Геометрические построения

В первый год изучения геометрии , а именно при изучении раздела <<Геометрические построения>> во время знакомства с темой <<Деление отрезка пополам>> у нас и наших одноклассников возник вопрос: <<А можно ли с помощью одной только линейки или одним только циркулем разделить отрезок на равные части, если можно то как?>> Все даже поделились на группы - одни утверждали, что можно, другие, что нельзя.

Чтобы определить насколько глубок интерес наших ровесников к заинтересовавшему нас вопросу и актуален для них, нам, было предложено провести социальный опрос. Мы составить тест состоящий из четырёх вопросов. 98 учащимся были предложены вопросы:

1) Интересен ли вам вопрос деления отрезка на равные части?

А) ДаВ) НетС) Я не думал(а) об этом

2) Чем вас может заинтересовать вопрос деления отрезка на равные части?

А) Это наиболее часто встречающиеся ситуации на практике

В) Равные части это пропорциональные части и они гармонические

С) Это наиболее трудные вопросы построения

3) Сколько способов деления отрезка на равные части вы знаете?

А) более 5-тиВ) 5С) 2

4) Возможно ли разделить отрезок на равные части с помощью одной только линейки или одного только циркуля?

А) ВозможноВ) НереальноС) Только с линейкой и циркулем.

Результаты опроса занесены в диаграмму .

Диаграмма наглядно говорит, что в нашей школе тема, которую мы решили исследовать, актуальна для 7-8 классников, так как это наиболее часто встречающиеся ситуации на практике, но у большинства очень малый объём знаний и неверное понятие о широте и глубине данного вопроса. Мы также поняли, что кроме учащихся нашей школы данными вопросами могут интересоваться и другие казахстанские школьники, но не найдут ответа в учебниках так как вообще геометрические построения представлены в школьном курсе элементарной геометрии в крайне ограниченном объёме.

Мы решили с научной точки зрения ответить на вопросы свои и наших одноклассников и наконец, разрешить их спор, а также помочь другим сверстникам заинтересовавшимся этими же вопросами. В первую очередь мы стали планомерно изучать научную литературу, и наша работа постепенно перешла в <<Исследование всевозможных способов деления отрезка на равные части>> Мы определили цель нашей работы: исследовать всевозможные способы деления отрезка на равные части как теоретически, так и экспериментально и выяснить существует ли связь между этими способами.

Мы придерживались гипотезы о традиционном ограничении орудий геометрических построений ( циркуль, линейка) зародившийся ещё в 3 веке до н. э. и познакомились ещё с мощным орудием искусства оригами - сгибы.

Наше исследование решает задачи:

-найти теоретическое подтверждение проверяемой гипотезы в трудах известных учёных,

- экспериментально рассмотреть наиболее трудные вопросы деления на нечётное число частей разными способами , математически обосновать каждое построение;

-объяснить практическое применение исследуемых задач.

Глава1. Теоритические основы исследуемого предмета.

1. 1 Аксиомы линейки и циркуля. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрия Евклида (III сек до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты; было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки. Это равноправие заложено в равноправных аксиомах линейки и циркуля.

Аксиомы линейки.

Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения: а) построить отрезок ,соединяющий две построенные точки, б) построить прямую, проходящую через две построенные точки, в) построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Аксиомы циркуля.

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

А) построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности9 или его концы)

Б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг.

Задачи на построение при помощи циркуля и линейки (без делений) занимали важное место в древнегреческой математике. Хотя линейкой пользовались еще в Древнем Египте, циркуль, по свидетельству римского поэта Овидия, изобрели именно греки.

1. 2. Задача о делении отрезка пополам. Одной из древних задач являлась задача о деление отрезка пополам или на части.

Из концов отрезка АВ циркулем проводят две дуги окружности радиусом R, несколько большим половины данного отрезка, до взаимного пересечения в точках n и m. Точки n и m соединяют прямой, которая пересекает отрезок АВ в точке С. Точка С делит отрезок АВ на две равные части. Проделав подобное построение для отрезка АС, находим его середину-точку D. Повторив построение для отрезка СВ, разделим отрезок AB на четыре равные части

Этот способ построения изучается в школьном курсе геометрии .

