Симметрия вокруг нас

Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. В обычной «нематематической» жизни нам уже не раз приходилось говорить о симметрии. Только при этом, наверное, мы чаще использовали слова «симметричный», «симметрично расположенный». С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В настоящее время учёные расширяют свои учения о симметрии. Добавляются новые обширные разделы, такие как цветная симметрия, симметрия многомерных пространств и др. Свои новые результаты они излагают в монографиях. Значит, выбранная нами тема актуальна.

Слово «симметрия» греческое, оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

§1. Симметрия в буквах и словах.

Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии, В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную. А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии. Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180( вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180(. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф». Данные буквы обладают осью симметрии 2-го порядка. Симметрию можно увидеть и в словах: казак, шалаш. Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): “Искать такси”, “Леша на палке клапана шел”. Такие слова называются палиндромами. Оказывается, симметрия используется не только в математике, но и в русском языке.

§2. Симметрия в Природе.

«Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет и солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, цветы, которые почти симметричны».

Р. Фейнман

«Симметрия» - такая тема, о которой можно говорить и высоким слогом поэзии, и лаконичным языком математики. Приведём слова поэта Валерия Брюсова из произведения «Сонет к форме», которые как нельзя лучше характеризуют всеобщность симметрии: «Есть тонкие властительные связи» Можно сказать, что симметрия властвует и в природе, и в искусстве, и в науке, и в других областях человеческой деятельности.

Можно любоваться листьями и цветами, понаблюдать за бабочками на лугу, присмотреться к снежинкам на окнах, узорам на коврах, причудливой резьбе на храмах и соборах; вглядеться в изумительную красоту памятников архитектуры прошедших эпох или просто обратить внимание на современные здания, машины, привычные предметы нашего быта и увидеть во всём этом проявление законов симметрии.

О симметрии написаны интересные книги, во многих из которых подчёркивается, что симметрия не просто встречается в окружающем нас мире, она «буквально пронизывает» его, соединяя по-своему живое и неживое в этом мире.

Представляем результаты нашего исследования.

2. 1. Рассмотрим симметрию в природе и начнём с науки Ботаники.

Ботаника – наука о растениях. Наше исследование было направлено на выявление примеров симметрии в растениях, то есть мы занимались проблемой поиска закономерностей внешнего строения растений.

Посмотрим на изящное создание Природы – кленовый лист. Кленовый лист симметричен. Если перегнуть его по среднему вертикальному стебельку-прожилке, то получившиеся части листа совпадут друг с другом. И перед нами две половинки – правая и левая! Можно провести опыт и с зеркалом; отражение в зеркале дополнит половину кленового листа до целого. Кленовый лист обладает зеркальной симметрией, и, если его нарисовать на листке бумаги, то полученная плоская фигура будет иметь ось симметрии.

Если присмотреться повнимательнее к прожилкам на левой и правой половинках кленового листа, то можно заметить некоторую разницу между ними. Поэтому говорят, что симметрия кленового листа не является математически точной, или математически безукоризненной. Но эти отклонения столь малы, что не вносят беспорядка в расположение частей и воспринимаются нами как симметричные объекты живой природы.

Дальнейшие наши поиски были сосредоточены на центральной симметрии. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.

Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Весь цветок ромашки обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой. Для цветов характерна и поворотная симметрия, например: цветок шиповника. Этот цветок можно повернуть вокруг некоторой прямой на угол, равный 360( /5 (или кратный ему), и он совместится сам с собой. Эту прямую называют поворотной осью 5-го порядка. Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360(. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка.

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72(. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага.

Выводы:

1. По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой, центральной или винтовой симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.

2. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

3. Стебли растений обладают осевой симметрией.

4. Симметрия форм, окраски цветков придаёт им красоту.

2. 2. Животный мир и симметрия.

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная. Наше исследование заключалось в поиске примеров этих двух видов симметрии в животном мире. Начнём с осевой симметрии.

