и лабораторных условиях часто выращивают кристаллы не многогранные, но их свойства от этого не изменяются. Из природных и искусственно выращенных кристаллов вырезают пластинки, призмы, стержни, линзы, в которых уже нет следов внешней многогранной формы кристаллов, но сохраняется удивительная симметрия структуры и свойств кристаллического вещества.

Опыт показывает, что если поместить обломок или пластинку из кристалла в раствор или расплав того же вещества и дать им возможность свободно расти, то опять вырастет кристалл в форме правильного симметричного многогранника. Это происходит из - за того, что скорость роста кристаллов в разных направлениях различна. Это лишь один из примеров анизотропии физических свойств кристаллов.

Анизотропия и симметрия физических свойств - характерная особенность кристаллов, обусловленная закономерностью и симметрией их внутреннего строения

Вследствие того, что в структуре кристалла в разных направлениях различны расстояния и силы связи между частицами, большинство свойств кристалла анизотропно, т. е. различно в разных направлениях, но одинаково в направлениях, симметричных друг другу. Например, слюда легко расщепляется на параллельные листочки, но только вдоль плоскостей с одной определенной ориентацией, а вдоль других плоскостей расщепить ее невозможно.

Анизотропной является и скорость роста кристаллов. Если бы скорость роста была изотропной, кристалл вырастал бы в форме шара. Именно из-за того, что скорости роста кристалла различны в разных направлениях и эти различия симметричны в пространстве, кристалл вырастает в форме симметричных правильных многогранников.

В свою очередь, анизотропия скоростей роста определяется структурой кристалла. Поэтому природная многогранная форма наглядно характеризует закономерность структуры кристалла и позволяет судить о симметрии его свойств.

Симметрия возникает в тех случаях, когда повторение однотипных единиц подчиняется определённому набору правил. В природе симметрия проявляется в особенностях развития и роста. Операции симметрии принадлежат к числу характерных сторон процесса роста и предопределяет симметричные результаты развития.

Роль, которую теория симметрии играет в исследовании роста и формы особенно наглядно проявляются в росте кристаллов. Не будучи живыми существами, кристаллы растут. В растворе, в парах или в расплаве они вырастают из крохотных затравочных центров до видимых размеров. Рост кристаллов происходит за счёт аккреции молекулярных единиц, каждая из которых занимает устойчивое положение, симметричное относительно других единиц. Форма единиц и характер периодичности определяются конфигурацией атомных мотивов и направлениями химических связей между ними.

Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было ещё гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способности атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово атом значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твёрдыми, как ядра. Давнее, чисто умозрительное учение о строение кристаллов принесло большую пользу ещё и потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.

Кристаллы допускают операции симметрии двух видов: во-первых, вращения, отражение или то и другое вместе и, во-вторых, трансляция. В пространственных, реальных кристаллов не может быть других углов поворота, кроме 60,90,120 и 180 градусов, или целых кратных от них. Никогда нельзя обнаружить природных кристаллов в форме додекаэдра и икосаэдра. Очевидно, правильная форма кристаллов, обязана не таинственному влечению природы к совершенству, а закону внутреннего строения кристаллов. Не только не существует икосаэдрических кристаллов, но вообще никогда не встречаются оси симметрии в кристаллах, допускающих иные углы поворота, кроме перечисленных.

Можно вывести все виды симметрии кристаллов, мысленно строя их из атомов самой произвольной формы. При этом никогда не получится симметрии относительно поворотов на 72 градусов, т. е. симметрия пятиугольника. И она действительно не встречаются у кристаллов. Таким образом, симметрия кристаллов однозначно говорит в пользу атомизма.

Когда были теоретически открыты все виды симметрии кристаллов, об атомах было известно очень мало. Многие видные учёные даже не верили в их реальное существование, полагая, что «атомистическая гипотеза» всего лишь вспомогательный приём рассуждений в физике. Из атомного строения кристаллов следует, что не может быть икосаэдрических кристаллов. В природе этих кристаллов действительно нет. Из этого следует, что все кристаллы состоят из атомов.

Оказывается, что есть 32 вида симметрии относительно вращений и отражений. Если же сюда включить и трансляцию, т. е. переносы, то получается всего 230 видов. Трудную задачу нахождения всех этих видов решили в 1892 году Фёдоров и Шенфлис, отчасти соревнуясь, отчасти помогая друг другу. Некоторые виды симметрии различаются лишь в том же смысле, как правая и левая рука (если такого различия не делать, то останется 219 видов). Лишь через 20 лет после работ Фёдорова и Шенфлиса атомное строение кристаллов было прямо подтверждено в опытах Лауэ по отражению рентгеновских лучей от кристаллов.

