Роль математики в современном мире, ее связь с другими науками

Возросшая роль математики в современном мире прежде всего сказалась в резком увеличении числа математиков. Математика перестала быть предметом занятий только академической элиты. Теперь профессия математика стала одной из наиболее распространенных, привлекая к себе все большее число одаренных людей. Значительно расширились область математических исследований и программа математического образования. Математический аппарат проник далеко за пределы собственно математики: в литературу, в физику, новые отрасли техники, биологию и даже в экономику и дру - гие социальные науки.

Так, к примеру, с самых древних времен развитие астрономии и математики было тесно связано между собой. Вы знаете, что в переводе с греческого название одного из разделов математики - геометрии - означает <<землемерие>>. Первые измерения радиуса земного шара были проведены еще в III в. до н. э. на основе астрономических наблюдений за высотой Солнца в полдень. Необычное, но ставшее привычным деление окружности на 360° имеет астрономическое происхождение: оно возникло тогда, когда считалось, что продолжительность года равна 360 суткам, а Солнце в своем движении вокруг Земли каждые сутки делает один шаг - градус.

Я согласен с тем, что астрономические наблюдения за движением небесных тел и необходимость заранее вычислять их расположение сыграли важную роль в развитии не только математики, но и очень важного для практической деятельности человека раздела физики - механики. Выросшие из единой когда-то науки о природе - философии - астрономия, математика и физика никогда не теряли тесной связи между собой.

Взаимосвязь этих наук нашла непосредственное отражение в деятельности многих ученых. Далеко не случайно, например, что Галилео Галилей и Исаак Ньютон известны своими работами и по физике, и по астрономии. К тому же Ньютон является одним из создателей дифференциального и интегрального исчислений. Сформулированный им же в конце XVII в. закон всемирного тяготения открыл возможность применения этих математических методов для изучения движения планет и других тел Солнечной системы.

Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел - замена их <<материальными точками>>.

С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьшения роли математического метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов, полученных математическим путём.

Нашу эпоху принято называть эпохой научно-техни - ческой революции. Мы настолько привыкли к этому соче - танию слов, что почти не задумываемся над их смыслом.

Сегодня меньше, чем когда-либо, допустимы произвольные, так называемые <<волевые>>, решения. Конечно, <<головотяпы>>, неразумные и недобросо - вестные люди существовали и прежде (сам термин <<голово - тяп>> восходит к Салтыкову-Щедрину), но разница в масштабе и вредоносности. <<Головотяп>> прошлого просто вреден, <<головотяп>> эпохи НТР страшен.

Прямые же связи математика с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Вычислительная математика сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практических проблем, включая проблему использования атомной энергии и космические исследования.

Счетные машины и вычислительная техника способствовали появлению новых областей науч - ных исследований, имеющих, несомненно, чрезвычайно важное (хотя и не полностью еще осознанное) значение как для самой математики, так и для всех наук, органически связанных с ней.

Когда-то математика была эталоном отвлеченности, абст - рактности. Сформировался и литературный тип сухаря-математика, которому нет дела до происходящего на этой грешной земле. Вспомним хотя бы <<Гимн ученому>> Маяков - ского:

Проходят красноухие, а ему не нудно,

Что растет человек, глуп и покорен;

Ведь зато он может ежесекундно

Извлекать квадратный корень.

Сегодня, как известно, функция <<извлечения квадрат - ного корня>> с человека снята: вычислительные машины <<ежесекундно>> выполняют миллионы арифметических опе - раций. Тем не менее психология <<извлекателей корня>> еще не отмерла окончательно. То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная задача обучения математи - ке в школе и вузе - это научить людей логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация математических дисцип - лин, изложение их в отрыве от задач практики. Стремление к логическому мышлению - хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешатель - ства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от матема - тика ответа на вопрос, как поступать в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его чести - не уходить от этих требований в пучи - ну абстракций, а по мере сил удовлетворять их.

Мне хотелось бы еще отметить то, что важное значение имеет биометрия, в основе которой лежат математическая обработка биологических данных с целью вскрытия зависимостей, ускользающих при описании единичных явлений и процессов, планирование эксперимента и др. Теоретическая и математическая биология позволяют, применяя логические построения и математические методы, устанавливать более общие биологические закономерности.

В биологических науках математический метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математический метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математического метода в биологических, социальных и гуманитарных науках осуществляется главным образом через кибернетику: кибернетика биологическая, кибернетика медицинская, кибернетика экономическая. Существенным остаётся значение математика для социальных дисциплин (как и для биологических наук) в форме подсобной науки - математической статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают столь доминирующее положение, что математический метод часто отступает на задний план.

Таким образом, математи - ка не только проникает в ранее чуждые для нее области, <<завоевывает>> их - она при этом и сама трансформирует - ся, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, приближаясь к нау - кам гуманитарным. Ж. Фурье сказал: <<Существует еще одна причина высокой репутации мате - матики: именно математика дает точным естественным нау - кам определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут>>.

