Производство  ->  Электроника и электротехника  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Гармонические колебания

Колебательные процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени параметров физических величин, которые определяют движение или состояние, часто встречаются в окружающей среде. Свойства повторяемости имеют, например, колебания маятника часов, струны или ножек камертона, корабля на волнах, молекул в твердом теле и т. д. Такие движения совершают также некоторые части технических приспособлений: поршни, клапаны, вращающиеся валы и др. Универсальность законов колебательных процессов позволяет с одной точки зрения трактовать разные по своей природе колебания, встречающиеся в физических явлениях, механизмах и машинах.

Колебания окружают нас везде. Вибрирующий воздух доносит звуки до наших ушей. У нас под ногами колеблется земля. Явления колебания интересны для нас тем, что порой мы даже не замечаем их, в то время как они происходят у нас на глазах. При изучении колебаний мы сталкиваемся не только с физикой, но и с математикой. В этом и есть мой интерес изучения явления, то есть понять связь математики и колебаний.

Что такое гармонические колебания?

Колебания, при которых состояние движения тела повторяется через равные промежутки времени, называются периодическими.

Среди разнообразных колебательных движений отдельное место занимают гармонические колебания. При таких колебаниях физические величины, описывающие эти движения (например, отклонение от состояния равновесия, скорость, ускорение и т. д. ), изменяются с течением времени по закону косинуса или синуса. Этот вид колебаний особенно важен потому, что в соответствии с учением о колебаниях любые периодические колебания, которые наблюдаются в природе и технике, можно представить как наложение нескольких гармонических колебательных движений.

Таким образом, гармонические колебания являются простейшим видом колебательного движения.

1. Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом. Математически это записывается так:.

2. В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

- механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т. д. );

- электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т. д. );

- электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т. д. ).

3. Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

4. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями.

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями.

5. Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

• дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);

• уравнение колебаний;

• амплитуда;

• частота или период колебаний;

• фаза;

• начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.

Собственные гармонические колебания

Механические гармонические колебания.

1. В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник: маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k.

Ненагруженная пружина имела длину l0. Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести Δl=mg. Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника. Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

. Знак минус означает, что направление силы Fупр. и направление смещения х противоположны. Fупр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело).

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями. Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

2. Дифференциальное уравнение, соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F.

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени , а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как , получим или.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т. е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина, обозначим ее, получим

3. Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения: или

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет, т. е.

В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде.

4. В уравнении колебаний:

А – амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия; х – смещение маятника, т. е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:,.

5. Зная уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде.

Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:.

Величина Аω0 называется амплитудой скорости. Амплитуда – величина положительная (по определению).

Ускорение маятника:.

Величина Аω02 – амплитуда ускорения. И смещение, и ускорение маятника изменяются по закону косинуса, но отличаются, кроме амплитуды, еще и знаком. Направление ускорения совпадает с направлением упругой силы.

6. Так как собственные колебания в идеальной системе происходят без внешних воздействий, то колебательная система является замкнутой и для нее выполняется закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия пружинного маятника равна:.

. Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой силы, равна:

Кинетическая энергия пружинного маятника равна.

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна

Частота изменений кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты изменения смещения, скорости и ускорения. Соответственно период изменения этих видов энергии.

Графики физических величин в зависимости от времени представлены на рисунке 2 в пределах двух периодов колебаний (начальная фаза взята равной нулю α = 0).

Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний от начальных условий.

Решения дифференциального уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для данной конкретной колебательной системы можно сделать, если задать ее поведение в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.

Пусть при t = 0 смещение системы от положения равновесия равно х0, а начальная скорость v0. Гармоническое колебание описывается уравнением.

При t = 0 имеем два уравнения:

Возведя в квадрат оба уравнения, и сложив их, получим уравнение для амплитуды:.

Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение для начальной фазы:

Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий колебательной системы.

Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма.

Решение многих вопросов в теории колебаний значительно упрощается, если использовать графический метод изображения гармонических колебаний в виде векторов на плоскости. Такое изображение называется векторной диаграммой колебаний .

Последовательность построения векторной диаграммы колебания, заданного уравнением , такова:

1. Выберем на плоскости ось Х, на ней возьмем точку О – начало координат.

2. Под углом α, равном начальной фазе колебаний, к оси Х, из точки О откладываем вектор, равный по длине амплитуде А колебаний.

3. Вектор А равномерно вращаем вокруг точки О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний.

Тогда в любой момент времени угол вектора А с осью Х равен. Соответственно проекция конца вектора А на ось Х будет совершать колебания по закону , а сама проекция вектора А в любой момент времени будет равна смещению х колеблющейся точки от положения равновесия. Если начальная фаза колебаний , то в начальный момент времени вектор А откладываем из точки О вдоль направления оси Х.

