Магические квадраты, понятие арифметической прогрессии

Самые древние по происхождению числа – натуральные.

В мире натуральных чисел бесконечно много таких, каждое из которых имеет только два натуральных делителя: единицу и себя.

Это простые числа. Свойства простых чисел интригуют и учёных и любителей. Накопилось много доказанных теорем о простых числах, но ещё больше не доказанных, среди которых есть важные для науки, а есть и любительские.

Рассмотрим некоторые любопытные особенности простых чисел.

Множество простых чисел бесконечно велико.

Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, , ряд их простирается без конца. Доказательство бесконечности принадлежит древнегреческому математику Евклиду и входит в его знаменитые «Начала»

168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа. Из них 16 чисел – палиндромические – каждое равно обращённому 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929

Некоторые простые числа находят симметричное себе простое число:

4 пары двузначных 13-31, 17- 71, 37 – 73, 79 – 97; 14 пар трёхзначных чисел 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941, 157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 -991, 337- 733, 347 – 743, 359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 -937, 769 - 967

Магические (волшебные) квадраты – квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям.

Арифметическая прогрессия – последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

d = an+1 - an

Существуют ли арифметические прогрессии, состоящие лишь из простых чисел?

Если d = 1, то в прогрессии есть чётные числа. Поскольку единственное чётное простое число 2, получаем прогрессию 2, 3.

Если d = 2, то три члена прогрессии а, а + 2, а+4 дают при делении на 3 попарно различные остатки. Поэтому одно из них делится на три и, будучи простым числом равно 3. Получаем прогрессию 3, 5, 7

Если три простых числа образуют арифметическую прогрессию, то её разность кратна шести.

Доказательство:

Чтобы число делилось на шесть, оно должно быть чётным и делиться на три.

Рассмотрим три простых числа, которые образуют арифметическую прогрессию: р, р + d, p+2d. p›3

Если р простое, тогда оно нечётное.

Если d нечетное, значит p+d- четное, что невозможно, так как оно простое. Значит, d – чётное.

Если d не делится на три, то из чисел р, р + d, p+2d есть делящееся на три, что невозможно.

Доказательство:

Остатки от деления чисел на три – это 1 или 2

1) Пусть при делении p на три остаток равен единице.

А) Если при деление d на три остаток равен два, то p+d делится на три.

Б) Если при делении d на три остаток равен единице, то при делении 2d на три остаток равен двум, значит, p+2d делится на три.

2) Пусть при делении p на три остаток равен двум.

А) Если при делении d на три остаток равен двум, то при делении 2d на три остаток равен 4. При делении 4 на три остаток равен 1, значит p+2d делится на три.

Б) Если при делении d на три остаток равен единице, то p+d делится на три.

Даны магические квадраты

571 1051 181

211 601 991

1021 151 631

1669 199 1249

619 1039 1459

829 1879 409

823 1093 643

673 853 1033

1063 613 883

Каждый квадрат имеет магические суммы. Все числа, разместившиеся в ячейках этих квадратах – простые. Выпишем числа из квадратов и расположим их возрастающей последовательностью.

Получившиеся последовательности являются арифметическими прогрессиями.

А) 151(+30), 181 (+30),211

571(+30),601(+30),631,

991(+30),1021(+30),1051

Б)199(+210),409(+210),619(+210),829(+210),1039(+210),1249(+210),1459(+210),1669

(+210),1879

В) 613(+30), 643(+30), 673,

823(+30), 853(+30),883,

(+150) 1033(+30),1063(+30), 1093

В ходе научно – исследовательской работы, которая называется

«Занятные стайки простых чисел», мы рассмотрели некоторые свойства и простых чисел, палиндромических, симметричных, показали, что арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел, существует.

Разность такой прогрессии должна быть кратна шести.

В ходе работы были найдены простые числа, образующие арифметическую прогрессию и способные при этом разместиться в магическом квадрате.