Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Симметрия в природе

Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это выраженное чувство, отвечал я сам себе. На чём же оно основано?

Л. Н. Толстой

Этим же вопросом задавалась и я, когда начинала свою работу. Изучив литературу по данному вопросу, я решила выяснить, что знают о симметрии мои одноклассники (конечно, кроме того, что мы изучаем на уроках). Я составила вопросы для анкеты:

Вопросы задавались как учащимся, так и людям, не связанных с математикой (учителям других предметов, коллегам по работе родителей)

На первый вопрос школьники обычно приводят примеры из учебников геометрии(равнобедренный треугольник, квадрат, правильные многогранники), учителя химии вспоминают структурные формулы органических веществ, кристаллические решетки, формы кристаллов, биологи приводят примеры из живой природы и самого человека, люди искусства вспоминают полотна Леонардо Да Винчи, архитектурные памятники, технари приводят в пример самолеты, корабли, различные технические сооружения, литераторы замечают симметрию в ритмическом рисунке стиха, историки – в чередовании и повторении каких-то событий.

Все сталкиваются с явлением симметрии в широком смысле этого слова и с её конкретными видами. Большинство связывает это понятие с целесообразностью, упорядоченностью, красотой. В своей работе я хочу более подробно остановиться на симметрии правильных многогранников и симметрии природных объектов.

Внешние формы природных тел – это то, что, прежде всего, бросается нам в глаза при знакомстве с окружающим миром. С самого раннего детства мы хорошо знаем очертания деревьев, животных, гор, камней. Существует ряд научных дисциплин, детально изучающих формы тех или иных природных образований (морфология растений, морфология беспозвоночных, морфология позвоночных, кристалломорфология, геоморфология и др. ). В них обращается преимущественное внимание на специфические и характерные черты изучаемых объектов, которые позволяют отличать эти объекты от иных представителей природы.

Великий немецкий поэт и натуралист Иоганн Вольфганг Гёте (1749—1832), автор термина «морфология», мечтал о создании единого «учения о форме, образовании и преобразовании органических тел». Это учение должно было охватить и растения и животных (беспозвоночных и позвоночных), так как Гёте улавливал в развитии их форм общие закономерности.

Теперь мы твердо знаем, что качественно разные предметы иногда имеют одинаковые геометрические формы и, наоборот, однородные по качеству предметы могут обладать весьма разными геометрическими формами. Форма является вторичной по отношению к содержанию. Вместе с тем нельзя забывать и того, что кроме внутреннего строения (сложения, структуры) в формировании природных тел принимает активное участие порождающая их среда, которая неизбежно накладывает свой характерный отпечаток на образующиеся в ней объекты. И камни, и растения, и животные под влиянием силы земного тяготения приобретают внешне сходные черты. Эти черты характеризуются обобщающими законами симметрии, причем чаще всего они сводятся к двум наиболее постоянным типам.

Выявление общих законов симметрии для всевозможных природных форм на Земле и составляет тему нашего исследования. Речь здесь пойдет лишь о самых общих чертах, о грубо взятых внешних формах, улавливаемых в большинстве случаев простым глазом. Наша тема – внешние формы природных тел и характеризующие их общие геометрические законы.

Существует старинная притча о буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осел. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две совершенно одинаковые охапки сена – одну слева, а другую справа. Осел не мог решить, с какой охапки начать, и умер с голоду. Это, разумеется, шутка. Но разве находящиеся в равновесии чаши весов не напоминают эту притчу? Посмотрите на рисунки. Они имеют нечто общее. В обоих случаях левое и правое настолько одинаковы, что нельзя отдать предпочтение тому или другому. В обоих случаях мы имеем дело с симметрией. С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке и листьям клена, сирени и других растений. Симметрию форм автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов. Известный немецкий математик Герман Вейль сказал: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Понятия симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков знания; его широко используют все без исключения современные науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной, в свою очередь подчиняются законам симметрии. Симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира. С симметрией в природе мы встречаемся не менее часто, чем в человеческом творчестве. Именно природа издавна учила человека понимать симметрию, а затем и пользоваться ею. Как не любоваться симметричными формами снежинок, кристаллов, листьев, цветов? Симметричны рыбы, животные, птицы, насекомые. Симметрично человеческое тело. Симметрия присутствует также в регулярности смены дня и ночи, времен года. Мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В широком смысле симметрия – это красота, порядок, совершенство, образность. Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Пропорция и симметрия объекта всегда необходимы нашему зрительному восприятию для того, чтобы мы могли считать этот объект красивым. Темой своего исследования я выбрала различные виды симметрии в природе и в математике.