1. 3 Теорема Фалеса и её применение для деления отрезка на равные части. На уроках геометрии в 8 классе мы узнали ещё один способ деления отрезка на любое число равны частей равные части с помощью циркуля и линейки. Это с применением теоремы Фалеса ( 5 в. до н. э. ) Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. ( Доказательство можно найти например в книге 12или 8 )

Пусть отрезок АВ требуется разделить на пять равных частей. Для этого из любого конца данного отрезка, например из точки А, проводят под произвольным острым углом вспомогательную прямую линию АС, на которой от точки А измерительным циркулем откладывают 5 равных отрезков произвольной величины. Крайнюю точку 5 последней отложенной части соединяют с точкой В прямой АВ. Затем с помощью линейки и угольника проводят ряд прямых параллельных прямойС5 В, которые и разделяют отрезок АВ на 5 равных частей.

1. 4 Ещё во времена античной геометрии было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки. Например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой, и т. д. Было обращено внимание на тот факт, что при резьбе на тонких металлических пластинках, при разметке делительных кругов астрономических инструментов пользуются, как правило, одним только циркулем. Последнее, вероятно, и послужило толчком к исследованию геометрических построений, выполняемых одним лишь циркулем.

В 1797 году итальянский математик, профессор университета в Павии, Лоренцо Маскерони (1750 - 1800) занялся в свое время исследованием конструктивных возмож - ностей циркуля, посвятив этому вопросу специальную книгу <<Гео - метрия циркуля>>. В 1928 г. была обнаружена книга датского геометра Георга Мора (1640 - 1697), вышедшая еще в 1672 г. под названием <<Датский Евклид>>. В этой работе также разработана теория геомет - рических построений, производимых исключительно - циркулем. Обе книги содержат основной результат геометрии циркуля:

Мор (в 1672 г. ), а затем Маскерони (в 1797 г. ) пришли к выводу.

1. 5 Теорема Мора-Маскерони. Все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности, что и составляет Ход полного доказательсва можно рассмотреть в 2

1. 6 Геометрические построения, проводимые одной линейкой

Есть области деятельности человека где приходится пользоваться почти исключительно проведением прямых линий( геодезия). И в связи с этим внимание математиков еще в XVII в. было при - влечено к изучению геометрических построений, производимых ис - ключительно линейкой. Такого рода построения рассматривал упоминавшийся уже нами М о р (в'недошедшей до нас книге <>, о которой упоминается в переписке некоторых математи - ков того времени). Ряд задач на построение линейкой рассматри - вали: Ламбер. т (в 1774 г. ), Брианшон (1783 - 1864), написавший книгу <<Приложения теории трансверсалей>> (в 1818 г. ), предназначенную для лиц, занимающихся" землемерными работами, Понселё (1788 - 1867) в связи с его исследованиями по проек - тивной геометрии. 1

Наиболее полные исследования в этой области произведены швейцарским геометром Я. Штейнером (1796 - 1863), который изложил их в известном сочинении <<Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга>>(1833).

Как уже отмечалось, пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь исключительно линейкой, разделить отрезок пополам или провести параллель к данной прямой. Однако эти и многие другие задачи могут оказаться разрешимыми исклю - чительно линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомога - тельная фигура.

1. 7 Теорема Понселе-Штейнера.

Для решения как угодно сложной геометрической задачи на построение, разрешимой циркулем и линейкой, достаточно <<воспользоваться циркулем не более одного раза>>. Точнее говоря: Всякая геометрическая задача построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая-либо окружность и отмечен ее центр (при этом предполагается, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, прямых, лучей, отрезков и дуг окружностей). Это предложение было установлено швейцарским математиком Я Штейнером в 1833 г. Без дока - зательства оно было приведено еще в 1822 г. французским гео - метром Понселё в его <<Трактате о проективных свойствах фигур>>. Поэтому эту теорему называют иногда теоремой Понселё - Штейнера.

Доказательство теоремы Штейнера проводится аналогично тому, как было проведено выше доказательство теоремы Мора - Маскерони. Мы не будем излагать это доказательство. Его можно найти, например, в 2.

1. 8 Математические исследования в оригами.

В конце 20 века в искусстве складывания из бумаги ( оригами, которому насчитывается несколько сотен лет стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики - построения с помощью циркуля и линейки. 14

Согласно классическому оригами, объектом складывания является неразмеченный квадратный лист бумаги, без разрезов. С точки зрения математики оригами, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим Правилам Худзита.

1. 9 Правила Худзита - набор из семи правил формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами , подобным построениям с помощью циркуля и линейки .