Я задумался над важным для себя вопросе: откуда взялась и чем обус - ловлена разница между методологиями точных и гумани - тарных наук? Почему формальный математический аппарат очень рано стал применяться в сфере точных наук и только совсем недавно (и то на правах подсобного) в гуманитар - ных? Уж не потому ли, что люди, занимавшиеся гумани - тарными науками, были что ли <<глупее>> занимавшихся точ - ными? Отнюдь нет! Просто явления, составляющие предмет гуманитарных наук, неизмеримо сложнее тех, которыми занимаются точные. Они гораздо труднее, если вообще, поддаются формализации. Для каждого из них гораздо шире спектр причин, от которых оно зависит, в том числе психология живых людей и коллективов, людские пристрас - тия и антагонизмы. Вербальный способ построения иссле - дования, как это ни парадоксально, здесь оказывается точ - нее формально-логического.

Возникает вопрос, значит ли это, что математические методы в области гуманитарных и смежных с ними наук вообще бесполезны? Оказывается, нет, не значит. Они могут служить мощным вспомогатель - ным средством, позволяющим исследователю глубже вник - нуть в существо явления, проследить его закономерности, обнаружить скрытые связи, плохо доступные наблюдению <<простым глазом>>.

Поэтому в своей работе мне и хотелось бы уделить внимание именно вопросу взаимосвязи математики с литературой, и по каким направлениям эта связь может осуществляться.

Выбор моей темы в большей степени связан с тем, что я очень люблю читать различные художественные произведения как широко известных авторов, так и мало известных. Это может быть и зарубежная, и отечественная литература.

Но мне еще нравится и такая наука, как математика. По-моему мнению, как и по-мнению Э. Т. Белл, <<математика - королева и служанка наук>>. И при прочтении художественной литературы мне выдается обратить внимание на некоторые приемы писателей, что позволяет мне ответить на главные поставленные вопросы в моей работе и сделать некоторые выводы, о которых я и хотел бы поделиться со всеми, кого это заинтересовало.

Вначале хотелось бы поговорить о взаимосвязи науки и искусства, и как она осуществляется в художественной и научно-популярной литературе. Лев Николаевич Толстой говорил, что наука и искусство так же тесно связаны между со - бой, как легкие и сердце человека. Наука и искусство обогащают друг друга, имея под собой одну почву - красоту. Красота стимули - рует умственную деятельность, способствует возникновению неожиданных и смелых идей, придает совершенную форму научным откры - тиям. Красота является верным признаком творчества. Ведь в процессе художественного творчества и научного открытия возникают гармония форм, изящество, которые рождены игрой воображения и фантазии. Именно бла - годаря им наступают моменты прекрасных озарений. Идея гармонического совершенства всегда одухотворена пером художника и уче - ного, эстетическое чувство настраивает интел - лект на поиски неизведанного. Именно момен - ты прекрасных озарений <<стирают>> привыч - ные стереотипы мышления, сопутствуют но - визне.

Академик Г. Петров в статье <<Простота математики и сложность литературы>> писал: <<Я думаю, что вы поверите мне, математику, если я скажу, что. математика - глубоко экспериментальная наука, которая основана на самых элементар - ных экспериментах, проверенных опытом мно - гих поколений. И сила математического ме - тода, глубина проникновения в окружающую действительность, степень обобщения бази - руется как раз на элементарности, примитив - ности тех объектов, которые изучает матема - тика. Настоящая литература - это. исследо - вание чрезвычайно сложной области человеческих взаимоотношений. Это безумно трудное дело. И успеха здесь можно добиться только тогда, когда писатель умеет не только проникнуть в глубину человеческого характе - ра, но и создать в высокой степени обобщен - ный образ>>.

Многие ученые утверждают: искусство является мощным рычагом в научном открытии. Ч. Дарвин в старости с грустью заметил, что работоспособность его и интерес к жизни уменьшился. Скрупулезно исследуя причины этого, великий естествоиспытатель писал: <<Если бы мне пришлось вновь пережить свою жизнь, я установил бы для себя правило читать какое-то количество музыки по крайней мере раз в неделю; быть может, путем такого (постоянного) упражнения мне удалось бы сохранить активность тех частей моего мозга, которые теперь атрофировались. Утрата этих вкусов равносильна утрате счастья, и, может быть, вредно отражается на умственных способностях, а еще вероятнее - на нравственных качествах, так как ослабляет эмоциональную сторону нашей природы>>.

