Решение задач с производной

Великий русский математик П. Л. Чебышев в одной из своих работ писал, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека? Как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды. С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Инженеры-технологи стремятся так организовать производство, чтобы на имеющемся станочном парке сделать как можно больше продукции. Конструкторы ломают голову, стремясь сделать наилегчайший прибор на космическом корабле. Экономисты стараются так спланировать прикрепление заводов к источникам сырья, чтобы транспортные расходы оказались наименьшими.

Но не только людям приходится решать подобные задачи. Бессознательно с ними справляются и некоторые виды насекомых и других живых существ. Например, форма ячеек пчелиных сот такова, что при заданном объеме на них идет наименьшее количество воска. И хотя пчелы не изучали высшую математику, неумолимый естественный отбор привел к тому, что выжили лишь пчелы, тратившие меньше всего усилий на строительство сот.

Пчелам помогает решать свои задачи инстинкт. Человек же отличается от них тем, что ему на помощь приходит разум. Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшие и наименьшие значения, или, как их еще называют, задач на оптимизацию (от латинского «оптимум» - наилучший), потому, что как говорил П. А. Чебышев, большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного

Приведем примеры задач.

Задача 1: (№319, учебник «Алгебра и начала анализа» для 10-11 класса под ред. Колмогорова, 1994) (6)

Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найти размер сечения балки, если радиус сечения бревна равен R см.

Решение: Обозначим ширину прямоугольника через x, тогда его высота h равна:

, а площадь прямоугольника по формуле S=ab будет выражаться формулой:

где ; ; ; ; ;.

Решить задачу, значит найти x, при котором функция принимает наибольшее значение.

Находим производную функции

Производная существует на промежутке 0

В промежуток (0;2R) попадает только критическая точка , которая является точкой максимума, т. к. в этой точке меняет знак с плюса на минус:

Поскольку функция S(x) непрерывна на заданном интервале и имеет там только одну точку экстремума и эта точка максимальна, то на этом интервале функция S(x) принимает наибольшее значение в точке.

Тогда , а ;.

Следовательно, наибольшая площадь сечения бруса будет в том случае, когда искомый прямоугольник будет квадратом со стороной.

Основным элементом любой строительной конструкции является балка. Прочность балки зависит от того, какую форму имеет ее поперечное сечение. При этом высота сечения играет значительно большую роль, чем ее ширина. Ведь гораздо труднее согнуть линейку, поставленную на ребро, чем линейку, лежащую плашмя. В сопротивлении материалов доказывают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки b и квадрату ее высоты h : , где k-коэффициент пропорциональности, зависящий от длины балки, материала из которого она сделана и т. д. Деревянные балки обычно вытесывают из круглых бревен. В связи с этим возникает задача 2:

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение: Чтобы найти при каком соотношении ширины х и длины h прочность будет наибольшей, выразим прочность балки как функцию от ее ширины х.

Исследуем P(x) на наибольшее значение:

; ; x>0;.

- оптимальное (наилучшее) значение ширины балки.

- высота балки, имеющей наибольшую прочность. Отсюда Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Еще одна задача очевидной практической направленности.

Задача 3: (№317, учебник «Алгебра и начала анализа» для 10-11 класса под ред. Колмогорова, 1994).

Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V л. жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

Решение: Пусть ABCDA1B1C1D1 - данный открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием: АВ=АD=х; AA1((ABC), AA1=H.

Если бак имеет заданный объем V, то

, тогда.

Количество требующегося металла на его изготовление – это функция, зависящая от его размеров, которую мы находим как сумму площадей боковой поверхности и основания:

Полученную функцию S(x) исследуем на наименьшее значение:

, ; ; ; x>0;

Если , то

Итак, при размерах и на изготовление бака объемом V потребуется наименьшее количество металла.

Задача 4: (№320, учебник «Алгебра и начала анализа» для 10-11 класса под ред. Колмогорова, 1994) (6)

Буровая вышка расположена в поле в 9 км. от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным) Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?

Решение:

Пусть х км. - на таком расстоянии от точки Н (ближайшей точки шоссе от буровой вышки) находится точка Р, к которой надо ехать курьеру, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта С. Тогда:

- расстояние от вышки по полю до точки Р на шоссе;

ч. – время, за которое он преодолеет это расстояние со скоростью 8км/ч.

- расстояние от точки Р до С по шоссе;

ч. – время, за которое курьер преодолеет расстояние РС по шоссе;

- общее время пути от В до С, которое представляет собой функцию от переменной х и которую надо исследовать по условию на на наименьшее значение при.

Значит курьеру надо ехать к точке Р, находящейся от ближайшей на шоссе точке до буровой на расстоянии 12 км.

Эти несложные, но убедительно подтверждающие их практическое значение оптимальные задачи из школьного курса, вызывают интерес к ним.