Таблица: «Симметрия в кристаллах».

Виды симметрии. Название элемента. Свойства группы. Рисунок.

Зеркальная Магний, графит. Электро - и теплопроводность

Лучевая Кальций, алюминий, кобальт, Перенос высоких температур, теплопроводность.

Осевая NaCl, барий. Тугоплавкость, электропроводность, неустойчивы при высокой температуре, практически все водорастворимы,

Перед математикой, со стороны кристаллографии, были поставлены крайне интересные и глубокие теоретические вопросы. Большую часть которых математика разрешила, создав фундамент структурной кристаллографии и теории симметрии. Но и до сих пор сотрудничество кристаллографии и математики обогащает обе эти науки.

Это интересно знать.

Наука о кристаллах началась с изучения горного хрусталя. Его блестящие бесцветные кристаллы впервые были найдены ещё в древности среди вечных снегов в Швейцарских Альпах. Некоторые кристаллы были настолько большими, что их с трудом могли поднять несколько силачей.

Горный хрусталь – это чистый кристаллический кварц, соединение атомов кремния и кислорода. Но не менее красивы кристаллы кварца, окрашенные в различные цвета благодаря присутствию в них некоторых примесей: фиолетовые аметисты, жёлтые цитрины, коричневый дымчатый кварц, переливающиеся всеми цветами радуги опал и яшма. В Оружейной палате Московского Кремля можно увидеть одежду и короны русских царей, сплошь усыпанные кристаллами-самоцветами. Особенно много среди них аметиста. Огромными аметистами густого фиолетового цвета была украшена корона русской царицы Ирины Годуновой. В церквях аметистами нередко украшали иконы, алтари, кресты, панагии.

Самые знаменитые кристаллы – алмазы, которыми после огранки превращается в бриллианты. В течение многих веков люди пытались разгадать тайну этих драгоценных камней. Когда же было наконец установлено, что алмаз – одна из разновидностей углерода, в это поверили не сразу! Действительно, алмаз – символ не только богатства, но и необыкновенной твёрдости. Если же взять другую, наиболее распространённую в природе кристаллическую разновидность углерода – графит, то на память прежде всего приходят грифели карандашей – чёрные, жирные на ощупь и очень мягкие. Оказалось, что сверкающие кристаллы, с которыми связано столько романтических (и кровавых) историй, и невзрачный чёрный графит состоят из одних и тех же атомов углерода. Решающий опыт провёл в 1772 году знаменитый французский химик А. Л. Лавуазье. Он обнаружил, что при сжигании алмаза и обычного угля получается одно и то же вещество – углекислый газ.

Блестящие кристаллы алмаза находили на территории современной Индии ещё 7 тысячелетий тому назад. Людей поражали их блеск, прозрачность (до изобретения стекла было ещё далеко) и необычайная твёрдость. Алмаз унаследовал свое название от греческого слова «адамас», что означает нерушимый, непреодолимый. Не удивительно, что в древности этому камню приписывали чудесные свойства, он был предметом полонения. Самые большие и красивые образцы вставляли в глазницы гигантских статуй Будды.

Приписывали алмазу и самые невероятные свойства. Не избежал фантастических вымыслов и римский учёный Гай Плиний Старший, давший первое подробное описание алмаза. В своей работе «Естественная история ископаемых тел» он пишет, что если поместить кристаллик алмаза между молотом и наковальней, то скорее они разлетятся вдребезги, чем повредится «царь камней». На самом деле алмаз очень хрупок и совершенно не выдерживает ударов.