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путем совмещения уже существующих различных элементов листа - точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками - пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причем в результате складывания фигура остается плоской. Часто эти правила называют <<аксиомами>>, хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются. 14

Правила Худзита.

Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её <<можно>> найти.

Правило 1

Пусть заданы две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке. 9

Правило 2

Пусть заданы две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую. 9

Правило 3

Пусть заданы две прямые l1 и l2, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую.

Правило 4

Пусть заданы прямая l1 и точка p1, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (т. е. линия складки будет ей перпендикулярна). 9

Правило 5

Пусть заданы прямая l1 и две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что точка p2 попадёт на складку, а p1 на прямую l1. 9

Правило 6

Пусть заданы две прямые l1 и l2 и две точки p1 и p2, тогда лист можно сложить так, что точка p1 попадёт на прямую l1, а точка p2 попадёт на прямую l2. 9

Правило 7

Пусть заданы две прямые l1 и l2 и точка p, тогда лист можно сложить так, что точка p попадёт на прямую l1, а прямая l2 прейдёт сама в себя (т. е. линия складки будет ей перпендикулярна). 9

Глава 2. Экспериментальная работа над объектом исследования.

Всё выше изученное и проработанное способствовало тому, что мы , взяв объектом исследования отрезок АВ, а предметом исследования - деление отрезка на равные части, решили рассмотреть 9 задач, в которых поэтапно объяснили ход построения и провели самостоятельно математическое доказательство.

Рис. 10

2. 1Построение отрезка равного 1/3 данного отрезка с помощью одного циркуля. Мы рассмотрели 2 способа решения данной задачи.

Задача 1. ( 1 способ) Разделить данный отрезок на 3 равные части (т. е. построить отрезок равный 1/3 данного отрезка) с помощью одного циркуля.

Построение. Доказательство:

1. AB - отрезок1) ADX, AD1X-

2. AC=3AB R2=ABравнобедренный, т. к.

W(A; AB), W(B; AB), W(C1; AB) AD=DX=AB=R2

3. W(C; CA), CA=R2AD1=D1X=AB=R2

4. W(A; AB) W(C; CA)=D, DAX=DXA

5. W(D;AB) W(D1;AB)=X2) ACD - равнобедрен-

Доказать, что -ный т. к. CD=CA=R3

ADC=DAC

3) A - общий для ADX и

ADC=>все четыре угла равные

DAX=DXA=ADC=DAC

4) ADX~ACD(по двум углам)=>

AC:AD=AD:AX, но AD=AB=R2, AC=3AB

2. 2 Изящный метод Маскерони. Построение отрезка равного 1/3 данного с помощью циркуля

Задача 2. ( 2 способ) Разделить данный отрезок на 3 равные части(т. е. построить отрезок равный 1/3 данного отрезка) с помощью одного циркуля.

Метод деления отрезка на равные части, предложенный Л. Маскерони.

Построение.

1. Пусть дан отрезок АВ. Отложим АС=АВ=ВD

2. Описываем окружность w(С;CB) ; w(C ; CD) и w(D;DA); w(D;DC). При попарно пересечении получаем точки =>E1,E,;F1;F

3. Пересечения окружностей w (E;EC); w (E1;C) и w (F,FD); w (F1,F1D) определяют искомые точки Х и У, которые делят АВ на равные части.

Доказательство:

Из подобия равнобедренных треугольников СЕХ и СDУ => СX : CE = CE : DC

CE[2] = СX * DC т. к. DС=3АВ => CE[2] = СX*3AB т. к. СE = 2AB => 4AB2 = СX*3AB СX = 4AB2\3AB

СX = 4\3AB=> СХ = СА +АХ AX = 4\3 АВ - АВ =1\3AB.

2. 3 Построение отрезка равного 1/5 данного отрезка с помощью одного циркуля.

Задача №3. Разделить данный отрезок на 5 равных части (т. е. построить отрезок равный 1/5 данного отрезка) с помощью одного циркуля.

Построение. Доказательство.

1. AB1. По построению AC DE, а

2. AC=5ABт. к X AC, то XC DE

W(A;AB), W(B;AB)2. По построению XC=DE=R.

W(C1;AB), W(C2;AB)Если две стороны четы-

W(C3;AB)рёхугольника равны и

3. W(A;AC)параллельны ,то XDEC -

W(C;AC)параллелограмм.

