Деление прямого угла на три равные части или трисекция угла

Возникновение задачи о трисекции угла (т. е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью, в частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

С помощью циркуля и линейки для n=6 и 8 правильные n-угольники построить можно, а для n =7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника — интересная задача: ее можно решить с помощью способа «вставок». Построение правильного семиугольника предложил Архимед. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол 360°/9= 120/3, т. е. разделить угол 120° на три равные части.

Почему греки предпочитали циркуль и линейку иным инструментам?

Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно ученые не могут. Потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

В соответствующей литературе можно найти попытки объяснения такой необычной симпатии греков именно к циркулю и линейке. Любая геометрическая фигура состоит из двух видов линий – прямой или кривой. А любая кривая состоит из частей окружностей различного диаметра. При этом прямая и окружность – единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

Деление прямого угла на три равные части.

В некоторых частных случаях легко удается выполнить деление угла. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой (MAN.

Откладываем на луче AN произвольный отрезок АС, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как (САВ равен 60º, то (ВАМ равен 30º. Построим биссектрису АD угла САВ, получаем искомое деление прямого (МАN на три равные угла: (NAD, ( DAB, ( ВАМ.

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90о / 2n, где n – натуральное число). То, что любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки было доказано лишь в первой половине XIX века.

Решение способом «вставок»

Некоторые способы трисекции угла, рассматриваемые греками, использовали так называемый метод вставки. Он заключался в том, чтобы найти положение прямой, проходящей через данную точку O, на которой две заданные прямые (или прямая и окружность) высекали бы отрезок данной длины a. Такое построение можно осуществить с помощью циркуля и линейки с двумя делениями, расстояние между которыми равно a.

С помощью «вставок» разделить угол на три равные части очень легко. Возьмем на стороне угла с вершиной В произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АС на другую сторону .

Проведем через точку А луч сонаправленный с лучом ВС. Вставим теперь между лучами АС и l отрезок DE длиной 2АВ так, чтобы его продолжение проходило через точку В. Тогда (ЕВС= (ABC/3. В самом деле, пусть G — середина отрезка DE. Точка А лежит на окружности с диаметром DE, поэтому AG = GE = DE/2 = AB. Треугольники BAG и AGE равнобедренные, поэтому (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми l1 и l2 сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. Рассмотрим прямоугольник ABCD, продолжения сторон ВС и CD которого являются данными прямыми, а вершина А является данной точкой, через которую нужно провести прямую, пересекающую прямые l1 и l2 в таких точках Е и F, что отрезок EF имеет данную длину .

Достроим треугольник DEF до параллелограмма DEFG. Для построения искомой прямой достаточно построить точку G, а затем через точку А провести прямую, параллельную прямой DG. Точка G удалена от точки D на данное расстояние DG = EF, поэтому точка G лежит на окружности, которую можно построить.

С другой стороны, из подобия треугольников ABF и EDA получаем АВ: ED = BF: AD, т. е. ED*BF=AB*AD. Следовательно, FG*BF=AB*AD = SABCD, т. е. точка G лежит на гиперболе (если направить оси Ох и Оу по лучам BF и ВА, то эта гипербола задается уравнением xy = SABCD)

Решение с помощью квaдрaтрисы

К «грaммическим» зaдaчaм относится зaдaчa о делении углa в любом отношении. Первую кривую для решения тaкой зaдaчи изобрел Гиппий Элидский . B дальнейшем (нaчинaя с Динострaтa) эту кривую тaкже использовaли и для решения квaдрaтуры кругa. Лейбниц нaзвaл эту кривую квaдрaтрисой.

Oнa получается следующим образом. Пусть в квaдрaте ABCD концы отрезкa B′C′ рaвномерно движутся по сторонaм, соответственно, BA и CD, a отрезок AN рaвномерно врaщaется вокруг точки A. Oтрезок B′C′ в нaчaльный момент совпaдaет с отрезком BC, a отрезок AN – с отрезком AB; обa отрезкa одновременно достигaют своего конечного положения AD. Квaдрaтрисой нaзывaется кривaя, которую при этом описывaет точкa пересечения отрезков B′C′ и AN.