Поэты, очень чутко воспринимающие окружающий мир, не находили адекватного искусству занятия и потому не без чувства некоторого своего превосходства над всем остальным миром сравнивали коня с трепетной ланью, алгебру с гармонией. Но поэты есть поэты, они вправе считать свое творчество исключительно важным делом и, будучи мастерами слова, сумели убедительно показать значение художественного слова в постижении и эстетическом преобразовании окружающей действительности. Поэтому можно бы не принимать всерьез их мнение, как мнение <<заинтересованных лиц>>. Можно было бы не принимать во внимание и заявления тех представителей точных наук, которые с такой же категоричностью отстаивают мысль, что научные сведения не менее эстетичны по сравнению с художественными. Об этом, например, английский математик К. Пирсон писал так:

<<Поэт может дать нам на своем дивном языке повесть зарождения и кончины вселенной, но, в конце концов, она не удовлетворит нашего эстетического суждения, наших представлений о красоте и гармонии в той мере, как несколько фактов, добытых в той же области человеческой наукой. Наше эстетическое суждение требует полной гармонии между представлением и представляемым, и в этом смысле наука нередко более эстетична, чем современное искусство>>.

Такие заявления являются вполне естественной реакцией в век научно-технической революции, знаменательной распространением и, что немаловажно, пристальным изучением природы научного творчества, на заявления о приоритете, некоей исключительности открытий в области художественного познания.

Природа художественной и научной красоты имеет существенные отличия. Не случайно сами представители точных наук, увлеченно рассказывая о своем предмете, при - числяют его к искусству как высшей ступени человеческой деятельности. <<Узоры математи - ка,- пишет, например, современный ученый Г. Харди,- так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи, так же как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть пер - вое требование: в мире нет места для некра - сивой математики>>. Л. Д. Ландау говорил, что ученый должен заниматься наукой из люб - ви к искусству, то есть подняться до уровня художника.

Отец кибернетики Норберт Винер тоже да - леко не единственный, кто не только <<примеряет>> науку под искусство, но прямо называет в своих выводах математику одним из видов искусства.

Из сказанного можем сделать вывод: как процесс научного и художественного творчест - ва, так и результаты труда математика и поэта имеют эстетические начала.

Следовательно, искусство, будучи специфической фор - мой общественного сознания, оказывает огром - ное влияние как на процесс научного творчест - ва, так и на его результат. Поэтому, по-моему мнению, такое большое значение имеет искусство и для ус - пешного обучения школьников предметам естественно- математического цикла.

Произведения художественной литературы, особенно научной фантастики, не только расширяют общий кругозор учащихся, но дают знания из области точных наук, напри - мер математики, и нередко определяют выбор профессии с математическим уклоном.

При внимательном чтении художественной и научно-популярной литературы всегда можно найти сюжеты, которые непосредст - венно связаны с математикой или по которым можно составить интересные задачи.

Например, можно использовать художест - венную литературу при знакомстве со следующей проблемой. Изучая теорему Пифагора, необ - ходимо знать учащимся, что целые числа а, b, с, удовлетворяющие уравнению: a2+b2=c2, называются пифагоровой тройкой.

Ясно, что из пифагоровой тройки а, b, с мож - но получить бесконечное множество других пифагоровых троек вида ka, kb, kc, где k -любое натуральное число.

Можно предложить учащимся попытаться обобщить эту задачу, рассматривая уравнения а[3] + b[3] = с[3], а[4] + b[4] = с[4] и вообще аn + bn = сn.

Французский математик Пьер Ферма (1603-1665) сделал в книге Диофанта Александрийского на полях замечание, что при n >2 уравнение аn + bn = сn неразрешимо в це - лых числах. Ферма не объяснил своего вывода, а только написал: <<Я нашел поистине удиви - тельное доказательство этого предложения, но здесь мало места, чтобы его привести>>.

Это предложение и вошло в историю математики под названием великой теоремы Фер - ма.

Великая теорема Ферма (или последняя теорема Ферма) - одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Уайлсом.

Людей, вопреки здравому смыслу пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют <<ферматистами>> или <<ферматиками>>. Ферматисты зачастую не владеют основами математической культуры и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощренные <<доказательства>>, в которых трудно найти ошибку.

Кстати, Ферма (1601-1665) был юристом по образова - нию, работал советником парламента. Мате - матикой же занимался между делом, но сумел сделать ряд чрезвычайно важных мате - матических открытий.

Величайшие математики мира пытались доказать теорему Ферма, но удалось доказать ее только для некоторых отдельных показа - телей или группы показателей. Так, Эйлер в 1797 году доказал теорему для третьей и чет - вертой степени, Лежандр (1823г. ) - для пятой степени, Ламе и Лебег (1840г. ) - для седьмой, Куммер (1849г. )- для обширной группы степе - ней, в том числе для всех показателей, мень - ших ста.

Доказательство Великой теоремы Ферма можно поставить в один ряд с такими достижениями ХХ века, как изобретение компьютера, ядерной бомбы и полет в космос, а также радио, телевидения, открытие ДНК. Хоть о нем и не так широко известно, потому что оно не вторгается в зону наших сиюминутных интересов, как например, телевизор или электрическая лампочка, но оно явилось вспышкой сверхновой звезды, которая, как и все непреложные истины, всегда будет светить человечеству.