Многие из нас воспринимают математику, как абстрактную науку, далекую от жизни. Своим исследование я хочу показать, что математика во всем, что нас окружает. Что – это очень красивая и интересная наука. Слово симметрия происходит от греческого слова, которое означает «такая же мера». Греческий скульптор Поликлет был первым, кто использовал этот термин еще в 5 веке до н. э. Во времена Пифагора и пифагорейцев понятие симметрии било оформлено достаточно четко. Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно в 19 веке. Современное определение симметрии в трактовке Германа Вейля выглядит так: «Симметричным называется такой объект, который можно как-то менять, получая в результате то же, с чего начали». Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ними.

Скользящая симметрия, отметим ряд характерных свойств такой симметрии:

• Скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

• Скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

• Любая прямая плоскости α параллельная вектора переносу, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой их них индуцируется параллельный перенос;

• Неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор р), а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса р (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α, а вектором переноса – вектор р);

• Скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

• Преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором р, является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором –р.

Свойства поворота вокруг оси и осевой симметрии. При повороте вокруг оси l на угол ф не равный 180 *n, n принадлежит Z:

• Неподвижной является лишь каждая точка оси вращения;

• Единственной неподвижной прямой является ось поворота: на ней индуцируется тождественной преобразование;

• Неподвижной является любая плоскость, перпендикулярная оси вращения: в каждой из этих плоскостей индуцируется поворот на угол α вокруг точки ее пересечения с осью l.

Других неподвижных плоскостей при повороте вокруг оси не существует. Кроме того:

• Поворот – движение первого рода (для доказательства достаточно рассмотреть уже знакомый нам тетраэдр ОАВС, у которого точки О и С лежат на оси вращения, а точки В и С – в плоскости, перпендикулярной оси);

• Композиция двух поворотов вокруг одной и той же оси есть поворот вокруг этой же оси;

При осевой симметрии:

• Неподвижной является каждая точка оси симметрии и других неподвижных точек не существует;

• Неподвижной является ось симметрии (на ней индуцируется тождественное тождественной преобразование) и любая прямая, пересекающая ось симметрии и ей перпендикулярная (на каждой из этих прямых индуцируется центральная симметрия относительно точки её пересечения с осью симметрии);

• Неподвижной является любая плоскость, перпендикулярная оси(в каждой такой плоскости индуцируется центральная симметрия относительно точки ее пересечения с осью симметрии);

• Осевая симметрия – движение первого рода;

• Преобразование, обратное осевой симметрии, есть эта же осевая симметрия, следовательно, композиция двух осевых симметрий относительно одной и той же оси есть тождественной преобразование.

Зеркальный поворот и винтовое движение. Зеркальный поворот – это композиция поворота R на угол ф вокруг оси α и симметрии Sα относительно плоскости α, перпендикулярной этой оси. При зеркальном повороте на угол ф не равный 180*n, n принадлежит Z:

• Единственной неподвижной точкой является точка пересечения плоскости α с осью поворота;

• Неподвижной прямой является ось поворота и только она, на ней индуцируется центральная симметрия относительно точки пересечения оси вращения и плоскости симметрии;

• Единственной неподвижной плоскостью является плоскость α, в ней индуцируется поворот на угол ф вокруг точки ее пересечения с осью вращения.

Заметим, что:

• зеркальный поворот – движение второго рода;

• движение, обратное зеркальному повороту, есть зеркальный поворот относительно той же плоскости симметрии и той же оси вращения на угол, противоположный данному.

Винтовое движение – это композиция поворота R на угол ф вокруг оси α и переноса на вектор p, который параллелен этой оси.