Все – и дети, и взрослые – удивляются, разглядывая бабочек. Какие лаборатории есть у Природы, что она творит такие чудеса?! Если бабочка сложит свои крылья, то они совпадут, так как крылышки у неё одинаковые. Но одинаковость эта не простая! Если на тельце бабочки провести вертикальную среднюю линию и поставить вдоль этой прямой линии зеркало. То одна половинка бабочки спрячется за зеркало. Но зато другая - отразится в зеркале и перед нами опять появится такая же бабочка. Половинка бабочки и её отражение в зеркале составили целую бабочку. Поэтому говорят, что бабочка зеркально симметрична.

Если мы нарисуем бабочку на листе бумаги, то особую роль для этой плоской фигуры будет играть вертикальная прямая, проходящая посередине туловища бабочки. По обе стороны от этой прямой на одинаковом расстоянии от неё находятся одинаковые элементы рисунка. В этом случае говорят, что данная плоская фигура симметрична относительно прямой, а прямую, которая разделяет фигуру на правую и левую половины, называют осью симметрии. В раскраске бабочки можно обнаружить небольшие отклонения. Поэтому говорят, что симметрия бабочки не является математически точной. Зеркальная симметрия характерна для всех представителей животного мира

Теперь рассмотрим центральную симметрию. По нашим наблюдениям, центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни. Для этих животных характерна и поворотная симметрия, она служит не только для красоты; она прежде всего связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью.

Рассмотрим винтовую, или спиральную симметрию. Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований – поворота и переноса вдоль оси поворота, т. е. перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаются левые и правые винты. Примерами природных винтов являются: бивень нарвала – левый винт; раковина улитки – правый винт; рога памирского барана – один рог закручен по левой, а другой по правой спирали.

Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина моллюсков сужается и расширяется на конце.

2. 3. Горизонтальная зеркальная симметрия в природе.

Зеркальная симметрия насекомых, животных и растений является вертикальной симметрией. Можно ещё много назвать объектов природы, для которых характерна вертикальная зеркальная симметрия. А вот с горизонтальной зеркальной симметрией в природе мы встречаемся редко. Лишь тогда, когда рассматриваем отражение в воде.

Отражение в воде - единственный пример горизонтальной симметрии в природе. Быть может, в этом и состоит тайна его очарования?.

Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии.

2. 4. Симметрия кристаллов.

Посмотрим на другие создания Природы – посмотрим на снежинки. Пожалуй, они являются самым ярким примером красоты форм осевой симметрии. Любая снежинка имеет поворотную ось симметрии и кроме того, каждая снежинка зеркально симметрична. Природные снежинки бывают только шестиугольными или любыми другими плоскими или пространственными образованиями с количеством лучей, кратным трём.

Снежинка – это кристалл замёршей воды. Все твёрдые тела в природе состоят из кристаллов. Каждый кристалл имеет форму многогранника, поэтому говорят, что Природа реализовала многогранники – геометрические фигуры, идеальные объекты – в виде кристаллов. Кристалл каменной соли, например, имеет форму куба.

Мир кристаллов - это особый мир симметрии, с которым связаны великие открытия и в области математики, и в области кристаллографии. В этих высоких научных теориях без специальной подготовки, конечно, не разобраться. Но один удивительный факт можно выразить понятными словами. В большинстве растений характерна ось симметрии 5-го порядка, то, оказывается, в кристаллах возможны только оси симметрии 1,2,3,4, и 6-го порядков!

Выводы:

1)Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.

2)Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.

3)В природе встречается горизонтальная и винтовая симметрия.

4)Симметрия форм, окраски насекомых, животных придаёт красоту.

5)Мир кристаллов – это особый вид симметрии.

§3. Симметрия в архитектуре.

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий, архитектуры фасадов, в оформлении внутренних помещений, колоннах, потолках и т. д. В большинстве случаев они обладают осевой симметрией.

Мы провели небольшое исследование в своём селе. Прогуливаясь по нему, рассмотрели 10 административных зданий, определили количество фасадов зданий обладающих осевой симметрией. По результатам построили диаграмму и сделали вывод о том, что большинство фасадов зданий нашего села обладают осевой симметрией, но если фасад здания не обладает осевой симметрией, то, разбив строение на маленькие пристройки, мы обнаружим, что они обладают осевой симметрией.

Выводы:

1. Симметрия широко используется в архитектуре.