Об этой сложной и увлекательной проблеме с большим юмором рассказывает писатель Артур Порджес в фантастическом рассказе <<Саймон Флэгг и дьявол>>.

Математик Саймон Флэгг заключил дого - вор с дьяволом, что тот за сутки докажет теорему Ферма. Черт выучил за ночь програм - му университета по математике, слетал за короткое время на отдаленную звезду, но эту задачу не смог одолеть. Черт говорит: <<Чем больше я в нее углублялся, тем хуже шло дело>>. И признается>> <<Эта шутка захватывает. Прямо не оторваться!>> Читая этот рассказ, интересный и веселый, любой из нас, учащийся, познакомится с этой очень интересной проблемой математики.

Далее, говоря о поэзии о математике, можно заметить, как учащиеся с интере - сом могут воспринимать стихотворения, воспеваю - щие математику, ее отдельные проблемы, ее значение для человека.

Так, например, популярна среди учеников младших клас - сов, например <<Песенка об арифметике>> из радиоспектакля <<Приключения Димки>>. Му - зыку написал М. Вайнберг, ноты есть в кни - ге Котова <<Вечера занимательной арифмети - ки>>.

Был такой радиоспектакль, где герой попадает на корабль, где никто не знает математики.

Песенка от туда

Чтоб водить корабли,

Чтобы в небо взлететь,

Надо многое знать,

Надо многое уметь.

И при этом, и при этом

Вы заметьте-ка,

Очень важная наука -

МАТЕМАТИКА!

Почему корабли

Не садятся на мель,

А по курсу идут

Сквозь туман и метель?

Потому что, потому что

Вы заметьте-ка,

Капитанам помогает -

МАТЕМАТИКА!

Чтоб врачом, моряком

Или летчиком стать,

Надо, прежде всего

Математику знать,

И на свете нет профессий,

Вы заметьте-ка

Где бы нам ни пригодилась -

МАТЕМАТИКА!

Известно, что индийские математики древ - ности часто формулировали условия задач в стихотворной форме, например:

На две партии разбившись

Забавлялись обезьяны:

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась,

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

Решение:

(х)28 + 12 = х; х[2]- 64х + 768 = 0; х = 32 +- 1024-768 = 32+- 256 = 32 +- 16;

Ответ: x1 = 16; x2 =48.

Если говорить о теореме Виета, то она выражает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями.

Теорема Виета была сформулирована Франсуа Виет (1540 - 1603) впервые в 1591 году следующим образом:

<<Если B+D, умноженное на А минус А[2], равно BD, то А равно В и равно D. "

А - как гласная буква, означала неизвестное (наше х),

В и D - согласные, коэффициенты при неизвестном>>.

На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка теоремы Виета означает:

<<Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену>>.

Доказательство.

Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения x2+px+g=0.

х1=-p-D2 ; х2=-p+D2.

Найдем, х1 + х2 = -p-D2 + -p+D2 = -p-D -p+D2 = -2p2 = -p.

Найдем, х1*х2 = -p- D2 * -p+ D2 = -p- D *(p-D )4 = p2 -D4 = p2 - p2 +4g4= 4g4 = 4.

Если уравнение будет не приведенным, то для этой теоремы закономерность не выполняется. Но если уравнение заменить равносильным ему приведенным, то можно увидеть, что х1+ х2 = - ba х1 * х2 = - ca.

Знаменитая теорема Виета была так названа в честь известного великого французского математика Франсуа Виет, жившего в 16 веке. Это теорема выражает интересную закономерность, существующую между суммой корней квадратного уравнения и его коэффициентами, между произведением корней квадратного уравнения и его коэффициентами.

Франсуа Виет родился в 1540 году в небольшом городке на юге Франции в Фонте-ле-Конт. Он обладал огромной трудоспособностью, мог работать по трое суток без отдыха. Он был одним из первых, кто ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Многие его результаты и открытия достойны восхищения.

Франсуа Виет по профессии адвокат. В свободное время Виет занимался астрономией. Изучив ещё в молодости Коперникову систему мира, заинтересовался астрономией. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занимался ими и вскоре пришёл к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию, над чем и проработал ряд лет.

Виет, не прекращая адвокатской деятельности, много лет был советником короля Георга III и Георга IV, постоянно был занят государственной службой. Несмотря, на это, всю жизнь занимался математикой, занимался настойчиво, упорно, сумел добиться выдающихся результатов. Основные свои идеи изложил в труде <<Введение в аналитическое искусство>>.

Теореме Виета посвящены такие строки из стихотворения А. Гуре - вича <<Теорема Виета>>.

По праву достойна стихом быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова,

В числителе <<с>>, в знаменателе <<а>>,

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь эта - что ж, не беда!