При винтовом движении (если угол ф не равен 180*n, n принадлежит Z):

• Неподвижных точек нет;

• Неподвижной прямой является ось поворота, и только она, на ней индуцируется параллельный перенос;

• Неподвижных плоскостей нет.

Кроме того:

• Винтовое движение – движение первого рода;

• Композиция двух винтовых движений относительно одной и той же оси есть винтовое движение относительно той же оси. При этом угол поворота равен сумме углов поворотов, а вектор переноса – сумме векторов переносов;

Виды движений пространства

Нами изучены четыре основных вида движений пространства: центральная симметрия, зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости), параллельный перенос, поворот вокруг оси (в частности, осевая симметрия). Мы рассматривали также композиции некоторых двух из этих четырех основных видов движений пространства. В ряде случаев такой композицией оказывалось одно из тех же четырех основных движений. Например, композицией двух зеркальных симметрий является либо поворот вокруг оси, либо параллельный перенос. Вместе с тем, композицией некоторых двух из основных видов движений оказывалось новое движение пространства, не совпадающее ни с одним из основных его видов. Например:

1. композицией зеркальной симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный плоскости симметрии, является скользящая симметрия;

2. композицией зеркальной симметрии и поворота вокруг прямой, перпендикулярной плоскости симметрии, является зеркальный поворот;

3. композицией поворота вокруг оси и переноса на вектор, параллельный оси поворота, является винтовое движение.

Таким образом, мы получили семь различных видов движений пространства.

Центр симметрии, плоскость симметрии и оба вида осей симметрии, имеющиеся у фигуры, называются элементами симметрии. Каждому элементу симметрии фигуры соответствует определенное ее самосовмещение – элемент группы симметрии этой фигуры.

Куб и правильный октаэдр называют двойственными многогранниками. Более того, центры граней куба служат вершинами правильного октаэдра, а центры граней правильного октаэдра – вершинами куба. Аналогично можно убедиться, что двойственными являются правильный икосаэдр и правильный додекаэдр, при этом центры граней правильного икосаэдра служат вершинами правильного додекаэдра, а центры граней правильного додекаэдра – вершинами правильного икосаэдра.

Правильный тетраэдр имеет следующие элементы симметрии: 4 оси поворотных симметрий с углами поворота 120, 240 градусов; 3 оси поворотных симметрий с углами поворота 180 градусов, 3 оси зеркально-поворотных симметрий с углами поворотов 90, 270 градусов; 6 плоскостей симметрии. Учитывая тождественное преобразование, находим, что элементы симметрии правильного тетраэдра определяют 4*2+3+3*2+6+1=24 его симметрии, то есть группа симметрий правильного тетраэдра состоит из 24 различных самосовмещений. Это число равно удвоенному числу плоских углов тетраэдра.

У куба имеются следующие элементы симметрии: 1 центр симметрии; 9 плоскостей симметрии; 3 оси поворотных симметрий, каждая из которых с углами поворотов 90, 180, 270 градусов; 4 оси поворотных симметрий, каждая из которых с углами поворотов 120, 240 градусов;6 осей поворотных симметрий с углом поворота 180 градусов; 3 оси зеркально-поворотных симметрий с углами поворотов 90, 270 градусов; 4 оси зеркально-поворотных симметрий, каждая с углами поворотов 60, 300 градусов. Учитывая тождественное преобразование, находим, что элементы симметрии куба определяют 1+9+3*3+4*2+6+3*2+4*2+1=48 его симметрии, то есть группа симметрий куба состоит из 48 различных самосовмещений. Это число равно удвоенному числу плоских углов куба.

Учитывая тождественное преобразование, находим, что элементы симметрии правильного икосаэдра определяют 1+6*4+6*4+10*2+10*2+15+15+1=120 его симметрии, то есть группа симметрий правильного икосаэдра состоит из 120 различных самосовмещений. Это число равно удвоенному числу плоских углов правильного икосаэдра.

Так как правильного октаэдр двойственен кубу, а правильный додекаэдр – икосаэдру, то группа симметрий правильного октаэдра содержит 48 самосовмещений, а группа симметрий правильного додекаэдра – 120 самосовмещений. Число 120 вдвое больше числа плоских углов додекаэдра, а число 48 вдвое больше числа плоских углов правильного октаэдра.