Для того чтобы разделить острый угол φ в некотором отношении, надо на вышеприведенном чертеже отложить угол DAL = φ, где L лежит на квадратрисе. Опустим перпендикуляр LH на отрезок AD. Пазделим этот перпендикуляр в нужном отношении точкой P. Проведем через P отрезок, параллельный AD, до пересечения с квадратрисой в точке Q; луч AQ делит угол LAD в необходимом отношении, так как, по определению квадратрисы, (LAQ : (QAD = (LP : (LH.

Практическая работа по построению трисектрис угла

Способом «вставок»

С помощью квaдрaтрисы

Решение с помощью теоремы Морлея

Так как любой угол нельзя разделить на три равные части, то мы можем решить задачу о трисекции угла в обратном порядке, используя теорему Морлея.

Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично . Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника.

Решим следующую задачу: построим треугольник, из всех углов которого проведены трисектрисы.

План построения.

1) Построим два произвольных угла (BAC1 и (АВС1, одна сторона которых является общей.

Построенные углы должны удовлетворять неравенству:

ВАС1+АВС1 < 60º

2) Пусть луч АС1 – ось симметрии. Отразим ( ВАС1 относительно оси АС1. Аналогично, отразим относительно оси ВС1 ( АВС1.

3) Пусть луч АС2 – ось симметрии. Отразим (C1АC2 относительно оси АС2. Аналогично, отразим относительно оси ВС2 (C1ВC2.

4) Соединим точки пересечения трисектрис С1 и С2 отрезком С1С2.

5) В теореме Морли сказано, что при пересечении трисектрис треугольника получается правильный треугольник, а отрезок С1С2 является перпендикуляром к основанию правильного треугольника и проходит через вершину этого треугольника. Для того, чтобы построить правильный треугольник, зная его высоту, необходимо: а) построить лучи, исходящие из точки С1 под углом 30º относительно отрезка С1С2; б) отметить точки пересечения построенных лучей с трисектрисами буквами В1 и А1; в) соединить точки А1, В1, С1. Получим равносторонний треугольник А1В1С1.

6) Проведем лучи из точки С, проходящие через вершины правильного треугольника В1 и А1.

Оставим на рисунке отрезки трисектрис треугольника.

Мы построили треугольник АВС, из всех углов которого проведены трисектрисы.

Неразрешимость трисекции угла с помощью циркуля и линейки

Для доказательства невозможности разделить любой угол на три равные части с помощью циркуля и линейки достаточно доказать, что нельзя так разделить некоторый конкретный угол. Мы докажем, что с помощью циркуля и линейки нельзя произвести трисекцию угла 30°. Введем систему координат Оху, выбрав в качестве начала координат вершину данного угла АОВ и направив ось Ох по стороне ОА. Можно считать, что точки А и В удалены от точки О на расстояние 1. Тогда в задаче трисекции угла требуется по точке с координатами (cos Зφ, sin Зφ) построить точку (cosφ, sinφ). В случае, когда φ=10°, исходная точка имеет координаты. Обе ее координаты выражаются в квадратных радикалах. Поэтому достаточно доказать, что число sin 10° не выражается в квадратных радикалах.

Так как sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

= sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

= sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

= sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

= sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

= sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

= sinφ(3 - 4sin2φ) =

= 3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, то число х = sin 10° удовлетворяет кубическому уравнению

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Достаточно доказать, что у этого уравнения нет рациональных корней. Предположим, что 2x=p/q, где р и q — целые числа, не имеющие общих делителей. Тогда p3 – 3pq2 + q3 = 0, т. е. q3=p(3q2—p2). Следовательно, число q делится на р, а значит, р=±1. Поэтому ±13q2 + q3 =0, т. е. q2(q±3)= ±1. Число 1 делится на q, поэтому q=±1. В итоге получаем, что х=±1/2. Легко проверить, что значения ±1/2 не являются корнями уравнения. Получено противоречие, поэтому уравнение не имеет рациональных корней, а значит, число sin10° не выражается в квадратных радикалах.