4. W(A;AC) W(C;AB)=E3. ADX - равнобедренный => 5. W(C;AC) W(A;AB)=DDAX=DXA

6. W(D;AB) W(C;DE)=XADC - равнобедренный =>

Доказать, что CDA=DAC.

ADC и ADX-A - общий =>

DAX =DXA =CDA=DAC

По I признаку подобия ADX~ACD

AX: AD=AD:AC ,т. к AC=5AB, AD=AB

AX=; AX=; AX=AB б) Т. к. XA1=AA1-AX1, то (3) в)MPM1~APB , но т. к. А1-середина АВ, (по пункту 1)

Умножим обе части пропорции на 2: (4) г) Из (3) и (4) или , то

2AA1-2AX=AX , 2AA1= 3AX, AB=3AX=>AX=AA1, 4АА4-4АХ=АХ

4АА4=5АХ т. к 4АА4=АВ, ТО АВ=5АХ, АХ=АВ

2. 4 Построение отрезка равного 1/7 данного отрезка с помощью одного циркуля

. Задача №4 Разделить данный отрезок на 7 равных части (т. е. построить отрезок равный 1/7 данного отрезка) с помощью одного циркуля

(А. С. Смогоржевский)

Построение.

1. =7*AB

W(A;AB),W(B;AB),W(C1;AB) ,W(C2;AB) ,W(C3;AB) ,W(C4;AB) ,W(C5;AB)

2. W(A;AC),W(B;AC)

3. W(A;AC)W(B;AC)=D

4. W(A;AC)W(B;AC)=H; W(A;AC) W(B;AB)=E EH= АВ.

Доказательство:

Рассмотрим ABD и EDA

ED=AB, EA=DB(по построению),AD-общая. По трём сторонам ABD=RDA=>DEH=ABD, ADB=EDH,тогда по II признаку подобия равнобедренные треугольники EDH~BDA(EDH~EAD) EH:AB=ED:BD, т. к BD=7AB, ED=AB

EH:AB=AB:7AB EH=AB2:7AB=>EH=AB

2. 5 Построение отрезка равного 1/3 данного отрезка с помощью одной линейки.

Задача №5. Разделить данный отрезок на 3 равных части (т. е. построить отрезок равный 1/3данного отрезка) с помощью одной линейки.

Рис. 14

Дано:Построение

AB- данный отрезок1. Возьмем P - произвольную точку.

l ABПроведём AB, PB прямые.

Построить AX=AB2. APl=M, PBl=M1

Доказать, что AX=AB3. Построим MB и M1A прямые.

MBAM1=K

4. Проведём прямую PK

PKAB=A1

5. Проведём MA1 прямую

MA1AM1=E

6. Проведём прямую PE

7. AX=AB

Доказательство:

1)Докажем, что AA1=AB; a) т. к. lAB, то MM1AB и MPM1~APB (1) б) AKA1~M1KH (I признак) BA1K~MHK (I признак)

(2) в) Перемножив (1) и (2) получили: =1, т. е. AA1=A1B => AA1=AB

2) Докажем, что AX=AB a) MCE~A1XE; , тогда б) Т. к. XA1=AA1-AX1, то (3) в)MPM1~APB , но т. к. А1-середина АВ, (по пункту 1)

Умножим обе части пропорции на 2: (4) г) Из (3) и (4) или

2AA1-2AX=AX 2AA1= 3AX

AB=3AX=>AX=AA1

2. 6 Построение отрезка равного 1/5 данного отрезка с помощью одной линейки

Задача №6. Разделить данный отрезок на 5 равных частей (т. е. построить отрезок равный 1/5 данного отрезка) с помощью одной линейки.

Рис. 15

Построение.

АВ - данный отрезок;1. Повторим построение задачи №6,пусть

L ABточка Х в задаче №6 у нас будет А3, т. е. а

Построить АХ=АВАА3=АВ

2. Проведем прямую MA3; MA3AM1=L

3. Проведем прямую PL; PLAB=A4

4. Проведем прямую А4М; А4МАМ1=F

5. Проведем PF, PFAB=x;

Доказательство.