Оказывается, справедлива следующая теорема, которую примем без доказательства.

ТЕОРЕМА. Число элементов группы симметрий правильного многогранника равно удвоенному числу его плоских углов.

Вот на ваш рукав упал с дерева обыкновенный лист. Форма его не является случайной, она строго закономерна. Листок, как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок. Одна из этих половинок, расположена зеркально относительно другой, совсем так, как располагаются друг относительно друга отражение какого-либо предмета в зеркале и сам предмет. Поставим карманное зеркальце с прямым краем на линию, идущую вдоль черенка и разделяющую пластинку листа пополам. Заглянув в зеркальце, мы увидим, что отражение правой половины листа более и менее точно заменяет его левую половину. Плоскость, разделяющая листок на две зеркально равные части (у нас это плоскость зеркала) называется плоскостью симметрии. А данный вид симметрии – зеркальной симметрией. В случае двухмерного (плоского) объекта вместо плоскости симметрии рассматриваются ось симметрии. В случае одномерного (линейного) объекта рассматривается центр симметрии. Осевую и центральную симметрию мы изучаем в школе на уроках геометрии. Только ли древесный листок обладает зеркальной (или как говорят биологи, билатеральной) симметрией? Повсюду повторяется симметрия листка. Может, нам удалось открыть закон, охватывающий всё живое? Рассмотрим цветок ромашки вокруг оранжевой сердцевинки: как лучики вокруг солнца на детском рисунке, расположены белые лепестки. Имеет ли такое цветочное солнышко плоскость симметрии? Конечно! Но таких плоскостей здесь ни одна, и все они пересекаются в центре цветка. Это уже не «симметрия листка», а целый веер или пучок, пересекающихся плоскостей симметрии. Сходным образом можно охарактеризовать симметрию подсолнечника, календулы, василька и других цветов. Такая симметрия у биологов называется радиальной или лучевой. Какие еще объекты обладают таким видом симметрии? Снежинки, морская звезда, медуза, грибы и т. д.

Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займет положение соседнего, иными словами цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Необходимый для совмещения угол поворота в разный случаях неодинаков. Для колокольчика и зверобоя он равен 72°, для нарцисса 60°. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота. Симметрия у живых организмов (поворотная симметрия медузы, морские звезды) служит не только для красоты, но прежде всего связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью. Поворотную ось можно охарактеризовать с помощью величины, называемой порядком оси. Эта величина показывает, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360°. Цветы колокольчика и зверобоя обладают остью пятого порядка. Обозначим элементарный угол поворота оси β, а ее порядок буквой n. Тогда можно записать простое соотношение, связывающее эти величины. n=360°/β. Цветок анютины глазки совместится с собой только при повороте на 360°. Значит, он обладает поворотной осью первого порядка. А вот плоды (яблоко, груша, апельсин) достаточно правильной формы могут совместиться с собой при повороте на любой, в том числе достаточно малый угол поворота. Если внимательно присмотреться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника листок появляется после поворота на 72°. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине следующего шага. Оказывается винтовое расположение листьев составлено из чисел ряда Фибоначчи, которые играю немаловажную роль в природе. Принцип симметрии в 20 веке охватывает все новые области. Из области кристаллографии, физики твердого тела он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атомов. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона, и ему подчинены будут явления кванта.

Выводы.

На уроках математики многие из нас задаются вопросом: «Зачем нам это нужно?» В ходе работы над темой я поняла, что с помощью математических законов описываются различные природные явления и объекты. Теперь я знаю, что симметрия – это не только то, что можно видеть глазами. Симметрия не просто вокруг нас, но, более того, она в основе всего. Принципы симметрии играют исключительно важную роль в великом таинстве, именуемом научным познанием мира. Любая научная классификация основана на выявлении свойств симметрии квалифицируемых объектов. Следовательно, математика является универсальным инструментом познания мира. Мы решили на следующий год продолжать свое исследование и рассмотреть применение симметрии в кристаллографии, архитектуре и математике. Также мы планируем создать конструктор для детей младшего возраста, для первого их знакомства с симметричными фигурами.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)