Чаще всего крупные алмазы находят в виде неправильной глыбы, мало отличающейся по форме от обычного булыжника. Именно таким был и самый большой из найденных когда-либо алмазов – «Куллинан». Его обнаружили 26 января 1905 года в Южной Африке в руднике «Премьер» и назвали по имени президента компании «Премьер Дайамонд Майн» сэра Томаса Куллинана (в 1922 году эта компания вошла в состав знаменитой ныне «Де Бирс»). Этот камень размером с кулак весил более 600 граммов! Причем его форма свидетельствовала о том, что это лишь часть более крупного камня. Когда ценнейший подарок доставили английскому королю Эдуарду VII, тот был явно разочарован. «Попадись этот камень мне, - сказал король, - я бы принял его за обыкновенную стекляшку и презрительно отшвырнул ногой!» Но прожил «Куллинан» всего три года – его раскололи и распилили на сотни кусков и кусочков. Из них после огранки получили 105 бриллиантов, из которых девять были весьма крупными. Самый большой, массой 106 г, названный «Куллинан I», был вмонтирован в верхнюю часть скипетра английского монарха. Этот самый большой в мире ограненный алмаз хранится вместе с другими сокровищами английской короны в Тауэре. Второй по величине бриллиант, «Куллинан II» (63,5г), был вмонтирован в корону Британской империи.

Кстати, массу алмазов и бриллиантов выражают не в граммах, а в каратах; 1 карат = 0,2 г. И мало кто знает, что алмаз характеризуется необычайно высокой для неметаллов теплопроводностью; поэтому крупные алмазы на ощупь всегда холоднее – как куски металла.

Геологам всегда было интересно, как давно в недрах Земли образовались алмазы. Но как это определить? Недавно в руки геологов попали южноафриканские алмазы, содержавшие включения граната в виде красивых мелких кристалликов, в которых оказались небольшие примеси самария. Этот редкоземельный элемент имеет разновидность (изотоп), который очень медленно распадается (период полураспада составляет 106 миллиардов лет). При этом он превращается в другой редкоземельный элемент – неодим. По количеству этого неодима, зная скорость его образования, можно определить возраст алмаза, т. е. время, когда в него попал самарий. Как показали расчёты, самарий попал в гранат 3,2 – 3,4 миллиарда лет назад. И если возраст Земли оценивается примерно в 4,6 миллиарда лет, то этот кристалл алмаза ненамного моложе нашей планеты.

И алмаз, и графит – кристаллы. Почему же их свойства так разительно отличаются? Это объясняется разным способом соединения атомов углерода друг с другом. В алмазе все связи между атомами углерода одинаковые и прочные. Твёрдым получается и сам кристалл. Кристалл же графита имеет слоистое строение, в нём атомы углерода прочно связаны друг с другом только в одном слое. Такой кристалл похож на пачку бумаги, которую очень трудно разрезать пополам, но легко рассыпать на отдельные листочки.

Алмазы образуются в недрах Земли в условиях очень высоких температур и давлений. Спустя почти два столетия после опыта Лавуазье учёные смогли создать в лаборатории условия, при которых из графита можно получить алмаз. В настоящее время производство искусственных алмазов исчисляются десятками тонн! Есть среди них и ювелирные, но основная масса искусственных алмазов идёт на изготовление разнообразных инструментов.

Искусственным путём люди научились получать очень многие драгоценные камни. Например, подшипники для часов и других точных приборов уже давно делают из искусственных рубинов. Получают искусственно и прекрасные кристаллы, которые в природе вообще не существуют. Например, многие слышали о фианитах (их название происходит от сокращения ФИАН – Физический институт Академии наук, где их впервые получили). Бесцветные фианиты на глаз трудно отличить от алмаза – так красиво они «играют» на свету.

Заключение.

В заключении хотим отметить, что в ходе проведения исследовательской работы были выявлены многие интересные особенности строения кристаллов и их свойства.

Многие формы многогранников изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов. Так, кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминает отточенный с двух сторон карандаш, то есть форма шестиугольной призмы, на основание которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба, и даже кубаоктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображение имеет форму, косого параллелепипеда; гранат ромбододекаэдра (двенадцатигранника), у которого все грани ромбы.

Многие свойства кристаллов зависят от их строения, в частности от симметрии, анизотропии и видов кристаллической решетки. Внешние формы кристаллов являются следствием их внутренний симметрии. Каждый кристалл характеризуется своей группой симметрии. Целью работы было проследить связь строения кристаллов (с точки зрения геометрии) и химических свойств. Эта взаимосвязь была проанализирована и сведена в таблицу взаимосвязи кристаллических решеток, элементов и химических свойств элементов.

Разнообразие и высокая стабильность свойств кристаллов, возможность целенаправленно изменять их свойства – все это обуславливает широчайшее применение кристаллов в науке и технике. Минералы, с их неисчерпаемым разнообразием свойств, и сейчас являются богатейшим источником новых данных и новых задач.