Для изучения гармонических поведений я решила привести в пример задачу:

Задача.

Материальная точка совершает колебания по закону

Определите амплитуду, циклическую частоту, период и начальную фазу данных колебаний.

Запишите уравнения скорости и ускорения данной точки.

Определите максимальную скорость и ускорение данной точки.

Основные характеристики колебаний

А, ω, φ0, Т. Определяем, сравниваем частное уравнение координаты с общим видом уравнения смещения

Уравнение скорости получим, используя производную:

Максимальная скорость

Уравнение ускорения ищем в виде производной от скорости:

Максимальное ускорение:

Сложение гармонических колебаний

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение гармонических колебаний одного направления.

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний) можно провести с помощью метода векторных диаграмм вместо сложения двух уравнений.

Величина вектора А(t) может быть найдена по теореме косинусов:.

Фаза результирующего колебания задается формулой:

. Если частоты складываемых колебаний ω1 и ω2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А(t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x1 и x2 называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени:

. Но, так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты.

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А1 и А2 на координатные оси ОХ и ОУ :

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием.

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2), то , т. е. результирующая амплитуда будет минимальной. Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе. При результирующая амплитуда равна нулю.

Если , то , т. е. результирующая амплитуда будет максимальной. В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе, т. е. были синфазны. Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то.

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами.

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω1, и ω2. Условие близости складываемых частот записывается соотношениями.

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k1 и k2.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы , а начальные фазы равны нулю. Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:.

Результирующее колебание описывается уравнением:.

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω1 или ω2). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями. Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости хрез. при биениях показан на рисунке 5.

Рисунок 5 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой. Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τб, называемый периодом биений. Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

Величина - период биений.

Величина есть период результирующего колебания.

Затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебан

Характеристики затухающих колебаний.

1. Коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

. Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды Азат. (t) и Азат. (t+τ), имеем. Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.

Если затухание невелико, т. е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так: , где Азат. (t) и Азат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т. е. в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна , где Ne – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность электромагнитной системы LCR – контура при малом затухании колебаний равна , а добротность пружинного маятника -. Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшает-ся, а период увеличивается. При ω0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ωзат. = 0, а Тзат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими. Для пружинного маятника условие ω0 = β запишется так: , откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

Для LCR – контура условие позволяет вычислить критическое сопротивление контура, при котором колебания потеряют свою периодичность:

Вынужденные механические колебания

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными.

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний.

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила. Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления.

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:.

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:.

Обозначим (β – коэффициент затухания), (ω0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т. е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы: , где.

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы, то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение.

Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части: , где Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ0 –сдвиг фаз, т. е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл. , и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

2. Электромагнитные вынужденные колебания.

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, - это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону:

Конденсатор, как рассматривалось ранее, заряжен и при его разрядке в контуре будет идти изменяющийся по времени электрический ток, что вызовет появление в катушке индуктивности ЭДС индукции (). Согласно второму закону Кирхгофа имеем: где UC, UR – соответственно падение напряжения на конденсаторе и активном сопротивлении.

Учитывая, что , где I – сила тока в контуре, , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора, - ЭДС индукции, запишем закон Кирхгофа в виде:

Записывая соотношения и , и преобразуя уравнение для закона Кирхгофа, мы получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде:

Окончательно дифференциальное уравнений (при использовании обозначений ) примет вид:

Вид дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний такой же, как и вид дифференциального уравнения для вынужденных колебаний в механической системе. Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, поэтому все, что говорилось относительно его решений для механических колебаний верно и для электромагнитной системы. Сначала в системе возникнут и затухающие, и вынужденные колебания, но спустя некоторый промежуток времени, переходный процесс закончится и в системе установятся вынужденные колебаний с той же частотой, что и частота изменения ЭДС источника: , φ0 - сдвиг фаз между изменением заряда конденсатора и действием внешней ЭДС источника.

В ходе работы я осознала связь физики и математики на примере гармонических колебаний, выявила связь производной с данной темой. А также убедилась в том, что при сложении гармонических колебаний, результирующее колебание не является гармоническим. В качестве практического применения решила задачи по данной теме.

Да, в моей работе нет новизны, но я изучила тему «Гармонические колебания», поняла и осмыслила неразрывную связь математики и физики и постаралась изложить данную тему так, как я ее понимаю.

В будущем хочу связать свою жизнь с математикой и механикой; работа над проектом убедила меня в верности моих жизненных целей.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)