Теоретические аспекты теории вероятности

С древности люди интересовались таким явлением, как вероятность того или иного события. Когда не было ни часов, ни измерительных приборов, лишь интуиция и некоторые знания о мире позволяли предугадывать те или иные события, вероятность их совершения или не совершения.

Многие аспекты нашей современной повседневной жизни не обходятся без теории вероятностей. Пойдет ли дождь, будет ли снег, удастся ли найти нужную вещь - несмотря на научное обоснование вероятности этих явлений, некоторые из них до сих пор остаются на совести случая. Поэтому, теория вероятностей - один из наиболее интересных объектов изучения.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Целью данного исследования – создание электронного учебника по теории вероятностей, который удовлетворял бы следующим требованиям: был понятен школьникам, но, при этом, обладал всей полнотой информации, необходимой для овладения данной теорией.

Главными задачами исследования являются:

* изучить теоретический аспект теории вероятностей;

* познакомиться с программой, необходимой для создания учебника;

* разработать план построения учебника;

* создать электронный учебник по теории вероятностей; создать тест, в котором можно будет применить полученный знания;

Объектом исследования является теория вероятностей, предметом - возможность создания учебника, ориентированного на среднего школьника с полным курсом теории по данному вопросу.

Практическая ценность данной работы заключается создании учебника по которому любой человек сможет пройти теоретический курс по теме «Теория вероятностей», а также оценить свои знания и навыки посредством прохождения теста, составленного из задач по данной теме.

Теоретические аспекты теории вероятностей

История теории вероятностей

Вероятностные представления достаточно широко использовались уже древнегреческими философами С. Демокритом, Эпикуром, Лукрецием Каром и др. , но считается что теория стала развиваться лишь с середины XVII века - в работах французских ученых Б. Паскаля и П. Ферма, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки. Два игрока играют в "безобидную" игру (т. е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй - три). Как справедливо разделить приз? Хотя, вообще говоря, данная проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых видных ученых ее решить, а также неверные ответы создали легенду о парадоксе. Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5:3, т. е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому - в отношении 2:1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам). А между тем делить надо в отношении 7:1. И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, при чем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 23=8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7:1. Также теорией вероятностей занимались голландский ученый X. Гюйгенс и швейцарский Д. Бернулли. Классическое определение вероятности случайного события было сформулировано в знаменитом труде "Наука предположений" известного швейцарского математика Д. Бернулли. Окончательно это определение оформилось позднее - в работах П. Лапласа. Геометрическое определение вероятности стали применять в XVIII веке. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесла русская математическая школа в XIX веке (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов. )

Что изучает теория вероятностей

"Математика случая" — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль.

Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо.

Приведем самые простые примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в диктанте.

Теория вероятностей — математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления определенных событий.

Сравнение шансов. Вероятностная шкала.

Итак, случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут не произойти. При этом у. одних случайных событий шансов произойти больше (значит, они более вероятны - ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятны - ближе к невозможным).

Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, а менее вероятные — реже. Так что сравнивать вероятности можно и по частоте, с которой события происходят. Правда, для этого нужны статистические данные.

Расположим на вероятностной шкале следующие события:

А= {в следующем году первый снег в Челябинске выпадет в воскресенье};

В= {свалившийся со стола бутерброд упадёт на пол маслом вниз};

С= {при бросании кубика выпадет шестёрка}

D= { при бросании кубика выпадет чётное число очков};

Е= { в следующем году в Челябинске снег вообще не выпадет };

F= { при бросании кубика выпадет семёрка };

G= {в следующем году в Челябинске выпадет снег};

Н= {при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Пусть слева, в начальной точке шкалы, будет располагаться невозможное событие, а в конечной точке, - достоверное, а между ними - случайные.

Покажем, как перечисленные выше события располагаются на вероятностной шкале.

F C D B H

Невозможные Случайные Достоверные

Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая - на ней нет числовых меток, делений. Ведь мы ещё не умеем измерять вероятности случайных событий числами.

Иногда удаётся установить взаимное расположение событий по вероятностной шкале с помощью элементарной логики.

Когда из наступления события В обязательно следует наступление события А, то говорят, что В влечёт за собой А. В этой ситуации В является частью А и будет менее вероятным, чем А. Такое соотношение между А и В показано на рисунке:

Сравним между собой шансы наступления событий:

А={новый телевизор сломается в течение месяца}

В={новый телевизор не сломается в течение года}.

Всякий раз наступление события В означает, что наступило событие А. Обратное неверно: телевизор может служить исправно в течение ближайшего месяца, а вследующем - сломаться. Поэтому событие А более вероятно. Чем событие В, - и это никак не зависит от марки телевизора.

Статистическое определение вероятности

Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное с экспериментом, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины:

Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N, при этом число М называют абсолютной частотой или частотой события А.

Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие;

Относительная частота показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

Относительную частоту события А обозначают W(A), поэтому по определению: W(A)=

Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Аксиоматическое определение вероятности

Мы попробуем обобщить математическое определение вероятности, объединив классическое и геометрическое определения и расширив рамки нашей математической модели реальных явлений. Это определение называют аксиоматическим и связывают с именем одного из величайших математиков XX столетия — Андрея Николаевича Колмогорова.

Пусть Ω. — множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Будем считать, что множество О. конечно, и обозначать его элементы (т. е. исходы эксперимента): ω1, ω2 , ωn:

Ω={ ω1, ω2 , ωn }

Зададим на элементах множества Ω. неотрицательную числовую функцию р{ ω), для которой p(ω1)+p(ω2)+. +р(ωn)=1

Эту функцию будем называть распределением вероятности на Ω. , а пару (Ω. ,р) — вероятностным пространством.

Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества ω, а его вероятностью Р(А) — сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события { ω,} будет сопоставленное ему число р(ω,).

Геометрическое определение вероятности.

Выберем на географической карте мира, изображенном на рисунке, случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем в неё указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

А какова вероятность попасть при этом в Гринвичский меридиан? Как ни странно, придется положить ее равной нулю — ведь площадь меридиана равна нулю (это ведь линия, не фигура: у нее есть только длина). На самом деле ничего странного в этом факте нет — попасть указкой точно в меридиан невозможно.

Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой области G случайно выбирается точка. Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможною, то вероятность попадания случайной точки в любую подобласть А будет равна отношению площадей (через Р(А), как и раньше, обозначаем вероятность, а через S — площадь).

Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. Например, вероятность попадания на отрезок L будет нулевой.

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1: Р(А) = = = 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0: Р(А) = = = 0

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

P(A)+P()=1

Вероятность противоположного события находится по формуле:

P()=1– P(A)

Элементы комбинаторики

Комбинаторика - это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.

Если исходное множество состоит из п различных элементов, то при каждом выборе мы будем извлекать из него новый элемент, отличный от всех других -это выбор без повторений.

Если исходное множество состоит из элементов к типов (классов), причём внутри каждого класса элементы неразличимы, то при очередном выборе мы можем извлечь либо новый элемент, либо такой, какой уже встречался при предшествующих извлечениях - это выбор с повторениями.

Извлечённые из исходного множества т элементов составляют выборку; из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или составляется) комбинация элементов.

Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то т действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие - п2 способами, третье - п3 способами и так до т-го действия, которое можно выполнить пт способами, то все т действий вместе могут быть выполнены n1*n2*n3*. *пт способами.

Правило сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, причём одно из них можно выполнить т способами, а другое - п способами, то выполнить одно любое из этих действий можно т + п способами.

Размещением из п элементов по т называется любой выбор т элементов, взятых в определённом порядке из п элементов.

Число размещений из п элементов по т обозначают A.

Теорема. Число размещений из п элементов по т равно т. е.

Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по п. Число перестановок обозначается Рп

Теорема. Число перестановок п различных элементов равно n! т. е. Рп = n!

Сочетанием из п элементов по т называется любой выбор т элементов, взятых из п элементов.

Число сочетаний из п элементов по т обозначают и вычисляют по формуле:

С = , которую можно записать также в виде: С =

Теорема. Число сочетаний из п элементов по т равно т. е. С =

Теорема. Имеет место равенство С+ С+ С+. + С=2n

Построение электронного учебника по теории вероятностей.

Используя программу Teach Book Lite, предназначенную для проектирования электронных учебников, мы создали электронный учебник по теории вероятностей.

Он включает в себя большое количество разделов, посвященных теории вероятностей.

Заключение

Теория вероятностей — математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений, с помощью которой вычисляют вероятности наступления определенных событий.

События бывают невозможные, случайные, совместные, несовместные, достоверные, равновозможные, противоположные.

Теория вероятностей имеет множество определений в зависимости от науки, которой она определяется:

* Статистическое определение - вероятность того или иного события приближенно равна частоте появления события А в длинной серии экспериментов;

* Классическое определение - вероятность — это отношение числа благоприятных для события А исходов к числу всех исходов эксперимента;

* Геометрическое определение - вероятность — это отношение площади события А ко всей площади области, где случайно выбирается точка.

* Аксиоматическое определение - обобщение математического определения вероятности, объединение классического и геометрического определений и расширение рамок математической модели реальных явлений.

Преимущество электронного учебника заключается в том, что это наиболее удобная форма познания, т. к. она сочетает в себе и информацию, и проверку усвоенных знаний, и интересное оформление, располагающее к изучению. Также хотелось бы отметить, что в современном мире все большее влияние приобретают информационные технологии, и ребенок, также как и взрослый, скорее предпочтет учиться по электронному учебнику, нежели по напечатанной книге. Все это и подтолкнуло меня к созданию данной работы.

Таким образом, я надеюсь, что мое исследование по достоинству оценят и смогут найти ему правильное применение.