Применение графических методов при решении текстовых задач

Наряду с заданиями по курсу алгебры и началам анализа контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена содержат текстовые задачи, обучение решению которых предусмотрено в курсе математики основной школы. Уникальность текстовой задачи заключается в том, что, во-первых, задача является для ученика своеобразной областью применения его формальных знаний (проявляется компетентность ученика). Во-вторых, задачи позволяют ученику проверить правильность приобретенных знаний. В-третьих, задачи формируют у ученика умения анализировать ситуацию, систематизировать и классифицировать условия. В-четвертых, задачи способствуют повышению уровня заинтересованности ученика к изучению математики.

Текстовая задача часто оказывается для школьника самой трудной задачей варианта. Здесь, помимо формальных знаний, необходимо иметь опыт и интуицию. Одним из возможных путей устранения обозначенной проблемы является изучение различных приемов решения текстовых задач.

Графическое изображение функций описывающих условие задачи – зачастую удобный технический прием. График позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим.

Задачи на движение.

Задача №1. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту времени все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?

Рассмотрим решение задачи геометрическим методом. Ситуацию, описанную в задаче, изобразим графически.

Поскольку все движения равномерны.

Из подобия треугольников (опустим доказательство) следует пропорция.

ч = 48 мин.

Ответ: на 48 мин.

Задача №2 (Задача Льюиса Кэрролла из сборника математических головоломок для школьников. ) Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой – 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?

Можно составлять систему из двух уравнений с тремя неизвестными, которая сводится к квадратному уравнению, дающему ответ t1= 21, t2 = 28.

А можно условие задачи представить графически .

Обозначим время движения каждого курьера до встречи t.

Аналогично решению предыдущей задачи из подобия треугольника имеем.

; t2 = 144; t = 12.

12 + 16 = 28 (ч), 12 + 9 = 21 (ч).

Ответ: 21 ч, 28 ч.

Задача №3. Почтовая связь между двумя пристанями М и К на реке осуществляется двумя катерами. В установленное время катера отплывают от своих пристаней, встречаются, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если катера отплывают от своих пристаней одновременно, то катер, выходящий из М, тратит на путь в оба конца 3 ч, а катер из К – 1,5 ч. Скорость обоих катеров относительно воды одинаковы. Определите, на сколько позже должен отплыть катер из М, чтобы оба катера находились в пути одно и тоже время.

Очевидно, что если катер из М отправится на x ч позже, катер из К вернется на x ч позже. Чтобы оба катера находились в пути одно и тоже время, надо, чтобы оба катера были в пути одинаковое время:

KL’ = (ч).

то есть, чтобы встреча произошла ровно на середине пути, должно выполнятся равенство x + 1,5 = 3 – x, откуда x = 0,75. То есть катер из М должен отплыть на 0,75 ч = 45 мин позже.

Ответ: 45 мин.

Задача №4. Из пункта А в пункт В одновременно отправились два велосипедиста, при чем скорость первого на 6 км/ч больше скорости второго. Через час из В в А отправился третий велосипедист со скоростью 20 км/ч, встретивший второго через час после встрече с первым. Найдите скорость первого велосипедиста, если известно, что второй прибыл в B на 6 часов позже первого.

Сразу рисуем графики, соответствующие условию данной задачи и начинаем размышлять.

Первое уравнение легко составить и без графика:

А вот как составить второе уравнение?

Как раз в этом помогает график. По условию за один час третий велосипедист проезжает 20 км/ч. Тогда в случае одновременного старта трех велосипедистов, чтобы сохранить ситуацию, описанную в задаче, велосипедисты должны стартовать с расстояния (s + 20) км. В этом случае они двигались бы навстречу друг другу со скоростями v +20 и (v – 6) + 20. Достроим график .

Интервал между двумя встречами составил 1 час.

Итак, требуемая система составлена.

Решив систему, найдем, что v = 16.

Ответ: 16 км/ч.

Задача №5. Три пункта – A, B и C – расположены на одной прямой, причем B расположен между А и С. Из пунктов А и В по направлению к С одновременно выехали две машины. Через 5 часов расстояние между ними составило треть расстояния ВС, а еще через 5 часов они одновременно прибыли в С. Найдите отношение скоростей автомобилей.

Рассмотрим рисунок 6.

В треугольнике ABD средняя линия равна, значит, АВ =, тогда АС = Итак,

, откуда.

Ответ: 5 : 3.

Задача №6. Из пункта A в пункт B выехала машина. Через 2 часа из А в В выехала другая машина, через некоторое время расстояние между ними составило шестую часть расстояния АВ. Проехав еще 4 часа, обе машины одновременно прибыли в В. Найдите время движения от А до В для первой и второй машины.

Этой задаче соответствует рисунок 7. Обозначив неизвестный промежуток времени х. Скорость первой машины а второй Расстояние сокращалось на сократилось до нуля за 4 часа.

Получаем уравнение для х:

или, или , откуда

Ответ: 8 ч и 6 ч.