В числителе <<с>>, в знаменателе <<а>>. ах[2] + bх + с = 0 х 2 - а х - а =0 х1 + х2 = - а х1 * х2 = а х1 и х2 - корни уравнений.

Хотелось бы отметить, что небольшие стихотворения и фразы дольше остаются в памяти, чем числа. Поэтому довольно популярны стихи, помогающие запомнить некоторые числа или формулы. Например, для запоминания числа п существует несколько таких стихотворений и фраз на различных языках.

<<Стишки>> или фразы построены таким образом, что слова в такой <<математической поэзии>> подобраны так, чтобы число букв в каждом слове последовательно совпадало с соответствующей цифрой числа PI.

Например: а) Что я знаю о кругах

3 1 4 1 6

(PI = 3,1416. ) б) Это я знаю и помню прекрасно,

3 1 4 1 5 9

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

2 6 5 3 5 8

(PI = 3,141 592 653 58. )

Есть такое стихотворение для запоминания числа PI :

Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз,

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь:

Чтобы нам не ошибаться,

Чтоб окружность верно счесть,

Надо только постараться

И запомнить все как есть:

Три - четырнадцать - пятнадцать -

Девяносто два и шесть!

(PI = 3, 14 15 92 6. )

Следовательно, существует много стихов и фраз, которые помогают запоминать различные математи - ческие формулы, понятия и определения, на - пример, о медиане, биссектрисе, о нахождении корней приведенного квадратного уравнения и др.

Если говорить о <<математических сюжетах>> в художествен - ных произведениях, то подбор сюжетов, кото - рые могли бы лечь в основу математических задач, довольно труден, так как в произведе - ниях, как правило, задача не формулируется явно. Такой сюжет нужно уметь найти, пере - ложить его на математический язык, то есть сформулировать задачу, доступную для уча - щихся, найти в справочной литературе дополнительные данные, необходимые для решения задачи. В этом неоценимую помощь может оказать научно-популярная литерату - ра по математике. Подтвердим сказанное примером.

При изучении длины окружности нужно сравнить длины концентрических окружностей. В математике эту задачу записывают так: <<Даны радиусы концентрических окружностей (такие-то). Найти, во сколько раз одна окружность длиннее другой>>.

Эту же задачу блестящий популяризатор науки Я. И Перельман в своей <<Занимательной геометрии>> изложил так: <<. один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствований - голова или ступни ног. Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?>> В такой постановке задача приобретает повышенный интерес как с моей стороны, так, по-моему мнению, и со стороны других учащихся.

Для решения этой задачи попытаемся по справочникам найти величину радиуса Земли ( 6400 км, или более точно 6370) и укажем свой рост, к примеру, мой рост равен 1,5 м. Но другие, более сообразительные, решат ее сначала в общем виде:

Решение

Ноги прошли путь 2PIR, где R - радиус Земли, а верхушка головы прошла путь 2PI ( R + a ), где a - рост человека. Разность путей составит:

2PI ( R + a ) - 2PIR = 2PIa.

<<Открытием>> для многих станет тот факт, что эта разность не зависит от радиуса Земли, а только от роста человека. Так, при a = 1,5 эта разность составит 2PI * 1,5 ≈9,4 (м).

Можно сделать вывод: <<Результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой маленькой планете. Вообще, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояний между ними>>.

Вот блестящий пример того, как можно пробудить интерес к математике, или, говоря словами Я. И. Перельмана, <<внушить охоту и воспитать вкус к ее изучению>>.

Далее, приведем примеры математического анализа некоторых отрывков художественной литературы. Только сделаем такое предварительное замечание.

Н. Винер в книге <<Творец и робот>> писал, что между представлениями о колдовстве, магии и математическими точными расчетами автоматики есть одно общее свойство - буквальное исполнение желания.

Математически точно работающая машина, по мнению Н. Винера, если и способна что-либо сделать для человека, так это именно то, что у нее попросили, а не то, что подразу - мевали, но то, чего человеку хочется, почти невозможно точно сформулировать. Тут, как видим, вопрос упирается не только в гумани - стический характер в подходе к решению тех или иных вопросов. Тут мы наблюдаем различие языка ученого и писателя. Если язык науки с момента своего возникновения раз - вивался по линии уточнения значений, то художественный - в прямо противоположном направлении. Значение слов в поэтическом языке не только не является независимым от контекста, как в научном языке, не просто выявляется в контексте, как это наблюдается в естественном языке, а создается в самом контексте. Это придает воспринимаемому лич - ностный характер, давая эмоциональный за - ряд. Поэтому при попытке переложить сюжет художественного произведения на бесстраст - ные цифры, то есть сформулировать задачу, следует учитывать две разновидности язы - ка, которым пользуются наука и искус - ство.

Вспомним задачу, которая так смутила некогда семиклассника Зиберова из рассказа А. П. Чехова <<Репетитор>>.

<<Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб>>.

