Системы линейных неравенств и уравнений

Решая некоторые задачи, я встретил такие понятия, как «наибольшее значение», «наименьшее значение», «выгодное», «наилучшее», и меня заинтересовало решение таких задач. Оказывается, что в математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов (с лат. «экстремум» – «крайний») не было единых подходов. Но примерно триста лет назад – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум. Тогда же выяснилось, что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в естествознании.

Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки. За всё это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии алгебре и других науках. В решении конкретных задач принимали участие крупнейшие учёные прошлых эпох: Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Исаак Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приёмы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.

В алгебре экстремальные задачи встречаются в темах: «Линейная функция», «Рациональные дроби», «Неравенства», «Системы линейных уравнений и неравенств», «Квадратичная функция», «Последовательности и арифметическая прогрессия». На примере нескольких задач я расскажу о нахождении наибольшего и наименьшего значения в темах «Линейная функция», «Рациональные дроби», «Системы линейных уравнений и неравенств», «Квадратичная функция» и «Геометрия».

Решение экстремальных задач по теме «Линейная функция»

Задача №1

Расстояние между двумя заводами А и В равно 40 км. Потребность в нефти завода А составляет 80 т, а завода В – 70 т. Перевозка 1 т нефти на расстояние 1 км для завода А стоит 8 руб. , а для завода В – 10 руб. Где нужно построить нефтебазу, которая должна обеспечивать горючим заводы А и В, чтобы расходы на перевозку горючего в общем были наименьшими?

Решение. Обозначим расстояние от нефтебазы до пункта А через х. Тогда решение задачи сводится к исследованию линейной функции у=80∙8х+70∙10∙(40-х)=28000-60х; уmin=25600, при х=40.

Ответ: нефтебазу нужно строить в пункте В.

Задача №2

Нам нужно уплатить за покупку 19 рублей, но у нас имеются только трёх рублёвые знаки, а у кассира – только пятирублёвые. Сумеем ли мы расплатиться без дополнительного размена? Какое минимальное число денежных знаков должен иметь кассир, для того чтобы произвести расчёт?

Особенность этой задачи заключается в том, что в ходе её решения нужно переходить от реальной ситуации к её математическому описанию, или строить её математическую модель.

Решение. Обозначив количество пятирублёвых знаков через х, а трёхрублёвых – через у, получим уравнение 3у-5х=19. Все решения данного уравнения легко найти, если выразить у через х, т. е. у=(5х+19)/3. Методом перебора можно определить: х={1, 4, 7,}; у={8, 13, 18,}. Наиболее выгодное решение, которое удовлетворяет требованию задачи это (1; 8).

Ответ: кассир должен иметь 1 пятирублёвый знак.

Задача №3

Имеются ящики, в которые нужно упаковать 78 самоваров. Одни ящики вмещают 3 самовара, другие – 5 самоваров. Какое наименьшее количество ящиков нужно использовать, чтобы упаковать все самовары (недогрузка не допускается)?

Решение. Обозначим количество одних ящиков через х, а других – через у. Тогда условие задачи даёт уравнение 3х+5у=78. Пары чисел (26;0), (21; 3), (16; 6), (11; 9), (6; 12), (1; 15) являются решениями данного уравнения. (1;15) – оптимальное решение задачи.

Ответ: нужно использовать 16 ящиков.

Решение экстремальных задач по теме «Системы линейных неравенств и уравнений»

Задача №1

Для премирования 12 учеников надо купить краски и карандаши. Набор красок стоит 50 рублей, а набор карандашей – 20 рублей. Сколько наборов красок и сколько наборов карандашей нужно купить, чтобы как можно больше использовать выделенные на покупку 400 рублей?

Решение. Обозначим количество наборов красок через х, а количество наборов карандашей – через у. Затем составим систему:

Решив систему, получим, что х=5, у=7.

Ответ: 5 наборов красок и 7 наборов карандашей.

Задача №2

На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, за каждый промах снималось 2 очка. Победителем считался тот, кто набрал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен был попасть в мишень, чтобы быть в числе победителей?

Решение. Обозначив число попаданий через х, число промахов – через у, получим неравенство 5х-2у≥30. Составим систему:

Решив систему, получаем, что х={8, 9, 10}; y={2, 1, 0}. (8;2) – оптимальное решение.

Ответ: наименьшее число попаданий – 8.

Решение экстремальных задач по теме «Рациональные дроби»

Задача №1

На автомобиле новые шины. Шина на заднем колесе выдерживает пробег в 16000 км, а на переднем – в 24000 км. Какой максимальный путь можно совершить на этих шинах?

Эта задача решается по типу задач на совместную работу, но в то же время это задача на отыскание максимума.

Решение. Износ шины на заднем колесе будет равен , а износ шины на переднем колесе –. Износ шин на обоих колёсах равен:. Максимальный путь равен (км)

Ответ: 19200 километров.

Задача №2.

Велосипедист едет из пункта А в пункт В и обратно. В какую погоду (ветреную или безветренную) должен ехать велосипедист, чтобы проехать этот путь за минимальное время?

Решение. Пусть d – расстояние между пунктами А и В; v – скорость велосипедиста; u – скорость ветра. Тогда 2d/v – время велосипедиста в безветренную погоду.

v+u – скорость при попутном ветре; v-u – скорость при встречном ветре; d/v+u – время, затраченное на проезд при попутном ветре; d/v-u – время, затраченное на проезд при встречном ветре; d/(v+u)+d/(v-u)=2dv/(v2-u2) – время велосипедиста в ветреную погоду.