Применение

Трисекция угла необходима при построении правильных многоугольников. Мы рассмотрим процесс построения на примере правильного девятиугольника, вписанного в окружность .

Строим прямоугольный треугольник АВС. Строим трисектрисы ВС1 и ВС2. Получились углы по 30º. Делим один из образовавшихся углов на два по 15º биссектрисой. К прямому углу «добавляем» по 15º с каждой стороны. Снова строим трисектрисы получившегося угла DBE. Повторяем так еще дважды, поворачивая треугольник в точке В так, чтобы DB совпала с предыдущим положением ВЕ. Соединяем полученные точки.

Нам удалось построить правильный девятиугольник, используя построение трисектрис.

Трисектор

Задача о трисекции угла в общем случае не разрешима при помощи циркуля и линейки, но это вовсе не значит, что данную задачу нельзя решить другими вспомогательными средствами.

Для достижения указанной цели придумано много механических приборов, которые называются трисекторами. Простейший трисектор легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он послужит подсобным чертёжным инструментом.

Трисектор и схема его применения.

Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски ВD составляет прямой угол с прямой АС; он касается полукруга в точке В; длина этой полоски произвольна. На том же рисунке показано применение трисектора. Пусть, например, требуется разделить на три равные части угол КSМ

Трисектор помещают так, чтобы вершина угла S находилась на линии ВD, одна сторона угла прошла через точку А, а другая сторона коснулась полукруга. Затем проводят прямые SВ и SО, и деление данного угла на три равные части окончено. Для доказательства соединим отрезком прямой центр полукруга О с точкой касания N. Легко убедиться в том, что треугольник АSВ равен треугольнику SВО, а треугольник SВО равен треугольнику OSN. Из равенства этих трех треугольников следует, что углы АSВ, ВS0 и 0SN равны между собой, что и требовалось доказать.

Такой способ трисекции угла не является чисто геометрическим; его скорее можно назвать механическим.

Часы-трисектор

(инструкция по применению)

Оборудование: циркуль, линейка, часы со стрелками, карандаш, прозрачная бумага.

Ход работы:

Переведите фигуру данного угла на прозрачную бумагу и в тот момент, когда обе стрелки часов совмещаются, наложите чертеж на циферблат так, чтобы вершина угла совпала с центром вращения стрелок и одна сторона угла пошла вдоль стрелок.

В тот момент, когда минутная стрелка часов передвинется до совпадения с направлением второй стороны данного угла , проведите из вершины угла луч по направлению часовой стрелки. Образуется угол, равный углу поворота часовой стрелки. Теперь при помощи циркуля и линейки этот угол удвойте и удвоенный угол снова удвойте. Полученный таким образом угол и будет составлять ⅓данного.

Действительно, всякий раз, когда минутная стрелка описывает некий угол, часовая стрелка за это время передвигается на угол, в 12 раз меньший, а после увеличения этого угла в 4 раза получается угол (a/12)*4=⅓ a.

Заключение

Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд.

Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Закончив и проанализировав свою исследовательскую работу, я сделала следующие выводы:

✓ возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);

✓ подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий (способ «вставок», появление квадратрисы, теоремы Морли);

✓ неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам: найти решение или доказать невозможность – большой почёт.

А также я узнала:

✓ о математиках, изучавших данную задачу;

✓ новые понятия, термины (трисекция, трисектор, квадратриса) и теоремы (Морлея) и научилась:

✓ эффективно находить и отбирать необходимый материал;

✓ систематизировать полученные знания;

✓ правильно оформлять научно-исследовательскую работу.