1)Воспользуемся уже выше доказанным AA3=AB, докажем, что AA4=AB a)MPM1~APB; , но AB=3AA3 обе части пропорции умножим на 3: б)Так как MLM1~A3LA, то ,A4A3=AA3-AA4 тогда (6) в)Приравнивая левые части (5) и (6) получим =

Разделим левую и правую части на МС :

3АА3-3АА4=АА4 3АА3=4АА4 АА4=АВ

2)Докажем, что АХ =АВ Воспользуемся выше доказанным АА4=АВ а)МРМ1~АРВ

,а АВ=4АА4, то умножим обе части на 4

(7) б)Т. к , то т. к ХА4=АА4-АХ, то

(8) в) Приравняем левый части (7) и (8)

Разделим обе части на 4АА4-4АХ=АХ

4АА4=5АХ т. к 4АА4=АВ, ТО АВ=5АХ АХ=АВ

2. 7 Деление стороны квадрата на 3 равные части

Задача №7. Разделить данный отрезок ( сторону квадрата) на 3 равные части с помощью сгибов.

7. 1Соединить С с Д, наметить линию и вернуться в первоначальное положение

7. 2Перегнуть так чтобы вершина В оказалась на прямой п. Зафиксировать прямую АК

7. 3Перегнуть так чтобы ВК совпало с АК, зафиксировать КН.

7. 4Раскрыть всё до образования квадрата АВСД.

7. 5 Перегнуть по указанным линиям через Н

7. 6 Провести параллельный сгиб и разделить АН пополам

Доказательство.

1. По построению АВСД квадрат , т. е. АВ = ВС1 =ДС =АД. Так как п прямая проходящая через середину ДС, то АВ1В равносторонний и ∠ В1АВ = 600

2. АК сгиб по середине В1АВ , то АК - биссектриса В1АВ , значит В1АК =ВАК = 30[0]

3. ∆АКВ- прямоугольный ∠ АКВ = 180[0] -30[0]- 90[0] = 60[0]

4. КН - сгиб посередине ВКА, значит КН - биссектриса ВКА и АКН = НКВ = 30[0]

5. Так как НКВ = 30[0], ВАК = 30[0] ,то АКВ - равнобедренный, значит АН = НК

6. НКВ - прямоугольный, КН катет лежащий против угла в 300 ,следовательно, НВ =12НК = 12АЕ т. е. АЕ = ЕН = НВ и НВ =13АВ.

2. 8 Деление стороны квадрата на 5 равных частей.

Задача №8 Разделить сторону квадрата на 5 равных частей. ( найти отрезок равный 15 АВ)

Оригамское решение:

8. 1. Перегнуть квадрат пополам

8. 2. Загнуть левый нижний угол наверх, перегибая по диагонали нижнего прямоугольника

8. 3 Точка Е это угол квадрата С. 8. 4. Провести сгиб через точку Е

8. 5 Согнуть последовательно

8. 6. В результате сложения получили, что ОЕ =15АВ

Доказательство:

Требуется доказать: ОЕ =15АВ

Обозначим сторону квадрата АВ = 1,

РЕ = x, ЕN = I -x, ЕО = у = АN, ВN= 1 -у.

Рассмотрим прямоугольный ЕВN. По теореме Пифагора :

1[2] = (1 - х)[2] + (1 - у)[2], 1 = 1-2х + х[2]+1-2у +у2 ,

2х+ 2у - х[2] - у[2] - 1 - 0 (1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆КРЕ. По теореме Пифагора :

12[2]=х[2]+12- у2

14= х[2]+14 - у + у2 х[2] + у[2]-у=0. (2) Составим систему из последних двух уравнений (1), (2):

2х+2у=х2-у2-1=0х2+у2-у=0 Сложим первое уравнение со вторым

2х+2у-х2-у2-1=02х+у-1=0

Решив систему способом подстановки введя:

У = 1 - 2х х[2] + (1 - 2х)2 - (1 - 2х) = 0, х[2] +1 -4х + 4X[2]- 1 + 2х = 0,

5х[2] - 2х = 0 Решим неполное квадратное уравнение: х(5х- 2) = 0 х1 = 0 (не удовлетворяет условию задачи),

Х2 =25 у2 = 1 -2*25 =15 РЕ =25 ЕО = 15АВ.

2. 9 Деление стороны квадрата на 7 равных частей

Задача № 9 Разделить сторону квадрата на 7 равных частей. ( найти отрезок равный 17 АВ). Оригамское решение. Разделить сторону квадрата на 7 равных частейй 2[3] = 8; 8 > 7

Получаем АТ= 17 AD. Разделите TD на 6 равных частей.