Чехов с юмором описывает, как беспомощ - но трудился над задачей репетитор, пока его не выручил Петин отец Удодов.

<< - И без алгебры решить можно,- говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.

- Вот извольте видеть. - Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что нужно было.

- Вот-с. по-нашему, по-неученому>>.

Интересно ответить на такие вопросы: Как намеревался репетитор решить задачу алгеб - раически? Как ее решил отец ученика ариф - метически?

Задача, оказывается, очень проста.

1) Пусть х - число аршин синего сукна, у - - черного сукна.

Очевидно, что х+у=1385х+3у=540 -> х=63у=75

2) Предположим, что все сукно синее. Тог - да за него купец заплатил бы 138* 5 = 690 руб. Но он уплатил меньше: 690 - 540 = 150 руб. , следовательно, в партии было более дешевое сукно - черное.

150 : (5 - 3) = 75 м

138 - 75 = 63 м

Покажем, как можно было решить эту за - дачу графически.

Построим график зависимости цены синего сукна от его количества. (Это линейная функция у = 5х). Построим луч ОА, аналогично для черного сукна луч ОВ. Так как точка С лежит между этими лучами, то, следовательно, купили и синее, и черное сукно.

Проведем СМ ОВ до пересечения с ОА в точке М. Аналогично проводим СК ОА.

Абцисса точки М даст нам число аршин синего сукна, абцисса точки К - число аршин черного сукна.

По графику легко получить стоимость каждого сорта сукна .

Прочитав в свое время роман <<Господа Головлевы>> М. Е. Сал - тыкова-Щедрина я обратил свое внимание на такой эпизод:

<<Седьмой час вечера. Порфирий Владимирыч успел уже выспаться после обеда и сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой Петром Иванычем на зубок, сто рублей ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей ассигнациями.

- Положим, что капитал и небольшой,- праздно мыслит Иудушка,- а все-таки хорошо, когда знаешь, что про черный день есть. Занадобилось - и взял. Ни у кого не попросил, никому не поклонился - сам взял свое, кровное, дедушкой подаренное! Ах, маменька! маменька! и как это вы, друг мой, так, очертя голову, действовали!>>.

В романе нет точного указания на возраст героя в это время.

Предположим, что Порфирию 50 лет. По - пытаемся установить, сколько процентов го - довых платил ломбард в то время.

Пусть первоначальный вклад в 100 рублей ежегодно увеличивался в q раз, где q = 1 + а, а = p100 р - число процентов.

Имеем геометрическую прогрессию, в кото - рой первый член равен 100, число членов 51, знаменатель прогрессии равен q, а 51-й член прогрессии равен 800.

bn = b1 · q n -1

800 = 100 · q 50

q 50 = 8;

50Igq = lg8;

Igq = 50 = 0,0181; q = 1,042

Следовательно, если предположить, что вы - числения Головлев произвел правильно (пред - положение это маловероятно, так как вряд ли он знал логарифмы и сложные проценты) , то установим, что ломбард брал в заклад деньги с расчета 4,2% годовых.

В романе Жюля Верна <<Матиас Шандор>> рассказывается о том, что венгерские патрио - ты, готовясь к восстанию, ведут между со - бой секретную переписку. Их противникам удается перехватить шифрованную записку.

<<В записке было всего восемнадцать слов, написан - ных в три колонки. следующим образом: з ц u ф н у u с й т ч у о е х u в р с и г д к н ы у е л м с и о е т т ж о и ш е в к о н и в в п о ш з я а г в э а а и ь л н а о д а р и е в й о к з т я с и т л н с г о с м п в с и е о н р а м с и у п в с е а д н ж р

Откyдa была послана записка и кому она предназна - чалась? Об этом не говорилось ни слова. А разве мож - но разгадать эти восемнадцать слов, состоящих из рав - ного количества букв, не зная шифра? Вряд ли!>>

Враги смогли расшифровать ее только тогда, когда предатель Саркани сумел украсть и скопировать сетку для расшифровки записки.

<<Сеткой служил квадратный кусочек картона, разме - ром шесть на шесть сантиметров, разделенный на трид - цать шесть клеточек, примерно в квадратный сантиметр каждая. Из этих тридцати шести квадратиков, рас - положенных в шесть вертикальных и горизонтальных рядов, подобно таблице Пифагора, но построенной на шести числах, девять были вырезаны, то есть в кар - тоне было проделано девять дырочек.

. Мы приводим здесь эту сетку, которая помогла вскоре Саркани и банкиру Торонталю осуществить их преступный замысел>>.

<<Саркани схватил листок и прочел справа налево следующую фразу: "Все готово. Ждем ваших распоря - жений из Триеста. Получив условный сигнал, все поднимутся как один за независимость Венгрии. Эшкуфц>>.