Когда они появились и какова их роль в развитии математической науки?

Как оказалось, исследование задач на максимум и минимум началось в математике давно – двадцать шесть веков назад (2). Так, например, классическая изопериметрическая задача – задача Дидоны, обсуждалась в V века до н. э. (Изопериметрические фигуры – это фигуры, имеющие одинаковый периметр). Согласно легенде, финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось одно место на месте нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного – столько, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их и окружила большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи нее – город Карфаген.

Почему «окружила»? Еще в те далекие времена математики Пифагор, Архимед, Аристотель, Зенодор доказали, что площадь, охватываемая любой замкнутой кривой данной длины, не превосходит площади круга, окружность которого имеет ту же длину. «Попутно» доказали, что если существует плоский n-угольник, имеющий наибольшую площадь среди всех n -угольников с заданным периметром, то он должен быть равносторонним и равноугольным.

Действительно, квадрат является решением такой современной изопериметрической задачи из школьного учебника :

Кусок проволоки длиной l метров сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какие длины должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть периметр ABCD = l м. , тогда сумма двух его соседних сторон метра. Если xm – длина одной стороны, то () м – длина другой.

Площадь равна - функция, которую надо исследовать на наибольшее значение на промежутке (0; ).

- критическая точка функции S(x)

- максимума, то есть при функция принимает наибольшее значение.

Если , то , - стороны соседние равны. Прямоульник наибольшей площади с периметром l – это квадрат со стороной.

Вот еще одна из старейших задач того времени, нам знакомая, автором которой является известный математик античности Герон Александрийский (О Героне мы все знаем благодаря формуле площади треугольника, носящей его имя , где ).

Задача ГЕРОНА: Даны две точки А и Б по одну сторону от прямой l. Требуется найти на l такую точку Д, чтобы сумма расстояний от А до D и от В до Д была наименьшей .

Решение:

1) Построим точку В1 симметричную В относительно l: ;.

2) Соединим А и В1, тогда.

Точка D искомая: ; АD + ВD- наименьшая сумма.

Докажем это.

Рассмотрим любую точку D1 на l. Сравним суммы расстояний АD + DВ и АD1 + D1В:

АD1 + D1В = АD1 + D1В1, т. к. D1 В = D1 В1.

АD1 + D1В1>АВ1 (из ( АD1В1), но АВ1 = АD + DВ1 = АD + DВ, DВ1 = DВ.

Итак, АD1 + D1В1 > AD + DВ; АD1 + D1В > AD + DВ для любой точки D1, отличной от D. Значит, АD + DВ – наименьшая сумма расстояний от А до D и от В до D.

Неиссякаемые россыпи драгоценных задач на максимум и минимум таятся в недрах древнейшей из математических наук – геометрии.

В «Началах» Евклида – первой научной монографии и первом учебном пособии в истории человечества, в труде, вышедшем в IV веке до н. э. , имеется лишь одна задача на максимум. В современной редакции она звучит так:

«В данный вписать параллелограмм AMNK наибольшей площади» (2).

И сегодня мы её можем решить так.

Решение: Пусть в (АВС АС = b; , ВВ1 = Н – высота (АВС.

Обозначим длину АК через х, 0<х

Так как MN║ AC, то ( MBN~ (АВС. Тогда

Если то. - высота параллелограмма AMNK.

Тогда площадь его будет равна:

S(x) - функция, которую по условию необходимо исследовать на наибольшее значение:

, если ; ,.

Следовательно, искомый параллелограмм AMNK характеризуется тем, что точка К является серединой АС, а, следовательно, и

Именно этот факт был установлен и Евклидом. Как?

Приведем одно из возможных геометрических решений этой задачи, восходящее к решению Евклида, данному в «Началах».

В ( AВС впишем параллелограмм ADEF, причем

Пусть – АD1Е1F1 – вписанный в ( AВС параллелограмм, отличный от АDЕF. Точку пересечения D1Е1 и FЕ обозначим через G1, а точку пересечения DЕ и Е1F1 – через G.

Покажем, что площадь АD1Е1F1 меньше площади АDЕF на величину параллелограмма GЕ1G1Е. Для доказательства проведем в (АВС из точки В высоту ВK = Н. Длину АС обозначим через b, а длину высоты (GЕ1Е, проведенной из Е1- через Н1: Е1Е2=H1

Итак, площадь параллелограмма

D1G1ЕD, высота которого H1, а DЕ = , равна площади параллелограмма ЕGF1F, ибо его высота равна , а длина стороны F1F равна EG. Отсюда и следует, что площадь параллелограмма АDЕF равна площади фигуры АD1G1ЕGF1, то есть на величину площади GЕ1G1Е больше, чем площадь АD1Е1F1. Таким образом, параллелограмм ADEF, где D, E, K – середины сторон треугольника AB, BC, AC соответственно, имеет наибольшую площадь. Что и требовалось доказать.