Математическое обоснование

1) Продлим АD и МС до пересечения в точке К.

2) Примем А В = 1

AКМ ~ ∆СВМ (т. к. треугольники прямоугольные и АМК = СРВ вер - тикальные).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон.

АМ : МВ = АК :ВС 18 : 78 = АК : 1, АК =18. 1 : 78 , АК = 17

3) ∆ТМР - равнобедренный (ТМ =МР по построению ) МРТ = МТР

4) РТМ = АМТ (накрест лежащие) при АВ ТР, ТМ - секущая.

5) КМА = ∠КРТ ( соответственные0, АВ ТР

6) Из 1) и 5) следует КМА= АМТ

7) АКМ и АТМ прямоугольный, АМ - общая и КМА = АМТ

По катету и прилежащему к нему острому углу АКМ = АТМ, тогда АТ = КА = 17.

2. 10. Фигуры, выполненные в технике оригами.

3нание этапов построения при делении стороны квадрата на3 , на 5 частей применяется при складывании некоторых фигур. Мы решили привести три из них. Это классическая модель <<Волчёк>>13, оригинальная коробочка Ирины Капитоновой16, додекаэдр Томоко Фузе. 16

Простая игрушка выполненная в технике оригами <<Волчёк>> требует знаний о деление стороны квадрата на 3 равные части либо приближённое деление <<на глаз>>( приложение №3 ). Оригинальная <<Коробочка для подарка>> Ирины Капитоновой требует знания и навыки в делении квадрата на 5 равных частей>>( приложение № 4 ). << Додекаэдр>> состоит из 30 модулей для сложения которых необходимы знания деление стороны квадрата на 3 части. ( приложение № 5). Агыбаева Ляззат заинтересовалась так оригами, что придумала свою <<Коробочку- пенал>> ( приложение № 6)

Заключение.

Проделав данную работу, мы пришли к выводу о том, что гипотеза о применении равноценных инструментов построения циркуля и линейки заложена в основании самой науки геометрии, в аксиомах Евклида, в аксиомах линейки и циркуля. Существует классических 4 способа. И наиболее простые, доступные для общего образовательного уровня способы деления отрезков на равные части, сформулированы в <<Началах>> Евклида ( деление на 2, 4, 8, 16,. равных частей) и с использованием теоремы Фалеса выполняются с помощью двух инструментов линейки и циркуля. Г. Мор и Л. Маскерони построили свою теорию на поэтапном исключении линейки и основали новый раздел в планиметрии- <<геометрию циркуля>>, Я. Штейнер наоборот смог объяснить и доказать как можно обойтись без циркуля и выполнить то же построение одной линейкой, при условиях если в плоскости чертежа дана прямая параллельная данному отрезку или окружность , параллелограмм и, тем самым ,открыл ещё новый раздел в планиметрии << геометрию линейки>> Построения в этих геометриях сложнее, но и интересней на наш взгляд развивают геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем выше перечисленные построения с помощью циркуля и линейки. Практическое выполнение задач на деление отрезка 3, 5, 7 частей вызывали у нас увлечение работой, которое привело к желанию расширить и углубить изучение геометрии. Общество в своём развитии ищет новые пути решения тех или иных задач и не зря, с развитием исследования космического пространства , математики обратили внимание на не донца ещё раскрытые возможности оригами. И сейчас в век развития компьютерной грамотности уже существует программа GeoGebra, , позволяющие выполнять построения с помощью циркуля и линейки на компьютере. Но всегда что бы придумать что то новое надо заинтересоваться уже известными фактами.

К тому же мы смогли с научной точки зрения объяснить своим одноклассникам все возможные способы деления отрезка на равные части. Знакомство с математикой- оригами расширило наш кругозор о жестком оригами, которое рассматривает складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твердые поверхности, подобные жестяным, чрезвычайно важно практически. Например, Миура-ори - схема жесткого складывания, использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках. А это значит, у задач на построение есть будущее. Мы с удовольствием складывали фигуры при складывании которых пригодились приобретённые знания на деление стороны квадрата на равное число частей , а Агыбаева Ляззат придумала свою фигурку <<Коробочка>>. Мы считаем , что проведённые нами исследования имеют практическую ценность прежде всего потому что объединило античность и современность, подробно разработанные нами этапы построения разными способами позволят выполнить эти задачи любому заинтересовавшемуся данной проблемой школьнику.