Задача №7. Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

Решим задачу сначала стандартным школьным способом.

Пусть первый пешеход может пройти все расстояние за х ч, тогда второй может пройти это расстояние за (х + 5) ч. В час первый пешеход проходит второй , а вместе они проходят этого расстояния. Составим уравнение.

Перенеся все слагаемые в левую часть уравнения, после преобразований получим уравнение.

Решив уравнение х2 – 7х – 30 = 0, (2)

Получим корни х1 = 10; х2 = –3, не обращающие в нуль знаменатель дроби в уравнении (2).

Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 10, а х + 5 = 15.

Итак, первый пешеход может пройти все расстояние за 10 ч, а второй за 15 ч.

Теперь воспользуемся методом, который будем называть методом подобия. Он описан в статье Б. А. Кордемского «Графики в задачах на равномерные процессы» (Квант, 1971, №11).

Пусть первый пешеход может пройти все расстояние за х ч, тогда второй – за (х + 5) ч. Построим графики движения этих пешеходов. Так как движение равномерное, то графики являются отрезками.

На рисунке 8 отрезки CD и AB изображают промежутки времени движения от одного пункта до другого первого и второго пешеходов соответственно. Отрезок MN изображает промежуток времени движения пешеходов до встречи. Поэтому

CD = x, AB = x + 5, MN = 6, KD = x – 6, PB = x – 1.

Так как ∆ CKN ~ ∆ BPN и ∆DKN ~ ∆APN по двум углам, то и т. е. Составим уравнение:

Здесь также получилось уравнение с неизвестным в знаменателе, оно приводит к тому же ответу.

Задача №8. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В этот момент, когда велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, пешеход находился на расстоянии 10 км впереди них. В тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист отставал от них на 5 км. На сколько километров мотоциклист будет обгонять пешехода в тот момент, когда пешехода настигнет велосипедист?

Графики движения велосипедиста, пешехода и мотоциклиста приведены на рисунке 9.

В треугольнике ABC:

AB = 10, EF = 5, AB EF, следовательно, EF – средняя линия, значит, t2 – t1 = t3 – t2; следовательно, EF – средняя линия треугольника ACD. Отсюда CD = 10.

Ответ: 10 км.

Задача №9. Грузовая машина выехала из пункта A в пункт В. Спустя 2 ч из В в A выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего пути?

Решая эту задачу, трудно удержаться от соблазна ввести несколько неизвестных, что мы и сделаем для начала.

I способ. Пусть легковая машина ехала до встречи t ч, тогда грузовая машина ехала (t + 2) ч. Пусть скорость грузовой машины x км/ч, а легковой – y км/ч. Тогда грузовая машина до встречи проехала x(t + 2) км, а легковая – ty км. Из условия задачи следует, что x(t + 2) = 2ty. Это первое уравнение системы. Грузовая машина затратила на весь путь ч, а легковая ч. Время движения грузовой машины на всем участке пути на 1 ч больше, чем легковой машины, поэтому

Это второе уравнение системы, которая после упрощения имеет вид:

В системе неизвестных больше, чем уравнений, но дело легко поправить, введя новое неизвестное. Перепишем систему в виде.

Решив систему, получим.

Грузовая машина была в пути (ч).

Заметим, что можно было составить систему попроще. Ведь путь грузовой машины до встречи в 2 раза больше, чем ty км. Он равен 2ty км, а ее скорость км/ч. Это означает, что, составляя систему, можно было обойтись без x. Скажем больше: если не торопиться с введением неизвестных, то можно обойтись и без y.

II способ. Пусть грузовая машина ехала до встречи t ч, тогда вдвое меньший путь она проехала за ч и была в пути ч. Легковая машина ехала до встречи (t – 2) ч, тогда вдвое больший путь она проехала за 2(t – 2) ч и была в пути 3(t – 2) ч, что на 1 час меньше времени движения грузовой машины. Составим уравнение откуда t =.

Время движения грузовой машины равно (ч).

Есть еще один способ решения этой задачи, приводящий к уравнению с одним неизвестным. Он показывает связь алгебры с геометрией и физикой.

III способ. Воспользуемся методом подобия. Построим графики движения машин. При равномерном движении OF и CD – отрезки. Пусть грузовая машина была в пути x ч. Тогда OE = x, OD = x + 1, CF = x – 2.

Из подобия треугольников FCM и ODM следует, что но ( это отношение расстояний, пройденных грузовой и легковой машинами до встречи).

Составим уравнение:

откуда x = 5, т. е. грузовая машина была в пути 5 ч.

Задача №10. Из пункта M в пункт N выходит первый пешеход, а через 2 ч навстречу ему из пункта N в пункт M выходит второй пешеход. К моменту встречи второй пешеход прошел от расстояния, пройденного к этому моменту первым пешеходом. Сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от M до N, если второй пешеход проходит от N до M за 7 ч?