Решал и Архимед (278 – 212гг до н. э. ) такую задачу (9).

«Найти шаровой сегмент, вмещающий максимальный объем среди всех сегментов, имеющих заданную площадь сферической поверхности».

Им полученный результат утверждает, что «из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностями, наибольшим будет полушарие».

Проверим, решив задачу с помощью производной.

Решение: Пусть R– радиус шара, h- высота шарового сегмента. Известно, что объем шарового сегмента равен

. , а площадь его боковой поверхности

По условию площадь боковой поверхности задана

Подставляя это выражение в формулу для объема получаем:

- функция, которую надо исследовать на наибольшее значение:

Максимальное значение функция достигает в точке

Следовательно, искомый шаровой сегмент является полушаром – высота равна радиусу. Именно этот результат и был доказан Архимедом. Как этот же результат получил Архимед?

Язык Архимеда – язык геометрии, так как до зарождения алгебры оставалось восемнадцать веков. Буквально, почти следуя за мыслью Архимеда, мы все-таки будем для себя указывать соответствующие алгебраические соотношения:

На прямой АА1 отложим, следуя Архимеду, отрезок ОН такой величины, чтобы конус с высотой МН и радиусом МВ был равновелик шаровому сегменту ВАВ1. На продолжении отрезка ОА1 отложим отрезок А1К = R. Равновеликость конуса и сегмента приводит Архимеда к следующей пропорции.

Проверим это равенство, используя известные формулы объема конуса Vk. и сегмента VC.

Мы воспользовались тем, что длина МВ, есть среднее геометрическое , по свойству высоты к гипотенузе).

,что и хотели проверить. Равенство поверхностей полушара и сегмента приводит к тому, что AB=ED.

Действительно , , значит. Далее Архимед откладывает AS=CD. и доказывает неравенство. (*)

Далее из равенства боковых поверхностей сегмента и полушара:

Складывая почленно неравенство (*) и полученное равенство, получаем

Умножая на АМ, получим

. AS=CD (по построению), откуда и из неравенства получим

; , - объем полушара.

Итак, полушар той же боковой поверхности имеет больший объем в сравнении с шаровым сегментом, или, говоря словами Архимеда,: «Из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностями, наибольшим будет полушарие». (1; стр 95-117. )

Нелишним будет заметить, что все формулы, которые были использованы нами (объем конуса, шара и шарового сегмента, площадь поверхности шара и сферической поверхности сегмента) были также впервые получены именно Архимедом. Да, Архимед будет славен, доколь жив будет хоть один математик!

З. Задача И. Кеплера о цилиндре. Этой задаче предшествует интересные события его жизни, случившиеся осенью 1613 года, о которых Кеплер упоминает в книге «Стереометрия винных бочек»:

«В ноябре прошлого годая ввел в свой дом новую супругу в то время, когда Австрия закончив обильный сбор благородного винограда, распределяла свои богатства. Весь берег в Линце был завален винными бочками, продающимися по сходной цене. Поэтому ко мне на дом было принесено и поставлено несколько бочек, а через четыре дня пришел продавец и промерил подряд все кадки без различия, не обращая внимания на форму без всяких соображений и вычислений. Именно медный наконечник линейки просовывался через наливное отверстие полной бочки поперек до пятки того и другого деревянного круга, которые мы по-домашнему называем днищами, и после того, как в обоих случаях эта длина от верхней точки до нижней того и другого дощатого оказывалась равной, продавец объявлял количество амфор, вмещаемых бочкой, заметив лишь число на линейке в том месте, на котором оканчивалась заданная линия. Я удивился». И. Кеплеру показалось странным, как с помощью одного измерения можно вычислить вместимость разных бочек. «Я как новобрачный счел дл себя подходящим, - пишет далее И. Кеплер, = взять новый предмет математических занятий, и исследовать геометрические законы такого удобного в домашнем хозяйстве измерения, и выяснить его основания, если таковые имеются». Для выяснения «такого рода оснований» И. Кеплеру пришлось заложить основы дифференциального и интегрального исчисления, заодно выдвинуть новые идеи для решения задач на максимум и минимум.

Ключевое место в работе И. Кеплера занимает теорема: «Из всех цилиндров, имеющих одну и ту же диагональ, самым большим и вместительным будет тот, в котором отношение диаметра основания к высоте равно » .

Решение:

Пусть дан цилиндр с осью ОО1, прямоугольник ABCD – его осевое сечение, причем АС – диагональ; АС= l; AD – диаметр основания, AD= 2 R; CD – высота цилиндра, CD=H.

Пусть данный цилиндр имеет диагональ длиной l; CD =x, тогда AD=2R==, - радиус основания цилиндра.

Объем цилиндра равен

, - функция, которую исследуем на наибольшее значение:

- точка максимума.