Числители дробей 2dv/(v2-u2) и 2dv/v2 равны. v2-u2>v2, а значит 2dv/(v2-u2)>2dv/v2.

Ответ: велосипедист проедет быстрее в безветренную погоду.

Решение экстремальных задач по теме «Неравенства»

Задача №1.

Два населённых пункта А и В соединены в одном случае рекой, а в другом – каналом, причём длина каждого из путей равна 12 км. Моторная лодка, имеющая собственную скорость 16 км/ч, должна пройти от пункта А в пункт В и возвратиться в пункт А за минимальное время при условии, что лодка должна идти в оба конца только по реке или только по каналу. Какой путь лодка пройдёт быстрее?

Решение. vк. =vл. =16 км/ч; vр. – скорость реки.

Сравним tк и tр. Для этого составим их разность:

. Следовательно tр>tк.

Ответ: лодка быстрее пройдёт путь, если будет идти по каналу.

Задача №2.

Агропромышленный комплекс выделил под кормовые культуры 100 га. Фермерское хозяйство решило использовать эту землю под посевы кукурузы и сахарной свеклы. Как распределить пашню между этими культурами, если урожай кукурузы 50 т с гектара, а свеклы – 20 т с гектара, чтобы получить не менее 3200 т урожая?

Решение. Обозначим площадь, засеянную кукурузой через х, а площадь, засеянную свеклой – через у. Получим неравенство 50х+20у≥3200, или 5х+2у≥320. Пары чисел (1;99), (2; 98), (3; 97), , (39; 61), (40; 60) являются решениями данного неравенства. Пара (40; 60) – наилучшее решение данного неравенства.

Ответ: кукурузой нужно засеять 40 га, свеклой – 60 га

Решение экстремальных задач по теме «Квадратичная функция»

Задача №1.

В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом 600 вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение. AB=16 см. NК:КA=tg 600=√3; NК=х. По свойству пропорции получаем КА=. Треугольник АВС подобен треугольнику МВL по двум углам. Составим отношение сторон треугольников:. ВС = AB∙cos600 = 8√3. Находим ВL = х√3; КL=.

Площадь прямоугольника находим по формуле: S = КL∙NК:

. Площадь прямоугольника будет наибольшей, когда первое слагаемое обратится в ноль, т. е. при х=2√3. Находим, что КL= (см).

Ответ: площадь прямоугольника будет наибольшей при размерах 2√3 и 8 см.

Задача №2.

Имеется материал на изготовление 60 м изгороди. Какой наибольший участок прямоугольной формы можно обнести этой изгородью, если он примыкает к заводской стене?

Решение. Пусть х – это длина участка, у – ширина; периметр этого участка будет равен Р=х+2у, а площадь равна S=ху. Из формулы периметра выразим длину участка и подставим её в формулу площади: у=0,5(60-х)=30-0,5х S=(30-0,5х)х=30х-0,5х2. S=х2-60х+900-900=(х-30)2-900. Площадь будет наименьшей, когда первое слагаемое обратится в ноль, т. е. при х=30.

Ответ: длина участка 30 м, ширина – 15 м.

Решение экстремальных задач по теме: «Метод оценки»

Некоторые задачи на экстремумы решаются методом оценки. В методе оценки следует коснуться неравенства Коши для нескольких переменных

√а1а2аn≤(а1+а2++аn)/n.

Задача №1.

На одном из предприятий стоимость х деталей, изготовленных рабочим сверхурочно, определяется по формуле у=0,1х2+0,5х+2. Определите количество деталей, при котором себестоимость одной детали была бы наименьшей.

Решение. Найдём среднее арифметическое для 0,1х2, 0,5х и 2: (0,1х2+0,5х+2)/х=0,5+0,1х+2/х. Из трёх величин одна постоянная (0,5), а две другие – переменные. Среднее геометрическое для переменных 0,1х и 2/х равно √0,2. Используя неравенство Коши для двух переменных получаем: 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+2√0,2;0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+√0,8.

Левая часть неравенства принимает наименьшее значение равное 0,5+√0,8. Решив уравнение 0,1х2-√0,8х+2=0, Получаем, что х=√20. Но так как х это количество деталей, то х=4, или х=5.

Ответ: 4 или 5 деталей.

Решение экстремальных задач по теме: «Геометрия»

Основу задач по геометрии на максимум и минимум составляют задачи на преобразование плоскости. Основной задачей является старинная задача, написанная в I веке до н. э. Вот как она звучит:

Даны две точки А и В по одну сторону от прямой ℓ. Требуется найти на ℓ такую точку D, чтобы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей.

Решение:Пусть точка В1 – точка, симметричная точке В относительно прямой ℓ. Соединим А с В1. Тогда точка D пересечения АВ1 с прямой ℓ – искомая. Действительно, для любой точки D`, отличной от D, имеет место неравенство: AD`+ D`B1>AB1 (т. к. в треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны); AD`+D`B>AD+DB.

Заключение

Я коснулся только нескольких задач на экстремумы. Эту работу я продолжу так как задачи на экстремумы встречаются в природе, сельском хозяйстве, в различных областях промышленности. Большое число задач оптимизации возникает в космонавтике, химической промышленности и технике. Это задачи управления технологическими процессами, приборами и системами. Траектории света и радиоволн, движения маятников и планет, течения жидкостей и газов, многие другие движения являются решениями некоторых задач на максимум и минимум.