2. Использование симметрии в конструкции зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию.

3. Прогулявшись по своему селу, мы убедились, что удачных решений может быть очень много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.

§4. Симметрия орнаментов и бордюров.

Искусство создания орнамента и строгие законы математики связаны тонкими, но прочными нитями. Узоры, полученные с помощью переноса, поворота и отражения фигур, являются прекрасными образцами влияния законов симметрии на соединение частей в единое целое. Для названия этих узоров, основанных на построении в определённом порядке составляющих их элементов, используют специальное слово – «орнамент».

В разные времена люди создавали орнаменты для украшения предметов быта, одежды; для декорирования зданий, мостов, улиц и т. д. Орнаменты можно обнаружить и в наскальных рисунках, и в росписях дворцов, и на обоях современных квартир. Различают орнаменты линейные (бордюры) и сетчатые (или плоские). Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называют бордюром. Любой бордюр обладает переносной симметрией вдоль оси переноса. В простейшем случае симметрия бордюров исчерпывается переносной симметрией. Более сложные бордюры наряду с переносной симметрией обладают зеркальной симметрией или имеют поперечные оси симметрии.

Для построения орнаментов на плоскости используют сетки, поэтому эти орнаменты называют ещё и сетчатыми. В основе любого орнамента на плоскости лежит одна из сеток, состоящих из одинаковых параллелограммов, прямоугольников, ромбов, квадратов, правильных треугольников. Элементарная ячейка орнамента определяется ячейкой сетки: косой, прямоугольной, ромбической, квадратной или гексагональной. При этом внутри одной ячейки основной элемент – мотив орнамента – может встретиться только один раз, несколько раз или не повторится ни разу. Но чем сложнее устроена элементарная ячейка, тем оригинальнее и красивее выглядит орнамент. В таком орнаменте можно найти и поворотную, и переносную, и зеркальную симметрии. Орнамент "Летящие птицы", созданный современным голландским художником  Эшером   основан на косой решетке. Характерный египетский орнамент основан на квадратной решётке. В принципе любой орнамент можно построить посредством параллельных переносов заполненной определенным рисунком элементарной ячейки. Всего существует 17 типов симметрии орнаментов на плоскости. Орнаментальную симметрию считают наиболее сложной симметрией. «Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики, » - говорил Герман Вейль. Ну, а какая она – это часть, нам предстоит узнать в будущем!

Симметрия позволяет совершенствовать и ускорять процесс создания нового (узоры, орнаменты).

Работа в рамках третьего направления дала возможность применить полученные знания на практике. Мы создали макет «Дачный участок», в котором отразили тему «Симметрия вокруг нас». Дачные домики построены симметрично относительно фонтана, на фонтане и крышах домов мы расположили орнаменты, которые обладают симметрией. На участках растут цветы: анютины глазки, обладающие осевой симметрией и ромашки, обладающие центральной симметрией, т. к. имеют чётное количество лепестков. Здесь же Вы можете увидеть и бабочку, и божью коровку, которые обладают центральной симметрией.

6) Интерпретация (объяснение) результатов. Возможные выводы.

“Принцип симметрии охватывает все новые и новые области”

В. И. Вернадский

Изучая симметрию, мы провели исследование по нескольким направлениям:

• симметрия в буквах;

• симметрия в природе;

• симметрия архитектуре;

• симметрия в орнаментах.

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, архитектуре, искусстве. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в математике, биологии, архитектуре, живописи и скульптуре. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия –

• гармония и красота,

• равновесие,

• устойчивость.

7) Подготовка к презентации исследовательского материала. Написание отчёта.

Для написания отчёта были использованы возможности текстового редактора WORD и табличного редактора EXCEL (подсчёт результатов исследования).

Итоговый материал представлен в виде презентации, выполненной в редакторе POWER POINT. Иллюстративный материал для презентации и буклета был собран в течение 2004-2005 г. в режиме индивидуальной работы в сети ИНТЕРНЕТ на различных сайтах.

Для определения предмета исследования было необходимо «создать» информационное поле изучаемой проблемы: поиск, изучение информации, выделение существенной и несущественной информации, анализ информации.