Если х=CD=H=, то - диаметр основания цилиндра.

Отношение диаметра основания экстремального цилиндра к его высоте равно:

Именно этот факт и был установлен И. Кеплером и не таким простым путем, ибо его тогда не существовало. Установив же этот факт, И. Кеплеру стало ясно, что австрийские бочары как бы по здравому и геометрическому смыслу при построении бочки соблюдают правило, чтобы за радиус днища брать треть длины клепок. Именно при таком устройстве цилиндр мысленно построенный между двумя днищами, будет иметь две половины, весьма близко подходящие к доказанной теореме, и потому будет самым вместительным.

Евклид, Архимед, Кеплер и многие другие решали задачи, которые казалось бы и не нужны, но так решались и более важные проблемы, которые возникали в естествознании, науке, экономики и технике. Решая эти проблемы, развивалась математическая наука. Так, в конце XVII столетия было поставлено несколько конкретных экстремальных задач естественнонаучного содержания «брахистохрона, задачи И. Ньютона и другие). Потребность решать как их, так и многие другие проблемы, возникающие в геометрии, физике, механике, привела к созданию новой главы математического анализа получившей название вариационное исчисления (8).

Интенсивное развитие вариационного исчисления продолжалось около двух столетий. В нем принимали участие многие замечательные ученые XVII – XIX веков, и к началу ХХ столетия стало казаться, что они почти исчерпали эту тематику.

Но это оказалось не так. Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решать не удавалось. Надо было идти дальше. Пришлось несколько развить математический анализ и создать новый его раздел – «выпуклый анализ», где изучались выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи.

С другой стороны, потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимального управления был разработан в 50-60е годы ХХ столетия нашими математиками С. Л. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям (8).

В 1975 году советский математик Л. В. Канторович и американский экономист Т. Купманс были удостоены нобелевской премии за создание новой математической теории, получившей название линейного программирования, и применения этой теории к экономике. В автобиографии, представленной в нобелевский комитет, Л. В. Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26 летнему профессору – математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории фанерного треста, которым нужно было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между станками. Эта задача сводилась к нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой функции достигается в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало миллиарда. Поэтому простой перебор вершин не годился.

К тому же оказалось, что эта задача не является случайно. Обнаружилось большое число разнообразных по содержанию задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, использование сырья, распределение транспортных потоков Это побудило к настойчивому поиску эффективного метода их решения. И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», в которой закладывались основы математической экономики, линейного программирования .

Вот так решение конкретных задач стимулирует развитее теории и в итоге вырабатываются приемы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.

Метод, который использовался при решении задач в этой работе (с помощью производной) восходит к Лагранжу. Основной замысел этого метода сохраняется на протяжении более двух столетий. Меняется его наполнение, но центральная мысль при этом остается неизменной. Понять причину такой универсальности идеи Лагранжа непросто. Однако научиться лагранжевским принципом для решения задач совсем не трудно. Как он сам говорил, что его методы не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений, они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу.

Задача 5 (№ 100, учебник «Алгебра и начала анализа» для 10-11 класса под ред. Колмогорова, 1994) (6).

Статуя, высотой am, возвышается на постаменте bm. На каком расстоянии от основания статуи должен встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз cm, c

Решите задачу в общем виде, получите ответ в случае, если а) а=3; b=2. 5; c =1. 5 b) a=6; b=3. 7; c=1. 7

Решение:

Пусть статуя CD, CD=a, на постаменте DN; DN=b,

AB – наблюдатель, AB=C, c

При наибольшем α, наибольшее значение будет и tgα:

Из ∆BCM (): ;

Из ∆BMD ():.

Тогда где A=(a+b-c)(b-c); x>0.

Получили функцию которую необходимо исследовать на наибольшее значение:

- точка максимума, т. е. наибольший угол видимости статуи для наблюдателя будет при расстоянии метра. от снования постамента.

Если а=3; b=2. 5; c =1. 5, то ==2(м).

Если a=6; b=3. 7; c=1. 7, то ==4(м).

Зачем ставились и для чего решались такие задачи? Что привлекает в них? Почему мы так любим обсуждать задачи на максимум и минимум?

Это не так –то просто объяснить, но факт остается фактом, что на протяжении всей истории математики задачи на экстремум вызывали интерес и желание решать их. Может быть все дело в том, что человеку свойственно стремление к совершенству, в том, что имеется какой-то таинственный стимул постижения «самой сути»?

А может быть в экстремальных задачах всегда или, по крайней мере, часто присутствует что-то изящное, привлекательное, нечто от той красоты, которую когда-то отметил Б. Рассел, говоривший, что математика владеет не только истиной, но и высшей красотой, доступной только величайшему искусству.

Может именно это и побуждает нас решать задачи на максимум и минимум.