Если бы возможна была только одна сетка, то способ переписки с ее помощью никуда не годился бы в смысле секретности. Но все де - ло в том, что число различных решеток чре - звычайно велико, и подобрать нужную почти что невозможно.

Как же шифруется записка? Сначала записываются буквы слов в прорезях сетки. По - том сетка поворачивается на 90° по часовой стрелке. При новом положении все ранее на - писанные буквы закрываются, а новые буквы пишутся в прорезях и т. д. Если теперь уб - рать сетку, то получится набор букв, на пер - вый взгляд лишенный всякого смысла.

Рассмотрим число возможных сеток отли - чающихся друг от друга. Можно выбрать лю - бые 9 клеток, лишь бы не было двух с одинаковыми номерами.

На сетке, приведенной в романе, номера вы - браны следующие:

Как видим, ни один номер не повторяется.

Система расположения цифр в квадрате несложна. Он делится на четыре меньших квад - рата I, II, III, IV. В первом квадрате клетки нумеруются в обычном порядке; квадрат II тот же, но повернут на четверть оборота по часовой стрелке и т. д.

Подсчитаем число выбора различных сеток: клетку № 1 можно выбрать в 4 местах, в каждом случае клетку № 2 можно взять тоже 4-я способами и т. д. , то есть 9 клеточек можно выбрать 4 9 = 262144 способами.

Попробуй среди такого количества воз - можных разных сеток выбрать ту, которая нужна. Если дешифровальщики будут тратить на выбор сетки и ее проверку только одну ми - нуту, то для проверки всех возможных сеток им понадобится:

262144 мин = 4368 часов = 182 суток, то есть полгода непрерывной работы без сна и пере - рыва.

Если же взять сетку не 6 Х 6, а 8 Х 8, то получим 4 возможных вариантов, то есть более 4-х миллиардов. При указанной производительности перебора различных сеток это не полгода работы, а несколько тысячелетий.

Следует заметить, что использование сюжетов художественных произведений при занятии математикой требует не только большой осторожности, но и определенного такта, необходимого останавливать внимание читателей на различии художественной правды и научной истины.

Действительно, когда искусство привлекается на занятии естественно-математического цикла, следует учитывать специфику искусства, ту его художественно-образную характеристику, которая отличает искусство, выделяя его в особую форму общественного сознания. В. В. Неверов с сожалением пишет о том, что учителя физики, используя роман А. Н. Толстого <<Гиперболоид инженера Гарина>>, стремятся установить ошибки технического характера, допущенные крупным художником слова.

В такой же мере, как и на уроках математики, можно использовать искусство слова на уроках физики. Например, Л. Н. Толстой в романе <<Анна Каренина>> рассказал о явлении инерции (рассуждения Bpонского на скачках).

Л. Н. Толстой написал более ста рассказов научно-популярного характера. Около 30 из них - о физике, о явлениях природы, о практическом применении физики, об истории науки физики.

Художник слова может поставить научную проблему, которую только спустя определен - ное время разрешают ученые. Немало тонких наблюдений в поэзии А. С. Пушкина:

Суда летучие, торговлей окрыленны.

Кормами рассекут свободный океан.

Сразу же возникает вопрос: почему корма - ми? Ведь носом, форштевнем режет корабль водную гладь. Но какое глубокое интуитив - ное проникновение в самую суть дела демон - стрирует здесь поэт! След-то корабля действительно остается за кормой! Даже сам Нью - тон, величайший из механиков, считал, что сопротивление движущегося тела полностью определяется формой его носовой оконечно - сти. И только через. несколько десятилетий французский военный инженер П. Дюбуа (1734-1809) опроверг это мнение и опытами доказал: львиная доля сопротивления зави - сит от формы именно кормовой части кораб - ля. Выходит, корабли <<рассекают океан>> скорее кормой, чем носом. И это сумел под - метить Пушкин!

Еще пример:

Лишь изредка с унылым свистом

Бунтует вихорь в поле чистом

И на краю седых небес

Качает обнаженный лес.

В самом деле, почему постоянно дующий ветер раскачивает голые ветви? Ведь, каза - лось бы, он должен просто отклонить их и удерживать в этом положении. Секрет раскачи - вания был разгадан только в ХХ веке извест - ным аэродинамиком Т. Карманом (1881 - - 1963), который доказал, что в постоянном потоке, обдувающем плохо обтекаемое тело (а именно таковы голые ветки), возникает отрыв крупных вихрей, сопровождающийся периодическим изменением аэродинамическо - го сопротивления. Поэтому, несмотря на по - стоянную силу ветра, ветка испытывает ме - няющееся сопротивление и начинает раскачи - ваться. И не только ветка: от таких колеба - ний в 1940 году разрушился знаменитый Такомский подвесной мост в США!

Выходит, прав был Аристотель, когда го - ворил, что <<поэтическое искусство проникает в самую суть дела, в то время как точ - ный отчет даст только перечень подробно - cтей>>.