I способ. Пусть второй пешеход шел до встречи t ч. Он прошел всего пути. Тогда на весь путь он затратит ч, что по условию задачи равно 7 ч. Составим уравнение:

откуда Первый пешеход до встречи прошел пути за t + 2, или (ч). Значит, весь путь он пройдет за (ч).

II способ. Построим графики движения пешеходов.

Пусть первый пешеход был в пути x ч, тогда AB = x, CA = x – 2. Второй пешеход был в пути 7 ч, значит, OD = 7 + 2 = 9. Из подобия треугольников ACN и ODN следует, что Составим уравнение:

откуда x = 9.

Первый пешеход пройдет весь путь за 9 ч.

Задача №11. Из города A в город B выехал автомобиль. Спустя некоторое время из B в A по той же дороге выехал мотоцикл. Скорость автомобиля и мотоцикла на всем пути постоянны. Автомобиль до встречи с мотоциклом находился в пути 7 ч 30 мин, а мотоцикл ехал до встречи 3 ч. Мотоцикл прибыл в A в 23 ч, а автомобиль прибыл в B в 16 ч 30 мин. Найдите время отправления мотоцикла из города B.

Построим графики движения мотоцикла и автомобиля от 0 ч. Пусть мотоцикл выехал в x ч, тогда KB = x. Из условия задачи следует, что OD = 23, KC = 16,5, AF = 7,5, BE = 3, AG = 7,5 – 3 = 4,5, OA = x – 4,5, EC = 16,5 – x –3 = 13,5 – x, FD = 23 – x – 3 = 20 – x.

Из подобия двух пар треугольников следует, что. Составим уравнение:

Так как EC > 0, то x < 13,5. Тогда из двух корней уравнения 11 и 22,5 только первый корень удовлетворяет условию x < 13,5. Значит, x = 11.

Мотоцикл выехал в 11 ч.

Задача №12. Из города В в город А в 5 ч 30 мин вылетел самолет. В 8 ч 30 мин из А в В вылетел вертолет. Скорости самолета и вертолета на всем пути постоянные, и они летят по одной трассе. После их встречи вертолет прибыл в В через 9 ч, а самолет прибыл в А через 2 ч. Найти время прибытия самолета в город А.

Направим координатную ось от А к В с началом в А. Отсчет времени t будем проводить от момента вылета самолета из города В.

Изобразим на КП-плоскости xAt зависимость от времени t координат x самолета (прямая BD) и вертолета (прямая EN).

Обозначим через r (час) (r > 0) время полета вертолета из города А до встречи с самолетом в С.

Из подобия двух пар прямоугольных треугольников CEP и CNM, CDP и CBM имеем пропорцию

Отсюда находим положительное r = 3.

Следовательно, самолет прибудет в гордо А через 8 ч, то есть в 13 ч 40 мин.

Ответ: 13 ч 40 мин.

Задача 13. Из одного и того же города вышли два поезда, причем первый из них прошел 240 км, а второй – 300 км. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго, а на весь путь первый потратил на 4 ч меньше, чем второй на свой путь. Определить скорости обоих поездов.

Пусть скорость второго поезда x км/ч, а скорость первого – (x +10) км/ч. Графики движения поездов представлены на рисунке 14.

Время первого поезда – ч, а время второго – ч. По условию задачи на весь путь первый потратил на 4 ч меньше, чем второй. Получаем уравнение:

или. Откуда x = 30. Значит, Скорость первого поезда равна 40 км/ч, скорость второго – 30 км/ч.

Ответ: 40 км/ч, 30 км/ч.

Задача 14. В соревнованиях по бегу на дистанции 120 м участвуют три бегуна. Скорость первого из них больше скорости второго на 1 м/с, а скорость второго равна полусумме скоростей первого и третьего. Определить скорость третьего бегуна, если известно, что первый бегун пробежал дистанцию на 3 с быстрее третьего.

Пусть скорость второго бегуна x м/с, скорость первого – (x +1) м/с, а скорость третьего – (x – 1) м/с. Графики движения бегунов показаны на рисунке 15.

Время первого – с, а время третьего – с. По условию задачи первый бегун пробежал дистанцию на 3 с быстрее третьего. Получаем уравнение:

Откуда x = 9. Значит, 9 – 1 = 8 м/с – скорость первого третьего бегуна.

Ответ: 8 м/с.

Основные выводы.

При решении многих задач на движение требуется введение целого ряда неизвестных и составление системы из нескольких уравнений. В целях экономии времени удобно рассмотреть решение задачи графическим методом.

Не всегда график облегчает поиск решения, иногда быстрее и легче прямым путем составить уравнение, описывающее условие задачи, и затем решить полученную систему. Но разбор таких задач все-таки следует начинать с построения графиков.

Значимость данной работы.

В заключении хочется сказать, что приведенные задачи (в работе представлено 14 задач), разумеется, можно решать и другим методом. Однако применение графического метода, представленного в работе, помогает быстрее справиться с решением текстовой задачи на движение.

Рассмотренные в работе задачи, могут служить материалом для использования на коллективных курсах и хорошим пособием для подготовки к выпускным экзаменам.