Таким образом, говоря о том, что дала математика людям, и зачем ее изучать, мы можем с большой уверенностью сказать, что математика возникла еще в глубокой древности из практических потребностей людей. По поводу древности математики никто спорить не будет, а вот о том, что же побудило людей ею заниматься, существует другое мнение. Согласно ему, математика, так же как и поэзия, живопись, театр и вообще - искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его стремлением к познанию и красоте. Что любят, то находят повсюду, и было бы странно не встретиться с математикой в художественной литературе.

Многие считают, что математики - это люди не способные увидеть красоту жизни, они полностью закрылись своими формулами и задачами. Поэтов и писателей мы тоже часто считаем людьми, далекими от реальности. Так ли это на самом деле - мы узнали, что это не так.

Резкое противопоставление математики и литературы сложилось давно.

На Древнем Востоке уже понимали связь литературы и математики - многие просвещенные люди средневековой Персии и Ирана занимались различными науками, при этом продолжая заниматься творчеством: писать стихи, прозу. Крупнейший персидский математик и астроном, поэт и философ Омар Хайям был человеком, сведущим во всех областях, особенно же в математике.

Интересно, что среди математиков много писателей, людей занимавшихся не только строгой наукой, но и творчеством. Это, наверное, связано с тем, что ни один из них не считал свои успехи в науке единственной целью в жизни, каждый из этих ученых стремился познать окружающий мир во всей его красоте и многообразии. Так же, как и математики, писатели и поэты стремятся найти истину, постичь красоту мира, понять его устройство - в этом им успешно помогает наука, прежде всего - математика.

<<Математизирование>> может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.

Так, Р. Курант сделал следующее высказывание о математике, что, отвечая на вопрос <<Что такое математика?>>, невозможно дать об - стоятельный ответ на основе одних лишь только философ - ских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути матема - тики еще в большей степени необходимо подлинное проник - новение в составляющие ее элементы>>.

Следовательно, искусство и наука, подвергая анализу разные участки объективного мира, оказывают благотворное влияние друг на друга.

Как показало предыдущее изложение, при - рода творчества во многом зависит от эсте - тических критериев, управляющих процессом построения научного знания. Деятели искус - ства, со своей стороны, утверждают, что лю - бое творчество, претендующее на выражение основных черт современности, нуждается в точном научном знании. Быть может, уже сияет та вершина, о которой еще в середине прошлого века мечтал Г. Флобер. <<Чем даль - ше,- писал <<кудесник стиля>>,- тем искус - ство становится более научным, а наука - - более художественной, расставшись у ос - нования, они встретятся когда-нибудь на вер - шине>>. В его времена трудно было предвидеть, <<каким духовным солнцем за - сияют будущие творения>>.

Но эстетические чувства от решения задач приходят к человеку не сразу, а могут и вооб - ще не приходить. Все дело в целенаправлен - ности личности. При рассмотрении данного вопроса следует исходить из того, что эстети - ческое отношение имеет надличностный харак - тер, выражая родовое значение и родовые эмо - ции, тогда как художественное отношение к действительности имеет глубоко личностный характер, выражая личностные эмоции, инди - видуально-неповторимое значение человече - ских отношений. В этом смысле образ Наташи Ростовой ближе уравнений Максвелла, так как он объективировано выражает реальную жизнь, обусловленную гуманистической нап - равленностью, то есть выражает идеал девя - тиклассницы.

Однако эстетическая потребность намного шире художественной потребности, и это об - стоятельство дает преимущества изучающим точные науки. Художественное произведе - ние представляет собой искусственно замкну - тую систему, и удовлетворение художествен - ных потребностей в большой степени ограни - чено этой системой.

Вот почему при обучении воспитании мы должны стремиться не к взаимоисключениям точных наук и искусства, а к дополнениям (если возможно такое дополнение) и рас - сматривать их как часть общечеловеческой культуры. Именно этот путь ведет к более глубокому раскрытию специфических особен - ностей и науки, и искусства. Только взаимосвязь, взаи - мообогащение оказывает глубокое влияние на развитие познавательных способностей молодежи, формирование ее гуманистических принципов и особенностей. Именно такую по - становку вопроса, думается, имел в виду французский этнолог Клод Леви-Стросс, по мнению которого <<либо ХХI век будет веком социальных наук, либо его совсем не будет>>.

Возможно, это сильно сказано, но в совре - менных высших учебных заведениях, по моему мнению, должен быть уничтожен барьер уз - кой научной специализации. Сегодня наукой доказано, что непрерывная работа в одной об - ласти обедняет человека. Для гармонического развития молодого человека при индустриа - лизации должно учитываться как гуманитар - ное, так и естественно-математическое обра - зование.

Я очень надеюсь, что моя работа поможет многим найти свое место в жизни, и понять, что мир не показывается нам только одной стороной. Наш мир многолик, и чтобы познать его, нужно быть и ученым, и поэтом в душе.